5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale

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1 CAPITOLO 5 Calcolo differenziale 5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale Sia data la funzione f : X Y, e sia 0 X. Se la variabile indipendente passa dal valore 0 al valore 0 +, con molto piccolo, anche la funzione f () subirà un incremento, pari a f ( 0 + ) f ( 0 ), noto come incremento di f () e indicato con f ( 0 ) : f ( 0 ) = f ( 0 + ) f ( 0 ). f() f(0 + ) f(0) f(0) Figura 5.1 Rappresentazione dell incremento della variabile indipendente e dell incremento f ( 0 ) della funzione f (). In molte applicazioni economiche 1 è rilevante studiare il comportamento del rapporto incrementale f ( 0 ) = f ( 0 + ) f ( 0 ) 1 In realtà ciò potrebbe essere affermato per qualsiasi scienza formulata in termini matematici. 115

2 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 116 quando è molto piccolo o, in termini più precisi, il ite 0 f ( 0 + ) f ( 0 ). Prima di analizzare il significato (economico e geometrico) del ite di tale rapporto è opportuna la seguente R Definizione (Derivabilità in un punto) Sia f : X Y e 0 X. Se esiste ed è finito il ite f ( 0 + ) f ( 0 ) = f ( 0 ) 0 si dice che la funzione f () è derivabile nel punto 0 e il numero f ( 0 ) si dice derivata di f () nel punto 0. " Osservazione Poiché = 0 si ha che = 0 + e che 0 = 0. La definizione della derivata f ( 0 ) può essere pertanto espressa tramite il ite (se esiste) f ( 0 ) = 0 f () f ( 0 ) Significato geometrico della derivata Si ricorda che l equazione di una retta passante per il punto ( 0, y 0 ) e di coefficiente angolare m è y() = m( 0 ) + y 0. L equazione della retta y s secante il grafico di f () nei punti A = ( 0, f ( 0 )) e B = ( 0 +, f ( 0 + )) (si confronti la figura 5.2) è y s () = f ( 0 + ) f ( 0 ) ( 0 ) + f ( 0 ), visto che la pendenza della retta secante è f ( 0+ ) f ( 0 ) ed essa passa per il punto ( 0, f ( 0 )). Si osservi che se 0 il punto B tende al punto A e la retta secante y s tende a sovrapporsi alla retta tangente y t. Ne segue che il coefficiente angolare della retta secante, f ( 0+ ) f ( 0 ), tende al coefficiente angolare m t della retta tangente: f ( 0 + ) f ( 0 ) = m t f ( 0 ). 0

3 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 117 f() yt f(0 + ) B ys f(0) A Figura 5.2 Rappresentazione grafica della retta y s secante il grafico di f () nei punti A e B e della retta y t tangente il grafico di f () nel punto A. Si è ottenuta, in particolare, l equazione della retta tangente il grafico di una funzione f () (o, brevemente, della curva f ()) nel punto ( 0, f ( 0 )) : y t () = f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) visto che, evidentemente, tale retta tangente passa per il punto ( 0, f ( 0 )). E Esempio 5.1 Si calcoli l equazione della retta tangente il grafico di f () = 2 3 nel punto 0 = 1. Il coefficiente angolare della retta tangente si ottiene calcolando il ite del rapporto incrementale f ( 0 + ) f ( 0 ), 0 dove f ( 0 + ) = 2(1 + ) (1 + ) 3 = 1 3( ) 2 ( ) 3. e f ( 0 ) = 2(1) 1 3 = 1 Si ha: f ( 0 + ) f ( 0 ) 1 3( ) 2 ( ) 3 1 3( ) 2 ( ) 3 = = = [ ( )2 ] = 1. L equazione della retta tangente in 0 = 1 è, pertanto, y t () = 1( 1) + 1 = + 2.

4 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Alcuni significati economici della derivata Grandezze marginali Si considerino, ad esempio, una funzione costo C (), una funzione ricavo R() ed una funzione di utilità U (). Derivando una delle funzioni menzionate nel punto 0 si ottiene: C C ( 0 + ) C ( 0 ) ( 0 ) =, 0 noto come costo marginale; noto come ricavo marginale; R R( 0 + ) R( 0 ) ( 0 ) =, 0 U U ( 0 + ) U ( 0 ) ( 0 ) =, 0 nota come utilità marginale. Il costo marginale, ad esempio, esprime un approssimazione dell incremento che il costo subisce in corrispondenza ad una variazione unitaria della variabile indipendente da 0 a Esso rappresenta un approssimazione perché la derivata C ( 0 ) coincide con tale incremento solo se la funzione costo è affine. In effetti, sia C () = a + b. Si ha: C ( 0 + ) C ( 0 ) = a( 0 + ) + b (a 0 + b) = a e, quindi, C C ( 0 + ) C ( 0 ) a ( 0 ) = = 0 0 = a, risultato che coincide con la variazione di costo per variazione unitaria della variabile indipendente: C ( 0 + 1) C ( 0 ) = a( 0 + 1) + b (a 0 + b) = a. Se invece la funzione C () non è affine, come sarà chiaro in seguito, il costo marginale e la variazione di costo per variazione unitaria della variabile indipendente non sono più uguali. Un discorso analogo vale, ovviamente, anche per le altre grandezze marginali.

5 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Elasticità puntuale Siano date la grandezza, di valore 0, e una sua funzione, f (). Se la variabile passa dal valore 0 al valore 0 + si dirà che essa ha subito la variazione assoluta. In corrispondenza a tale variazione assoluta, la funzione f () subirà la variazione assoluta f ( 0 ) = f ( 0 + ) f ( 0 ). Se la variazione che ha subito la variabile si rapporta al suo valore iniziale 0, se si considera cioè la grandezza 0, si parlerà di variazione relativa. In maniera analoga si dirà che la variazione relativa subita dalla funzione f () è f ( 0) f ( 0 ). Nelle considerazioni economiche, gli incrementi relativi sono spesso più significativi di quelli assoluti in quanto permettono di caratterizzare l entità dell incremento. Si supponga, infatti, che 0 = 100. Se l incremento è = 1, a ciò corrisponderà un incremento relativo pari a 0 = = 1%. Se, a parità di incremento, si suppone che 0 = 1000, tale incremento contribuirà sulla variazione di valore della variabile solo per una quantità relativa pari a = 0.1% la variazione relativa è un numero puro. Ciò consente di confrontare, ad esempio, la variazione percentuale dell offerta di una data merce indipendentemente dalla unità monetaria utilizzata. La discussione appena effettuata giustifica la seguente R Definizione (Elasticità puntuale) Sia f () derivabile in 0 e sia 0 0 e f ( 0 ) 0. La grandezza E[f ( 0 )] = 0 f ( 0 + ) f ( 0 ) f ( 0 ) si chiama, se esiste finito il ite a secondo membro, elasticità puntuale di f () nel punto 0. " Osservazione L elasticità puntuale rappresenta il rapporto tra la variazione relativa di f () e quella di, quando la variazione assoluta di quest ultima tende a zero. " Osservazione L elasticità puntuale E[f ( 0 )] può essere riscritta come E[f ( 0 )] = 0 f ( 0 ) f ( 0 ). R Definizione (Grandezze elastiche, inelastiche e anelastiche) 0 Se risulta E[f ( 0 )] > 1 la funzione f () è detta elastica in 0

