ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI

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1 ELEMENTI di TEORI degli INSIEMI & 1. Nozioni fondamentali. ssumeremo come primitivi il concetto di insieme e di elementi di un insieme. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole (,,C,...) mentre gli elementi con lettere minuscole (a,b,c,...). Gli insiemi possono essere costituiti da un numero finito o infinito di elementi, in tal caso di parlerà di insiemi finiti o infiniti. Esempi di insiemi infiniti sono dati dal campo numerico, ad es. sono infiniti i seguenti insiemi: N = insieme dei numeri naturali = {0,1,2,3,4,...,n,...}, dove sono possibili le operazioni di somma e moltiplicazione. Z = insieme dei numeri relativi = {0,±1, ±2, ±3,...}, dove è anche possibile l operazione di sottrazione. Q = insieme dei numeri razionali = { r ; con r e s Z ed s 0} dove è anche s possibile l operazione di divisione. R = insieme dei numeri reali, dove è anche resa possibile l operazione di estrazione della radice quadrata di un numero positivo. C = insieme dei numeri complessi, dove è resa possibile l estrazione della radice quadrata di numeri negativi. Per indicare che un elemento a appartiene ad un insieme si indicherà : a. Se non vi appartiene, si scriverà: a. Si dice che un insieme è un sottoinsieme di un insieme se ogni elemento di è anche elemento di e si scrive: ( si legge: incluso in ), ovvero: a a (si legge: incluso in equivale a dire che per ogni elemento a dell insieme segue che a appartiene all insieme ). Volendo rappresentare tale concetto con un diagramma (diagramma di Venn) si ha la seguente figura: a llflfllfllfl fig. 1.1 Un altro simbolo di inclusione è detto di inclusione propria o stretta. Tale simbolo vuol significare che: - pag.1

2 TEORI degli INSIEMI a a ed b : b. il simbolo, :, significa: tale che. In tal caso si dice che è strettamente o propriamente contenuto in. a fig.1.2 b llflfllfllfl { { } d es.: dati i due insiemi, N2 = 012,, } e N3 = 0123,,, si ha: N2 N3. Per indicare che due insiemi sono uguali si scrive = e Se e non sono uguali si scriverà: (si legge: diverso da ). Per indicare l insieme privo di elementi, vale a dire l insieme vuoto, si usa il simbolo. L insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di si chiama insieme delle parti di e si indica con P (). Si può dimostrare che se possiede n elementi allora P () possiede 2 n elementi.,, 1, 2, 3, 12,, 13,, 2, 3 cioè { } d esempio: = (1,2,3) P () = { } { } { } { } { }{ } P () possiede 8 = 2 3 elementi. & 2. Operazioni fra insiemi. Le operazioni fra insiemi permettono di ottenere nuovi insiemi. Esaminiamo quelle più comuni. 2.1 Operazione di unione ( ). Dati due insiemi e l insieme unione,, è quello formato dagli elementi di e di, ossia: x : x oppure x { } fig.2.1 Ne consegue: Pag.2

3 TEORI degli INSIEMI Valgono le leggi di assorbimento: =, =, = = e = 2.2 Operazione di intersezione ( ). Dati due insiemi e, l insieme è l insieme formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente ad e, ossia gli elementi conumi di e. fig. 2.2 In tal caso si ha: Valgono le seguenti relazioni: { x : x e x } = =, =, =, =, = Se due insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti, ossia =. 2.3 Operazione di differenza ( - ). Dati due insiemi e, dicesi differenza - ( meno ), l insieme degli elementi di che non appartengono a : Si hanno le seguenti relazioni: - = { x : x e x } - = ; - = Esaminiamo i seguenti casi utilizzando i diagrammi di Venn: Pag.3

4 TEORI degli INSIEMI - - = fig = ( ) - fig = fig Proprietà delle operazioni fra insiemi. 1.Proprietà commutativa rispetto all unione: =. 2.Proprietà commutativa rispetto all intersezione: =. C = C. 3.Proprietà associativa dell unione: ( ) ( ) 4.Proprietà associativa dell intersezione: ( C) = ( ) C. 5.Proprietà distributiva dell unione rispetto all intersezione: ( C) = ( ) ( C). 6.Proprietà distributiva dell intersezione rispetto all unione: ( C) = ( ) ( C). 7.Proprietà iterativa dell unione: S S = S. 8.Proprietà iterativa dell intersezione: S S = S. S S T = S. 9.Prima legge di assorbimento: ( ) 10.Seconda legge di assorbimento: S ( S T) = S & 3. Prodotto cartesiano e relazioni. Pag.4

