Didattica della matematica a.a. 2004/2005. I numeri decimali. ORLANDO FURIOSO Classe 59

Transcript

1 Didttic dell mtemtic.. 4/5 I umeri decimli ORLANDO FURIOSO Clsse 59

2 PREMESSA L prim e più evidete costtzioe che scturisce dl corso è che l mggior prte degli studeti che escoo d u corso di studi superiori (me compres), per o dire degli isegti di mtemtic che lvoro i etrmi gli ordii di scuol (medi e superiore), utre otevoli dui su cocetti fodmetli quli quello di umero decimle. Questo ccde, mio prere, per u serie di motivi primo fr tutti l superficilità co l qule si ffrot lo studio e, di coseguez, l isegmeto di tle discipli. Lo scocerto sce el vedere come, già prtire dll scuol primri, si fcci uso di formule che, seee lecite, o foriscoo lcu spiegzioe sul motivo per cui si possoo utilizzre. Tli formule, se o soo costruite e rgiote i presez dei disceti, mostrdo i pssggi logici che e sto ll se, o potro mi costituire, d sole, u ver cooscez. DEFINIZIONE DI NUMERO DECIMALE Prtimo dll defiizioe: u umero decimle cosiste i u coppi ordit costituit d u umero turle, detto prte iter, e d u successioe di cifre decimli,,, 9 dett prte decimle. I se ll mi esperiez persole, pochi isegti rrivo d u coclusioe come quell riportt sopr perché, di solito, si tede forire u spiegzioe che, voledo essere meo ovvi, tir i llo espressioi quli: u umero decimle è u umero o itero,..è il risultto di u divisioe che o dà resto ullo, è u umero co l virgol Accde poi, specilmete ell scuol primri che, voledo semplificre i cocetti, questi si vdo trsmettere i mier errt. Sppimo che o esiste u modo uivoco di defiire i cocetti, che qudo si utilizz u liguggio così rigoroso qule quello mtemtico, m è fodmetle che u defiizioe o geeri miguità. Cotiudo ell eucizioe dell defiizioe:..u umero decimle si dice limitto se l su prte decimle è defiitivmete ull, illimitto i cso cotrrio... E cor:..u umero decimle illimitto è periodico se ell su prte decimle è presete u gruppo di cifre che si ripete idefiitmete..si dice periodo il primo e più piccolo (ecco di uovo l importz del rigore liguistico!) gruppo di cifre dell prte decimle che si ripete idefiitmete, tiperiodo il gruppo di cifre decimli che precedoo il periodo. Scrivere,45 piuttosto che,45 5 cre cofusioe izitutto ell ctlogzioe di u umero qule periodico semplice o periodico misto, ioltre, geerdo due frzioi diverse, presuppoe che il rgzzo i chiro il cocetto di equivlez di frzioi (per giugere ll coclusioe due 45!4 455!45 frzioi formlmete differeti quli e geerio lo stesso umero decimle). 9 9

3 Sempre rigurdo ll estt defiizioe di periodo e tiperiodo vi è poi u prte iteresstissim d proporre gli lui (certmete i più motivti dto il grdo di difficoltà piuttosto elevto) rigurdte le segueti dimostrzioi: ) Il risultto dell divisioe fr due umeri è sempre u umero periodico (itededo per umero periodico che quelli l cui prte decimle è esclusivmete o defiitmee ull). ) Se i u divisioe fr due umeri il divisore è u umero primo co, il risultto dell divisioe è sempre u umero periodico semplice. ) I u divisioe fr due umeri (co dividedo o divisiile per ), il risultto è tle che l cifr delle uità dell prte iter o è mi ugule ll ultim cifr decimle del periodo. Predimo l frzioe ; d ess corrispode il umero decimle periodico..., dove, co viee idict l prte iter e co le lettere successive ll virgol le cifre decimli ordite, rispettivmete, come prim, secod, terz cifr decimle. Dll divisioe ricvimo le segueti uguglize: poedo r i per ogi i. Voglimo dimostrre che : ) se r i r llor i+ + r r + r r + r r + r.. r r i+k + ( il che equivle dire che l divisioe tr due umeri dà luogo d u umero decimle periodico () ). D r i r segue che r i i+ + r i+ i+k + + r i+k + ; trsportdo i termii e rccogliedo,si ricv che: ( i+ - i+k + ) r i+k + - r i+ Il secodo memro dell equzioe deve essere per forz ugule perché (l differez di due umeri miori di o può essere u multiplo o ullo di ; mi semr più chiro) o può

