C orso di Analisi: Algebra di Base. 1^ Lezione
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- Leonora Roberta Fiorini
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1 C orso di Anlisi: Alger di Bse ^ Leione Noioni generli. Insiemi. Unione ed interseione. Concetto di numeri reli. Monomi e polinomi. Operioni tr monomi e polinomi. M.C.D e m.c.m. Scomposiioni di polinomi in fttori. Ruffini. Allegto Esercii.
2 NOZIONI GENERALI Introduione Il linguggio dell mtemtic, come ogni ltro linguggio, si rticol in proposiioni. Alcune di esse servono formulre nuovi concetti ( oltre quelli ssunti come primitivi e sono dette definiioni mentre ltre proposiioni vengono dedotte dlle definiioni e dgli ssiomi e sono dette teoremi. INSIEMI Un noione primitiv fondmentle è l noione di insieme di oggetti ( di ntur qulsisi. A volte invece di insieme si usno dei sinonimi come colleione, fmigli, clsse, sistem, ecc.. Aniché oggetto si us nche il termine ente e con significto più tecnico punto. Di solito, m non necessrimente, indichimo gli insiemi con lettere miuscole e i loro elementi con lettere minuscole. Per indicre che un oggetto è elemento dell insieme A scriveremo A ( si legge : pprtiene d A. Il simolo è detto simolo di pprtenen. Se l oggetto non è elemento dell insieme A scriveremo A ( si legge non pprtiene d A. Per indicre che l insieme A h come elementi,, c,... scriveremo A {,, c,... } In prticolre { } è l insieme vente come unico elemento. L insieme i cui elementi sono e può essere indicto indifferentemente con {, } oppure con {, }. Considerndo insiemi formti d due elementi e, se tenimo conto dell ordine in cui gli elementi si considerno, prleremo di coppi ordint (, se si vuole che il primo elemento si e il secondo e (, in cso contrrio.
3 Oltre l noione di insieme un ltr noione che ssumeremo come primitiv è l noione di numero nturle che deriv dl procedimento intuitivo del contre e che port poi ll noione di numero rele. Ricorderemo per gli insiemi numerici fondmentli : N è l insieme dei numeri nturli,,,,,... Z è l insieme di tutti i numeri (reltivi interi Q è l insieme di tutti i numeri rionli R è l insieme di tutti i numeri reli C è l insieme di tutti i numeri complessi Se A e B sono due insiemi e ogni elemento dell insieme A pprtiene nche ll insieme B, e cioè : A B ( signific implic che, ne consegue che si dice che A è contenuto in B o che A è un sottoinsieme di B e si scrive A B e llo stesso modo si può dire che B contiene A e scrivere : B A, sono detti simoli di inclusione. E evidente che qulunque si l insieme A A A Molto spesso l rppresentione di un insieme è crtterit nel seguente modo : A è sottoinsieme di un insieme B e i suoi elementi sono tutti e solo quelli che godono di un cert proprietà p : A { B : p( } che signific : l insieme A composto d tutti gli elementi pprtenenti ll insieme B tli che soddisfino ll proprietà p.
