DEFINIZIONE DI INSIEME
|
|
- Giorgia Alberti
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO
2 Indice 1 DEFINIZIONE DI INSIEME METODI DI RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI INSIEMI E LORO CARATTERISTICHE OPERAZIONI TRA INSIEMI IL PRODOTTO CARTESIANO BIBLIOGRAFIA di 22
3 1 Definizione di Insieme Si assumeranno, nel seguito, come primitive le nozioni di insieme e di elementi di un insieme, così la teoria sarà svolta in modo ingenuo (non completamente formalizzato) e si prescinderà dal formalismo rigoroso, necessario in una trattazione assiomatica. In senso intuitivo vale la seguente definizione di Cantor: DEFINIZIONE: Definizione intuitiva di Cantor: Un insieme è una raccolta, classe, aggregato, totalità di oggetti determinati ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero" (Cantor). Un insieme è indicato con una lettera latina maiuscola: DEFINIZIONE: Gli oggetti che compongono un insieme si chiamano anche elementi. Gli elementi si denotano con una lettera latina minuscola: ad DEFINIZIONE: Per dire che un oggetto è un elemento dell insieme (o che appartiene "), si scrive La negazione non appartiene ad si scrive Il simbolo fu introdotto da G. Peano e ricorda la prima lettera della parola greca, che in italiano significa è. DEFINIZIONE: Si definisce insieme vuoto l'insieme privo di elementi. Esso si denota col simbolo. OSSERVAZIONE: Importante notare che si parla dell insieme vuoto e non di UN insieme vuoto. Questo perché due insiemi vuoti sono indistinguibili. ESEMPI: i. 3 di 22
4 ii. iii. iv. 4 di 22
5 2 Metodi di rappresentazione degli insiemi L esempio precedente, mostra che ci sono due modi per descrivere gli elementi che concorrono a formare un insieme. E possibile elencare tutti gli elementi di un insieme tra parentesi graffe, oppure individuare una proprietà che caratterizzi tutti gli elementi dell insieme. Le due notazioni hanno un uso specifico nei seguenti casi: 1. Se l insieme è finito (cioè con un numero finito di elementi): si possono elencare tutti gli elementi tra parentesi graffe; 2. Se l insieme è finito o infinito: si può individuare una proprietà caratteristica dei suoi elementi, cioè una proprietà soddisfatta da tutti e soli gli elementi dell insieme. Questo è l unico modo per descrivere gli insiemi infiniti. OSSERVAZIONE: La proprietà che individuata non può (e non deve) dipendere dalla soggettività di chi scrive. Ad esempio se come criterio si sceglie Le ragazze più belle della facoltà, questo non può essere considerato un criterio soggettivo, perché dipende dal giudizio della persona. I metodi per rappresentare un insieme e i suoi elementi, non si riducono ai due appena visti (che definiremo formalmente nel seguito). Formalmente, un insieme può essere rappresentato mediante: piano Rappresentazione Grafica: Gli insiemi sono rappresentati mediante figure geometriche del delimitate da una curva semplice, chiusa e i loro elementi sono punti del piano situati all'interno di tale curva (diagrammi di EULERO - VENN). Questo tipo di rappresentazione è particolarmente utile per rappresentare le relazioni tra insiemi. 5 di 22
6 Rappresentazione per Elencazione (Estensiva o Tabulare): Gli elementi dell insieme sono elencati tutti, indipendentemente dall ordine, tra parentesi graffe e separati da virgola. In questo caso non si escludono ripetizioni. DEFINIZIONE: L insieme che si riduce a un unico elemento, si denota con il simbolo prende il nome di singleton. e OSSERVAZIONE: L insieme differisce dall elemento. Rappresentazione per proprietà caratteristica (Intensiva): Si specificano un dato numero di proprietà che servono per stabilire, in modo inequivocabile, quali elementi appartengono all insieme considerato. Equivalentemente si può scrivere: che. dove è la proprietà soddisfatta da. Ricordiamo che : e / sostituiscono la frase tale Con questo tipo di rappresentazione considero l insieme degli elementi di che soddisfano la proprietà. Questo vuol dire che appartiene all insieme, se e solo se, gode della proprietà. ESEMPIO: Consideriamo in un insieme c è un multiplo di, allora l insieme è rappresentato come: o equivalentemente 6 di 22