6 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 120 Se risulta E[f ( 0 )] < 1 la funzione f () è detta inelastica in 0 Se risulta E[f ( 0 )] = 1 la funzione f () è detta anelastica in 0. L elasticità puntuale può essere riscritta come E[f ( 0 )] = f ( 0 ), f ( 0 ) 0 che può essere interpretato come rapporto tra la pendenza della tangente a f () in 0 e la pendenza di una retta passante per l origine e per il punto ( 0, f ( 0 )). Supponendo f ( 0 ) > 0 e f ( 0) 0 > 0, la funzione f () sarà quindi elastica se la pendenza della retta tangente a f () in 0 è maggiore della pendenza di una retta passante per i punti (0,0) e ( 0, f ( 0 )) mentre sarà inelastica nel caso contrario. f() f(0) 0 Rappresentazione grafica di una funzione elastica in Punti di non derivabilità Se il ite del rapporto incrementale f ( 0 + ) f ( 0 ) 0 non esiste oppure è infinito, si dirà che la funzione f () non è derivabile nel punto 0. Si distinguono i seguenti punti di non derivabilità: R Definizione (Punto angoloso) Se f ( 0 + ) f ( 0 ) = l 1 0 +

7 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 121 e f ( 0 + ) f ( 0 ) = l 2 0 con l 1 l 2, il ite del rapporto incrementale non esiste. In tal caso si dice che in 0 la funzione f () ammette un punto angoloso. E Esempio 5.2 Si consideri la funzione f () =, il cui grafico è riportato in figura 5.3, e si studi la sua derivabilità nel punto 0 = 0. Si ha: f ( 0 + ) f ( 0 ) =. Se > 0 si ha = mentre se < 0 si ha =. Si ottiene, pertanto, e f ( 0 + ) f ( 0 ) = = 0 + = 1 f ( 0 + ) f ( 0 ) = 0 0 = 0 = 1 : la funzione ha quindi nel punto 0 = 0 un punto angoloso. f() Figura 5.3 Il grafico della funzione f () =.

8 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 122 R Definizione (Punto di flesso a tangente verticale) Se risulta f ( 0 + ) f ( 0 ) = ± 0 nel punto 0 la funzione f () non è derivabile: il punto 0 si dice punto di flesso a tangente verticale. E Esempio 5.3 Si consideri la funzione f () = 3, il cui grafico è rappresentato nella figura 5.4, e si voglia studiare la sua derivabilità nel punto 0 = 0. Si ha: f ( 0 + ) f ( 0 ) = = 0 il punto 0 è, pertanto, un punto di flesso a tangente verticale. 1 = + : ( ) 2 3 f() Figura 5.4 R Definizione (Punto di cuspide) Se risulta e Il grafico della funzione f () =. f ( 0 + ) f ( 0 ) = ± 0 + f ( 0 + ) f ( 0 ) = 0

9 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 123 la funzione f () non è derivabile in 0 : il punto 0 si dice punto di cuspide di f (). E Esempio 5.4 Si consideri la funzione f () =, rappresentata in figura 5.5, e si studi la sua derivabilità nel punto 0 = 0. Si ha: e f ( 0 + ) f ( 0 ) = = = 1 = f ( 0 + ) f ( 0 ) = = = = : 0 il punto 0 = 0 è pertanto un punto di cuspide per f () =. f() Figura 5.5 Il grafico della funzione f () =. Il teorema seguente fornisce un legame tra la nozione di continuità e quella di derivabilità: w Teorema (Derivabilità implica continuità) Ipotesi) f () è derivabile in 0. Tesi) f () è continua in 0. Dimostrazione Per ipotesi la funzione f () è derivabile nel punto 0 : esiste finito, quindi, il ite

10 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 124 Si ha, per 0, f () f ( 0 ) = f ( 0 ) 0 0 f () f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 ( 0 ). Passando al ite per 0 nella relazione precedente, si ottiene: ne segue quindi che da cui la tesi. " Osservazione f () f ( 0 ) [f () f ( 0 )] = ( 0 ) = f ( 0 ) 0 = 0 : [f () f ( 0 )] = 0 = f () = f ( 0 ), 0 0 Come si è visto nel teorema precedente, la derivabilità implica la continuità. L affermazione inversa, continuità implica derivabilità, non è, tuttavia, vera. E sufficiente, in effetti, considerare la funzione f () = che è continua ma non derivabile in 0 = 0. " Osservazione Visto che la derivabilità implica la continuità ma che la continuità non implica la derivabilità, ne segue che l insieme delle funzioni derivabili è un sottoinsieme proprio dell insieme delle funzioni continue. Funzioni continue Funzioni derivabili Figura 5.6 Rappresentazione di Eulero-Venn dell insieme delle funzioni continue e di quello delle funzioni derivabili.

11 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Derivabilità in un intervallo. Funzione derivata Sia f () definita nell intervallo (a,b). R Definizione (Derivabilità in un intervallo) Se f () risulta derivabile per ogni 0 (a,b) si dirà che f () è derivabile in (a,b). " Osservazione Se la funzione f () è derivabile nell insieme (a,b), per ogni 0 (a,b) risulta definita la derivata f ( 0 ). Ciò vuol dire che risulta definita un applicazione da (a,b) a R che associa ad ogni (a,b) uno ed un solo valore reale dato da f (). La funzione così ottenuta sarà chiamata funzione derivata prima di f () ed indicata con f (). " Osservazione La notazione f () per la derivata della funzione f () è nota anche come notazione di Lagrange. Altre notazioni usate per la derivata di una funzione f () sono: D f (), detta notazione di Cauchy, d f d (), detta notazione di Leibniz e f (), detta notazione di Newton Derivata delle funzioni elementari Sia f () = k, con k R. La derivata di f () nel punto si ottiene calcolando il ite del rapporto incrementale Sia f () =. Si ha: Sia f () = 2. Si ha: f ( + ) f () k k = 0 0 = 0 f ( + ) f () + = = f ( + ) f () ( + ) ( ) 2 2 = = = Sia f () = a. Si ha: 2 + ( ) 2 = 2 0 f ( + ) f () a + a a (a 1) = = = a a 1 = a ln a, 0

12 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 126 dove l ultimo passaggio si è ottenuto utilizzando il ite notevole In particolare si ha: a 1 = ln a. 0 De = e lne = e Sia f () = log a. Si ha, > 0, f ( + ) f () log = a ( + ) log a () = 0 0 log a ( + ) log a (1 + = ) = log a (1 + ) = 1 0 / log a e, dove l ultimo passaggio si è ottenuto utilizzando il ite notevole In particolare si ha: log a (1 + ) = log 0 a e. D ln = 1 lne = 1 Si può dimostrare che D sin = cos D cos = sin Algebra delle derivate Siano f () e g () due funzioni derivabili. Si ha: La funzione αf (), α R, è derivabile e risulta: D[αf ()] = αd f (), α R. In effetti si ha: αf ( + ) αf () f ( + ) f () D[αf ()] = = α = αd f () 0 0 La funzione f () + g () è derivabile e risulta D[f () + g ()] = D f () + Dg (). In effetti si ha: [f ( + ) + g ( + )] [f () + g ()] D[f () + g ()] = = 0 [f ( + ) f ()] + [g ( + ) g ()] = 0 [f ( + ) f ()] [g ( + ) g ()] D f () + Dg () =