4 Introducimo l noione di insieme vuoto : insieme privo di elementi. L insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni insieme e viene rppresentto dl simolo. Esempi : L insieme { N: } è l insieme dei numeri nturli,,,... L insieme { Z: } {, } L insieme { Z : } Se due insiemi A e B sono costituiti dgli stessi elementi diremo che sono uguli e scriveremo : A B E perltro ovvio che : A B A B e B A. L negione di A B si scrive A B. Se A B e A B esiste lmeno un elemento pprtenente B e non pprtenente d A ; diremo llor che A è un sottoinsieme proprio di B e scriveremo A B o B A., sono simoli di inclusione propri. Esempi : A {, } A, { } A C { { }, {, } } C, { } C, D {, { }, } D, { } D,
5 UNIONE E INTERSEZIONE Si dice unione di due insiemi A e B l insieme che h per elementi si quelli di A che quelli di B ; viene indicto col simolo : A U B ( A unione B Si dice interseione di due insiemi A e B l insieme che h per elementi quelli che pprtengono si d A che B ; viene indicto col simolo A I B ( A interseione B Se A e B non hnno elementi in comune si dicono insiemi disgiunti ; in tl cso A I B Rissumendo imo : implicione : P Q si legge P implic Q, oppure se P llor Q equivlen logic : P Q si legge P equivle Q quntifictori :, si legge per ogni ed esiste Ricordimo che l negione di tli concetti vviene medinte lo srrmento ( /. Quindi vremo che : P non implic Q, P / Q P non equivle Q, P / Q per nessun, non esiste, /, /
6 CONCETTO DI NUMERI REALI. Uno dei concetti di tutt l mtemtic è quello di numero. In ritmetic si introducono prim di tutto i numeri interi,,,,... e si definiscono poi le operioni elementri di ddiione, sottrione, moltiplicione e divisione d eseguirsi tr essi. Le operioni di ddiione e moltiplicione con numeri interi sono sempre possiili ; invece quelle di sottrione e divisione non si possono sempre eseguire e ciò port poi ll introduione, come estensione del concetto di numero, dello ero ( elemento neutro, dei numeri frionri e dei numeri reltivi ( positivi e negtivi. I numeri interi e frionri, positivi e negtivi e lo ero si dicono numeri rionli e il loro insieme prende il nome di cmpo rionle. L proprietà principle dei numeri rionli consiste nel poter eseguire tutte le operioni elementri possiili ( d ecceione dell divisione per lo ero che portno poi come risultto d un ulteriore numero rionle. Per questo motivo le operioni elementri si dicono nche operioni rionli. Or i prolemi nscono qundo si vnno considerre ltre operioni oltre quelle elementri. Come esempio si può prendere l estrione di rdice qudrt, operione che non rientr nel cmpo rionle. Inftti l rdice qudrt di non è un numero rionle, cioè non esiste lcun numero rionle il cui qudrto si. Se esistesse inftti tle numero rionle, lo potremo rppresentre sotto form di frione r s con r ed s primi fr loro. Allor evidentemente r vremmo, il che chirmente è ssurdo, in qunto essendo r e s primi fr loro s nche r ed s lo sono e ciò port ll non divisiilità di r per s. D tutte queste considerioni risult evidente l necessri introduione di nuove operioni, oltre quelle rionli che necessitno ltresì di nuovi numeri. Diremo llor che si esegue un seione o un tglio nel cmpo rionle qundo si distriuiscono tutti i numeri rionli in due clssi A, A in modo che : Ogni numero rionle pprteng ll un o ll ltr clsse ; Ogni numero dell prim clsse si minore di ogni numero dell second.
7 L seione viene rppresentt col simolo ( A, A. Qundo nell clsse A vi è un numero mggiore di tutti gli ltri dell stess clsse, esso si dice il mssimo dell clsse A ; e qundo nell clsse A vi è un numero minore di tutti gli ltri di A, esso si dice il minimo dell clsse A. Non può mi verificrsi il cso che contempornemente l clsse A possegg il mssimo e l clsse A possegg il minimo ; inftti, se in A vi fosse un mssimo m e in A un minimo m, sree per l proprietà m < m e llor un numero rionle qulunque compreso fr m ed m non troveree posto nell clsse A poiché mggiore di m e neppure nell clsse A perché minore di m, contrrimente ll ipotesi che le due clssi contengno tutti i numeri rionli. Ecco llor che le seioni del cmpo rionle possono essere soltnto di due specie : l prim clsse possiede il mssimo oppure l second possiede il minimo né l prim clsse possiede il mssimo, né l second possiede il minimo Qundo l clsse A di un seione del cmpo rionle mmette il mssimo oppure l clsse A mmette il minimo, questo mssimo o questo minimo è un numero rionle mggiore di tutti i rimnenti numeri dell clsse A e minore di tutti i rimnenti numeri dell clsse A ; esso si dice perciò elemento di seprione delle due clssi. Qundo invece l clsse A non mmette il mssimo e l clsse A non mmette il minimo, non esiste lcun numero rionle che si mggiore di tutti i numeri di A e si minore di tutti i numeri di A : in questo cso si dice che le due clssi definiscono un numero irrionle, che si ssume come elemento di seprione delle due clssi. Con quest definiione, d ogni seione del cmpo rionle corrisponde un elemento di seprione, il qule è un numero rionle se l clsse A h il mssimo o l clssea h il minimo ed è un numero irrionle se l clsse A non h il mssimo e l clsse A non h il minimo. Tnto i numeri rionli che irrionli si dicono numeri reli e il loro insieme costituisce il cmpo dei numeri reli, che si dice nche cmpo rele. Possimo dunque concludere che i numeri reli sono quelli individuti dlle seioni del cmpo rionle come elementi di seprione delle coppie di clssi determinte dlle seioni stesse.