7 3 Insiemi e loro caratteristiche Nel seguito saranno utili alcuni simboli che rappresentano delle frasi, che si ritrovano anche nello studio della teoria degli insiemi. L espressione per ogni è denotata col simbolo detto quantificatore universale, mentre l espressione esiste almeno un è denotata col simbolo detto quantificatore esistenziale. Con il simbolo si indica il termine implica. Allora, dette e due proprietà, si scriverà (e si legge implica ) se non accade che sia vera e falsa, ovvero o è falsa oppure da vera segue vera. Si userà la scrittura e si dirà e sono equivalenti, se implica e implica. Le negazioni delle suddette frasi, si esprimono con i simboli DEFINIZIONE: Siano un insieme ed due elementi di, allora: La scrittura sta a denotare che i due simboli indicano lo stesso elemento di. Si legge uguale ad. La scrittura sta a denotare che con i simboli indicano due elementi distinti di. Si legge diverso da o, equivalentemente, non uguale ad. DEFINIZIONE: Siano due insiemi. Si dice che i due insiemi sono uguali e si scrive se è equivalente a, ossia se o sono entrambi vuoti, oppure sono dotati degli stessi elementi. Se non sono uguali, si scrive che si legge. DEFINIZIONE: Siano due insiemi. Si dice che è una parte di o, ancora, che è un sottoinsieme di e si scrive oppure se ogni elemento di B è anche elemento di A. Questo significa che tale che. In questo caso si dice che è incluso in o che A include. Per esprimere che non è una parte di si scrive oppure. OSSERVAZIONE: Fra i sottoinsiemi di un qualsivoglia insieme ci sono sempre l insieme vuoto e stesso: Essi sono detti sottoinsiemi impropri di, mentre gli altri sono detti sottoinsiemi propri. In particolare, un sottoinsieme proprio è tale che: 7 di 22
8 Allora vale la seguente definizione: DEFINIZIONE: Siano A e B due insiemi. Si dice che B è incluso strettamente in A o, equivalentemente, che B è una parte propria di A o, ancora, che B è un sottoinsieme proprio di A o, infine, che A include strettamente e si scrive se ogni elemento di è elemento di ed esiste almeno un elemento di che non appartiene a che equivale a quanto prima detto, cioè se è incluso in e è diverso da. ESEMPIO: 1. Se,, allora ; 2. Se,, allora ; 3. Se,, allora ; 4. Se, allora ; 5. Se A allora e, risulta. OSSERVAZIONE: La scrittura sta a denotare che B non è incluso strettamente in A e cioè che esiste almeno un elemento di che non appartiene ad, ovvero che o oppure. ESEMPIO: Se, allora perché l elemento che è in non è contenuto in. OSSERVAZIONE: L inclusione si può esprimere in termini di inclusione stretta: oppure. se 8 di 22
9 OSSERVAZIONE: Si ha, ovviamente, che, se e solo se, e. PROPOSIZIONE: L inclusione e l inclusione stretta godono della proprietà transitiva. DIM: Dimostriamo la proprietà vera per l inclusione. Si deve provare che, dati gli insiemi Per definizione di inclusione, dalla prima si ricava che ogni elemento di è anche elemento di, cioè tale che e dalla seconda ogni elemento di è anche elemento di. Questo significa che tale che, da cui si deduce che ogni elemento di è un elemento di, cioè. Si consideri l inclusione stretta. Analogamente, si deve provare: Per definizione di inclusione stretta, dalla prima inclusione si ottiene seconda da cui se deduce facilmente., dalla OSSERVAZIONE: Si osserva che se e allora. Questo perché tutti gli elementi di sono elementi di, ma esiste almeno un elemento di che non appartiene a. Poiché risulterà che esiste almeno un elemento di non appartenente a, cioè. DEFINIZIONE: Dato un insieme, si definisce insieme delle parti di, l insieme avente per elementi tutti e soli i sottoinsiemi di. In simboli: OSSERVAZIONE: L insieme non è mai vuoto, essendovi almeno ed. L insieme è anche detto insieme potenza di, per ricordare che è un insieme costituito da elementi possiede esattamente sottoinsiemi. ESERCIZIO: Considerato l insieme, si provi che è costituito da esattamente elementi. 9 di 22
10 sottoinsiemi. DIM: I sottoinsiemi di sono:. Esattamente 8 10 di 22
11 4 Operazioni tra insiemi DEFINIZIONE: Siano S un insieme ed A e B due parti di S. Si dice unione di A e B e si denota col simbolo il sottoinsieme di S: Nella figura la parte tratteggiata rappresenta l'insieme OSSERVAZIONE: Si ha, ovviamente: e. allora. B A 11 di 22
12 L unione del sottoinsieme con l ambiente è l ambiente stesso. Ovvero, perché. DEFINIZIONE: Il concetto di unione può essere esteso a un numero infinito di insiemi. Se insieme di insiemi, si definisce è un In particolare, se un insieme finito di insiemi, si scrive ESEMPIO: Dato l insieme e considerato, si ha Ovvero, l unione di tutte le parti di un insieme, è l insieme stesso. PROPOSIZIONE: L unione gode di alcune proprietà. Dati gli insiemi, si ha: 1. Proprietà di idempotenza (o iterativa): 2. Proprietà commutativa: ; 3. Proprietà associativa: (A B) C = A (B C). OSSERVAZIONE: In virtù della proprietà commutativa, si può scrivere l'insieme (A B) C senza parentesi e quindi porre: può appartenere anche a più insiemi contemporaneamente, ma questo non deve accadere per tutti gli, altrimenti si avrebbe. DEFINIZIONE: Siano S un insieme ed A e B parti di S. Si dice intersezione di A e B e si denota col simbolo A B il sottoinsieme di S : 12 di 22
13 L insieme degli elementi che appartengono simultaneamente ad tratteggiata rappresenta l'insieme A B. Nella figura la parte DEFINIZIONE: Gli insiemi non hanno elementi in comune, cioè se, si dicono disgiunti. La seguente figura mostra, graficamente, due insiemi disgiunti: OSSERVAZIONE: Si ha, ovviamente: e ; 13 di 22
