(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).

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1 G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il punto (;) La funzione = passa per il punto (;), come si è visto quando si è studiata la parabola Con strumenti che si vedranno nel seguito di questo capitolo si trova che la retta tangente alla parabola passante per il punto (;) ha equazione =- Il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto è, quindi la derivata prima della funzione nel punto considerato è Ciò si indica con ()=; ciò significa che la derivata della funzione nel punto = ha valore = (;) =- Fig G4 Retta tangente a = nel suo punto (;) G4 Definizione di derivata Definizione: Si definisce rapporto incrementale il coefficiente angolare della retta passante per punti della funzione =f() Si considerino i punti A( 0, f( 0)) e B( 0+h, f( 0+h)) Il coefficiente angolare è il rapporto tra la variazione sull asse e la variazione sull asse, ossia: m= La variazione sull asse è: =f( 0+h)-f( 0) La variazione sull asse è: = 0+h- 0=h Il rapporto incrementale è quindi: f( 0 +h) f( +h)- f( ) 0 0 m= h B =f() f( 0 ) A 0 0 +h h Fig G4 Definizione di derivata Teoria G4-

2 Se si fa tendere h a zero allora il punto B si avvicina sempre più al punto A, e di conseguenza la retta passante per A e B si avvicina sempre di più alla retta tangente alla funzione passante per il punto A Si può quindi dare la seguente definizione: Definizione: La derivata di =f() nel punto 0 è il ite del rapporto incrementale per h 0 Si può quindi scrivere CONTINUITA E DERIVABILITA : f( +h)- f( ) 0 0 ( )= 0 h 0 h Se la funzione =f() non è continua in un punto 0, allora di sicuro non ci sarà la retta tangente alla funzione Quindi nei punti in cui la funzione non è continua non è neanche derivabile Un altro modo di dire la stessa cosa è che se la funzione ammette derivata in un punto 0 allora è continua in quel punto Valgono dunque le seguenti implicazioni: NON CONTINUA NON DERIVABILE DERIVABILE CONTINUA Non è detto il viceversa, quindi è possibile che una funzione sia continua in un punto ma non sia derivabile Infatti non è detto che il ite del rapporto incrementale esista Nel caso questo ite non esista oppure valga infinito si dice che la funzione è non derivabile in quel punto Ci sono possibili casi di punti in cui la funzione non è derivabile Tali punti sono detti punti di non derivabilità ) Il ite del rapporto incrementale vale infinito In questo caso la retta tangente è verticale Si è in presenza di una cuspide o di un flesso a tangente verticale Si verifica uno dei casi rappresentati nelle figure G4 e G Fig G4 Punti a tangente verticale: cuspidi 0 0 Fig G44 Punti a tangente verticale: flessi a tangente verticale ) Il ite destro del rapporto incrementale è diverso dal ite sinistro In questo caso la retta tangente da destra è diversa dalla retta tangente da sinistra Si è in presenza di punti angolosi I punti angolosi sono rappresentati in figura G Fig G45 Punti angolosi Teoria G4-