13 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 127 La funzione f ()g () è derivabile e risulta D[f ()g ()] = [D f ()]g ()+f ()[Dg ()]. Posto f () =f ( + ) f () si ha f ( + ) = f ()+ f () (e analogamente per g (), g ( + ) = g () + g ()). Si ha, quindi [f ( + )g ( + )] [f ()g ()] D[f ()g ()] = = 0 [f () + f ()][g () + g ()] [f ()g ()] 0 f ()g () + f () g () + f ()g () + f () g () f ()g () 0 f () g () + f ()g () + f () g () 0 f () g () f ()g () f () g () Per il primo ite nell ultima relazione si ottiene per il secondo si ottiene e per il terzo essendo f () g () g () = f () = f ()Dg (), 0 0 f ()g () f () = g () = g ()D f () 0 0 f () g () = 0 f () 0 g () = D f () 0 = 0, 0 g () = [g ( + ) g ()] = visto che g () è derivabile e, quindi, continua. Se f () 0, la funzione risulta: 0 D[ 1 f () 0 1 f () è derivabile e risulta D 1 f () = f () [f ()] 2. Infatti 1 f () ] = 0 f () f (+ ) f (+ )f () = 1 f (+ ) 1 f () 0 = f () f ( + ) f ( + )f () = 1 f () f ( + ) f () = 0 f ( + ) f ( + ) f () 0 1 f ( + ) = 1 f () D[f ()] 1 f () = 1 D[f ()] [f ()] 2

14 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 128 Se g () 0 la funzione f () g () è derivabile e risulta D[ f () g () ] = f ()g () f ()g () [g ()] 2. Infatti, applicando la regola per la derivata di un prodotto di funzioni, si ha D[ f () g () ] D[f () 1 g () ] = D[f ()] 1 g () + f () D[ 1 g () ] = E Esempio 5.5 = f () g () g () + f () [ [g ()] 2 ] = f ()g () f ()g () [g ()] 2. Si calcoli la derivata della funzione f () = Si ha: D[ ] = D[2 ] + D[ 3 ] + D[] = = 2 ln E Esempio 5.6 Si calcoli la derivata della funzione f () = sin + ln + 3 Si ha: D[sin + ln + 3] = D[sin ] + D[ln ] + D[3] = = cos = cos + 1 E. Esempio 5.7 Si calcoli la derivata della funzione f () = ln Si ha: D[ ln ] = D[]ln + D[ln ] = = ln + 1 = 1 + ln. E Esempio 5.8 Si calcoli la derivata della funzione f () = ( 2 + 2)e Si ha: D[( 2 + 2)e ] = D[( 2 + 2)]e + ( 2 + 2)D[e ] =

15 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 129 = (2 + 2)e + ( 2 + 2)e = ( )e. E Esempio 5.9 Si calcoli la derivata della funzione f () = Si ha: D[f ()] = E Esempio 5.10 Si calcoli la derivata della funzione f () = (1 cos ) sin Si ha: D[f ()] = D[1 cos ]sin + (1 cos )D[sin ] = sin sin + (1 cos )cos = sin 2 cos cos 2. E Esempio 5.11 Si calcoli la derivata della funzione f () = 5 2 Si ha: D[ 5 2 ] = D[ 2 5 ] = = = E Esempio 5.12 Si calcoli la derivata della funzione f () = 2 1+ Si ha: D[ ] = D[2 ](1 + ) 2 D[1 + ] (1 + ) 2 = 2(1 + ) 2 (1 + ) 2 = (1 + ) 2. E Esempio 5.13 Si calcoli la derivata della funzione f () = 1+ln 2 Si ha: D[ 1 + ln 2 ] = D[1 + ln ]2 (1 + ln )D[ 2 ] 4 = 1 2 (1 + ln )2 2 ln 1 2ln 4 = 4 = 3.

16 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 130 E Esempio 5.14 Si calcoli la derivata della funzione f () = 1+ Si ha: D[ 1 + ] = D[ ](1 + ) D[(1 + )] (1 + ) 2 = 1 2 (1 + ) (1 + ) 2 = (1 + ) 2 = 1 2 (1 + ) 2. E Esempio 5.15 Si calcoli la derivata della funzione f () = tan Si ha: D[tan ] = D[ sin D[sin ]cos sin D[cos ] ] = cos cos 2 = cos cos sin ( sin ) cos 2 = cos2 + sin 2 cos 2 = 1 cos Derivate di ordine superiore al primo Se f () è derivabile in un certo intervallo (a,b) risulta definita, in (a,b) la funzione derivata prima, f (). Se tale funzione è a sua volta derivabile in (a,b) esisterà la derivata della derivata prima, nota come derivata seconda ed indicata con il simbolo 2 f (). Chiaramente se anche la funzione derivata seconda risulterà derivabile si può parlare di derivata terza, indicata con il simbolo f (). Più in generale, se la funzione f () è derivabile n volte, si potrà introdurre la nozione di derivata n esima, indicata con il simbolo f (n) (). E Esempio 5.16 Si calcoli la derivata seconda di f () = e 1. Si ha: e, quindi, f () = D[e 1 ] = e 1 ( 1 2 ) = e 1 2 f () = D[f ()] = D[ e 1 2 ] = 2 Secondo la notazione di Cauchy si userebbe il simbolo D (2) f (), secondo quella di Leibniz il simbolo d 2 f () d 2 e, infine, secondo la notazione di Newton, il simbolo f ().

17 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 131 R Definizione (Classe C n ) e e = e 1 + 2e 1 4 = e Sia f : X R e si supponga che f () sia derivabile n volte per ogni X. Se la funzione f (n) () è continua per ogni X si dirà che la funzione f () appartiene alla classe C n (X ) o che f () è di classe C n (X ) Teoremi sulle derivate Per calcolare la derivata di una funzione ad una legge è rilevante il seguente w Teorema (Derivata della funzione composta) Ipotesi) Siano f : X Y e g : Y R due funzioni, con f () derivabile in 0 X e g () derivabile in y 0 = f ( 0 ) Y. Tesi) La funzione composta h() = g (f ()) è derivabile in 0 X e risulta h ( 0 ) = g (f ( 0 ))f ( 0 ). Dimostrazione Per studiare la derivabilità della funzione composta h = g f in 0 X occorre studiare il ite che può essere riscritto come h() h( 0 ) g (f ()) g (f ( 0 )) = g (f ()) g (f ( 0 )) 0 f () f ( 0 ) f () f ( 0) 0. (5.1) Posto y = f () e y 0 = f ( 0 ), il rapporto incrementale g (f ()) g (f ( 0)) f () f ( 0 ) può essere riscritto come g (f ()) g (f ( 0 )) = g (y) g (y 0). f () f ( 0 ) y y 0 Per 0 si ha, essendo f () derivabile e, quindi, continua, f () f ( 0 ) cioè y y 0. Pertanto la relazione (5.1) diviene: g (f ()) g (f ( 0 )) f () f ( 0) 0 f () f ( 0 ) 0 g (y) g (y 0 ) y y 0 y y 0 g (f ()) g (f ( 0 )) = 0 f () f ( 0 ) 0 f () f ( 0 ) 0 = g (y 0 )f ( 0 ), da cui, tenendo conto che y 0 = f ( 0 ), si ottiene la tesi. 0 f () f ( 0 ) 0 = La tabella seguente riassume la regola della derivata di una funzione composta nei casi incontrati più frequentemente.