8 MONOMI E POLINOMI Si dice monomio quell espressione lgeric che esprime il prodotto tr un prte numeric, dett coefficiente, ed un prte letterle ( indict per l ppunto d lettere minuscole dell lfeto. Es. ( ; ( t Due o più monomi si dicono simili se e solo se hnno l stess prte letterle ( intes nche come esponenti. Es. ( ; ( monomi simili 7 t ; ( t monomi non simili Per grdo di un monomio intendimo l somm lgeric degli esponenti dell su prte letterle. Es. ( monomio di grdo ( ( monomio di 7 grdo ( Ricordimo che un letter priv di esponente è d considerrsi di esponente. ( L' espressione lgeric ( intes come somm o differen definit d due o più monomi costituisce quello che chimimo polinomio. Es. ( ; ( Not : l mncn del segno dvnti l coefficiente sottintende l positività del monomio.
9 Per grdo di un polinomio si intende il grdo mssimo definito tr i suoi monomi. Es. ( 7 c polinomio di gr. OPERAZIONI TRA MONOMI E POLINOMI Somm e sottrione. L somm e l sottrione tr monomi è possiile se e solo se i monomi sono simili fr loro. Es. ( ( ( come si può notre qui sopr, l somm tr i due monomi simili, h per risultto un monomio simile i dti, che h per coefficiente l somm o l differen ( se essi sono di segno discorde tr i singoli coefficienti, mntenendo nel secondo cso il segno del coefficiente mggiore, in vlore ssoluto. Es. ( ( ( in questo cso l somm tr i due monomi dà ncor un monomio simile i dti, che h come coefficiente l somm dei singoli coefficienti ( se essi sono di segno concorde. Es. ( - ( ( 8 l differen tr due monomi simili, sostnilmente, è un somm lgeric tr il primo monomio e l opposto del secondo. ( ( è il suo opposto ( cmi solo il segno del coefficiente. ( è il suo reciproco ( numertore e denomintore si scmino
10 ( si ricordi che ogni numero intero esprime un frione di denomintore unitrio. Quindi rissumendo, per l sottrione : ( 8 ( ( inftti ( 8 ( ( ( 7 ( ( inftti ( 7 ( ( E del tutto evidente che se i monomi non sono simili le operioni di somm e di sottrione non si possono eseguire e il tutto rimne indicto come semplice polinomio : ( ( ( ( Si fcci presente che l uso delle prentesi è indispensile qundo si de evidenire l operione lgeric dl segno del singolo termine ( monomio ; divent comunque inutile ( nel cso di somm e di sottrione se tenimo presenti le osservioni ftte in preceden. Es. ( ( ( ( Moltiplicione. L moltiplicione tr due o più monomi è sempre possiile, dndo come risultto ncor un monomio vente come coefficiente il prodotto dei rispettivi coefficienti e come prte letterle il prodotto delle rispettive prti letterli ( vvlendosi evidentemente delle proprietà delle potene. Es. ( ( ( ( ( t ( 0 t
11 Divisione. Anche l divisione tr due o più monomi è sempre possiile, dndo come risultto ncor un monomio vente come coefficiente il quoiente dei rispettivi coefficienti e come prte letterle il quoiente delle rispettive prti letterli ( utilindo sempre le proprietà delle potene. Voglimo ricordre comunque che l divisione si può, più semplicemente ricondurre d un prodotto tr il primo monomio e il reciproco del secondo. Es. ( 8 : ( ( ( ( : c c ( ( ( : c c c Poten ( di un monomio. Per poten di un monomio si intende ncor un monomio che si ottiene dl precedente elevndo poten si il coefficiente si l prte letterle. ( evidentemente vlendo sempre le proprietà delle potene. Es. ( ( ( (
