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1 2.2 Serie Le serie numeriche sono semplicemente successioni reali o complesse di tipo particolare, che però, per la loro importanza pratica e teorica, meritano una trattazione a parte. Data una successione {a n } reale o complessa, andiamo a costruire una nuova successione {s n } in questo modo: { s0 = a 0 s n+ = s n + a n n N. Si ha dunque s n = a k n N. Definizione 2.2. Ogni successione {s n } del tipo sopra definito si chiama serie e si indica con il simbolo a k (o, più pedantemente, con a k, quando si voglia precisare qual è l indice iniziale: si possono infatti considerare anche serie del tipo a k, k=50 a k, k=p a k con p N fissato ad arbitrio). I numeri a k si dicono termini della serie ed i numeri s n si dicono somme parziali della serie. Si noti che nel definire una serie ed il simbolo che la indica non si è fatto alcun riferimento alla convergenza della successione {s n }, che può benissimo non verificarsi. Definizione Si dice che la serie a k è convergente ad un numero (reale o complesso) L se la successione delle sue somme parziali {s n } è convergente ed ha limite L; in tal caso il numero L si dice somma della serie e si scrive L = lim n a k = a k. Come si vede, c è una certa ambiguità, perché lo stesso simbolo a k viene usato sia per indicare la serie (convergente o no), sia per indicarne la somma (se convergente). Purtroppo si tratta di una notazione di uso ormai consolidato, e non possiamo evitare di adottarla; sarà comunque chiaro di volta in volta dal contesto del discorso in quale dei due sensi va inteso il simbolo a k. 24

2 Osservazione Una serie è dunque una particolare successione, costruita a partire da un altra successione assegnata. Però il punto di vista si può anche capovolgere: ogni successione {a n } può essere vista come una serie b k, con {b n } opportuna. Basta infatti definire { b0 = a 0 b n+ = a n+ a n n N, ed è facile verificare che allora a n = b k n N, cioè {a n } coincide con la serie b k. Successioni e serie sono dunque concetti del tutto equivalenti. Tuttavia le serie si presentano spesso in modo naturale nelle applicazioni (geometriche, fisiche, meccaniche, ecc.); inoltre la teoria delle serie è per molti aspetti più maneggevole ed articolata di quella delle successioni. Ad esempio, vi sono svariati criteri di uso molto semplice che garantiscono la convergenza delle serie, i cui analoghi per le successioni non sono altrettanto comodi dal punto di vista pratico. Nel caso di serie reali si può dare anche la nozione di serie divergente: Definizione Diciamo che la serie reale b k è divergente positivamente, oppure divergente negativamente, se le sue somme parziali s n formano una successione che tende a +, oppure a, per n. In tal caso si scrive a k = +, oppure a k =. Definizione Diciamo che la serie a k (reale o complessa) è indeterminata se la successione delle sue somme parziali {s n } non ha limite per n. Esempi () (Serie geometrica) Sia q C. Se q <, allora q k = q (esempio 2..6 (4)). Se q e q, la serie è indeterminata in virtù dell esercizio 2..7, mentre se q = la serie è reale e diverge positivamente. 25

3 (2) Risulta s n = k(k+) k(k + ) = =. Infatti ( k ) = k + n + per n. Questo è un esempio di serie telescopica: sono telescopiche le serie che si presentano nella forma (b k b k+ ), cosicché s n = b 0 b n+. Ciò in effetti accade sempre, tenuto conto dell osservazione 2.2.3, ma si parla di serie telescopiche soltanto quando questo modo di vederle porta ad una concreta semplificazione della situazione. (3) (Serie armonica) La serie si chiama serie armonica perché ciascun termine (salvo il primo) è la media armonica del predecessore e del k 2 successore (la media armonica di due numeri positivi a, b è il numero ; /a+/b si veda anche l esercizio.8.4). Osservando che i termini sono positivi e k decrescenti, si ha s 2n s n = 2 k=n+ k n 2n = 2 n N +. Ne segue che la serie armonica non può essere convergente, perchè in tal caso esisterebbe L R tale che s n L < definitivamente; ma allora, scelto n 4 abbastanza grande, dedurremmo 2 s 2n s n s 2n L + L s n < = 2, il che è assurdo. In effetti la stima precedente mostra che per ogni fissato m N e per ogni n 2 m si ha s n s 2 m = s + (s 2 s ) + (s 4 s 2 ) + (s 8 s 4 ) + + (s 2 m s 2 m ) = = m m + (s 2 k s 2 k ) + 2 = + m 2, e ciò prova che s n (definizione 2.2.4), ossia che la serie armonica è divergente positivamente. Osservazione Sia a k una serie convergente con somma L. Allora sottraendo s m ad entrambi i membri dell uguaglianza a k = L si 26

