Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi

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1 Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi Dati due numeri disuguali a e b risulta a>b oppure a<b a seconda che sia a-b>o oppure a-b<0 e viceversa. Valgono inoltre le seguenti affermazioni: aggiungendo ad ambedue i membri di una diseguaglianza uno stesso numero, si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso; cioè se per esempio è a>b è anche am>bm qualunque sia il numero m. due disuguaglianze dello stesso senso si possono addizionare tra loro ad ottenere una disuguaglianza dello stesso senso ovvero: se a>b e c>d si ottiene ac>bd Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per uno stesso numero positivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso, quindi se m è un numero positivo e a>b allora ma>mb. Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per uno stesso numero NEGATIVO, si ottiene una disuguaglianza di senso CONTRARIO, quindi se m è un numero negativo e a>b allora ma<mb. Due diseguaglianze dello stesso senso tra numeri positvi moltiplicate membro a membro danno una diseguaglianza dello stesso senso, perciò se vale segue a>b e c>d ac>bd Se a e b sono entrambi positivi o entrambi negativi dalla diseguaglianza a>b si deduce che e da a<b che < a b > a b

2 Elevando a potenza (positiva e intera) i due membri di una diseguaglianza fra numeri positivi si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso ovvero se a>b allora se a<b allora a n >b n a n <b n Elevando a potenza i due membri di una disuguaglianza tra numeri negativi si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso se n è positivo e dispari, di senso contrario se n è pari, ovvero: se a>b allora a n >b n se n è dispari a n <b n se n è pari. Se m>n ed a è un numero positivo diverso da allora vale: a m >a n se a> a m <a n se a<.

3 Elementi sulle disequazioni di primo grado Quando si risolve una disequazione di primo grado (l'esponente massimo della variabile è = ad ) si vanno a ricercare tutti i valori assegnabili alla variabile per i quali la disuguaglianza è verificata. In definitiva si va a determinare una partizione dell'asse delle in cui la disequazione è verificata, ovvero, supponiamo di dover risolvere la disequazione ab>0 con a>0, l'insieme delle soluzioni si ottiene effettuando le seguenti operazioni:. si sposta la b oltre il segno > cambiando il segno (l'operazione equivale ad aggiungere ad ambo i membri della disequazione il valore -b) ottenendo a>-b. si dividono ambo i membri della disequazione per il coefficiente della ottenendo a b > che equivale a dire a a > b a. graficamente il segno del binomio si riporta nel seguente modo distinguendo due casi: o caso a>0 X b a - o caso a<0 X b a - Esempio: DA RICORDARE: SE CAMBIO IL SEGNO A TUTTI I TERMINI DELLA DISEQUAZIONE DEVO CAMBIARE IL VERSO DELLA DISEGUAGLIANZA CIOE IL< DIVENTA > E VICEVERSA (ES: ->5 allora <-5) Risolvere -5>-7 Portiamo al primo membro tutti i termini con la variabile ed al secondo membro tutti i

4 4 termini noti, ricordando di cambiare il segno ad ognuno dei termini che viene spostato da un membro all'altro, si ottiene quindi ->-75 da cui segue >- Esercizio svolto. Esercizi:. ) ( 5 >. ( ) >. ( ) < > ( ) 4 ) ( ) ( 7. ( ) ( )( ) 8. ( ) 8 ) ( ) ( 9. ( ) < 0. ) ( >

5 5 Elementi sulle disequazioni di secondo grado Una disequazione di secondo grado è sempre riconducibile ad una forma del tipo a bc > 0, oppure a bc<0. Per l'individuazione delle soluzioni di una disequazione di secondo grado vanno effettuate le seguenti operazioni:. Si scrive l'equazione associata e si risolve applicando, quando è possibile la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Si studia il segno del trinomio di secondo grado tenendo presenti le considerazioni: la curva rappresentata da una equazione di secondo grado è una parabola di equazione y=abc con la concavità rivolta verso l'alto quando a>0, con la concavità rivolta verso il basso quando a<0; caso a>0 6) se =b -4ac >0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e distinte ed che rappresentano l'intersezione della curva descritta dal trinomio di secondo grado (la parabola) con l'asse delle e il segno della disequazione è rappresentato dal seguente grafico: ) se =b -4ac =0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti = che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle ed il trinomio risulta essere sempre positivo eccetto nel punto in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti = che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle ed il trinomio risulta essere sempre positivo eccetto nel punto in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del termine a).