12 Ricordimo or quelle che sono le PROPRIETA DELLE POTENZE M.C.D e m.c.m Per mssimo comune divisore di due o più monomi si intende il più grnde tr i comuni divisori. Per minimo comune multiplo di due o più monomi si intende il più piccolo tr i comuni multipli. Per clcolre il M.C. D di due o più monomi si prendono i fttori primi comuni, presi un sol volt, con il minimo esponente. Per clcolre il m.c.m di due o più monomi si prendono i fttori primi, comuni e non comuni, presi un sol volt, con il mssimo esponente. ( ( n m n m n n m m m m m m m n n m n m n m n m n m : : 0
13 Per essere più chiri fremo prim degli esempi tr semplici numeri interi. Es. Clcolre il M.C.D e il m.c.m tr i numeri e. Scrivimo iniilmente i divisori e quindi i multipli dei due numeri {, ±, ±, ± 8, ±, ±, ± } ± ricordimo che i divisori di un numero sono tutti quei numeri per i quli si può dividere il numero stesso. { ±, ±, ±, ± 8, ± } come si può notre il M.C.D tr i due numeri è. ( è consuetudine considerre il segno positivo { ±, ± 8, ±, ±,... } { ±, ±, ± 8, ±, ± 80,...} llo stesso modo si not che il più piccolo tr i multipli comuni è. Or seguendo quelle che sono le indicioni che imo definito per determinre il M.C.D e il m.c.m vedimo di ritrovre i risultti ottenuti. Ricordimo innnitutto che per fttori primi intendimo quei termini ( sino essi numerici o letterli divisiili solmente per e per sé stessi. Quindi se riscrivimo i numeri e espressi medinte fttori primi imo : d cui M.C.D e m.c.m che rppresentno gli stessi risultti trovti sopr.
14 Altro Es. determinre il M.C.D e il m.c.m tr i monomi : ( t ; ( t ; ( 8 t t 8 t t t t t quindi il M.C.D è t mentre il m.c.m è t ( il segno del coefficiente può ssumersi si positivo si negtivo. Per polinomio si intende l insieme di due o più monomi ddiionti o sottrtti fr loro. Es. ( ( Le operioni sopr definite per i monomi sono llo stesso modo vlide nche per i polinomi. SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI IN FATTORI Per scomposiione di un polinomio noi intendimo l equivlente riscriione del polinomio stesso sottoform di prodotto di fttori primi. L scomposiione di un polinomio in fttori può essere possiile medinte diverse metodologie di procedimento : noi indicheremo sostnilmente le più uste : Prodotti notevoli Rccoglimenti fttor comune ( totli e prili Regol di Ruffini
15 Esminimo iniilmente quelli che vengono chimti prodotti notevoli : Per esempio se nliimo l prim di tli forme ( differen di due qudrti si vede chirmente che eseguendo il prodotto dei due polinomi si h : ( ( 0 poiché il prodotto di due fttori gode dell proprietà commuttiv, trttndosi di monomi opposti essi si elidono. Allo stesso modo si dimostr l ontà delle ltre relioni. Per ciò che rigurd il rccoglimento fttore comune noi intenderemo mettere in eviden tr un gruppo di monomi un fttore ( M.C.D comune essi, ( detto rccoglimento fttore comune totle Es. ( in questo cso il fttore ( prescindere dl segno rppresent proprio l elemento comune tutti i singoli monomi che insieme vnno costituire un polinomio. Come possimo notre, esso, M.C.D tr i monomi, lo moltiplicheremo per un ulteriore polinomio che otterremo dividendo ogni singolo monomio per tle fttore. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c p s con p s,