3 Nel grafico G45 la retta tangente da sinistra è discendente mentre la retta tangente da destra è ascendente I coefficienti angolari sono quindi diversi (uno è negativo e l altro è positivo) Punti con queste caratteristiche sono detti punti angolosi Un esempio è il punto(;0) per la funzione = ln(), come visto nel paragrafo G ) Il ite del rapporto incrementale non esiste In questo caso la funzione, nonostante sia continua, non ha retta tangente Fig G46 Funzione continua in =0 ma senza retta tangente Avvicinandosi da destra e da sinistra al punto =0 della funzione rappresentata in figura G46 le oscillazioni diventano sempre più fitte Non è possibile calcolare il ite del rapporto incrementale, ossia dire quale è il coefficiente angolare della retta tangente In questo punto la funzione, pur continua, è non derivabile La derivata di una funzione f() in un punto 0 si può indicare indifferentemente come ( 0), f ( 0) o Df( 0) Con il procedimento appena visto si è in grado, svolgendo il ite, di calcolare il coefficiente angolare della retta tangente ad una funzione in un suo punto Esempio G4: Data la funzione = - si calcoli la sua derivata nel suo punto 0= Si calcola la 0 relativa: =f( 0)=( 0) -=() -=0 Sapendo che 0+h=+h, si calcola f( 0+h)=(+h) - ( ) f 0+h f 0 +h Si calcola il rapporto incrementale: m= = h h Si calcola la derivata come ite per h che tende a zero del rapporto incrementale f( +h)- f( ) 0 0 ( )= = (+h) - = +h+h - = 0 h 0 h h 0 h h 0 h h+h h(+h) = = (+h)= h 0 h h 0 h h 0 Quindi il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione = - nel suo punto di coordinate (;0) è Sarebbe decisamente più comodo calcolare una funzione f (), detta funzione derivata, che ci permetta di trovare TUTTI i coefficienti angolari delle rette tangenti ad una funzione, senza dover calcolare ogni volta il ite Nel prossimo paragrafo si vedrà come calcolare tale funzione, e nei successivi 4 paragrafi si vedranno alcune delle possibili applicazioni della funzione derivata La funzione derivata si indica con f (), oppure Df() Le tre notazioni sono equivalenti G4 Calcolo di derivate Per quanto possa all inizio sembrare inutile e pesante è assolutamente indispensabile imparare a memoria TUTTE le regole di derivazione In questa prima tabella ci sono alcune regole di derivazione Nella seconda tabella ce ne saranno altre, ed anche quelle saranno da imparare a memoria Per k o n si intende un qualunque numero Per f() e g() si intende qualunque funzione, ossia qualunque espressione contenente la Teoria G4-

4 funzione derivata =k =0 = = = n =n n- 4 = '= 5 =k f() =k f () 6 =sen() =cos() 7 =cos() =-sen() 8 =a =a ln(a) 9 =e =e 0 =log a() =ln() '= log e a '= =f()+g() =f ()+g () =f() g() '= f () g()+f() g () 4 5 f () = '=f () f() f() f () g()- f() g () = '= g() g () 6 =tg() '=+tg () = cos () Esempio G4: Calcolare la derivata di = =0 (regola ) Esempio G44: Calcolare la derivata di = = (regola ) Esempio G45: Calcolare la derivata di = = (regole e 5) Esempio G46: Calcolare la derivata di = = ln (regola 8) Esempio G47: Calcolare la derivata di =-7 sen =-7 cos (regole 5 e 6) Esempio G48: Calcolare la derivata di = = (regola ) Esempio G49: Calcolare la derivata di =5 4 Teoria G4-4

5 =0 (regole e 5) Esempio G40: Calcolare la derivata di =cos+ =-sen+ (regole 7,, 5 e ) Esempio G4: Calcolare la derivata di = ln() '=- = - ln () ln () (regole e 4) Esempio G4: Calcolare la derivata di = cos =6 cos+ (-sen)= cos- sen (regole, 5,, 7) Esempio G4: Calcolare la derivata di = Si deve trasformare la radice in esponente razionale prima di calcolare la derivata, e poi si utilizza la regola Si ricorda che m n = = n m a = a e che -n a = n a - = = '= (La regola 4 è un caso particolare della regola ) Esempio G44: Calcolare la derivata di e = + e ( +)-e (+) e ( +--) e ( +-) '= = = ( +) ( +) ( +) (regole 5,, 9,5,, ) Esempio G45: Calcolare la derivata di =tg() Si deve trasformare sen tg = cos e poi si usa la regola 5 cos cos+sen sen cos +sen '= = = ( cos ) cos cos (regole 5, 6, 7) cos +sen cos sen oppure ' = = + = +tg cos cos cos (La regola 6 è quindi un caso particolare della regola 5) Questa seconda tabella serve in realtà solo a capire bene la regola più complessa, quella della derivata delle funzioni composte, già trattate al paragrafo G9 funzione derivata 7 =f(g()) =f (g()) g () Questa regola serve ogni volta che una funzione si trova dentro un altra, come ad esempio = - In questo caso g() è la funzione dentro, ossia g()= -, e f() è la funzione fuori, ossia f()= Per trovare la derivata di questa funzione si calcola la derivata della funzione esterna e la si moltiplica per la derivata della funzione interna: '= (-) - Tale regola è applicabile alle regole già viste, dove al posto di c è però f() Valgono tutte le regole precedenti, ma bisogna ricordarsi di moltiplicare per la derivata della funzione interna Teoria G4-5