18 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 132 y y [f ()] α α[f ()] α 1 f () a f () a f () f ()ln a e f () e f () f () log a [f ()] ln[f ()] sin[f ()] cos[f ()] f () f () log a e f () f () cos[f ()]f () sin[f ()]f () " Osservazione Dalla regola della derivata composta D[f ()] α = α[f ()] α 1 f () scegliendo f () =, si ottiene D α = α α 1, α R. In particolare si avrà: e E Esempio 5.17 D n = n n 1, n N D = D 1 2 = = 1 2. Si calcoli la derivata della funzione f () = Utilizzando la realzione 2 +1 D[f () α ] = α[f ()] α 1 D[f ()] si ottiene: Si ha: da cui D[ ] = D[( + 1 ) 1 2 ] = 1 2 ( + 1 ) 2 D[ + 1 ]. 2 2(1 + ) 2 D[ ] = + 1 (1 + ) 2 = (1 + ) 2, D[ ] = 1 2 ( ) (1 + ) 2 = 1 2

19 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 133 E Esempio 5.18 = Si calcoli la derivata della funzione f () = e 1+ Utilizzando la relazione (1 + ) 2. D[e f () ] = e f () D[f ()] si ottiene: E Esempio 5.19 D[e 1+ ] = e 1+ D[ 1 + ] = e 1+ Si calcoli la derivata della funzione f () = e Utilizzando la relazione (1 + ) (1 + ) 2 = e 1 1+ (1 + ) 2. D[e f () ] = e f () D[f ()] si ottiene: D[e ] = e D[ ] = e. E Esempio 5.20 Si calcoli la derivata della funzione f () = ln(2 2 ) Utilizzando la relazione D[ln f ()] = f () f () si ottiene: D[ln(2 2 )] =

20 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 134 E Esempio 5.21 Si calcoli la derivata della funzione f () = ln( 2 ) Utilizzando la relazione D[ln f ()] = f () f () si ottiene: D[ln( 2 )] = D[ 2 ] = ( 2) 2 2 =. 2 2 = 2 ( 2). E Esempio 5.22 Si calcoli la derivata della funzione f () = cos(2 2 ) Utilizzando la relazione D[cos f ()] = sin[f ()]f () si ottiene: D[cos(2 2 )] = sin(2 2 )(2 2) = 2( 1)sin(2 2 ). w Teorema (Derivata della funzione inversa) Ipotesi) Sia f : X R una funzione invertibile e derivabile X e sia, X, f () 0. Tesi) La funzione inversa f 1 (y) è derivabile y f (X ) e risulta D f 1 (y) = 1 D f (), con = f 1 (y). Dimostrazione Sia y = f () = f 1 (y) e y 0 = f ( 0 ) 0 = f 1 (y 0 ). Si ha: f 1 (y) f 1 (y 0 ) 0 = y y 0 y y 0 0 f () f ( 0 ) = 1 0 = f () f ( 0 ) 0 1 f ( 0 ), con 0 = f 1 (y 0 ). Tenendo conto che il ragionamento adottato può essere riproposto 0 X, si ottiene la tesi.

21 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 135 " Osservazione Sia f () = cos. Come visto nel capitolo 2, se il dominio di f () è ristretto all intervallo [0,π] essa può essere invertita: y = f () = cos = f 1 (y) = arccos y. Utilizzando il teorema della funzione inversa è possibile calcolare la derivata della funzione arccos. Si ha: Visto che si ottiene Tenendo conto che 1 D arccos y =, con = arccos y. D cos D cos = sin D arccos y = 1, con = arccos y. (5.2) sin cos 2 + sin 2 = 1 = sin = ± 1 cos 2. Essendo [0, π] la funzione sin è positiva e, pertanto, nella precedente relazione deve essere presa la radice positiva: sin = 1 cos 2. Inserendo tale relazione nella (5.2) si ottiene 1 D arccos y =, con = arccos y. 1 cos 2 Tenendo conto del fatto che cosarccos y = y si ottiene 1 D arccos y =. 1 y 2 Utililizzando la notazione standard per la variabile dipendente e quella indipendente, si è ottenuto, infine 1 D arccos =. 1 2 In modo analogo si prova che D arcsin y = 1 D sin = 1 cos = 1, con = arcsin y, 1 sin 2

22 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 136 da cui D arcsin = Un ragionamento analogo può essere utilizzato per determinare la derivata della funzione y = arctan. Si ha: D arctan y = 1 D tan = 1 1 cos 2, con = arctan y. Esprimendo la funzione 1/cos 2 in termini della funzione tan, 1 cos 2 = cos2 + sin 2 cos 2 = 1 + sin2 cos 2 = 1 + tan2, si ottiene D arctan y = 1 1 cos 2 1 = 1 + tan 2, con = arctan y = D arctan y = y 2 o, in termini della variabile D arctan = w Teorema (de l Hospital) Ipotesi) Siano f () e g () continue in I 0 e derivabili in I 0 \{ 0 } e tali che f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0. Siano inoltre g (), g () 0 in I 0 \{ 0 }. Tesi) f () 0 g () f () = l = 0 g () = l. Dimostrazione La dimostrazione sarà data nel caso particolare in cui f () e g () risultano essere continue in I 0 e per g ( 0 ) 0. Visto che f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0, si ha: f () 0 g () = f () f ( 0 ) 0 g () g ( 0 ) = 0 f () f ( 0 ) 0 = g () g ( 0 ) 0

23 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 137 f ( 0 ) g ( 0 ) = f () 0 g (). " Osservazione Il teorema di de l Hospital può essere utilizzato per risolvere le forme indeterminate 0 0. Il teorema di de l Hospital può essere applicato ripetutamente, nel senso che se il ite f () 0 g () dà ancora luogo ad una forma indeterminata 0 0 si può calcolare il ite f () 0 g () che, se esiste, sarà pari al ite di partenza f () 0 g (). Se anche il ite del rapporto delle derivate seconde dà luogo ancora ad una forma indeterminata 0 0 si può calcolare il ite del rapporto delle derivate terze, e così via. Il teorema di de l Hospital vale anche se 0 e/o l sono infiniti. Il teorema di de l Hospital vale anche se f ( 0 ) = ± e g ( 0 ) = ±, ovvero anche per risolvere le forme indeterminate. Il teorema di de l Hospital può essere usato per rimuovere la forme indeterminata 0 : se, ad esempio e f () = 0 0 g () = ±, 0 la forma indeterminata 0 che origina dal ite f ()g () 0 può essere ricondotta alla forma 0 0 calcolando il ite equivalente f () 0 1 g ()

24 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 138 oppure alla forma calcolando il ite equivalente g (). 0 1 Il teorema di de l Hospital può essere usato per rimuovere la forme indeterminata +. Se ad esempio e f () f () = + 0 g () = +, 0 la forma indeterminata + che origina dal ite 0 [f () + g ()] può essere ricondotta alla forma 0 (e quindi in seguito nella forma 0 0 o come visto nel punto precedente) usando la relazione 1 f () + g () = f ()g ()[ f () + 1 g () ] : [f () + g ()] = f ()g ()[ f () + 1 g () ]. Il teorema di de l Hospital non si può invertire: dall esistenza del ite non segue l esistenza del ite come evidenziato nel seguente E Esempio 5.23 Sia f () = 2 cos 1 e g () =. Si ha: f () 0 g () f () 0 g (), mentre, essendo 2 cos 1 0 = 0 cos 1 = 0 f () = 2 cos ( sin 1 )( 1 2 ) = 2 cos 1 + sin 1

25 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 139 risulta che non esiste. E Esempio 5.24 Calcolare il ite g () = 1 f () 0 g () = [2 cos sin 1 ] = sin ln. Applicando il teorema di de l Hospital alla forma indeterminata che origina dal ite che si deve calcolare, si ottiene: + ln = 1 = E Esempio 5.25 Calcolare il ite 0 e 2 1. Applicando il teorema di de l Hospital alla forma indeterminata 0 0 che origina dal ite che si deve calcolare, si ottiene: e 2 1 2e 2 = = 2.