16 Quindi rissumendo diremo semplicemente che il rccoglimento fttore comune, tr due o più monomi, ltro non è che il prodotto del M.C.D tr essi e un nuovo polinomio ottenuto dividendo il precedente per il M.C.D stesso. Molto spesso può succedere che in un polinomio non vi si un M.C.D diverso d, cioè in prtic tr tutti i monomi del polinomio non vi è un fttore comune diverso d, e quindi in questo cso il polinomio dto non lo si può esprimere come prodotto del M.C.D per il nuovo polinomio che si ottiene, in qunto rimrree invrito. Es. ( In questo cso si procede cercndo dei rccoglimenti fttore comune solo tr singoli gruppi di monomi ( d cui il nome di rccoglimento prile, per rrivre poi, in un secondo momento, d un ulteriore rccoglimento comune. Riprendendo l esempio sopr vremo quindi : ( ( imo considerto d esempio i primi due termini d cui si è rccolto, e i rimnenti di quli si è rccolto. Possimo notre che operndo in questo modo si h l possiilità di un ulteriore rccoglimento fttore comune, (, il qule conduce infine ll form ultim desidert : ( ( ( ( questo tipo di rccoglimento prile ( o successivo è stto eseguito in modo opportuno. Considerimo un ulteriore esempio che chirisc meglio l distinione tr rccoglimento prile opportuno e non opportuno : ( ( ( ( ( ( il primo tipo di rccoglimento è opportuno in qunto ci port l prodotto di due fttori ( imo considerto i primi due termini e gli ultimi due ; mentre il secondo tipo di rccoglimento se pur corretto è inopportuno in qunto non rppresent il prodotto di fttori ensì un somm ( imo considerto il primo ed il tero termine e il secondo ed il qurto.
17 RUFFINI Vedimo or come si possiile rrivre d un scomposiione trmite il metodo, l regol di Ruffini, di un polinomio. Nell fttispecie prenderemo in considerione solo polinomi che dipendno d un solo fttore letterle ; Es. voglimo scomporre il polinomio ( 0. Se osservimo, in questo cso, simo di fronte d un polinomio che non è possiile scomporsi con i due precedenti metodi ; ci chiedimo quindi se si sempre possiile riscriverlo sottoform di prodotto fttorile. Bene, ciò srà possiile se e solo se esisterà un vlore d ttriuire l fttore letterle tle che l intero polinomio si nullo ( tle considerione port ll'pplicione del TEOREMA DI RUFFINI. Per verificre che esist quel vlore che nnulli il polinomio dto si procede per tenttivi considerndo di volt in volt numeri reltivi interi prtendo ovvimente d ±. Quindi per il polinomio, ( 0, si prte esminndo il vlore, sostituendolo l polinomio stesso, e verificndo se tle vlore nnulli o meno lo stesso. per [ ( ( ( 0] [ ( ( ( ( ( ( [ 0] 0 vendo verificto che, per, il polinomio si nnull, si può usufruire del teorem di Ruffini con l pplicione dell reltiv regol. REGOLA DI RUFFINI ( o dell ssmento di grdo di un polinomio. Tle regol consiste nel riportre tr due segmenti verticli prlleli i reltivi coefficienti del polinomio ordinto e completo e, ll destr dell ultimo segmento, il termine noto. Quindi, trccito un ulteriore segmento oriontle che intersechi perpendicolrmente i due precedenti, si riport il vlore che nnull il polinomio ( sopr quello oriontle e sinistr dell primo verticle.