4 vere, per le codizioi sopr riportte, u multiplo o ullo, quidi l dimostrzioe di ) è stt effettut. ) se r i D r i che: r (e è u umero primo co ), llor r segue che i! r k r (il che equivle dire che il primo resto è ugule i successivi e quidi il risultto dell divisioe è u umero periodico semplice ()). r - i ri+k! -, trsportdo i termii e rccogliedo, si ricv ( i - ) ( i! r - r i+k! ) I questo cso, oltre l ftto che il secodo memro o poss essere diverso d (perché o può vere u multiplo o ullo), deve che essere (vedo posto primo co ): ( i - ) d cui si coclude, logicmete, che r r k. c) se :,... k (co o divisiile per ), l cifr s delle uità di è divers d k. D r k r k + + s (co s < ) Segue che, se per ssurdo, s k llor vrree si potree scrivere: s! rk!! rk k ( r k + r! + ) Siccome imo posto che o si divisiile per, l relzioe scritt o può sussistere. Le relzioi ) e c), ioltre, suggeriscoo il modo per spere priori se il risultto di u divisioe tr due umeri à origie d u umero periodico misto ed, evetulmete, di cooscere l lughezz del periodo. Iftti, dopo ver diviso i due umeri per i loro evetuli divisori comui e ver ccertto che il t dividedo o si divisiile per, scrivo il divisore come prodotto tr (scrivedo il divisore i r s form! 5! c, t è dto dl mggiore espoete fr r ed s) e il umero c, primo co. A questo puto posso eseguire l divisioe i questo modo: se divido il dividedo per c ottego u t umero periodico semplice (e quidi l prte periodic), se poi divido per ottego l prte tiperiodic. L espoete t, ioltre mi idicherà priori l lughezz dell tiperiodo: d qui vedo chirmete che se t, l tiperiodo o c è. 4

5 L serie di dimostrzioi presett precedetemete potree essere troppo ostic per gli lui di u scuol medi, forse che per i più mtemtici m io teterei comuque di proporgliel, mgri fficdo ll scrittur geerlizzt l esempio umerico (l scrittur geerlizzt serve per o trsmettere ll clsse l errt covizioe che pochi esempi umerici stio dimostrre u cocetto!) Esempio: 7, r,9.. ( 7 75! + 7 ) 7 r + r (! 7 75! + 7 ) 7 r + r 675 (! 7 75! ) -5 r + r 5 (! 5 75! + 5 ) -5 r 4 + r 4 5 (! 5 75! + 5 ) -5. Dimostrdo il puto ) potrò fr vedere i rgzzi che se, d u certo puto dell mi divisioe trovo due resti uguli, questi cotiuero ripetersi idefiitmete: se r i r llor i+ r r i+k + se il terzo resto trovto ( r ) è ugule, per esempio, l quito ( r+ vedo posto k), llor il resto successivo l secodo ( r + ) srà ugule l resto successivo l quito ( r + + ). Quidi procedo ell dimostrzioe, sempre seguit dll esempio cocreto: D r i r segue che i r i+ + r i+ i+k + + r i+k + se il secodo resto trovto è ugule l quito, llor il secodo resto moltiplicto per srà ugule ll somm del prodotto del dividedo per l terz cifr del risultto co il terzo resto reltivo e, cor, tle somm srà ugule.. Posso procedere ll stess mier che co le ltre due dimostrzioi (logicmete scegliedo umeri che soddisfio le codizioi imposte l puto ) e l puto c)). Ache se ridurre u dimostrzioe semplici esempi umerici o è mtemticmete corretto, u lvoro del geere h comuque il pregio di vvicire i rgzzi di u scuol medi l rgiometo che si scode dietro regole forite di liri di testo quli: 5

