Didattica della matematica. I numeri relativi. Prof. ssa Maria Rosa Casparriello. Scuola media Di Prisco

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1 Didattica della matematica I numeri relativi Prof. ssa Maria Rosa Casparriello Scuola media Di Prisco

2 RIFERIMENTO AL PECUP (profilo educativo, culturale e professionale): adoperare il linguaggio ed i simboli della matematica per indagare con metodo la causa di fenomeni problematici per spiegarli e rappresentarli. Particolarmente attraverso attività di risoluzione di problemi in contesti vari; dare prova di competenze progettuali ed immaginative. Osservare la realtà per riconoscervi relazioni tra oggetti o grandezze, regolarità, differenze, invarianze o modificazioni nel tempo e nello spazio.

3 Un po di Storia Algebra: parola di origine araba al giabr che significa completamento e sta ad indicare, tra l altro, il problema della risoluzione di quelle uguaglianze in cui compaiono, oltre ai numeri le lettere (equazioni).

4 Dall insieme N all insieme R Miglioriamo le nostre conoscenze sui numeri: Ricordiamo che un insieme numerico è chiuso rispetto ad una operazione se, comunque scelti due elementi dell insieme, il risultato dell operazione appartiene ancora all insieme, in caso contrario l insieme è aperto. Nel nostro studio non dobbiamo considerare gli insieme numerici come indipendenti e separati, ma come l uno l ampliamento dell altro... Quali operazioni è possibile eseguire in N?

5 Dall insieme N all insieme R

6 Dall insieme N all insieme R È possibile eseguire sempre l estrazione di radice e la sottrazione in Q? Così per rendere sempre possibile l esecuzione dell operazione di radice abbiamo introdotto i numeri irrazionali I, cioè i numeri decimali illimitati non periodici che non si possono mai ottenere da una frazione poiché sono radici non esatte o come il numero pi greco. L insieme Q e l insieme I UNITI formano i reali positivi. In R positivo non si può sempre seguire la sottrazione è per questo necessario ampliare ulteriormente il campo dei numeri inserendo quelli dotati di segno.

7 Teorema di PItagora Si racconta, che intorno all 800 a.c. viveva in India un matematico di nome BRAMAGUPTA. I matematici, come tu sai, lavorano con i numeri, e i numeri con tutti i calcoli che ci sono da fare non piacciono a nessuno ed il nostro Bramagupta non sempre aveva un lavoro che gli permettesse di andare avanti. Un giorno venne chiamato a corte dal maraja che aveva dei grossi problemi per far quadrare i conti del suo regno. Egli chiese a Bramagupta di sistemare i conti del mese perché i suoi matematici gli avevano detto che aveva ancora a disposizione 2 milioni di rupie e che quindi poteva permettersi di comprare 100 elefanti

8 Teorema di PItagora Ecco i conti dei matematici di corte. Dalle tasse ci sono 10 milioni di rupie Sono stati spesi 2 milioni per gli alimenti 7 milioni per gli stipendi 1 milione per abbellire il palazzo 2 milioni per regali vari Totale 12 milioni Quindi = 2 milioni I matematici dissero quindi che il maraja disponeva ancora di 2 milioni di rupie per comprare gli elefanti. Rifacendo i conti Bramagupta accertò che i matematici avevano sbagliato solo nel calcolo finale. Pensa e ripensa alla fine arrivò a concludere che per risolvere questa situazione occorrevano altri numeri

9 Dispose le spese su una linea e man mano che venivano considerate le spese faceva passi indietro Per alimenti Milioni a disposizione Per gli stipendi Per alimenti Milioni a disposizione Per il palazzo Per gli stipendi Per alimenti Milioni a disposizione

10 E siccome erano stati spesi altri 2 milioni di rupie per i regali come doveva fare visto che era già arrivato a 0? Per il palazzo Per gli stipendi Per alimenti Milioni a disposizione Bramagupta pensò di continuare a fare i salti sulla linea dei numeri nella stessa direzione in cui li aveva fatti precedentemente cioè sempre a sinistra. Ma non c era niente Allora pensò di usare gli stessi numeri ma in maniera speculare E siccome proprio non potevano essere gli stessi numeri pensò di farli precedere dal segno mentre per gli altri a destra di zero mise il segno +

11 Perché + e? + = positivo, attivo, in più - = negativo, passivo, in meno Ed ecco la conclusione della nostra storia Per i regali Per il palazzo Per gli stipendi Per alimenti Milioni a disposizione Il maraja poteva comprare gli elefanti? Perché?

