Un problema di dadi. Michele Impedovo

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1 Un problema di dadi Michele Impedovo Riaunto Quante volte, in media, occorre lanciare un dado a facce perché tutte le facce ecano almeno una volta? Per riolvere queto problema non è neceario calcolare eplicitamente la probabilità che in n lanci di un -dado ecano k facce. È ufficiente fare ricoro alla ditribuzione geometrica di probabilità di un'opportuna variabile aleatoria. Abtract On average, how many time mut a -ided die be rolled until each ide appear at leat once? To olve thi problem we do not necearily know the probability of rolling k ide when we throw n dice. We will conider the geometric ditribution of a random variable. Michele Impedovo Liceo Scientifico G. Ferrari Varee impedovo@tin.it

2 Il problema del collezionita Quante volte, in media, occorre lanciare una moneta affinché eca ia TESTA che CROCE? Quante volte, in media, occorre lanciare un dado perché ecano tutte le facce? Quante figurine, in media, devo comprare per "finire" l'album? Queto problema, noto come "il problema del collezionita" ammette una oluzione generale belliima, che vogliamo illutrare. In generale il problema i può formulare in queto modo: quante volte, in media, occorre lanciare un -dado (un dado a facce) perché ecano tutte le facce? Ad un primo approccio i tratta di calcolare, per ogni n, la probabilità p(n) che ecano tutte le facce con n lanci (naturalmente riulta p(0) = p() = p() = = p( ) = 0) e quindi calcolare la omma della erie kpk ( ). Si tratta in definitiva di introdurre la variabile aleatoria X = numero di lanci perché ecano tutte le facce, calcolare per ogni n la probabilità p(x=n) e infine calcolare il valor medio E(X) di X. La moneta: = Per una moneta equa la oluzione i trova facilmente; i oervi il grafo a fianco, in cui è ucita (per eempio) la faccia C al primo lancio. Allora p(x = ) = / p(x = 3) = /4 C p(x = 4) = /8 p(x = n) = / n T C Il valor medio di X è dato dalla omma della erie / / E(X) = k. / T C T / C k = k Come i calcola tale omma? Se poniamo p=/, allora / /...

3 E(X) = k = = k d p dp p 0 k kp = p = ( p) d p k = dp. d dp k p = Abbiamo dimotrato un riultato che ci arà utile in eguito: ( p). k kp = Se poniamo p=/ allora il numero medio di lanci di una moneta equa per ottenere tutte e due le facce è 3. Se la moneta non è equa ma è di trucco p, cioè ece T con probabilità p e C con probabilità q= p, ragioniamo nel eguente modo: X = n equivale al fatto che per n lanci è ucito T e al n-eimo lancio ece C (con probabilità p n q) oppure per n lanci è ucito C e al n-eimo lancio ece T (con probabilità pq n ). Quindi p(x = n) = p n q + pq n e riulta k k k k E(X) = k( p q+ pq ) = q kp + p kq k = Per quello che abbiamo dimotrato precedentemente riulta k kp = k = ( p ) k kq = ( q ) e dunque E(X) = q + p = + ( p) ( q) p q dove q= p. Il grafico di X al variare di p è il eguente. 3

4 Il grafico è ovviamente immetrico ripetto a p = 0.5, in cui abbiamo il valor medio minimo; e p tende a 0 oppure a allora E(X) tende a infinito, come è ragionevole upporre. Il problema del tiratore Apriamo una breve parentei, per determinare un riultato che ci arà utile in eguito. Un tiratore colpice il beraglio con probabilità p: quante volte deve tirare per colpire il beraglio? L'intuito ci dice che e la probabilità di centrare il beraglio è, per eempio, /0, allora occorreranno in media 0 tiri per colpirlo. Ovviamente upponiamo che ogni tiro ia indipendente dai precedenti (e quindi tracuriamo la tanchezza, la deluione, ). Sia X la variabile aleatoria X = numero di tiri affinché il tiratore colpica il beraglio. Dimotriamo che E(X) = /p. Infatti e il beraglio è colpito per la prima volta dopo n tiri allora vuol dire che il tiratore ha bagliato per n volte (ogni volta con probabilità q= p) e quindi p(x = n) = pq n. Si tratta della ditribuzione geometrica della variabile aleatoria X: pq n è la probabilità che il "tempo di attea" per il verificari dell'evento di probabilità p ia n. Per il valor medio di X riulta k k E(X) = kpq = p kq. k = Poiché appiamo che 4