6 Hi u frzioe Riducil i miimi termii Scompoi il deomitore i fttori primi NO Ci soo fttori diversi d o d 5? SI NO Tr i fttori o compre é é 5? SI Dividedo umertore e deomitore si trov u DECIMALE LIMITATO Dividedo umertore e deomitore si trov u PERIODICO MISTO Dividedo umertore e deomitore si trov u PERIODICO SEMPLICE Questi strtgemmi ho il pregio di semplificre le procedure di esecuzioe m sez u spiegzioe dei pssggi logici che e sto ll se o costruiro mi u ver cooscez. Ultr regolett trsmess qusi sempre i mier meccic rigurd l trsformzioe di u umero periodico i frzioe: L frzioe geertrice di u umero periodico è u frzioe che h per umertore l differez fr il umero periodico (scritto per esteso, sez virgol e sez il sego del periodo) e il umero formto d tutte l cifre che precedoo il periodo e, per deomitore, tti 9 qute soo le cifre del periodo, seguiti d tti qute soo le cifre dell tiperiodo. Pochi isegti fo lo sforzo di spiegre il semplice rgiometo logico che st dietro quest formul, forse perché, che sui liri di testo, si trov rrmete tle spiegzioe. Si potree seguire tle procedimeto: Aimo il umero periodico: 6,5 Moltiplichimo per : 65, Moltiplichimo per : 65, Sottredo: 65, - 65, 588 6

7 588 Quidi risult che d cui 9 IL PROBLEMA DEL 9 PERIODICO Sppimo che dti due umeri decimli esistoo ifiiti umeri decimli compresi fr essi, m il ostro sistem di rppresetzioe dei umeri decimli ci port d u prolem: SAPPIAMO SCRIVERE UN NUMERO COMPRESO FRA, 9 ED? E FRA 5,99 E 6?. L rispost è egtiv m si può ovvire questo ostcolo mettedo ell stess clsse di equivlez tutti i umeri decimli limitti (e co l ultim cifr o ull) e quelli che differiscoo d questi ultimi per vere, l posto di quest ultim cifr o ull, l stess cifr dimiuit di uo e seguit d u sequez ifiit di 9. Cosiderre ell stess clsse di equivlez coppie di umeri quli, 9 e ppre lecito che qudo si vo cosiderre le segueti differeze:,9,,99,,999,.tedoo!! Ache i rgzzi si può forire u spiegzioe del geere sez tirre i llo l regol dell frzioe geertrice perché, se è vero che: È flso dire che: 9 Regol per l frzioe geertrice,9, 9,9 Regol per l frzioe geertrice errt. U ltertiv ll soluzioe di cosiderre ell stess clsse di equivlez i umeri col ove periodico potev essere quell di o prederli mi i cosiderzioe, escludedoli dll clsse dei decimli, pprofittdo del ftto che o compre mi il ove periodico el risultto di u divisioe come qui di seguito dimostrto: Dll relzioe :,., co itero e i "{,,...,9}! i,.., (l dimeticz dei putii dopo è grve, e dà l impressioe che lei o i e cpito che cos sti fcedo) Suppoimo per ssurdo che 9 (vede che vevo rgioe?) Allor si ho, ell successioe dei resti reltivi ll prte periodic, due resti uguli (dovev mettere i puitii e poi scrivere i 9 per i ) che chimimo r i e r i+k. Possimo scrivere: 7