6 6 ) se =b -4ac <0 vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle ed il trinomio risulta essere sempre positivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle ed il trinomio risulta essere sempre positivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: caso a<0 (parabola con concavità verso il basso) 4) se =b -4ac >0 =b -4ac >0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e distinte ed che rappresentano l'intersezione della curva descritta dal trinomio di secondo grado (la parabola) con l'asse delle e il segno della disequazione è rappresentato dal seguente grafico:

7 7 5) se =b -4ac =0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti = che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle ed il trinomio risulta essere sempre negativo eccetto nel punto in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti = che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle ed il trinomio risulta essere sempre negativo eccetto nel punto in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: 6) se =b -4ac <0 vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle ed il trinomio risulta essere sempre negaitivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle ed il trinomio risulta essere sempre negativo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:

8 8 Si possono riassumere tali risultati nel seguente quadro: >0 soluzioni reali e distinte e - Soluzioni per a bc >0 0 <0 0 < e > e << =0 soluzioni coincidenti = a>0 Tutte le con Tutte le Nessuna soluzione Solo = <0 nessuna soluzione R R Nessuna soluzione Nessuna soluzione >0 soluzioni reali e distinte a<0 - - << < e > e =0 soluzioni coincidenti Nessuna soluzione Solo = Tutte le con Tutte le

9 9 <0 nessuna soluzione Nessuna soluzione Nessuna soluzione R R Esempio: ) Risolvere la seguente disequazione di secondo grado eseguendo le operazioni indicate in precedenza: Dopo aver risolto l'equazione associata si verifica che ci troviamo nel caso a=>0 (parabola con la concavità rivolta verso l'alto); >0 (infatti abbiamo trovato due soluzioni reali e distinte) quindi il grafico associato alla disequazione sarà il seguente: e le soluzioni della disequazione saranno - e >o=- in quanto in tale intervallo i valori assunti saranno positivi che era quello che si stava cercando. ) Risolvere la seguente disequazione di secondo grado eseguendo le operazioni indicate in precedenza:

10 0 Dopo aver risolto l'equazione associata si verifica che ci troviamo nel caso a=>0 (parabola con la concavità rivolta verso l'alto); >0 (infatti abbiamo trovato due soluzioni reali e distinte) quindi il grafico associato alla disequazione sarà il seguente: le soluzioni della disequazione sono date quindi dall'intervallo in cui il trinomio assume valori negativi, che è quanto stavamo cercando. ESERCIZI. ( ) ( ) > 8. 4 ( )( ) ( ) > > < ( ) Elementi sulle disequazioni di grado superiore al secondo disequazioni fratte Una disequazione di grado superiore al secondo è sempre riconducibile ad una disequazione data dal prodotto di due o più polinomi di primo o secondo grado. Per la determinazione del segno di una disequazione di ordine superiore al secondo, quindi è necessario studiare il segno di ogni polinomio facente parte del prodotto e, intervallo per intervallo applicare la regola dei segni (ad esempio nell'intervallo I il polinomio è positivo, il polinomio è negativo risultato il prodotto dei due polinomi sarà dato dal prodotto del segno del primo per il segno del secondo (*=, -*-=, *-=-, -*=-)). Le operazioni da effettuare per l'individuazione delle soluzioni di una disequazione di grado superiore al secondo vanno effettuate le seguenti operazioni: o Si scompone l'equazione associata nel prodotto di due o più fattori di grado al secondo o Si studia il segno di ogni singolo fattore impostandolo a 0 o si applica la regola per il calcolo del segno su ogni partizione dell'intervallo determinato da ogni singolo fattore.