6 funzione derivata 8 =f n () =n f n- () f () 9 = f() '= f () f() 0 =sen(f()) =cos(f()) f () =cos(f()) =-sen(f()) f () =a f() =a f() ln(a) f () =e f() =e f() f () 4 =log a(f()) 5 =ln(f()) 6 =tg(f()) '= log e f () f() a '= f () f() [ ] ' = + tg (f()) = f () cos (f()) f () = Esempio G46: Calcolare la derivata di =sen =sen cos (Dire =sen è la stessa cosa di =(sen), quindi si deve usare la regola 8) Esempio G47: Calcolare la derivata di =sen =cos (In sen la funzione interna è f()= e quella interna è g()=sen Si usa la regola 0) Esempio G48: Calcolare la derivata di = + ( +) + ' = ( +)= = (regola 9) Esempio G49: Calcolare la derivata di =( -) 4 =4 ( -) ( -) (regola 8) Esempio G40: Calcolare la derivata di =ln(sen) '= cos =cotg (regola 5) sen Esempio G4: Calcolare la derivata di =sen ( ) In questo caso le funzioni sono, il seno, la radice e '= cos Si calcola la derivata del seno, per la derivata della radice, per la derivata di Esempio G4: Calcolare la derivata di = Si deve trasformare Ricordando che e ln =, sostituiamo e ln al posto di, e poi si usa la regola Si ottiene =e ln ln ln '= e ( ln+ )=e (ln+) Teoria G4-6

7 Esempio G4: Calcolare la derivata di = ( -) Si utilizza la regola 5, e per calcolare g () al numeratore si utilizza la regola 8 ( -) - D( -) ( -) - = ( -) = = (si raccoglie ( -)) 4 4 ( -) ( -) [ ] ( ) ( ( -) ( -) ) = = = 4 ( -) ( -) ( -) G44 Teorema di De L Hôpital Molte forme indeterminate del tipo 0/0 o / non sono risolvibili con i metodi trattati nel capitolo Il teorema di De L Hôpital fornisce un diverso e veloce metodo risolutivo TEOREMA di De L Hôpital Se f() e g() sono due funzioni derivabili in [a,b]-{ 0} e 0 [a,b] e il f () esiste il esiste anche il ite g () 0 f() e risulta g() 0 f() g() 0 f() f () = g() g () 0 0 Sotto opportune ipotesi il teorema il teorema vale anche per le forme indeterminate del tipo si presenta nella forma 0 allora, se 0 Questo teorema può essere utilizzato per risolvere iti altrimenti difficilmente risolvibili Bisogna derivare numeratore e denominatore, anche più volte, fino a che la forma indeterminata non scompare Esempio G44: Risolvere il ite 4 - e -ln 4 - e -ln = forma indeterminata Si calcola la derivata del numeratore e del denominatore 4 + e 4 +e (4 +e ) = = = -ln - Esempio G45: Risolvere il ite = forma indeterminata Si calcola la derivata del numeratore e del denominatore = = = Anche con la derivata prima non è stata einata la forma indeterminata Si calcolano allora le derivate seconde = = = = G45 Ricerca della retta tangente Si può ora riprendere l esempio G4 per determinare l equazione della retta tangente alla funzione = - La derivata di tale funzione è = Tale formula ci permette di calcolare il coefficiente angolare della retta tangente per tutte le Se in tale formula si sostituiscono alcuni valori al posto della si trovano i corrispondenti coefficienti angolari delle rette tangenti Ad esempio: =- (-)= -=- =0 (0)= 0=0 = ()= = Teoria G4-7