8 r i -9 r i+ r i+ -9 r i+ r i+k- -9 r i+k r i perciò ri ri 9 9 ri k 9 9 r i 9-r i k k +!! Moltiplicdo il primo e l ultimo memro per k- si deduce che: k r r " k! i i ( k -)r i ( * k- ) e quidi che r i FALSO! Il ftto che questo tipo di umeri o compi elle operzioi di divisioe o ci utorizz, tuttvi, d escluderli dll isieme dei umeri decimli perché essi si preseto i ltre ppliczioi quli, per esempio, l somm fr umeri periodici:, +, 7, 9. (Aggiugerei : se escludessimo il 9 periodico, sree difficile dire che quell somm è ; metre è evidete che le pprossimzioi successive coducoo l umero, 9 ) Ordimeto e completezz i d Ricorddo che: (No sree meglio Ricordimo che?) u ordimeto (o u relzioe d ordie) i u isieme A è u corrispodez D fr l isieme A e se stesso tle che, se scrivimo < ivece di (,) D si h: ) < è fls "! A ) <, <c! <c ",, c! A c) dti, A è ver u (e u sol) delle relzioi <, <, Segue che, per stilire se l isieme cui pprtegoo due umeri è ordito, deve verificrsi u delle tre codizioi sopr descritte. (M eche per sogo! Devoo verificrsi tutte e tre!) Se, e, (isog scrivere i umeri evitdo il 9 periodico, ltrimeti d esempio, 9 < ) <! < oppure e < oppure, e < Metre per i umeri decimli limitti e decimli periodici possimo pplicre co esttezz il procedimeto sopr riportto e stilire, quidi, u ordimeto, per gli irrzioli simo i grdo solo di compiere delle pprossimzioi. 8

9 L ordimeto i D rede lo stesso isieme COMPLETO. Ricordimo che, ffiché sussist l completezz, occorre dimostrre che i D ogi sottoisieme umerico si limitto superiormete, cioè esist u mggiorte d A tle che m< d per ogi m M, ed i estremo superiore, cioè esist miimo per l isieme dei mggiorti di M. Predo i cosiderzioe u geerico sottoisieme M di D, limitto superiormete E presete u isieme di mggiorti per M. Cosidero l isieme delle prti itere degli elemeti di M che vrà mssimo Si M l isieme di tutti gli elemeti di M che ho prte iter Si l mssim prim cifr decimle degli elemeti di M Cosidero M formto d tutti gli elemeti di M che ho prte iter e prim cifr decimle Si l mssim secod cifr decimle degli elemeti di M Cosidero M l isieme di tutti gli elemeti di M che ho prte iter, prim cifr decimle e secod cifr decimle Iterdo il procedimeto ottego u umero decimle, che per costruzioe risult estremo superiore per M (iftti è il miimo possiile fr tutti i mggiorti). Potrei essere portt pesre che che l isieme Q si completo m, qudo predo i cosiderzioe S {q Q q < } i Q, questo, che se o è vuoto ed è limitto superiormete, o h estremo superiore. Se cosiderssi s estremo superiore di S vrei che: ) s e ciò o è possiile perché è ssurdo i N (iftti ell ugugliz il fttore primo compre u umero pri di volte el primo memro e u umero dispri el secodo. ) se s <, co N i modo che (s + ) s + < - s, si vree s + s + < s + - s 9