18 Si procede questo punto con l ssmento ( sotto il segmento oriontle utomtico del primo coefficiente, il qule v moltiplicto per il termine che nnull il polinomio e il cui risultto viene incolonnto e sommto lgericmente con il secondo coefficiente. Di qui poi si ripetono le operioni. Se tutto è svolto correttmente il termine che è incolonnto con il termine noto deve essere il suo opposto in modo tle che l somm lgeric finle si ero. Or fremo degli esempi in merito. Scomporre medinte l regol di Ruffini ( se possiile i seguenti polinomi : P( P( per P( 0 per il teorem di Ruffini e pplicndo l regol si h : 0 R( chimto resto quindi il polinomio iniile viene scomposto come segue : ( ( dove il fttore ( è dto portndo il termine sinistr del segno di, e il rimnente polinomio è ssto di un grdo rispetto l polinomio iniile, con i coefficienti ottenuti sotto l line oriontle.
19 Qulor fosse ncor possiile si potree ripplicre Ruffini l polinomio di secondo grdo. Es. P( il polinomio non è ordinto ( poten decrescente dell letter ; quindi prim lo ordinimo e poi procederemo come sopr. P( per P( 0 P( P( P( P( 0 P( per P( 0 quindi procedendo si h 7 0 D( 7 R( 0 per cui si h che P( A(D( R( con A( (, D( ( 7 R( 0 ( ( 7
20 Es. P ( ndimo prim ordinre il polinomio. P( 0 0 (non è indispensile in seguito riportre i coefficienti nulli delle potene mncnti, purchè si fcci ttenione ricordrsene. P( per P( 0 A( ( e quindi si h ( (. N.B. Aimo indicto qul è il metodo generle per verificre se un polinomio si scomponiile trmite Ruffini ; pur tuttvi possimo indicre un regolin che ci consente di velocire le operioni nel cso in cui il coefficiente del termine di grdo mssimo si. Se il polinomio è esttmente scomponiile ( resto nullo secondo Ruffini, considereremo tutti i divisori del termine noto e tr essi ve ne srà lmeno uno che rende nullo il polinomio.
21 Es. P( come si può notre il coefficiente del termine di grdo m. è nliimo quindi i divisori del termine noto ( { } D ±, ±, ± se il polinomio è scomponiile esttmente (secondo Ruffini esso lo è per uno, lmeno, di questi vlori. Inftti per P( 0 di qui poi si procede normlmente.
22 Esercii dell leione di Alger di se ESERCIZI SUI PRODOTTI NOTEVOLI ESERCIZI SUL M.C.D. E m.c.m. ESERCIZI SUL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE ES ES ERCIZI SURUFFINI ERCIZI SULLE SEMPLIFICAZIONI DI FRAZIONI ALGEBRICHE
23 USO DEI PULSANTI Visuli solo l soluione dell'eserciio Visuli le soluioni di tutti gli eserci i Nsconde le soluioni T orn ll'indice degli esercii T orn ll'indice dell leione
24 Applicndo l formul ( ( scomporre in fttori primi :. ( ( (. ( ( (. ( ( (. ( ( (. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 8. ( ( ( (. ( ( ( ( c c c c 0. ( ( ( 8
25 Applicndo l formul ( ( scomporre in fttori primi :. ( ( 7. ( ( ( ( 8. ( ( ( 8. ( ( (. ( ( ( ( ( (. ( ( ( (
26 Applicndo l formul ( ( scomporre in fttori primi :. ( ( ( 8. ( ( ( 8 7. ( ( (. ( ( ( (. ( ( ( ( 7. ( ( ( 7. ( ( ( ( 7 8. ( ( ( 8. ( ( ( ( 7 s s s s s 0. ( ( ( ( 8
27 Applicndo l formul ( svolgere i seguenti qudrti :. ( (. ( (. ( ( 8. ( ( 0. ( 8 (. ( ( 7. ( 7 ( ( t ( 88t t. ( sr ( s r 0sr 0. ( ( 7