26 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 140 E Esempio 5.26 Calcolare il ite 0 (1 + ) α 1. Applicando il teorema di de l Hospital alla forma indeterminata 0 0 che origina dal ite che si deve calcolare, si ottiene: E Esempio 5.27 Calcolare il ite sin (1 + ) α 1 α(1 + ) α 1 = = α Applicando il teorema di de l Hospital alla forma indeterminata 0 0 che origina dal ite che si deve calcolare, si ottiene: E Esempio 5.28 Calcolare il ite ln. 0 + sin 2 2sin cos = = Nel calcolo di tale ite si incontra la forma indeterminata 0 che può essere messa nella forma : ln, alla quale si può applicare il teorema di de l Hospital: ln = = =

27 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 141 E Esempio 5.29 Calcolare il ite + e 1. Nel calcolo di tale ite si incontra la forma indeterminata 0 che può essere messa nella forma 0 0 : e 1, + 1 alla quale si può applicare il teorema di de l Hospital: e e 1 ( 1 ) = = 1 + e = Individuazione dei punti di non derivabilità Per studiare la derivabilità in 0 di una funzione f () non è sempre necessario calcolare esplicitamente il ite del rapporto incrementale. Un punto di non derivabilità può essere individuato richiedendo che in 0 la funzione f () sia continua 3 e che sia tale che 1. la funzione f () abbia in 0 un punto di discontinuità di prima specie, e f () = l f () = l 0 2 con l 1 l 2. In tal caso la funzione f () non sarà derivabile in 0 e quest ultimo sarà un punto angoloso; 2. se, invece, f () = ± 0 il punto 0 sarà un flesso a tangente orizzontale; 3. se, infine, e il punto 0 sarà una cuspide. f () = ± 0 + f () = 0 3 Si ricorda che se una funzione non è continua in 0 non può essere derivabile in tal punto.

28 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 142 Se non ci si trova in uno dei casi 1)-3) occorrerà, invece, calcolare esplicitamente il ite del rapporto incrementale. E Esempio 5.30 Si determinino gli eventuali punti di non derivabilità di { 1 2 se 0 f () = e se < 0. Il dominio di f () è R ed essa risulta continua R. La derivata di f () è { f 2 se > 0 () = e se < 0. Nel punto 0 = 0, in cui cambia la definizione della legge, si ha: e f () = 2 = f () = 0 0 e = 1 : la funzione f () ammette in 0 = 0 una discontinuità di prima specie e, pertanto, 0 = 0 è un punto angoloso per f (). E Esempio 5.31 Si determinino gli eventuali punti di non derivabilità di f () = Il dominio di f () è D f = R e f () risulta continua D f. La funzione derivata è f () = (1 2 ) ( 2) =. (1 2 ) 2 3 La derivata f () non è regolare in 0 = ±1 essendo e f () = 1 f () = + : 1 i punti 0 = ±1 sono quindi flessi a tangente verticale per f ().

29 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Differenziale R Definizione (Differenziale) Sia f () derivabile in 0. Si dice differenziale di f () nel punto 0, relativamente all incremento, la grandezza d f ( 0 ) = f ( 0 ). " Osservazione Si consideri l equazione della retta tangente il grafico di f () nel punto 0 : y t () = f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 ). L incremento che subisce tale retta tangente quando la variabile indipendente passa dal valore 0 al valore 0 + è y t ( 0 + ) y t ( 0 ). Utilizzando l equazione della retta tangente si ottiene: y t ( 0 + ) = f ( 0 )( ) + f ( 0 ) = f ( 0 ) + f ( 0 ) y t ( 0 ) = f ( 0 )( 0 0 ) + f ( 0 ) = f ( 0 ) e, quindi, si ha: y t ( 0 + ) y t ( 0 ) = f ( 0 ), espressione che coincide con il differenziale della funzione f () nel punto 0 relativamente all incremento. Si è ottenuto, pertanto, il significato geometrico del differenziale: esso rappresenta l incremento che subisce la retta tangente (si osservi anche la figura 5.7) quando la variabile indipendente passa dal valore 0 al valore 0 +.

30 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 144 f() yt(0 + ) f(0 + ) yt(0) = f(0) df Figura 5.7 Rappresentazione grafica del differenziale d f di una funzione f () nel punto 0 relativo all incremento. E Esempio 5.32 Se f () = si ha f () = 1 e, quindi, il differenziale di f () = nel punto relativo all incremento vale d = 1 =. Si osservi che il valore di tale differenziale non dipende dal punto in cui si calcola e risulta sempre d =. " Osservazione Siccome d f () = f () e, come visto in precedenza d =, si ha: d f () = f ()d = f () = d f () d. Si è così ottenuta un espressione della derivata f () di una funzione f () come rapporto tra il differenziale di f () e quello di. Si osservi che tale espressione coincide con la notazione di Leibniz della derivata. Osservando la figura 5.7 si evince che il differenziale d f () di una funzione f () non coincide con l incremento f () che la funzione subisce quando la variabile indipendente passa dal valore al valore +. Si ha, però, il seguente

31 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 145 w Teorema (Resto del primo ordine) Ipotesi) Sia f () una funzione derivabile in 0 e sia R 1 () la differenza 4 tra l incremento della funzione, f ( 0 ), e il differenziale di f () in 0 : R 1 () = f ( 0 ) d f ( 0 ). Tesi) Il resto R 1 () è un infinitesimo, per 0, di ordine superiore a. Dimostrazione Per dimostrare il teorema è sufficiente provare che In effetti si ha: R 1 () 0 = 0. R 1 () 0 = f ( 0 ) d f ( 0 ) f ( 0 ) = 0 0 d f ( 0 ). (5.3) 0 Si ha: e f ( 0 ) f ( 0 + ) f ( 0 ) = = f ( 0 ) (5.4) 0 0 d f ( 0 ) f (0 ) = = f ( 0 ). (5.5) 0 0 Inserendo le relazioni (5.4) e (5.5) nella realzione (5.3) si ottiene la tesi. " Osservazione Il teorema sul resto del primo ordine fornisce un metodo per valutare in modo approssimato la funzione f () nel punto 0 +, purché siano noti i valori f ( 0 ) e f ( 0 ). In effetti, si ha: f ( 0 + ) f ( 0 ) = f ( 0 ) + R 1 () e, se è molto piccolo si ottiene, trascurando il termine R 1 (), f ( 0 + ) f ( 0 ) f ( 0 ) = E Esempio 5.33 Sia f () = e, 0 = 0 e = Si ha: f ( 0 + ) f ( 0 ) + f ( 0 ). 4 Tale grandezza è detta resto del primo ordine. L origine di tale nome sarà più chiara nel seguito, quando si studierà il polinomio di Taylor.