10 FALSO! (perché s è l estremo sup di S) ) se s s >, co co N i modo che < s -, si vree (s - ) s + s! > s +! s + + FALSO! (perché s è l estremo sup di S) Defiizioe delle operzioi i d (D ) L completezz dell isieme dei decimli ssoluti ci permette di defiire l somm e il prodotto di due umeri decimli:,, Iftti, utilizzdo gli stessi procedimeti o, meglio, lgoritmi, dei umeri decimli limitti, posso defiire tte somme, procededo ell successioe delle cifre, s + ; s, +, ; s, +,... che vo costituire l isieme S { s, s, s,...}, limitto superiormete (st cosiderre u somm qule + +4 che è sicurmete u mggiorte). Siccome D è completo, S h estremo superiore: + : sup S Ache per il prodotto vlgoo le stesse cosiderzioi e quidi posso defiire tti prodotti, procededo ell successioe delle cifre, p ; p,, ; p,,... che vo costituire l isieme P..(logo rgiometo riportto sopr) All fie cocludo: : sup P Per l sottrzioe e l divisioe vlgoo le stesse cosiderzioi essedo operzioi iverse dell ddizioe e dell moltipliczioe. ) l isieme A { D + } è limitto superiormete perché è u mggiorte e quidi h u estremo superiore che idichimo co p + p perché, se fosse miore esisteree u uovo umero p! tle che + p! p o sree estremo superiore di A.

11 ) l isieme B { D } è limitto superiormete perché miimo idice tle che è diverso d ) è u mggiorte per B, iftti se è i B si h:, (se è il,.. d qui deriv che B h u estremo superiore che chimimo q e che corrispode d : q, iftti se fosse miore, esisteree u q > q co q e q o sree estremo sup di B. Per completre il quo dell defiizioe delle operzioi i cso: < Per dimostrre che ) + c < + c per ogi c D ) c < c per ogi c D (escludedo lo ) Se pogo < esiste u idice tle che per ogi m >, posso scrivere che D occorre porre l ttezioe sul..., m <,... m e quidi, pplicdo l ):..., m + c, ccc... cm <,... m m ciò o vuole comuque dire che + c < + c (iftti potree che sottedere u ugugliz fr i due memri) llor fccio ricorso d u idice tle che: c,...( cc c + ) - c, ccc... c <,... - (,...( + ) (spostdo i memri),...( + ) + c, cc...( c + ) <,... + c <,...( + ) + c, cc...( c + ) <,... + c, ccc... c + c, ccc... c < + c Lo stesso rgiometo vle, ovvimete per il prodotto (relzioe ))

12 Distizioe fr l isieme DELLE FRAZIONI E L INSIEME DELLE CLASSI DI EQUIVALENZA DELLE FRAZIONI Possimo cosiderre l distizioe fr l isieme F delle frzioi e l isieme Q delle clssi di equivlez delle frzioi, uo dei prolemi crucili dell didttic dell mtemtic, prolem legto ll trdizioe di idicre co lo stesso simolo si l frzioe che il umero rziole. Questo cre ei rgzzi (m, ll fie, che egli isegti), u tedez riferire le operzioi e l ordimeto, esclusivmete lle frzioi e o i umeri rzioli che corrispodoo d essi. Dimostrimo il cotrrio: le operzioi e l ordimeto soo riferiti i umeri rzioli. (Le segueti dimostrzioi possoo essere proposte, secodo me, sez troppi prolemi, i rgzzi dell scuol medi). c Cosiderimo due frzioi e (co, d! ) ridotte i miimi termii e idichimo co d e c le frzioi d esse equivleti otteute moltiplicdo umertore e deomitore per due fttori d diversi d : h c e ck h (co h, k! ) d dk Applicdo l somm: (che rutt espressioe!) c d + + d dc + c d h ck + h dk hdk + ckh hk( d + c) d + c hdk hkd d + d c Applicdo il prodotto: (idem) c c! c h!. d d! d h ck! dk hck c hdk d c! d Per quto rigurd l ordimeto: c < d < c d! c <! d h ck < h dk hdk < hck d < c