14 A B La parte in giallo evidenzia l intersezione., dove è l insieme ambiente. DEFINIZIONE: Il concetto di intersezione può essere esteso a un numero infinito di insiemi. Se insieme di insiemi, si definisce è un In particolare, se un insieme finito di insiemi, si scrive ESEMPIO: Dato l insieme e considerato, si ha Ovvero, l intersezione di tutte le parti di un insieme è il vuoto, perché tra le parti dell insieme c è anche l insieme vuoto. PROPOSIZIONE: L intersezione gode di alcune proprietà. Dati gli insiemi, si ha: 1. Proprietà di idempotenza (o iterativa): 2. Proprietà commutativa: ; 3. Proprietà associativa: (A B) C = A (B C). 14 di 22
15 OSSERVAZIONE: In virtù della proprietà commutativa, si può scrivere l'insieme (A B) C senza parentesi e quindi porre: appartiene a tutti gli insiemi coinvolti simultaneamente e all'insieme A B C si dà il nome di intersezione di A, B e C. PROPOSIZIONE: L unione e l intersezione godono di due proprietà particolari: 1. Proprietà distributiva dell unione rispetto all intersezione: 2. Proprietà distributiva dell intersezione rispetto all unione: 3. Proprietà di assorbimento:,. DIM: Per dimostrare la 1. si proverà la doppia inclusione. Sia per definizione di unione, si ha. Se, ovviamente, e, perché è sufficiente che l elemento appartenga a uno solo degli insiemi che sono coinvolti nell unione. Appartenendo a entrambi gli insiemi e apparterrà alla loro intersezione. Se per definizione di intersezione e, e per definizione di unione e anche a, allora apparterrà certamente alla loro intersezione. Si è quindi provato che in ogni caso. Per provare l altra uguaglianza, si consideri. Per definizione di intersezione. Ovviamente si possono presentare più casi, ma non appartiene ad. Allora, per definizione di unione, l appartenenza di a è sufficiente per dire che. Se, sarà e perché. Allora, e questo è sufficiente per dire che. Quindi. L uguaglianza è così dimostrata. La 2. ha una dimostrazione analoga alla precedente. Si prova sempre la doppia inclusione. Sia, da cui oppure. Ne segue che. 15 di 22
16 Viceversa, sia, allora oppure Quindi, e La 3. Discende quindi. DEFINIZIONE: Siano S un insieme ed A una parte di S. Si dice complemento di A e si denota col simbolo il sottoinsieme di S costituito da tutti e soli gli elementi di S non appartenenti ad A e quindi è: Nella figura la parte tratteggiata rappresenta l'insieme DEFINIZIONE: Siano S un insieme e e due parti di. Si dice complemento relativo di rispetto ad e si denota col simbolo il sottoinsieme di costituito da tutti e soli quegli elementi di che appartengono ad e non appartengono a e si scrive conseguentemente è:. Nella figura la parte tratteggiata rappresenta l'insieme 16 di 22
17 PROPOSIZIONE: Il complemento non gode della proprietà commutativa e associativa: DIM: Dato l insieme consideriamo ma, quindi il complemento non gode della proprietà commutativa. Si consideri, ora,, quindi non vale la proprietà associativa. OSSERVAZIONE: Dati gli insiemi ; Valgono le cosiddette formule di De Morgan: Le leggi di De Morgan possono essere estese a più insiemi. Dato un insieme di insiemi, si ha: PROPOSIZIONE: Il complemento gode della proprietà distributiva a destra, rispetto all unione e all intersezione. Dati tre insiemi : 17 di 22
18 18 di 22
19 5 Il prodotto cartesiano DEFINIZIONE: Siano e due insiemi non vuoti. Se è un elemento di e è un elemento di all'insieme{{s},{s,t}} si dà il nome di coppia ordinata di prima coordinata o ascissa e seconda coordinata o ordinata e si denota col simbolo DEFINIZIONE: Si definisce prodotto cartesiano di per e si denota col simbolo quell insieme i cui elementi sono tutte e sole le coppie ordinate di prima coordinata in S e seconda coordinata in T e quindi è: OSSERVAZIONI: 1. Se almeno uno dei due insiemi S e T è vuoto allora 2. Il prodotto cartesiano non è commutativo essendo formato da coppie ordinate. 3.. PROPOSIZIONE: oppure uno dei due insiemi è vuoto DIM: Si supponga con i due insiemi non vuoti. Per ogni si ha, quindi, cioè. L altra implicazione appare ovvia. Se oppure uno dei due insiemi è vuoto, nel primo caso per l uguaglianza. Se. PROPOSIZIONE: Si noti che se e sono due insiemi non vuoti e ed sono due elementi di e e t sono due elementi di allora dire che è DIM: Sia per l uguaglianza degli insiemi e da si ha. Il viceversa è ovvio. 19 di 22
20 ESEMPIO: Dati gli insiemi cioè La nozione di coppia ordinata e di prodotto cartesiano, può essere esteso a un numero di elementi: DEFINIZIONE: Se n è un numero intero maggiore di due e se sono insiemi, tutti diversi dal vuoto, si supponga di aver definito le ordinate di elementi, allora se,.,, all'insieme si dà il nome di ennupla ordinata di prima coordinata, di seconda coordinata,., e di ennesima coordinata e si denota col simbolo. DEFINIZIONE: Si dice prodotto cartesiano degli insiemi e si denota col simbolo l'insieme i cui elementi sono tutte e sole le ennuple ordinate di prima coordinata in, di seconda coordinata in, e di ennesima coordinata in da cui: OSSERVAZIONI: Se almeno uno degli insiemi è vuoto, allora Se S è un insieme non vuoto e, per ogni elemento è allora si pone: DEFINIZIONE: Si definisce diagonale, e si indica con l insieme costituito dalle coppie tale che., del prodotto cartesiano OSSERVAZIONE: 20 di 22