32 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 146 f ( 0 + ) = e 0+ = e f ( 0 ) = e 0 = e 0 = 1 f ( 0 ) = e 0 = e 0 = 1 da cui = = e 1 Tale valore può essere confrontato con il valore esatto e = Polinomio di Taylor Sia f () derivabile in 0. Si ricorda che, in tal caso, esiste il differenziale d f ( 0 ) e il resto R 1 (), dato da R 1 () = f ( 0 ) d f ( 0 ) è, in base al teorema sul resto del primo ordine, un infinitesimo di ordine superiore al primo. Ponendo = 0 +, la relazione precedente può essere riscritta come R 1 () = f () f ( 0 ) f ( 0 )( 0 ) = f () = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + R 1 (). Posto T 1 () = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ), detto polinomio di Taylor di ordine 1, si ottiene f () = T 1 () + R 1 (). Siccome il resto R 1 () è un infinitesimo di ordine superiore al primo per 0, si potrà porre f () T 1 () per 0. Tale relazione può essere interpretata nel seguente modo: se f () è derivabile in 0 esiste un polinomio, T 1 (), che approssima f () per vicino a 0. La qualità dell approssimazione è espressa dal fatto che la differenza tra f () e T 1 (), pari a R 1 (), è un infinitesimo di ordine superiore al primo per 0. Si osservi che il polinomio T 1 () gode delle seguenti proprietà: T 1 ( 0 ) = f ( 0 ) e T 1 ( 0) = f ( 0 )

33 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 147 cioè ha lo stesso valore e la stessa derivata di f () in 0. Si supponga ora che f () sia di classe C 2 in un intorno I 0 di 0, e si supponga di voler approssimare la funzione f () in 0 tramite un polinomio T 2 () : si vuole cioè trovare un polinomio, detto polinomio di Taylor di ordine 2, tale che f () T 2 ()per 0. Se si richiede che la funzione f () ed il polinomio T 2 () abbiano in 0 stesso valore, stessa derivata prima e stessa derivata seconda, si ottiene la nozione di polinomio (approssimante) di Taylor di ordine due 5. Sia T 2 () il polinomio T 2 () = a 0 + a 1 ( 0 ) + a 2 ( 0 ) 2. Si ha: T 2 ( 0 ) = a 0, e T 2 ( 0) = a 1 T 2 ( 0) = 2a 2. Richiedere che f () e T 2 () abbiano stesso valore e stesse derivate prima e seconda in 0, fissa in modo univoco il polinomio T 2 (). In effetti si ha: f ( 0 ) = T 2 ( 0 ) = a 0 = a 0 = f ( 0 ) f ( 0 ) = T 2 ( 0) = a 1 = a 1 = f ( 0 ) e f ( 0 ) = T 2 ( 0) = 2a 2 = a 2 = 1 2 f ( 0 ). Per il polinomio T 2 () si ottiene dunque l espressione T 2 () = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) f ( 0 )( 0 ) 2. Definendo R 2 () come lo scarto tra la funzione f () e il polinomio T 2 (), R 2 () = f () T 2 () si è ottenuto f () = T 2 () + R 2 (). 5 Se si richiede, invece, che il polinomio T () assuma gli stessi valori che assume la f () nei punti { 1, 2,..., n } si otterrà il cosiddetto polinomio interpolante diverso, in generale, dal polinomio di Taylor.

34 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 148 Il polinomio T 2 () è vicino a f () per sufficientemente vicino a 0 nel senso che, R 2 () 0 ( 0 ) 2 = 0. In effetti si ha: 0 R 2 () ( 0 ) 2 = f () f ( 0 ) f (0 )( 0 ) 1 2 f ( 0 )( 0 ) 2 0 ( 0 ) 2, che risulta essere una forma indeterminata 0 0. Nelle ipotesi fatte per f (), è possibile applicare due volte il teorema di de l Hospital a tale forma indeterminata. Si ottiene f () f ( 0 ) f (0 )( 0 ) 1 2 f ( 0 )( 0 ) 2 f () f (0 ) f ( 0 )( 0 ) 0 ( 0 ) 2 = = 0 2( 0 ) f () f (0 ) = f 1 () 0 2 f (0 ) = 1 2 f (0 ) 1 2 f (0 ) = 0. Se si suppone, invece, che la funzione f () sia di classe C 3 in un intorno I 0 di 0, allora esiste un unico polinomio, T 3 (), detto polinomio di Taylor di ordine 3, tale che T 3 () assume in 0 stesso valore e stesse derivate prima, seconda e terza di f (). Posto T 3 () = a 0 + a 1 ( 0 ) + a 2 ( 0 ) 2 + a 3 ( 0 ) 3 si ha: f ( 0 ) = T 3 ( 0 ) = a 0 = a 0 = f ( 0 ) f ( 0 ) = T 3 ( 0) = a 1 = a 1 = f ( 0 ) f ( 0 ) = T 3 ( 0) = 2a 2 = a 2 = 1 2 f ( 0 ) f ( 0 ) = T 3 ( 0) = 3 2 a 3 = a 3 = 1 3! f ( 0 ) e, quindi, T 3 () = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) f ( 0 )( 0 ) ! f ( 0 )( 0 ) 3. Posto R 3 () = f () T 3 () si ha f () = T 3 () + R 3 (),

35 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 149 e risulta che T 3 () approssima f () per 0 visto che il resto R 3 () è un infinitesimo di ordine superiore al terzo per 0. In effetti risulta 0 R 3 () ( 0 ) 3 = 0, risultato che si ottiene facilmente, in modo analogo a quanto visto nel caso di resto del secondo ordine, applicando tre volte il teorema di de l Hospital alla forma indeterminata 0 0 che origina dal ite precedente. Più in generale sussiste il seguente w Teorema (Taylor) Ipotesi) Sia f () di classe C n (I 0 ). Tesi) Esiste un polinomio, T n (), detto polinomio di Taylor di ordine n, tale che: 1. T n () = f ( 0 )+f ( 0 )( 0 )+ 1 2 f ( 0 )( 0 ) ! f ( 0 )( 0 ) ! f (4) ( 0 )( 0 ) n! f (n) ( 0 )( 0 ) n 2. f ( 0 ) = T n ( 0 ), f ( 0 ) = T n ( 0), f ( 0 ) = T n ( 0),..., f (n) ( 0 ) = T (n) n ( 0 ) 3. R n () = f () T n ()è un infinitesimo di ordine superiore a n per 0 : Dimostrazione 0 R n () ( 0 ) n = 0. La dimostrazione ricalca quella vista nei casi n = 2 e n = 3 ed è, pertanto, lasciata al lettore (suggerimento: per dimostrare il punto 3 si può applicare ripetutamente (n volte) il teorema di de l Hospital). " Osservazione Si può dimostrare che, se la funzione f () è di classe C n+1 in un intorno I 0 di 0, il resto R n () ammette un espressione esplicita, detta forma di Lagrange del resto, data da 1 R n () = (n + 1)! f (n+1) (c)( 0 ) n+1, c ( 0, ). " Osservazione Se il punto 0 è scelto in modo che 0 = 0, il polinomio di Taylor è detto polinomio di Maclaurin.