28 Applicndo l formul ( svolgere i seguenti qudrti :. ( (. ( (. ( ( 8. ( ( 0. ( 8 (. ( ( 7. ( 7 ( ( t ( 88t t. ( sr ( s r 0sr 0. ( ( 7
29 Applicndo l formul ( ( svolgere i seguenti cui :. ( ( 8 7. ( ( 8 8. ( ( 8. ( ( ( 8 ( 8 8. ( ( ( 7 ( 7 8. ( t ( t 8t t. ( sr ( s r 0s r 0sr 0. ( ( 78 7
30 Applicndo l formul ( ( s p scomporre in fttori :. ( ( 7 7. ( (. ( ( 8 8. ( (. ( (. ( ( 7. ( ( 8. ( ( 8 8. ( ( 70. ( (
31 Determinre il M.C.D ed il m.c.m tr i seguenti gruppi di monomi e polinomi : 7. ; t ; t scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : ; t ; t M. C. D m. c. m t 7. ; 7 ; scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : 7 ; 7 ; 7 M. C. D m. c. m 7 7. ; 8 t ; scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : ; t ; M. C. D m. c. m 8 t 7. ; ; 8 scomponendo in fttori primi e pplicndo le 7 ; ; reltive regole si h : M. C. D m. c. m 0
32 7. c ; 7 c ; c scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : c ; 7 c ; c M. C. D m. c. m c 8 c 7. ; ; ( scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : ( ( ; ( ; ( M. C. D m. c. m ( ( ( 77. ; ; ( scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : ( ( ( ; ( ; ( ( M. C. D m. c. m ( ( ( 78. ( ; 7( ; ( scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : 7( ; 7 ( ( ; 7( M. C. D m. c. m ( ( ( 7
33 7. ; ; ( scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : ( ; ( ( ; ( ( M. C. D m. c. m ( ( ( ( 80. ; ; scomponendo in fttori primi e pplicndo le reltive regole si h : ; ; M. C. D m. c. m ( ( (
34 Utilindo i rccoglimenti fttor comune ( totli o prili scomporre i seguenti polinomi : 8. 0 ( 0 8. c c ( c 8. Rccogliendo di primi due termini -, dgli ultimi due, si h : ( ( ( ( ( ( ( 8. I primi tre termini costituiscono un qudrto di inomio ; e successivmente pplicndo l differen di due qudrti : ( ( ( 8. 7 Sviluppndo l somm di cui dgli ultimi due termini : 7 ( ( ( ( 8. Di primi due, dgli ultimi due : ( ( ( ( 87. Evidenindo - e sviluppndo l reltiv somm di cui, di primi due termini : ( ( ( ( (
35 88. Evidenindo - di primi tre termini si h lo sviluppo di un qudrto di inomio ; dgli ultimi due : ( ( ( ( 8. 8 Di primi tre termini si h lo sviluppo di un qudrto di inomio ; dgli ultimi due - : ( ( ( ( Sommndo i termini simili e rccogliendo fttor comune 7 : (
36 Applicndo l regol di Ruffini scomporre i seguenti polinomi: d cui : ( ( d cui : ( ( d cui : ( (
37 e quindi ( ( e nuovmente : d cui : ( ( ( ( ( ( ( d cui : ( ( 7 e nuovmente :
38 ( ( ( ed infine : ( ( ( ( ( ( e ncor : e quindi : ( (
39 ( ( e ncor : e quindi : ( ( ( ( e ncor : - 0 e quindi : ( (
40 ( ( e ncor : e quindi : ( ( ( ( e ncor : e quindi : ( (
41 Utilindo i vri metodi dell scomposiione semplificre le seguenti frioni lgeriche : 0. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 8 7
42 0. ( ( ( ( ( 0. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7
43 08. 0 ( ( ( 0 0. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0. ( ( 8 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 8 0
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