21 OSSERVAZIONE: Il termine prodotto cartesiano è suggerito dalla geometria. Sia infatti l insieme dei numeri reali e un piano dove è fissato un riferimento cartesiano. Allora ogni punto può essere identificato con la coppia, dove è l ascissa del punto e l ordinata. Se il riferimento considerato è ortogonale, monometrico, gli elementi della diagonale rappresentano tutti e soli i punti della bisettrice del primo e terzo quadrante. 21 di 22
22 Bibliografia Curzio M., L. P. (s.d.). Lezioni di Algebra. Liguori Editore. Marcellini P., S. C. (s.d.). Calcolo. Liguori Editore. Wikipedia - Sistema di Riferimento. (s.d.). Tratto da 22 di 22
01 - Elementi di Teoria degli Insiemi
Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2015/2016
DettagliUn insieme si dice finito quando l operazione consistente nel contare i suoi elementi ha termine.
INSIEMI Insieme Le nozioni di insieme e di elemento di un insieme sono considerati come concetti primitivi, cioè non definibili mediante concetti più semplici, né riconducibili ad altri concetti definiti
DettagliTeoria degli Insiemi
Angelica Malaspina Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia Università degli Studi della Basilicata, Italy angelica.malaspina@unibas.it distributive distributive distributive Il concetto di
DettagliPrecorsi di matematica
Precorsi di matematica Francesco Dinuzzo 12 settembre 2005 1 Insiemi Il concetto di base nella matematica moderna è l insieme. Un insieme è una collezione di elementi. Gli elementi di un insieme vengono
DettagliMatematica e-learning - Corso Zero di Matematica. Gli Insiemi. Prof. Erasmo Modica A.A.
Matematica e-learning - Gli Insiemi Prof. Erasmo Modica http://www.galois.it erasmo@galois.it A.A. 2009/2010 1 Simboli Matematici Poiché in queste pagine verranno utilizzati differenti simboli matematici,
Dettagli01 - Elementi di Teoria degli Insiemi
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2013/2014
DettagliGLI INSIEMI PROF. WALTER PUGLIESE
GLI INSIEMI PROF. WALTER PUGLIESE INSIEME DEFINIZIONE UN RAGGRUPPAMENTO DI OGGETTI RAPPRESENTA UN INSIEME IN SENSO MATEMATICO SE ESISTE UN CRITERIO OGGETTIVO CHE PERMETTE DI DECIDERE UNIVOCAMENTE SE UN
DettagliDISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI
FACOLTA' DI ECONOMIA UNIVERSITA DELLA CALABRIA Corso di Modelli Matematici per l Azienda a.a. 2011-2012 DISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI Prof. Fabio Lamantia INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti
DettagliCORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA 1 LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali e reali) CALCOLO LETTERALE RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA I NUMERI COMPLESSI ELEMENTI DI GEOMETRIA
DettagliNozioni introduttive e notazioni
Nozioni introduttive e notazioni 1.1 Insiemi La teoria degli insiemi è alla base di tutta la matematica, in quanto ne fornisce il linguaggio base e le notazioni. Definiamo un insieme come una collezione
DettagliAnno 1. Teoria degli insiemi: definizioni principali
Anno 1 Teoria degli insiemi: definizioni principali 1 Introduzione In questa lezione introdurremo gli elementi base della teoria degli insiemi. I matematici hanno costruito una vera e propria Teoria degli
DettagliBOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. 1
BOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. 1 SOMMARIO DEL TOMO 1 CAPITOLO 1: IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI 1.1 Gli insiemi e la loro rappresentazione pag. 1 1. I sottoinsiemi pag. 6 1.3 Insieme
DettagliCenni di teoria degli insiemi
Università degli Studi di Napoli «Federico II» Facoltà di rchitettura Upta Corso di laurea in Urbanistica e Scienze della Pianificazione Territoriale e mbientale Corso integrato di Matematica e statistica
DettagliALGEBRA DEGLI INSIEMI
ALGEBRA DEGLI INSIEMI INSIEME: concetto primitivo (indicato con una lettera maiuscola dell alfabeto latino: A, B, ) alcuni esempi: oggetti contenuti in una scatola tutti i numeri multipli di 3 [fig. 2.I.1]
DettagliESEMPIO Un esempio di insieme vuoto è l insieme dei numeri reali di quadrato 4. B A
TEORI DEGLI INSIEMI GENERLIT Un insieme è un ente costituito da oggetti. Il concetto di insieme e di oggetto si assumono come primitivi. Se un oggetto a fa parte di un insieme si dice che esso è un suo
DettagliELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI
ELEMENTI di TEORI degli INSIEMI & 1. Nozioni fondamentali. ssumeremo come primitivi il concetto di insieme e di elementi di un insieme. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole (,,C,...)
