I COMPITINO DI MATEMATICA A.A Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università di Pisa 20 Novembre 2008

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1 1 COGNOME: NOME: N. DI MATRICOLA: Esercizio 1. (6 punti in totale) I COMPITINO DI MATEMATICA A.A Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università di Pisa 20 Novembre 2008 Francesco è leggermente sovrappeso. Consulta una dietologa, secondo la quale Francesco dovrebbe gradualmente perdere 3 Kg di peso. La dietologa gli fornisce alcune informazioni utili per orientarsi su come fare e insieme fanno alcuni calcoli. Ecco sinteticamente le informazioni: 1) Oltre a mangiare di tutto e in modo sano, per perdere peso occorre fare molta attività fisica in modo da poter bruciare più calorie di quante se ne assumano con il cibo. Questo significa, aggiunge la dietologa, avere un deficit giornaliero di calorie: per esempio, se ogni giorno si assumono tramite il cibo 2000 Kilocalorie (Kcal) e se ne bruciano - per normale attività vitali e per sport Kcal, il deficit giornaliero è di Kilocalorie. 2) La rapidità con cui si bruciano calorie dipende, a parità di altre condizioni, anche dal peso iniziale, dall età, dal sesso e dal peso dal quale si parte. 3) Di base - anche solo stando a riposo tutto il giorno - ognuno di noi brucia una quantità media di calorie pari a: Q U = 10P H 5A + 5 Kcal per un uomo di peso P Kg, altezza H cm e di età A anni e Q D = 10P H 5A 161 Kcal per una donna. Q U e Q D sono noti come rapidità di metabolismo a riposo (RMR). 4) Una persona - uomo o donna - che faccia una vita sedentaria (cioè svolgendo poche e poco faticose attività rispetto allo stare completamente a riposo) brucia in media (1.2 ± 0.1) volte le calorie Q U o Q D che brucerebbe stando completamente a riposo, mentre una persona molto attiva, che faccia sport praticamente ogni giorno, brucia in media (1.7 ± 0.1) volte le calorie Q U o Q D che brucerebbe stando completamente a riposo. 5) Infine, se per semplificare i calcoli si trascura la dipendenza dall età, dal sesso e dal peso iniziale, per smaltire ogni Kg di peso è necessario in media un deficit di 7700 Kcal in un numero adeguato di giorni. Con tutte queste informazioni alla mano e sapendo che Francesco ha 20 anni, pesa 78 Kg ed è alto 185 cm: a) Determinare qual e la rapidità di metabolismo a riposo (RMR) di Francesco, quante Kcal brucia se fa vita sedentaria e e quante quelle che brucia se fa una vita molto attiva facendo sport ogni giorno (1 punto). b) Se Q U in 3) è noto con una precisione del 5%, con quale precisione è possibile conoscere la quantità di calorie calcolate in a), cioè quelle bruciate ogni giorno da una persona con vita sedentaria e da una persona che fa sport ogni giorno? (1 punto)

2 c) Sapendo che Francesco assume ogni giorno circa 2000 Kcal tramite il cibo, determinare il deficit giornaliero di calorie di Francesco nei due casi (vita sedentaria e vita molto attiva) (1 punto) 2 d) Determinare quanti giorni impiega Francesco a perdere i 3 Kg di peso, sempre nei due casi (vita sedentaria e vita molto attiva) (2 punti) e) Sulla base delle informazioni fornite, una donna dello stesso peso altezza ed età di Francesco e a parità di tipo di vita (sedentaria o attiva) avrebbe impiegato di più o di meno a perdere i 3 Kg? (1 punto) Esercizio 2. (15 punti in totale) Sia data la funzione f : R R f(x) = ln(1 4x 2 ) a) Si studi f(x) e se ne tracci il grafico (11 punti). In particolare si determini, motivando in modo opportuno ogni risposta: a.1) Il campo di esistenza di f(x) (1 punto) a.2) Per quali valori di x, f(x) è positiva e per quali è negativa (1 punto)

3 3 a.3) L immagine di f(x) (1 punto) a.4) Il comportamento di f(x) in corrispondenza degli estremi del campo di esistenza (1 punto) a.5) Gli intervalli di x per i quali la funzione è crescente o strettamente crescente, e quelli per i quali è decrescente o strettamente decrescente (2 punti) a.6) Se f(x) ha dei punti di massimo o di minimo locali e, se ne ha, quanto vale la funzione in questi punti (2 punti)

4 a.7) Tracciare qualitativamente il grafico di f(x) sulla base delle risposte a.1)-a.5), avendo cura di farlo in scala rispetto alle unità di misura scelte per i due assi. (3 punti) 4

5 b) Tracciare sullo stesso grafico e senza ulteriori studi (ma motivando brevemente la risposta) le funzioni f(x) e le seguenti altre (4 punti): b.1) f(x) (2 punti) b.2) f(x 3) (2 punti) 5

6 6 Esercizio 3. (10 punti in totale) Determinare, se esistono, le soluzioni delle seguenti equazioni e disequazioni: a) 2x 2 3x + 5 > 0 (2 punti) b) 6 + 5x 2 x 2 = 5x (tutte le soluzioni trovate sono accettabili?) (3 punti) c) x 2 > x 2 x 6 (3 punti) d) x 2 + x x = 5 x 2 (2 punti)

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