8 In effetti i coefficienti angolari delle rette tangenti nei punti,0 e sono proprio, 0 e rispettivamente = - m=- m= m=0 Per determinare la retta tangente si può utilizzare la formula RETTA PER UN PUNTO, già vista quando si è studiata la retta in geometria analitica, ossia: - 0=m(- 0) Per utilizzare questa formula non basta conoscere il coefficiente angolare m, ma serve anche un punto ( 0, 0) 0 è un dato del problema, 0 si trova sostituendo 0 nell equazione della funzione Si ha quindi il seguente procedimento: Si calcola 0=f( 0) sostituendo il valore di 0 al posto della nella funzione Si calcola =f () derivata della funzione =f() Si calcola m=f ( 0) sostituendo il valore di 0 nell espressione della derivata Si sostituiscono i valori di 0, 0 e m nella formula di retta per un punto - 0=m(- 0) Esempio G46: Trovare l equazione della retta tangente alla funzione = - + nel suo punto di ascissa 0= 0= è un dato del problema Per trovare 0 si sostituisce al posto della nell equazione della funzione 0= - + = Per trovare m prima si calcola la derivata della funzione f ()= -+ e poi si sostituisce in essa 0= al posto della m= ()= - +=4 0 = m=4 0 = Ora si sostituiscono tali valori nella formula - 0=m(- 0) -=4(-) -=4-4 =4-4+ =4- Questa è quindi l equazione della retta tangente alla funzione = - + nel suo punto di ascissa 0= G46 Studio della derivata prima Fig G47 Coefficienti angolari delle rette tangenti a = per =,, Si possono utilizzare i coefficienti angolari per determinare se la funzione in alcuni punti è crescente o decrescente Se il coeff angolare della retta tangente (ossia la derivata) è positivo, allora la funzione è crescente Se il coeff angolare della retta tangente (ossia la derivata) è negativo, allora la funzione è decrescente Fig G48 Funzione crescente derivata positiva Funzione decrescente derivata negativa Teoria G4-8

9 Se il coeff angolare della retta tangente (ossia la derivata) è zero, allora la funzione non è né crescente né decrescente, e siamo in presenza di un massimo, di un minimo o di un flesso a tangente orizzontale In particolare: se prima di un punto la funzione è crescente, e dopo è decrescente si è in presenza di un massimo se prima di un punto la funzione è decrescente, e dopo è crescente si è in presenza di un minimo se prima di un punto la funzione è crescente, e dopo è crescente si è in presenza di un flesso ascendente a tangente orizzontale se prima di un punto la funzione è decrescente, e dopo è decrescente si è in presenza di un flesso discendente a tangente orizzontale 0 0 Fig G49 Massimo e minimo 0 0 Fig G40 Flesso ascendente a tangente orizzontale e flesso discendente a tangente orizzontale Se la funzione non è derivabile ci può essere un punto di discontinuità oppure uno dei casi visti al paragrafo G4, ossia cuspidi, flessi a tangente verticale, punti angolosi o punti generici di non derivabilità Lo studio del segno della derivata prima permette di trovare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente e permette di trovare l ascissa (la ) dei punti di massimo, minimo, flesso a tangente orizzontale Per trovare la e tracciare il punto si deve sostituire la trovata nell equazione della funzione =f() STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA PROCEDIMENTO Calcolare la derivata prima Porre la derivata prima maggiore o uguale a zero e ricavare la linea del totale Negli intervalli in cui >0 (linea continua) la funzione è crescente Negli intervalli in cui <0 (linea tratteggiata) la funzione è decrescente I pallini sono massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale massimo minimo flesso asc a tg orizz flesso disc a tg orizz Se nella linea del totale ci sono crocette esse rappresentano punti di discontinuità, cuspidi, flessi a tangente verticale, punti angolosi, o altri punti di non derivabilità Teoria G4-9