DettagliIl concetto di insieme ed i primi elementi di logica matematica
Gli insiemi 1 Il concetto di insieme ed i primi elementi di logica matematica I concetti di insieme e di elemento di un insieme sono concetti primitivi, cioè non definiili mediante altri concetti più semplici.
DettagliM.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI
M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica
DettagliINSIEMI. DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti.
INSIEMI DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti. Esso è ben definito quando è chiaro se un oggetto appartiene o non appartiene all insieme stesso. Esempio. E possibile definire l insieme
DettagliElementi di Logica Teoria degli insiemi
Precorso di Analisi Matematica Facoltà d'ingegneria Università del Salento Elementi di Logica Teoria degli insiemi Proff. A. Albanese E. Mangino Dipartimento di Matematica e Fisica E. De Giorgi - Università
DettagliInsiemi: Rappresentazione
Insiemi: Rappresentazione Elencazione Per rappresentare un insieme per elencazione si indicheranno i suoi elementi tra parentesi graffe. Caratteristica Un insieme è rappresentato per caratteristica quando
DettagliGli insiemi. Che cosa è un insieme? Come si indica un insieme?
Gli insiemi Che cosa è un insieme? In matematica si definisce insieme un raggruppamento per cui è possibile stabilire senza ambiguità se un elemento vi appartiene o no. Sono insiemi: i giorni della settimana
DettagliCenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni
Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni 1 1 Logica matematica Corsi Introduttivi - a.a. 2016/2017 2 Serve
Dettagli3. OPERAZIONI TRA CLASSI 2
INSIEMI 1. Elementi e Classi Lo scopo di questo primo capitolo è di introdurre in maniera rigorosa le nozioni di classe e insieme, e di studiarne le principali proprietà. Nel seguito useremo il termine
Dettagli1. equivalenze e implicazioni logiche. Esercizio 1.2. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R):
. equivalenze e implicazioni logiche Esercizio.. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R): () x < y, () x = y, () x y, () x y, () (x y) > 0. Osserviamo subito che (x y) > 0 equivale
DettagliUn insieme si dice ben definito quando si può stabilire in modo inequivocabile se un oggetto appartiene o non appartiene a tale insieme
Gli insiemi In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti (persone, simboli, numeri, lettere, figure ) che sono detti elementi dell insieme
DettagliProf. Roberto Capone
Prof. Roberto Capone 1 Il concetto di insieme è un CONCETTO PRIMITIVO proprio come i concetti di punto, retta e piano introdotti nella geometria 2 Il termine insieme in matematica indica una collezione
Dettagliinsieme c n ce c r e t r ez e z z a a par a t r ien e e e o no distinguere l uno dall altro insieme degli animali a quattro zampe
Parlando di oggetti, persone, elementi in genere, usiamo spesso il termine di insieme con il significato di un raggruppamento di oggetti, persone ecc. In matematica il termine insieme non è così generico;
DettagliGLI INSIEMI. Il termine INSIEME è una parola primitiva, cioè un termine che ha bisogno di un esempio per essere spiegato e quindi compreso.
GLI INSIEMI Il termine INSIEME è una parola primitiva, cioè un termine che ha bisogno di un esempio per essere spiegato e quindi compreso. Non ha alcun senso affermare : Io possiedo un insieme Lui fa parte
DettagliPrecorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica
Facoltà di Ingegneria Precorso di Matematica Parte I : Fondamenti di Matematica 1. Teoria degli insiemi e cenni di logica Il concetto di insieme costituisce l elemento fondante di gran parte delle esposizioni
DettagliGLI INSIEMI. Laboratorio per apprendimenti logico - matematici. Dispensa a cura del prof. Domenico Perrone Maggio 2005
GLI INSIEMI Laboratorio per apprendimenti logico - matematici Dispensa a cura del prof. Domenico Perrone Maggio 2005 1 I problemi Perché gli Insiemi? Cos è un insieme? Cantor, Frege, Russell Quale ruolo
DettagliChe cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: C = {2, 4, 6, 8, 10,...}.