36 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 150 E Esempio 5.34 Calcolare il polinomio di Maclaurin del quinto ordine di f () = e. Siccome la derivata di e è e, ne segue che, per ogni n N + si ha: e, quindi, f (n) () = e f (n) (0) = 1, da cui segue che il polinomio di Maclaurin del quinto ordine è ! ! ! 5. Per sufficientemente vicino a 0 = 0 si avrà, quindi, e ! ! ! 5. Scegliendo, per esempio, = si ottiene valore da confrontare con quello esatto e e = E Esempio 5.35 Calcolare il polinomio di Maclaurin del terzo ordine di f () = sin. Si ha: da cui si ottiene, per vicino a 0 = 0 f () = sin = f (0) = 0 f () = cos = f (0) = 1 f () = sin = f (0) = 0 f () = cos = f (0) = 1, sin Per esempio, posto = 1 10 si ha sin , , che si può confrontare con il valore esatto sin 1 10 = 0,

37 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Massimi e minimi relativi R Definizione (Massimo e minimo relativo (o locale)) Sia f : X R e sia 0 un punto interno al dominio X di f (). Si dirà che f () ammette nel punto 0 un minimo relativo (o locale) se I 0 tale che f () > f ( 0 ) I 0 \{ 0 } massimo relativo (o locale) se I 0 tale che f () < f ( 0 ) I 0 \{ 0 }. Un massimo (minimo) relativo è anche detto estremo relativo. f() a b Figura 5.8 Esempio di grafico di una funzione f () che presenta massimi relativi nei punti interni 0 e 2 e minimi realtivi nei punti interni 1 e 3. " Osservazione La definizione di minimo e massimo relativo potrebbe essere estesa anche al caso rappresentato in figura 5.9. In tali casi, tutti i punti dell intervallo [c,d], in cui I tale che f () f () potrebbero essere denominati minimi locali in senso largo.

38 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 152 f() a 0 c d 1 2 b Figura 5.9 Esempio di grafico di una funzione f () che presenta minimi relativi in senso largo in tutti i punti appartenenti all intervallo [c,d]. " Osservazione La nozione di estremo relativo si riferisce a proprietà locali della funzione f (), cioè a proprietà relative ad un opportuno intervallo I. Tale nozione è contrapposta a quella di massimo o minimo assoluto che riguarda il comportamento globale (cioè riferito a tutto il dominio) della funzione stessa. Per la ricerca degli estremi relativi di una funzione f () è rilevante il seguente teorema, che fornisce una condizione necessaria per l esistenza di un estremo relativo: w Teorema (Fermat o condizione necessaria del primo ordine) Ipotesi) Sia 0 un estremo relativo della funzione f (). Sia, inoltre, f () derivabile in 0. Tesi) f ( 0 ) = 0. 6 Dimostrazione Poiché f () è, per ipotesi, derivabile in 0 esiste finito il ite f () f ( 0 ) = f ( 0 ). 0 0 Si osservi che, dall esistenza di tale ite, dovrà risultare anche + 0 f () f ( 0 ) 0 = 0 f () f ( 0 ) 0 = f ( 0 ). 6 I punti in cui f () = 0 sono detti punti stazionari di f ().

39 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 153 Per fissare le idee, si supponga che in 0 la funzione f () ammetta un massimo relativo. Si avrà, pertanto, l esistenza di un intorno I 0 tale che f () < f ( 0 ) I 0 \{ 0 } = f () f ( 0 ) < 0 I 0 \{ 0 }. Per I 0 si avrà quindi f () f ( 0 ) 0 < 0 se > 0. In base al teorema della permanenza del segno in forma inversa si avrà, quindi, f ( 0 ) = + 0 Con un ragionamento analogo si otterrà e, quindi, f () f ( 0 ) 0 0. (5.6) f () f ( 0 ) 0 > 0 se < 0 f ( 0 ) = 0 f () f ( 0 ) 0 0. (5.7) Confrontando la relazione (5.6), f ( 0 ) 0 e la relazione (5.7), f ( 0 ) 0, si ottiene la tesi, f ( 0 ) = 0. " Osservazione La condizione f ( 0 ) = 0 è necessaria per l esistenza di un minimo relativo per una funzione f () derivabile ma non è sufficiente. Si consideri infatti la funzione f () = 3 la cui derivata prima f () = 3 2 si annulla per 0 = 0 che, però, non è un estremo relativo. " Osservazione Si consideri la funzione f () = che presenta, in 0 = 0, un minimo locale. Non essendo tale funzione derivabile in 0 = 0, non potrà risultare, chiaramente, f ( 0 ) = 0. " Osservazione Dal teorema di Fermat segue che se f () è derivabile, in un punto di massimo o di minimo locale la retta tangente è parallela all asse delle ascisse. Una conseguenza del teorema di Fermat è il seguente

40 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 154 w Teorema (Rolle) Ipotesi) Sia f () continua nell intervallo chiuso e itato [a, b] e derivabile nell intervallo aperto (a, b). Sia inoltre f (a) = f (b). Tesi) c (a,b) tale che f (c) = 0. Dimostrazione Nella dimostrazione è opportuno distinguere due casi. 1) Sia f () una funzione costante. In tal caso la tesi è banale in quanto f () = 0 (a,b). 2) Sia f () non costante. La funzione f (), essendo continua nell intervallo [a, b], ammetterà, per il teorema di Weierstrass, massimo e minimo assoluto. Se il massimo assoluto cadesse in a e il minimo assoluto in b (o viceversa) essendo per ipotesi f (a) = f (b) la funzione avrebbe massimo assoluto pari al minimo assoluto e sarebbe, quindi, costante, contrariamente all assunzione fatta. Ne segue che o il massimo assoluto o il minimo assoluto (o entrambi) cadono in un punto c appartenente all intervallo (a, b)(si osservi la figura 5.10) Il punto c sarà pertanto un estremo relativo e, per il teorema di Fermat, dovrà risultare f (c) = 0.

41 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 155 f() f(c) f(a) = f(b) a c b f() f() f(c1) f(a) = f(b) f(c) f(a) = f(b) f(c2) a c b a c1 c2 b Figura 5.10 Si ha inoltre il seguente w Teorema (Lagrange) Ipotesi) Sia f () continua nell intervallo chiuso e itato [a, b] e derivabile nell intervallo aperto (a,b). Tesi) c (a,b) tale che f (c) = Dimostrazione f (b) f (a) b a. Sia g () l equazione della retta secante il grafico di f () nei punti (a, f (a)), (b, f (b)) : e sia F () la funzione ausiliaria Si ha: f (b) f (a) g () = ( a) + f (a) b a F () = f () g ().

42 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 156 F () è continua in [a,b] essendo somma di funzioni continue in [a,b] F () è derivabile in (a,b) essendo somma di funzioni derivabile in (a,b) F (a) = f (a) g (a) = 0 e F (b) = f (b) g (b) = 0 e, quindi, F (a) = F (b). La funzione F () soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle: esisterà quindi almeno un punto c (a,b) tale che F (c) = 0. Si ha: da cui F () = f () g () = f f (b) f (a) (), b a 0 = F (c) = f f (b) f (a) (c) = b a f f (b) f (a) (c) =. b a " Osservazione Il teorema di Lagrange ammette la seguente interpretazione geometrica (si confronti la figura 5.11). Siccome f () rappresenta la pendenza della tangente nel punto f (b) f (a) e b a la pendenza della secante i punti (a, f (a)) e (b, f (b)), il teorema di Lagrange afferma che esiste almeno un punto in cui la retta tangente il grafico ha la stessa pendenza della secante. f() a c1 c2 b Figura 5.11 La retta tangente il grafico di f () è, nei punti c 1 e c 2, parallela alla retta secante i punti (a, f (a)) e (b, f (b)).