5 k kq = ( q ) allora k kq = = ( q ) p dunque E(X) = p p = p. Il tempo medio di attea per il verificari di un evento di probabilità p è /p. Queto piega perché la moneta va lanciata in media 3 volte per ottenere ia TESTA che CROCE: 3 = (tempo di attea per una faccia qualiai) + (tempo medio di attea perché i preenti l'altra faccia, che ha probabilità /). Lo teo riultato può eere ottenuto in un modo molto più emplice, enza ricorrere alle erie: il tempo medio di attea E(X) vale con probabilità p (la probabilità di centrare il beraglio al primo tiro) e vale +E(X) con probabilità p (e al primo tiro non ho colpito il beraglio poo immaginare di ripartire daccapo, e il tempo medio di attea da quel punto in poi è empre E(X), dunque il tempo d'attea totale arà +E(X)). Riulta quindi E(X) = p + (+E(X))( p) da cui E(X) = /p. Il dado: = 6 Vediamo ora come riolvere il problema nel cao di un dado equo a 6 facce. Per riolvere il problema cambieremo trategia. Lanciamo il dado una prima volta e otteniamo una certa ucita d. Quanti lanci occorre fare per avere un'ucita divera da d? Introduciamo la variabile aleatoria X = numero di lanci per avere un'ucita divera da d. Il problema è identico a quello del tiratore: noi "tiriamo" con probabilità p=5/6 di "colpire il beraglio" e q=/6 di mancarlo, nel qual cao tireremo di nuovo, e coì via. Allora E(X ) = 6/5 =. Quindi occorre lancio per la prima ucita e. lanci per la econda ucita: iamo a. lanci. Il paaggio volto ci porta ubito alla oluzione: e ono già ucite 5

6 facce ucirà la terza faccia (divera dalle precedenti) con probabilità p=4/6, e dunque dopo E(X 3 ) = 6/4 =.5 lanci. La quarta faccia ucirà con probabilità p=3/6, e dunque dopo E(X 4 ) = 6/3 = lanci. La quinta faccia ucirà con probabilità p=/6, e dunque dopo E(X 5 ) = 6/ = 3 lanci. Infine la eta faccia ucirà con probabilità p=/6, e dunque dopo E(X 6 ) = 6/ = 6 lanci. Ricordando che la prima faccia ovviamente ece al primo lancio, il che ignifica E(X ) = 6/6 = la ripota al problema del collezionita per = 6 è E(X ) + E(X ) + E(X 3 ) + E(X 4 ) + E(X 5 ) + E(X 6 ) = = k = 4.7. Occorre lanciare, in media, 4.7 volte un dado per vedere ucire tutte le facce. Il cao generale È immediata la generalizzazione. Abbiamo un -dado equo. Se indichiamo con Y la variabile aleatoria Y = numero di lanci di un -dado affinché ecano tutte le facce allora Y = X + X + + X Ho un dado a facce; e ono già ucite k facce divere, la probabilità che eca la k + (k+)-eima faccia è p = e il valor medio del numero di lanci da effettuare è E(X k ) = k + La oluzione generale è dunque E(Y ) = E ( Xk ) = k + = k. Magico, eh? Volete apere quante perone occorre prendere in media per avere rappreentati tutti i compleanni dell'anno? 6

7 k 365. Viene ora voglia di chiederi quale ia l'andamento di E(Y) al variare di E(Y) È ufficiente oervare che n lim = ln(n) + γ, n k = k dove γ = è la coiddetta cotante di Eulero-Macheroni. Quindi ln. E(Y ) () Michele Impedovo 7