Teoria degli insiemi Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: A = {a, b, c} B = {1, 2} C = {2, 4, 6, 8, 10,...}. 2. Enunciando una proprietà che è
DettagliINSIEMI ED INSIEMI NUMERICI Prof. Erasmo Modica
INSIEMI ED INSIEMI NUMERICI Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it SIMBOLI MATEMATICI Poiché in queste pagine verranno utilizzati differenti simboli matematici, è bene elencarne subito i principali. SIMBOLO
DettagliDaniela Tondini Fondamenti di Matematica. Volume zero
A01 Daniela Tondini Fondamenti di Matematica Volume zero Copyright MMXIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN
DettagliFigura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 15
Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile 2012- pag. 15 Casi Possibili B= La lancetta indica il Blu V= La lancetta indica il Verde
Dettagli1. Teoria degli insiemi
1. Teoria degli insiemi Introduzione Il concetto di insieme è un concetto primitivo: possiamo dire che un insieme è una collezione di elementi. Indicheremo gli insiemi con lettere maiuscole A,B,... e gli
DettagliALCUNI CENNI SUGLI INSIEMI
ALCUNI CENNI SUGLI INSIEMI In Matematica il concetto di insieme è assunto come primitivo, cioè non si definisce. Considereremo quindi la nozione di insieme dal punto di vista intuitivo. Un insieme è quindi
Dettagli1 Relazioni. Definizione Una relazione R su un insieme A si dice relazione d ordine se gode delle proprietà 1), 3), 4).
1 Relazioni 1. definizione di relazione; 2. definizione di relazione di equivalenza; 3. definizione di relazione d ordine Definizione Una corrispondenza tra due insiemi A e B è un sottoinsieme R del prodotto
DettagliRichiami di logica matematica
Richiami di logica matematica Gli oggetti elementari dei discorsi matematici sono le proposizioni logiche = enunciati di cui si possa stabilire inequivocabilmente se sono veri o falsi. Sono proposizioni
Dettagli2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale
. I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei
DettagliIl linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni
LCEO CLSSCO L.END CERVNR l linguaggio della Matematica: nsiemi e operazioni Prof. Roberto Capone 1 l concetto di insieme è un CONCETTO PRMTVO proprio come i concetti di punto, retta e piano introdotti
DettagliLIBRO ADOTTATO. A. FACCHINI: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI LIBRI CONSIGLIATI
LIBRO ADOTTATO A. FACCHINI: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI LIBRI CONSIGLIATI G.M. PIACENTINI CATTANEO: MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI C. COSTANTINO, P. LONGOBARDI, M. MAJ, C. NICOTERA:
DettagliUnità Didattica N 01 Gli insiemi
Unità Didattica N 01 Gli Insiemi 1 Unità Didattica N 01 Gli insiemi 01) Il concetto d'insieme ed i primi elementi di logica matematica 02) La rappresentazione di un insieme 03) Sottoinsieme di un insieme
DettagliGli Insiemi. Ing. Ivano Coccorullo
Gli Ing. Ivano Coccorullo Gli Gli La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del sec. XIX la
DettagliMatematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1
Corso integrato di Matematica per le scienze naturali ed applicate Materiale integrativo Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine, via delle Scienze
DettagliL insieme dei numeri Naturali (N)
L insieme dei numeri Naturali (N) Definizione di Numero Naturale Definizione Una corrispondenza fra due insiemi X e Y che sia del tipo asole-bottoni, cioè: tale che ad ogni elemento di X corrisponde uno
DettagliCorso di Analisi Matematica I numeri reali
Corso di Analisi Matematica I numeri reali Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 57 1 Insiemi e logica 2 Campi ordinati 3 Estremo
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,
DettagliLA NOZIONE DI INSIEME, PRIME OPERAZIONI TRA INSIEMI, ELEMENTI BASILARI DI LOGICA
LA NOZIONE DI INSIEME, PRIME OPERAZIONI TRA INSIEMI, ELEMENTI BASILARI DI LOGICA L impostazione logico-deduttiva propria della matematica affida un importanza basilare alle definizioni. La ricerca, poi,
DettagliTeoria intuitiva degli insiemi
Teoria intuitiva degli insiemi Il concetto di insieme. lcuni esempi Tutta la matematica moderna è fondata sul concetto di insieme. Un insieme è da considerarsi nella sua nozione intuitiva di collezione,
Dettagli3. Successioni di insiemi.