4 ottiene che per ogni m N la serie k=m+ a k è convergente e a k = L s m m N. k=m+ In particolare, facendo tendere m a +, si deduce che per ogni serie a k convergente si ha lim a k = 0. m k=m La serie k=m a k si chiama resto m-simo della serie a k. Vediamo ora una condizione necessaria per la convergenza di una serie. Proposizione Se a k è una serie convergente, allora i suoi termini a n formano una successione infinitesima, ossia risulta a n 0 per n ; il viceversa è falso. Dimostrazione Se L è la somma della serie, fissato ε > 0 esiste ν N tale che s n L < ε per ogni n > ν. Quindi a n = s n s n s n L + L s n < 2ε n > ν +, cioè a n 0 per n. La serie armonica (esempio (3)) è una serie che non converge, benché i suoi termini formino una successione infinitesima. n Osservazione L analogo della proposizione precedente per le successioni si può enunciare nel modo seguente (vedere esercizio 2..5): se {a n } è una successione convergente, allora lim (a n a n+ ) = 0, n ma il viceversa è falso, come mostra la successione { n}. Esercizi 2.2. Provare che se a n e b n sono serie convergenti, anche la serie (an + b n ) è convergente e (a n + b n ) = 27 a n + b n ;

5 si provi anche che per ogni λ C la serie (λa n ) è convergente e (λa n ) = λ a n. Si generalizzino questi enunciati, per quanto possibile, al caso di serie reali divergenti. 2. (Criterio del confronto) Siano a n e b n serie reali tali che 0 a n b n per ogni n N. (i) Si provi che se b n converge, allora a n converge e a n b n ; in quale caso vale l uguaglianza? (ii) Si provi che se a n diverge, allora b n diverge. 3. Sia a n una serie a termini reali non negativi. Si dimostri che a n < + a n + a n < Sia a n una serie a termini reali non negativi. Si dimostri che se a n è convergente, allora (a n ) p è convergente per ogni p. 5. Sia {a n } C. Si provi che se a 2m e a 2m+ sono convergenti, allora an è convergente e è vero il viceversa? a n = a 2m + m=0 a 2m+ ; 6. Sia {a n } C. Si provi che se a n 2 è convergente, allora a nn è convergente, ma che il viceversa è falso. 7. (i) Si provi che ogni numero razionale ha uno sviluppo decimale periodico (eventualmente di periodo nullo). m=0 28

6 (ii) Viceversa, sia x un numero reale con sviluppo decimale periodico, il cui antiperiodo sia un intero a = a... a p di p cifre e il cui periodo sia un intero b = b... b q con q cifre. Si provi che x [x] = a 0 p + b 0 p n= 0 qn ; dedurre che x è un numero razionale, e che x si può scrivere sotto forma di una frazione (la frazione generatrice di x) il cui denominatore è fatto da q cifre 9 seguite da p cifre 0, e il cui numeratore è la differenza fra l intero a... a p b... b q e l intero b... b q. 2.3 Successioni monotone Un importante classe di successioni reali è quella delle successioni monotòne (e non monòtone!). Definizione 2.3. Sia {a n } R. Diciamo che {a n } è monotona crescente se si ha a n+ a n n N. Diciamo che {a n } è monotona decrescente se si ha a n+ a n n N. Diciamo che {a n } è strettamente crescente o strettamente decrescente se la corrispondente disuguaglianza è stretta per ogni n N. In entrambi i casi precedenti, la successione si dirà strettamente monotòna. Infine diciamo che {a n } è definitivamente monotona (crescente o decrescente) se la corrispondente disuguaglianza è vera soltanto da una certa soglia ν in poi. Esempi () { }, { n} sono successioni strettamente decrescenti. n (2) {(n + )!}, { n } sono successioni strettamente crescenti. n (3) { ( + x n) n} è una successione crescente per ogni x (strettamente, se x 0), ed è definitivamente crescente per x < (esempio.8.3 (2)). (4) Le somme parziali di una serie a termini di segno costante formano una successione monotona: crescente se il segno è positivo, decrescente se è 29

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