43 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 157 Il teorema di Lagrange ammette i seguenti importanti corollari: Si supponga che f () soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange. Si ha w Corollario I Se f () = 0 (a,b) allora f () = k (a,b) Dimostrazione Sia (a,b) e si appichi il teorema di Lagrange al sottointervallo [a, ]. Esisterà un punto c (a, ) tale che f f () f (a) f () f (a) (c) = = = 0 = f () f (a) = 0 a a da cui f () = f (a). Data l arbitraretà di segue che (a,b) risulta f () = f (a) = k. w Corollario II Si supponga che anche la funzione g () soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange e che risulti f () = g () (a,b). Ne segue che f () = g () + k (a,b). Dimostrazione La funzione f () g () soddisfa le ipotesi del corollario I. Ne segue che f () g () = k (a,b), da cui la tesi. w Corollario III Se f () > 0 (a,b) allora la funzione f () è strettamente crescente in [a,b]. Se, invece, f () < 0 (a,b) allora la funzione f () è strettamente decrescente in [a,b]. Dimostrazione Si consideri il caso f () > 0 (a,b). Siano 1, 2 (a,b) con 1 < 2 e si applichi il teorema di Lagrange al sottointervallo [ 1, 2 ]. Esisterà allora un punto c ( 1, 2 ) tale che f (c) = f ( 2) f ( 1 ) = f ( 2) f ( 1 ) > Data l arbitrarietà di 1 e 2 si può concludere che 1, 2 (a,b) si ha f ( 2 ) f ( 1 ) 2 1 > 0 e, quindi, la tesi. In modo analogo si prova che se f () < 0 (a,b) allora la funzione f () è strettamente decrescente in [a,b].

44 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 158 " Osservazione Il terzo corollario al teorema di Lagrange fornisce una condizione sufficiente per stabilire la monotonia di una funzione f (). Tale condizione non è però necessaria. Si consideri infatti la funzione f () = 3 che risulta essere strettamente crescente. La sua derivata, f () = 3 2, non è comunque maggiore di zero: si ha f () 0, essendo pari a zero in 0 = 0. In generale, dal fatto che f () è crescente (decrescente) in un certo intervallo I, si può solo concludere che f () 0 (f () 0) per ogni I Individuazione dei massimi e minimi relativi Come osservato in precedenza, la condizione f ( 0 ) = 0 è necessaria ma non sufficiente per l esistenza di un massimo o di un minimo relativo per la funzione f (). Il terzo corollario al teorema di Lagrange fornisce, invece, una condizione sufficiente per determinare la crescenza/decrescenza di una funzione derivabile. Si osservi che (si confrontino le figure 5.12 e 5.13) se una funzione f () ammette un massimo (minimo) locale in 0, essa risulterà crescente (decrescente) in un intorno sinistro di 0 e decrescente (crescente) in un intorno destro di 0. f() Figura 5.12 Se la funzione f () ammette un massimo locale in 0 la funzione sarà crescente da 1 a 0 e decrescente da 0 a 2.

45 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 159 f() Figura 5.13 Se la funzione f () ammette un minimo locale in 0 la funzione sarà decrescente da 1 a 0 e crescente da 0 a 2. Sia f () continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Si supponga di aver calcolato f () e di averne studiato il segno, e si supponga che esso sia rappresentato in figura a b Figura 5.14 Un esempio di studio del segno di f (). Siccome la funzione f () risulta crescente in (a, 1 ) e decrescente in ( 1, 2 ) ne segue che il punto 1 sarà un punto di massimo locale e, per il teorema di Fermat, dovrà risultare f ( 1 ) = 0 decrescente in ( 1, 2 ) e crescente ( 2, 3 ), il punto 2 sarà un minimo locale e risulterà f ( 2 ) = 0

46 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 160 crescente ( 2, 3 ) e decrescente in ( 3,b) : il punto 3 sarà un massimo locale e risulterà f ( 3 ) = 0. " Osservazione Sempre in riferimento alla figura 5.14, si supponga ora che la funzione f () sia definita in [a,b]\{ 1 } e che sia continua e derivabile in [a,b]\{ 1 }. Per fissare le idee si può supporre che 1 sia un asintoto verticale di f (). In tal caso, ovviamente, dalla crescenza di f () in (a, 1 ) e dalla decrescenza in ( 1, 2 ) non segue che il punto 1 è un massimo locale, visto che in 1 la funzione f () non è definita (si osservi la figura 5.15 per un comportamento simile a quello ora discusso). f() a b Figura 5.15 " Osservazione Facendo ancora riferimento alla figura 5.14, si supponga ora che f () sia continua in [a,b] e derivabile in [a,b]\ 1. In tal caso la funzione ammetterà ancora un punto di massimo relativo in 1 ma non risulterà più f ( 1 ) = 0 (si osservi la figura 5.16 per un comportamento simile a quello appena discusso).

47 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 161 f() a b Figura 5.16 Ricapitolando: il procedimento che si segue per determinare l esistenza di massimi o minimi locali, è il seguente: 1. si calcola il dominio di f () 2. si calcola f () e se ne studia il segno 3. si associa un andamento crescente (decrescente) della funzione agli intervalli in cui f () > 0 (f () < 0) 4. i punti in cui si inverte la monotonia, se appartengono al dominio di f (), sono estremi relativi. E Esempio 5.36 Determinare gli eventuali estremi relativi di f () = e ( 2 ). Il dominio di f () è tutto R e la funzione f () risulta continua R. La derivata prima di f () vale e risulta f () = e ( 2 ) + e (2 1) = e ( ) f () > 0 ( 3 5 2, ). 2 Il segno di f () e la crescenza/decrescenza di f () sono rappresentati in figura 5.17.

48 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Figura 5.17 Segno di f (). Siccome i punti in cui la funzione cambia monotonia, 1,2 = 3± 5 2, appartengono al dominio della funzione stessa, essi saranno estremi relativi. In particolare il punto 1 = è un minimo locale mentre il punto 2 = è un massimo locale. In tali punti, essendo la funzione f () derivabile, risulterà f ( 1,2 ) = 0. E Esempio 5.37 Determinare gli eventuali estremi relativi di f () = ln2. Il dominio D f esso. Si ha: di f () è l intervallo (0,+ ) e la funzione f () risulta continua in Posto t = ln, si ha: f () = (2ln ) 1 ln2 2 = 2ln ln2 ln (2 ln ) 2 = 2. f () > 0se 0 < t < 2 cioè 0 < ln < 2 = 1 < < e 2. Il segno di f () e la crescenza/decrescenza di f () sono rappresentati in figura 5.18.

49 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE e 2 Figura 5.18 Segno di f (). Nei punti 1,e 2 D f la funzione f () cambia monotonia: il punto 1 = 1 è un minimo relativo mentre il punto 2 = e 2 è un massimo relativo. Siccome in tali punti la funzione f () è derivabile, risulterà f ( 1,2 ) = Convessità e concavità R Definizione (Funzione globalmente convessa) Sia f : X R. Si dice che f () è globalmente convessa se, comunque scelti 1, 2 X, il segmento che unisce i punti ( 1, f ( 1 )) e ( 2, f ( 2 )) giace al di sopra del grafico di f () (si osservi la figura 5.19). f() 1 2 Figura 5.19 Un esempio di funzione convessa.

50 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 164 " Osservazione Il generico punto appartenente al segmento che unisce due punti 1, 2 può essere espresso come α 1 + (1 α) 2, α [0,1]. Si ha, in effetti: per α = 0 si ottiene il punto 1 per α = 1 si ottiene il punto 2 per α = 1/2 si ottiene il punto medio tra 1 e 2 per un generico 0 < α < 1 si ottiene un punto intermedio tra 1 e 2. La condizione di convessità globale può essere espressa analiticamente come (si confronti la figura 5.20) 1, 2 X : f (α 1 + (1 α) 2 ) < αf ( 1 ) + (1 α)f ( 2 ), α (0,1). f() αf(1) + (1 α)f(2) f(2) f(1) 1 2 f(α1 + (1 α)2) α1 + (1 α)2 Figura 5.20 La condizione analitica di convessità.

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