13 dimostrzioe del ftto che l ppliczioe turle f : F D pss l quoziete, ddo luogo u ppliczioe j : Q D. Si f : F! D l ppliczioe turle che ssoci d ogi frzioe : e j : Q! D l ppliczioe che ssoci ll clsse di equivlez di divisioe :. il risultto dell divisioe il risultto dell Voglimo dimostrre che j : Q! D Se è u frzioe ridott i miimi termii e : il decimle otteuto eseguedo l divisioe, posso scrivere le segueti relzioi: + r r + r r + r r + r.. co! r i < per ogi i. Trovdo u frzioe equivlete quell dt ( ) posso ffermre che esiste u umero c c diverso d tle che e posso scrivere: c c c +cr cr c + cr cr c + cr cr c + cr.. All fie ottego: f ( ) :,. c : c : f ( ) Restrigedo il cmpo i umeri periodici, cosidero l ppliczioe j : Q! D p Dimostrdo che tle relzioe è u isomorfismo possimo eseguire le operzioi fr umeri periodici utilizzdo i umeri rzioli co i quli o vi soo prticolri difficoltà. U isomorfismo per essere tle deve soddisfre le segueti codizioi: ) Ordimeto e iiettività. ) Surgettività. ) Omomorfi dditiv e moltiplictiv. DIMOSTRAZIONE DI )

14 c c Se > segue che j () > j ( ) d d Se d corrispode il umero, e d c corrispode il umero y,y y y. Ricvo: + r c dy + s r + r s dy + s r + r s dy + s r + r s dy + s.... r + r s! dy + s! co! r i < e! s i <d per ogi i. D cui: d-c d( + r ) - (dy + s ) d + dy - s d( y ) + s + r d( y ) + d( dy + ) - ( s ) d ( y +! y ) +! s! y d ( y +! y! s! y + ) + d ( y +! y + +! y! s! y ) + d ( y +! y! y ! y ) + +! s Per "! si h che " s! e quidi, siccome imo ipotizzto che d>c, d u certo puto l qutità! y y +! y! y ! y srà positiv. Se pogo che i si il miimo degli idici per cui vle quest ultim relzioe, mi ritrovo predere i cosiderzioe i segueti csi:. i > y e quidi > y.. i> y, perchè se fosse >y, sree i (cosiderto che i è il più piccolo idice che rede positiv l relzioe scritt sopr); ivece,se fosse < y l qutità 4

15 ! y + relzioe.! y! y + + +! y sree isufficiete redere positiv l. i > y quidi >y.. i> y perché, sevessi > y, sree i (cosidertoche i è il più piccolo idice che rede positiv l relzioe scritt sopr); ivece, se fosse < y l qutità! y! y + + +! y sree isufficiete redere positiv l relzioe.. Iterdo il procedimeto si ottiee y,., i- y i-, i >y i e quidi >y dimostrzioe è coclus. e l DIMOSTRAZIONE DI ) E fcile e certmete più fmilire costtre, d prte dei rgzzi, il ftto che ogi umero periodico si il corrispodete di u umero rziole, iftti essi si trovo dover trovre frequetemete l frzioe geertrice di u umero periodico. Se è u umero periodico co tiperiodo formto d l cifre e periodo formto d m cifre, i umeri l l+m e ho l stess prte decimle. l l+m - umero turle l m (! ) DIMOSTRAZIONE DI ) Occorre dimostrre che & c # c ) j $ +! j( ) + j( ) % d " d c $ c ) j %! " j( )! j( ) & d # d Per semplicità, predimo i cosiderzioe l omomorfismo dditivo: ) cosidero, il umero decimle (dto dll divisioe di corrispodete ll frzioe d c. ) e y,y y y. 5

16 + r c dy + s r + r s dy + s r + r s dy + s r + r s dy + s.... r + r s! dy + s! co! r i < e! s i <d per ogi i. D queste ricvo che: d + c d( + r ) + (dy + s ) d + + dy + s d( + y ) + + s + r d( + y ) + d( dy ) + ( + s + y ) d ( + y + ) + + y d ( + y + + y + s + ) + + y d ( + y + + y + y + s + + ) + + s + y d ( + y + + y + y y ) + + s Per "!, + s! iftti! + s <d e l qutità + y + + y + y y tede + y. + y + Posso scrivere: d + c d( +y)! d + c d + y & c # d + c j ( $ +! j( ) j( ) + % d " d c j( ) d 6