5 TEORI degli INSIEMI Dati due insiemi e, si definisce prodotto cartesiano x l insieme delle coppie ordinate (a,b) con a e b scelti nell ordine. In simboli: x = {( x, y) : x e y }. Se (a,b) = ( c, d) allora a = c e b = d. d es.: 1. se = {1,2} e = {1,2,3}, il prodotto cartesiano x è dato da: x = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}. 2. Nel piano cartesiano RxR la coppia individua un punto: 2 P(1,2) Q(2,1) 1 fig come si può osservare nell esempio, il prodotto cartesiano non è commutativo. Il prodotto cartesiano si può eseguire con più insiemi, ad esempio: 1. x x C = {(x,y,z) con x, y, z C } 2. 1 x 2 x...x n = {( x1, x2,..., xn) con x 1 1, x2 2,... xn n} ossia, nel primo caso il prodotto cartesiano è l insieme di terne ordinate di elementi, nel secondo caso di n-ple ordinate. Si suole indicare : x = 2, x x...x = n. n- volte 3.1 Relazioni. Dati due insiemi e si dice che tra essi è definita una relazione R quando è indicato un procedimento o una proprietà che associ a certi elementi di uno o più elementi di. Le coppie che si vengono a formare individuano un sottoinsieme R x, detto grafico della relazione R, così definito: R = {( x, y) : ( x, y) x con R ( x, y) } la scrittura R(x, y) si legge : x in relazione con y e si può anche scrivere xr y. Consideriamo il seguente esempio: = gli uomini adulti residenti in un paese; = i figli di uomini adulti, residenti in un paese; R(x, y) = x è padre di y. llora soltanto alcune coppie faranno parte dell insieme R poichè ci possono essere uomini adulti che non hanno figli residenti nel paese e figli che non hanno padri residenti nel paese e pertanto R x. Pag.5

6 TEORI degli INSIEMI ltro esempio: consideriamo il prodotto cartesiano Z x Z e sia R(x, y) = x è divisore di y. Si ha in tal caso: R = { (2,4), (3,6), (- 2, 4),...} e pertanto R Z x Z perchè vi sono coppie di numeri relativi che non appartengono ad R, ad es. (5, -3) etc.. Data una relazione R possiamo associare ad essa due insiemi D ( R) e C ( R) così definiti: D( R) = dominio della relazione R ; C( R) = codominio della relazione R ; ovvero: D = x : y : x, y R ; ( R) ( R) { ( ) } : : ( x,y) { } C = y x R. Come esempio consideriamo i due insiemi : = {1,2,3,4,5,6} e = {2,4,6,8,10}. L insieme prodotto cartesiano x è formato da tutti i punti della figura sottoindicata. Considerando la relazione R (x, y) = x è divisore di y, il grafico di R è il sottoinsieme di x costituito dai punti segnati con il circoletto. Così (3,6) R perchè 3 è divisore di 6 mentre (5,8) R in quanto 5 non è divisore di fig Se il sottoinsieme scelto è indicato dal quadrato in alto a sinistra si ha : R={(1,8),(1,10),(2,8),(2,10)} x da cui D ( R) = {1,2} e C ( R) = {8,10}. 3.2 Proprietà di una relazione. Qualora gli insiemi e, tra i quali è definita una relazione R, coincidono si possono avere alcune proprietà: Pag.6

7 TEORI degli INSIEMI 1.Simmetria: Es.: Sia = l insieme delle persone di una città ed R =...è fratello di.., la relazione ar b = a è fratello di b equivale a dire br a = b è fratello di a Pertanto: ar b br a (3.2.1) La proprietà espressa dalla (3.2.1) è detta di simmetria. Non sempre tale proprietà è soddisfatta. d es.: nell insieme dei numeri reali R assumendo R = minore o uguale, per ogni a e b R e fra loro distinti, si ha: ar b a b e non può essere b a In tal caso la relazione R non è simmetrica, anzi si ha la proprietà di antisimmetria, vale a dire: se x y e y x x = y (3.2.2) 2. Riflessività. Una relazione è detta riflessiva se ogni elemento è in relazione con se stesso: a R a (3.2.3) d es.: se fratello significa essere figlio dello stesso padre, allora a è fratello di a. Se una relazione R non soddisfa alla (3.2.3) si dirà antiriflessiva, cioè ogni elemento non può essere meso in relazione con se stesso. 3. Transitività. Riferendoci, come esempio, alla relazione R =...è fratello di.. è evidente che: se a è fratello di b e b è fratello di c segue che a è fratello di c. Tale proprietà è detta transitiva. In simboli: a R b e b R c a R c (3.2.4) 3.3 Relazione di equivalenza. Sia R una relazione definita tra gli elementi di uno stesso insieme. Pag.7

