associate ai corrispondenti valori assunti dall uscita.

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1 1. Definizione di variabile logica. Una Variabile Logica è una variabile che può assumere solo due valori: 1 True (vero, identificato con 1) False (falso, identificato con 0) Le variabili logiche si prestano bene per lo studio e la progettazione dei circuiti elettronici digitali. La branca della matematica che si occupa delle variabili logiche e delle loro relazioni e proprietà si chiama Algebra Booleana (o Algebra di Boole) dal nome del matematico inglese George Boole (principale lavoro pubblicato nel 1847). 2. Definizione di porta logica. Una porta logica è un circuito elettronico elementare che permette di svolgere una particolare funzione logica. Le funzioni logiche principali sono: NOT, AND, OR, NAND, NOR, EXOR, EXNOR. A parte la funzione NOT le porte hanno almeno due ingressi. La funzione logica è espressa dalla tabella di verità (o delle verità) che è l'elencazione di tutte le possibili configurazioni dei valori di ingresso, associate ai corrispondenti valori assunti dall uscita. 3. NOT o invertitore. Simboli utilizzati:! Ā L uscita inverte il valore presente all ingresso. 4. AND (o prodotto logico). Simboli utilizzati * Λ & L uscita è ad 1 quando entrambi gli ingressi sono ad 1.

2 5. OR (somma logica). Simboli usati: + V U L Uscita è ad 1 quando almeno un ingresso è ad NAND (E un AND seguito da un NOT) 7. NOR (E un OR seguito da un NOT) 8. Ex OR (or esclusivo). Simbolo La porta logica Ex Or o XOR realizza una funzione che restituisce il valore 1 se e solo se in entrata viene fornito un numero dispari di 1 (se la porta ha due ingressi, un ingresso è a 1 l altro a 0) 9. Ex NOR (E un EX OR seguito da un NOT) 10. Porte logiche con più di due ingressi. Possono essere utilizzate porte con più di due ingressi, tipicamente si usano AND (o OR) a 2, 4 o 8 ingressi (raramente più di 8). Vediamo un esempio di porte logiche a 3 ingressi:

3 Porta AND (x) a 3 ingressi: 3 Porta OR (+) a 3 ingressi: Le porte AND e OR a 3 ingressi si realizzano spesso come albero di porte AND e OR a 2 ingressi. L'elemento funzionale fondamentale per la costruzione di porte logiche è il transistor. Infatti con un semplice transistor si può ottenere una porta NOT (a), con due transistor in serie una porta NAND (b), con due transistor in parallelo un porta NOR (c) e analogamente anche le altre.

4 4 Esercizio. Con l uso della tabella di verità semplificare la seguente espressione: = + Ripetere utilizzando l algebra booleana e i diagrammi di Karnaugh

5 11. Teoremi dell algebra booleana. 5 Si noti che i postulati sono stati definiti sempre a coppie, il cui secondo membro è stato indicato da un apostrofo ('). Si noti anche che ciascun secondo membro è ottenibile dal primo mediante scambio dei valori 0 e 1 e scambio degli operatori e +. Questo è un esempio del principio di dualità, vero per tutti i teoremi dell'algebra di commutazione poiché risulta vero per i suoi postulati. Da questi postulati si ricavano i seguenti teoremi, dimostrabili semplicemente sostituendo alle variabili tutti i possibili valori (0 e 1): Dei teoremi a n variabili citiamo quello di De Morgan: Le operazioni logiche fondamentali viste fino ad ora: NOT (negazione), OR (+) e AND ( ), sono realizzabili fisicamente da dispositivi elementari che prendono il nome di porte logiche. La porta NOT nega o inverte il segnale ricevuto, la porta OR ne fa la somma logica, e la AND il prodotto logico. Funzioni booleane, ovvero funzioni di variabili booleane (assumono soltanto i valori vero e falso 1,0), possono essere realizzate con gruppi di porte logiche

6 interconnesse opportunamente tra loro creando cosi un vero e proprio circuito digitale chiamato rete logica. Il vantaggio dell'algebra di Boole sta nel fatto che applicando i suoi teoremi permettere la semplificazione di questi circuiti digitali senza doverli realizzare fisicamente. 6 Esercizio. Realizzare un circuito che, dato un numero binario da 0000 a 1001, ne rappresenti la cifra in un display a 7 segmenti. Realizzare il circuito con porte logiche a 2 ingressi minimizzando il numero delle porte. Realizzare, poi, il circuito utilizzando solo porte NAND E NOT. Soluzione. Ogni led a, b, c,... rappresenta una uscita e si illuminerà a seconda del numero che dobbiamo rappresentare. Ad es. per il numero 1 si illuminano b e c, per il numero 2 i segmenti a, b, g, e, d, Scriviamo la tabella di verità per ciascun segmento: D C B A a b c d e f g a compare (il led corrispettivo si accende) nelle seguenti cifre 0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, mentre non compare nelle cifre 1 e 4 realizzate con i 7 segmenti.

7 Analizziamo il segmento b, scriviamo l equazione e cerchiamo di semplificarla. 7