11 Per comprendere con più chiarezza le operazioni da svolgere è opportuno verificare il procedimento da seguire mediante adeguati esempi: risolvere la disequazione ³²-<0 ) si pone ³²- =0 e si scompone (²-)=0 i due fattori individuati sono I ) >0 II ) ²->0 Applicando per la I) lo studio del segno di una disequazione di primo grado si ottiene come grafico: applicando per la II) lo studio del segno di una disequazione di secondo grado si ottiene: a) =- ed = come soluzioni dell'equazione di secondo grado associata quindi ci troviamo nel caso >0 b) a=>0 quindi la parabola rappresentativa del trinomio di secondo grado ha la concavità rivolta verso l'alto c) il grafico che risulta per lo studio del trinomio sarà quindi il seguente: A questo punto occorre verificare il segno del prodotto dei due fattori nei vari intervalli determinati dallo studio dei singoli fattori e quindi si fa un grafico riassuntivo in cui si applica la regola dei segni (da ricordare che il tratteggio indica la negatività e la linea continua la positività). Si ottiene quindi il seguente grafico riassuntivo:

12 nel quale: sulla riga orientata vengono riportati i valori di in cui entrambi i fattori ottengono come valore "0"; sulla prima riga si riporta il segno del primo fattore (primo grafico); sulla seconda riga si riporta il segno del secondo fattore(secondo grafico). Dopo aver eseguito lo studio del segno in ogni singolo intervallino (ad esempio per <- il primo fattore è negativo, il secondo fattore è positivo, il prodotto tra i due sarà negativo, quindi la disequazione di partenza sarà negativa) si riporteranno i valori ottenuti. Per la scrittura della soluzione della disequazione occorrerà controllare il segno che doveva assumere la disequazione di partenza ³²-<0 e, dal momento che si richiedeva che la disequazione fosse <0 gli intervalli che soddisferanno tale condizione sono quelli in cui il prodotto dei due fattori è negativo(<0), quindi la soluzione sarà <- U 0<<. studiare la disequazione (-)(²)(³-4)>0 questa disequazione è di sesto grado, ma la sua forma è quasi perfetta per poterne eseguire lo studio, dal momento che l'unico fattore di grado superiore al secondo è l'ultimo, ovvero (³-4), occorre quindi procedere alla scomposizione di tale fattore nel seguente modo: quindi la disequazione da studiare sarà: composta dai seguenti fattori: I) ->0 (³-4)=(²-4) (-)(²)(²-4)>0 II) ²>0 III) >0 IV) ²-4>0 Vediamo nel dettaglio lo studio del segno ed il grafico dei singoli fattori: I) da ->0 segue > cioè - è positivo solo per valori di maggiori di il suo grafico sarà II) ²>0 tale fattore risulta essere sempre maggiore di zero dal momento che è somma di ² (sempre positivo) al quale si aggiunge una quantità positiva; il suo grafico sarà:

13 III) >0 : su questo fattore non occorre effettuare alcuna operazione perché >0 quando è positiva (>0); il suo grafico sarà: IV) ²-4>0: questa si risolve applicando le regole per lo studio del segno di una disequazione di secondo grado, quindi, dopo aver scritto l'equazione associata si determinano le soluzioni che sono =- ed = (perciò >0), si verifica che il coefficiente di è positivo, quindi il grafico sarà: Il grafico riassuntivo determinerà gli intervalli in cui la disequazione assume valori positivi e quelli in cui assume valori negativi, come vediamo di seguito: La soluzione della disequazione sarà quindi data dai seguenti intervalli : <- U 0<< U >.