8 TEORI degli INSIEMI Definizione: La relazione R è una relazione di equivalenza in se verifica le seguenti proprietà: I) a R a ( proprietà riflessiva) II) a R b b R a ( proprietà simmetrica) III) a R b, b R c a R c ( proprietà transitiva) & 4. Relazione funzionale o applicazione. 4.1 Definizione di applicazione e tipologia Data una relazione R fra due insiemi e, si parla di relazione funzionale o applicazione o funzione, e si scrive: f: (4.1) se: 1) D (R) = ; 2) x un solo y : ( x, y) R. d es.: consideriamo il prodotto cartesiano Z x Z e la relazione R che associa ad ogni elemento di Z il suo doppio. E evidente che D (R) = Z ed inoltre x Z il suo doppio è unico. Quindi tale relazione soddisfa le proprietà 1) e 2) e pertanto è una funzione e si scrive: x y = f(x) = 2 x Osserviamo che, nell esempio considerato, C (R) (cioè il codominio) non è tutto Z ma soltanto il sottoinsieme P formato dai numeri relativi pari. Una funzione f: è detta surgettiva quando il suo codominio coincide con il secondo insieme, ovvero: y x tale che y = f ( x). Nell esempio sopra considerato la funzione f: Z Z con f(x) = 2 x non è surgettiva poichè Z contiene anche numeri dispari; se invece f: Z P (sottoinsieme dei numeri pari) con f(x) = 2 x, allora la funzione è surgettiva. La funzione f:, con { x, x, x, x } e { y y y } grafico sottoindicato, è surgettiva. = = 1 2 3,,, descritta nel Pag.8

9 x 3 y 3 x 3 y 4 TEORI degli INSIEMI f x 1 y 1 x 2 y 2 C (f) = x 4 La funzione f: è detta iniettiva quando ad elementi distinti di corrispondono elementi distinti di. Esaminiamo alcuni esempi: 1. Dati i due insiemi ( x, x, x ) ( y, y, y, y ) e la funzione f:, descritta nel grafico sottoindicato è iniettiva ma non surgettiva: f x 1 y 1 y 2 x 2 y 3 C (f) = 2. La funzione f: Z Z del tipo x y = 2 x è iniettiva perchè ad elementi distinti, ad es. x = -3, x = 3, fa corrispondere elementi distinti : y = 6 e y = La funzione f: Z Z del tipo x y = x 2 non è iniettiva perchè ad elementi distinti, ad es. x = -3, x = 3, fa corrispondere lo stesso elemento: y = 9. La funzione f: è detta biunivoca se è contemporaneamente surgettiva ed iniettiva, ovvero: ovvero: non esiste elemento di che non provenga da almeno un elemento di (surgettiva); Pag.9

10 TEORI degli INSIEMI ad elementi distinti di corrispondono elementi distinti di (iniettiva). & 5. Funzione composta. 5.1 Definizione di funzione composta Siano date le due funzioni: g : e h : C y = g(x) C g h x f = h g z = h(y) La funzione f che fa corrispondere direttamente ad un elemento di un elemento di C è detta funzione composta costruita tramite la g e la h e si scrive: f = h g: C (il simbolo h g si legge: h composto g ). Pertanto, considerato un elemento x, tramite la g si ottiene l elemento y = g( x) e successivamente l elemento z = h( g( x)) C. Esempio: 2 3 y + 1 gx : y= x + 2x+ 1 ; e hy : z= 4 ( x 3 x ) si ha: f = h g = h( g( x)): x Funzione inversa. Pag.10

11 TEORI degli INSIEMI Data una funzione f: si può definire una funzione f 1 : che prende il nome di funzione inversa. Tale funzione deve far corrispondere ad ogni elemento y l elemento x tale che y = f ( x) f x y = f ( x) f 1 ffichè una funzione f ammetta una inversa è necessario che sia biunivoca (iniettiva e surgettiva) o quanto meno iniettiva, poichè la surgettività può sempre aversi restringendo opportunamente l insieme codominio della f. Esaminiamo un esempio: Consideriamo una f : Z Z del tipo : f: x y = 2x+ 1. Tale funzione è iniettiva poichè ad elementi distinti x1 x2 fa corrispondere elementi distinti 2x x2 + 1 ma non è surgettiva in quanto se si sceglie 3 y = 4 l equazione 4 = 2x + 1 ammette come soluzione x = 2 Z e quindi 1 y 1 esistono elementi y che non hanno corrispondenti, ovvero la f : x = 2 non è una funzione. Se si sceglie come codominio della f l insieme dei numeri dispari D Z y 1 l equazione x = ammette sempre una soluzione in Z poichè y 1 sarà 2 sempre un numero pari e quindi divisibile per 2. Pertanto, affinchè la funzione considerata possa ammettere l inversa essa deve avere come dominio Z e come codominio D Z (insieme dei numeri dispari) e si ha quindi: f :Z D ovvero y = 2x + 1; y 1 f 1 : D Z ovvero x = Si verifica facilmente che f f = f f = id. Pag.11