3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare
Dettagli1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO
1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti
DettagliLa Matematica tra le mani dei giovani
La Matematica tra le mani dei giovani Corso PON Competenze per lo sviluppo Istituto d Istruzione Superiore Besta Gloriosi Battipaglia Ing. Ivano Coccorullo Gli insiemi INSIEMISTICA Gli Insiemi Gli Insiemi
DettagliInsiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia
Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione
DettagliSTRUMENTI MATEMATICI
1. TABELLA A DOPPIA ENTRATA 1 STRUMENTI MATEMATICI E' un riquadro formato da righe orizzontali e colonne verticali. I dati sulla prima colonna sono i dati in entrata di ciascuna riga; i dati sulla prima
DettagliPropedeutico di matematica Centro Multimediale Montiferru. Lezione 1. Gli insiemi
Lezione 1 Gli insiemi Definizione: Un insieme è una collezione di oggetti aventi certe caratteristiche in comune. Gli oggetti si definiscono elementi dell insieme. Esempi: Insieme delle lettere dell alfabeto,
Dettagli3. Generalità sulle funzioni
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 3. Generalità sulle funzioni A. A. 2013-2014 1 DALLA RETTA REALE AL PIANO CARTESIANO L equivalenza tra numeri reali e punti di una retta permette
DettagliCAPITOLO I: - TEORIA DEGLI INSIEMI
TE1_ins- fb- 25/10/2007 I- 1 CAPITOLO I: - TEORIA DEGLI INSIEMI PREMESSA In queste brevi note si danno, relativamente alla Teoria degli Insiemi, solamente quelle definizioni e proprietà che saranno usate
Dettaglix appartiene ad N, tale che x è maggiore uguale a 9, e ( x minore uguale a 12.
Cos è un insieme? Gruppo d oggetti, detti elementi, aventi la/e stessa/e caratteristica/che. 1) Come lo definisco? Utilizziamo sempre una lettera Maiuscola per nominarlo. Un insieme può essere definito
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliLezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3)
Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Nicola Durante 2011-12 Abstract 1 Insiemi numerici (Lezione del 5.10.11) 1.1 Cenni di teoria degli insiemi Richiamiamo brevemente alcuni simboli usati in
DettagliIndice degli argomenti
Gli Insiemi 1 Indice degli argomenti Definizione di insieme Rappresentazioni Operazioni tra gli insiemi 2 Definizione UN GRUPPO DI NVI FORM UN «FLOTT» UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIMTO «STORMO» QUINDI
DettagliRichiami sugli insiemi numerici
Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri
DettagliALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI
ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI 1. GLI ASSIOMI DI PEANO Come puro esercizio di stile voglio offrire una derivazione delle proprietà elementari dei numeri naturali e delle operazioni
DettagliNOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI.
NOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI. Una proposizione è un affermazione che è vera o falsa, ma non può essere contemporaneamente vera e falsa. ESEMPI Sono proposizioni : 7 è maggiore di 2 Londra è la capitale
DettagliINSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi
INSIEMI E RELAZIONI 1. Insiemi e operazioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità. Sia A un insieme di elementi qualunque. Per indicare che a è un elemento di
DettagliIndice. 1 Cenni di logica. 2 Elementi di teoria degli insiemi. 3 Relazioni e funzioni. 4 Strutture algebriche
Indice 1 Cenni di logica 2 Elementi di teoria degli insiemi 3 Relazioni e funzioni 4 Strutture algebriche Silvia Pianta - Laura Montagnoli Geometria I - Prerequisiti - UCSC A.A. 2015/2016 1 / 36 1. Cenni
DettagliInsiemi. Esempio1: i ragazzi del corso di agraria nati nel 1990 formano un insieme.
Insiemi Definizione: Definizione: Un Un insieme insieme è è una una collezione collezione di di oggetti oggetti individuati individuati da da una una Determinata Determinata specificazione. specificazione.
DettagliIn una palazzina abitata da 20 famiglie, 10 di esse hanno il cane, 2 non hanno n è cane n è gatto mentre 12 famiglie hanno il gatto.
Attività In una palazzina abitata da 20 famiglie, 10 di esse hanno il cane, 2 non hanno n è cane n è gatto mentre 12 famiglie hanno il gatto. È possibile che si realizzi la situazione descritta? Motiviamo...
DettagliPIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010
PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).
DettagliMATEMATICA DI BASE 1
MATEMATICA DI BASE 1 Francesco Oliveri Dipartimento di Matematica, Università di Messina 30 Agosto 2010 MATEMATICA DI BASE MODULO 1 Insiemi Logica Numeri Insiemi Intuitivamente, con il termine insieme
DettagliGli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali
Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,
DettagliLogica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati;
Logica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati; Implicazione logica. Equivalenza logica; Condizione necessaria,
DettagliCorso di Analisi Matematica. L insieme dei numeri reali
a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica L insieme dei numeri reali Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli
DettagliInsiemistica. Capitolo 1. Prerequisiti. Obiettivi. Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi
Capitolo 1 Insiemistica Prerequisiti Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi Obiettivi Sapere utilizzare opportunamente le diverse rappresentazioni insiemistiche Sapere
DettagliI2. Relazioni e funzioni
I2. Relazioni e funzioni I2. Relazioni Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Esempio I2. Dati gli insiemi ={ldo, runo, Carlo} e ={nna, arbara} si consideri la relazione, espressa in
DettagliALGORITMICA COLLANA DI MATEMATICA E INFORMATICA
ALGORITMICA COLLANA DI MATEMATICA E INFORMATICA 2 Direttore Francesco DE GIOVANNI Università degli Studi di Napoli Federico II Comitato scientifico Giuliano LACCETTI Università degli Studi di Napoli Federico
DettagliDAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI
DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che
DettagliL insieme prodotto cartesiano
L insieme prodotto cartesiano L insieme prodotto cartesiano Definizione Dato un insieme A e un insieme B non vuoti, sia a un qualunque elemento di A e b un qualunque elemento di B. Chiamiamo coppia ordinata
Dettagli8. Completamento di uno spazio di misura.