14 4 N.B. Qualora la disequazione abbia come segno o allora nell'insieme delle soluzioni vanno compresi anche i valori in cui i singoli fattori diventano nulli. DISEQUAZIONI FRATTE Analogamente a quanto avviene per la soluzione di disequazioni di grado superiore al secondo, per la soluzione di disequazioni fratte del tipo f()/g() occorre ridurre sia il numeratore, sia il denominatore in fattori di grado inferiore o uguale al secondo e poi studiare il segno di ogni singolo fattore. La differenza rispetto al prodotto sta nel fatto che bisogna ricordare di escludere dal denominatore tutti i valori che lo rendono nullo (0 al denominatore determina un valore impossibile per la frazione!!!). Esempio: Risolvere la disequazione ² I fattori da studiare in questo caso sono già nella forma desiderata quindi occorrerà studiare dapprima il numeratore e poi il denominatore: N) ²-4>=0 questa si risolve applicando le regole per lo studio del segno di una disequazione di secondo grado, quindi, dopo aver scritto l'equazione associata si determinano le soluzioni che sono =- ed = (perciò >0), si verifica che il coefficiente di è positivo, quindi il grafico sarà: D) ->0 questa è una disequazione di primo grado la cui soluzione è data dai valori > (in questo caso il segno = non viene considerato perchè 0 al denominatore determina un valore impossibile per la frazione!!!), il suo grafico sarà il seguente:

15 5 Il grafico riassuntivo sarà quindi: come si può notare il valore che annulla il denominatore è stato eliminato con una croce (il punto non può far parte dell'insieme delle soluzioni), mentre i punti che annullano il numeratore, indicati con una pallina vengono presi in considerazione nell'insieme delle soluzioni qualora venga richiesto nel testo. Le soluzioni della nostra disequazione fratta saranno quindi date da: - U < dal momento che si richiedevano i valori di affinchè la frazione fosse negativa ( 0). Esercizi. ( )( 5)( ) < > ( 4)( ) 5 ( 5 6 ( )( ) 6. > ) ( 5) ( ) 55 0 ( )( ) ( )( )

16 6 Elementi sui sistemi di disequazioni Per risolvere un sistema di disequazioni occorre risolvere separatamente ogni disequazione facente parte del sistema e determinare l'intervallo o gli intervalli in cui esse sono soddisfatte contemporaneamente. Esempio: risolvere il seguente sistema di disequazioni la prima operazione da eseguire è risolvere la prima disequazione come illustrato nel paragrafo relativo alla soluzione delle disequazioni di primo grado si ottiene: il cui grafico è e la soluzione è > Si procede quindi con la soluzione della disequazione fratta, per ottenere: lo studio del segno del numeratore porterà alla determinazione delle soluzioni dell'equazione associata nel seguente modo: n: = 0 ( 4) = 0 quindi = 0 e 4 = 0 ovvero = 4 quindi il grafico che corrisponderà alla disequazione sarà

17 7 Si passa quindi alla determinazione del segno del denominatore, per ottenere: D: ->0 >/ il cui grafico è: Si procede quindi ad eseguire il grafico della disequazione fratta riportando per ogni intervallo della partizione determinata il segno ottenuto dalla frazione, nel seguente modo La soluzione della disequazione, dunque sarà (parte in giallo): 0 U /< 4 0 U /< 4 dal momento che la disequazione è verificata solo per valori di che determinano un valore negativo al massimo uguale a zero per la frazione. A questo punto si determinano gli intervalli dell'asse delle per i quali siano verificate entrambe le disequazioni contemporaneamente, viene quindi eseguito un grafico riassuntivo in cui non si riportano più positività o negatività ma solo gli intervalli in cui ognuna delle disequazioni è verificata (una riga del grafico corrisponde ad una disequazione, quindi per un sistema di tre disequazioni si avranno tre righe, per un sistema di 4, quattro righe e così via). Quindi nel nostro caso il grafico sarà il seguente: e le soluzioni le seguenti: <<4

18 8 Esercizi:. > 0 ) 6)( )( ( 0 6. ( ) ( ) < 4 5. ( ) > 0 6) ( 5) ( ( ) > ) 6( 5. > < 0 4 4