12 E così Bramagupta inventò i numeri relativi formati da Eppure questi numeri noi li conosciamo già

13 I numeri relativi sono stati usati per la prima volta in India più di 2500 anni fa dal matematico Brahmagupta che li usò per indicare: - i debiti (somme di denaro a qualcuno) numeri - i crediti (somme di denaro da qualcuno) numeri I l b i

14 Ancora oggi adoperiamo i numeri relativi per registrare le entrate (somme ricevute) -le uscite (somme spese) di un bilancio familiare o aziendale Somma le entrate e le uscite. Qual è la somma maggiore? ENTRATE USCITE Il bilancio è in Se vi è pareggio la differenza tra entrate ed uscite è di

15 I numeri relativi si usano anche in molte altre situazioni Temperature Il nostro termometro usa una scala graduata ideata da Celsius che ha scelto 0 come la temperatura in cui l acqua e 100 quella dell acqua che Temperature superiori a quella di solidificazione dell acqua sopra 0 sono precedute dal segno quelle inferiori (sotto ) sono precedute dal segno

16 AVVENIMENTI STORICI L anno 0 (zero) nella cultura occidentale corrisponde alla Gli anni precedenti la sono indicati con la sigla quelli successici con

17 ALTITUDINE E PROFONDITÀ La quota 0 metri corrisponde al Le quote superiori a quella del sono precedute dal segno quelle inferiori sono precedute dal segno

18 Scopriamo le caratteristiche che regolano i numeri relativi in modo da operare con essi completa 1 Lo zero è il punto di partenza 2 lo zero è l unico numero che non ha elemento speculare

19 Relativi È minore di È maggiore di È possibile eseguire qualsiasi tipo di calcolo sia addizione(come sappiamo bene) che sottrazione! ( es: 3 5) perché

20 Definizioni I numeri relativi sono i numeri preceduti dal simbolo + (positivi) o dal simbolo (negativi) I numeri interi positivi, lo zero e quelli interi negativi costituiscono l insieme degli interi relativi Z I numeri razionali positivi, lo zero e quelli razionali negativi costituiscono l insieme dei razionali relativi Q Si dice valore assoluto, o modulo, di un numero relativo il numero stesso senza il segno e lo si indica racchiudendolo tra due sbarrette: 5 5 ; 7 7 Due numeri relativi con lo stesso segno sono detti concordi: Due numeri relativi con segno diverso sono detti discordi: 3 7 Due numeri relativi con segno diverso e valore assoluto uguale sono detti opposti:

21 Rappresentazione I numeri relativi si possono rappresentare su una retta orientata Essendo il verso da sinistra a destra se ne deduce che: a) Un numero positivo è sempre maggiore di un numero negativo: 5 7 b) Un numero positivo è maggiore di un altro numero positivo se è maggiore il suo valore assoluto: 5 3 c) Un numero negativo è maggiore di un altro numero negativo se è minore il suo valore assoluto: 5 7 d) Lo zero è maggiore di tutti i numeri negativi e minore di tutti quelli positivi: 0 3 e 0 5

22 Un sub sta immerso a 75 m di profondità;contemporaneamente un suo amico vola in elicottero a m. Che distanza c è tra i due amici? Questo mese sono risultato in debito con la mia banca di 350 ; quando dovrò versare il mese successivo per avere un attivo di 2 000? Ad Aosta la temperatura minima oggi è stata di 9 C, a Cervinia è stata di 12 C. Quale è stata la città più fredda? Quale temperatura è più vicina allo zero? La casa in montagna è così fredda che il termometro segna 2 C. Di quanti gradi si deve alzare la temperatura per arrivare a +20 C?