8. Completamento di uno spazio di misura. 8.1. Spazi di misura. Spazi di misura completi. Definizione 8.1.1. (Spazio misurabile). Si chiama spazio misurabile ogni coppia ordinata (Ω, A), dove Ω è un insieme
DettagliCenni sull'insiemistica
Cenni sull'insiemistica Indice Concetto di Insieme Operazioni con gli Insiemi Prodotto Cartesiano Relazione Binaria R Concetto di Insieme Esiste un insieme se riusciamo ad identificare un criterio di comunanza
DettagliALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x.
ALGEBRE DI BOOLE Un insieme parzialmente ordinato è una coppia ordinata (X, ) dove X è un insieme non vuoto e " " è una relazione binaria definita su X tale che (a) x X x x (riflessività) (b) x, y, X se
DettagliAssumiamo come primitivi i concetti di insieme, elemento e appartenenza.
Gli insiemi Insieme, elemento, appartenenza. Assumiamo come primitivi i concetti di insieme, elemento e appartenenza. I concetti primitivi sono quelli dei quali, constatata l impossibilità di fornirne
DettagliLa retta nel piano. Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione.
La retta nel piano Equazioni vettoriale e parametriche di una retta Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione. Condizione
DettagliGeometria analitica di base (seconda parte)
SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo
DettagliX Settimana = 0 R. = 0 R x, x R. + (x 0 R. ) x 0 R = = x 0 R
X Settimana 1 Elementi basilari della teoria degli anelli (I parte) Un anello (R, +, ) è un insieme non vuoto R dotato di due operazioni (binarie), denotate per semplicità con i simboli + e + : R R R,
DettagliComplementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro
Complementi di Analisi Matematica Ia Carlo Bardaro Capitolo 1 Elementi di topologia della retta reale 1.1 Intorni, punti di accumulazione e insiemi chiusi Sia x 0 IR un fissato punto di IR. Chiameremo
Dettaglic) La rappresentazione con il diagramma di Eulero Venn. Scriveremo: A Marte. lunedì A ; Marte A
Insiemi. ( teoria pag. 25 30 ; esercizi 113-116) Situazione: 1) Elenca i giorni della settimana: Gli elementi che hai enumerato hanno una caratteristica ben precisa e possono essere raggruppati, matematicamente
DettagliPrecorso di Matematica
Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino mariamargherita.obertino@unito.it Davide Ricauda davide.ricauda@unito.ii Obiettivi del precorso: rapido ripasso degli argomenti di base, già trattati nelle
DettagliPROGRAMMA CONSUNTIVO
PAGINA: 1 PROGRAMMA CONSUNTIVO A.S.2014-2015 SCUOLA Liceo Linguistico Manzoni DOCENTE: Marina Barbàra MATERIA: Matematica e Informatica Classe 1 Sezione A OBIETTIVI: le parti sottolineate sono da considerarsi
DettagliLa rappresentazione di un insieme. DEFINIZIONE - Per insieme si intende un raggruppamento di elementi definibile con precisione.
Premessa: classificare, contare Classificare significa dividere in classi, cioè in raggruppamenti di elementi che hanno in comune certe caratteristiche prefissate. L atto del classificare è alla base della
DettagliIl teorema di Lagrange e la formula di Taylor
Il teorema di Lagrange e la formula di Taylor Il teorema del valor medio di Lagrange, valido per funzioni reali di una variabile reale, si estende alle funzioni reali di più variabili. Come si vedrà, questo
DettagliUniversità degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica
Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2008/2009 Docente Ing. Andrea Ghedi Docente: Dott. Ing. Andrea Ghedi Ingegnere Biomedico, specialista
DettagliCorso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile
Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 24 1 Generalità 2 Funzioni reali
Dettaglivariabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.
Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:
DettagliCap. 1 Elementi di teoria degli insiemi
Cap lementi di teoria degli insiemi Simboli logici Nel linguaggio matematico sono presenti alcuni simboli logici che servono a formulare, in modo inequivocabile, le cosiddette proposizioni o enunciati
DettagliMatematica per le scienze sociali Elementi di base. Francesco Lagona
Matematica per le scienze sociali Elementi di base Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 1 / 24 Outline 1 Struttura del corso 2 Algebra booleana 3 Algebra degli
DettagliDEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione
DettagliCapitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI
Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.
DettagliCorso di Elementi di Informatica Anno accademico 2015/16
Corso di Laurea triennale in Ingegneria Navale in condivisione con Corso di Laurea triennale in Ingegneria Chimica (matr. P-Z) Corso di Elementi di Informatica Anno accademico 2015/16 Docente: Ing. Alessandra
Dettagli