10 Esempio G47: Studiare la derivata prima della funzione = - Si calcola la derivata prima e la si pone maggiore o uguale a zero = -6 0 (-) totale 0 La funzione è crescente per <0 e per > La funzione è decrescente per 0<< =0 è punto di massimo, in quanto la funzione prima di zero sale e dopo scende Per trovare la si sostituisce 0 nella funzione di partenza =0-0 =0 Il massimo è quindi il punto (0;0) = è punto di minimo, in quanto la funzione prima di due scende e poi sale Per trovare la si sostituisce nella funzione di partenza = - =8-=-4 Il minimo è quindi il punto (;-4) Esempio G48: Studiare la derivata prima della funzione = - Si calcola la derivata prima e la si pone maggiore o uguale a zero - = ( - ) - ( -) ( + +) 0-0 sempre negativa, pallino nello zero (-) >0 sempre positiva, crocetta sull uno ( ++) >0 sempre positiva totale 0 La funzione non è mai crescente La funzione è decrescente su tutto R esclusi =0 e = =0 è un flesso discendente a tangente orizzontale, in quanto sia prima di zero che dopo lo zero la funzione scende Per trovare la si sostituisce 0 nella funzione di partenza = = = Il flesso discendente a tangente orizzontale è quindi il punto (0;-) = è un punto in cui la funzione è non derivabile Utilizzando i procedimenti per lo studio dei punti di discontinuità si trova che = è un punto di discontinuità di seconda specie, ed in particolare è un asintoto verticale, in quanto G47 Studio della derivata seconda = - e - - = La derivata seconda serve per trovare le concavità della funzione e i suoi flessi a tangente orizzontale e obliqua Se la derivata seconda è positiva la concavità è rivolta verso l alto Se la derivata seconda è negativa la concavità è rivolta verso il basso Fig G4 CONCAVITA VERSO L ALTO derivata seconda positiva (La funzione è sopra la retta tangente) Teoria G4-0 Fig G4 CONCAVITA VERSO IL BASSO derivata seconda negativa (La funzione è sotto la retta tangente)

11 Se la derivata seconda è zero potremmo essere in presenza di un flesso a tangente orizzontale o obliqua Se è un flesso a tangente orizzontale lo si è già ricavato studiando la derivata prima Se è un flesso a tangente obliqua può essere utile trovare anche il coefficiente angolare della retta tangente in esso (detta tangente inflessionale), sostituendo la del flesso nella derivata prima STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA PROCEDIMENTO Calcolare la derivata seconda Porre la derivata seconda maggiore o uguale a zero e ricavare la linea del totale Negli intervalli in cui >0 (linea continua) la funzione ha la concavità rivolta verso l alto Negli intervalli in cui <0 (linea tratteggiata) la funzione ha la concavità rivolta verso il basso I pallini sono flessi a tangente orizzontale o obliqua, oppure punti qualunque flesso flesso punto qualunque punto qualunque Le crocette sono punti di discontinuità, cuspidi, flessi a tangente verticale, punti angolosi, o altri punti di non derivabilità Esempio G49: Studiare la derivata seconda della funzione = - = -6 0 = La funzione ha la concavità rivolta verso il basso per < La funzione ha la concavità rivolta verso l alto per > = è punto di flesso, in quanto la funzione in esso cambia concavità Per trovare la si sostituisce nella funzione di partenza = - =-=- Il flesso ha coordinate (;-) Esempio G40: Studiare la derivata seconda della funzione = - La derivata prima si è calcolata nell esempio G48 ed è - = ( - ) -6 ( -) -(- ) ( -) ( -)[-6 ( -)- (- ) ] '' = = = ( -) 4 ( -) ( +) = = = ( -) ( -) ( -) ( + +) / (-) >0 > ( ++) >0 sempre positiva totale - ½ 0 La funzione ha la concavità rivolta verso l alto per < < 0 e per > Teoria G4-

12 La funzione ha la concavità rivolta verso il basso per < - e per 0<< =0 è un flesso discendente a tangente orizzontale, come già trovato studiando la derivata prima = - è un flesso Sostituendo tale valore al posto della nella funzione di partenza si trova la = = = = = - Le coordinate del flesso sono dunque (- ) ;- = è, come già visto nello studio della derivata prima, un asintoto verticale Teoria G4-

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