Derivazione Numerica

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1 Derivazione Numerica I metodi alle differenze finite sono basati sull approssimazione numerica di derivate parziali. Per questo consideriamo come problema iniziale quello di approssimare le derivate di una funzione sufficientemente regolare f(t). Supponiamo che l intervallo di variabilità della t sia stato suddiviso in un insieme di intervalli ognuno di ampiezza h. Abbiamo ottenuto così l insieme di punti t 0 < t 1 < t 2 < < t N 1 < t N. Consideriamo tre punti consecutivi appartenenti a tale reticolazione, rispettivamente t i 1, t i e t i+1. 1

2 Sviluppiamo la funzione f(t i+1 ) in serie di Taylor prendendo come punto iniziale t i : f(t i+1 ) = f(t i )+hf (t i )+ h2 2 f (t i )+ h3 6 f (t i )+ h4 24 fiv (ξ i ), ξ i [t i, t i+1 ] e procediamo in modo analogo per f(t i 1 ): f(t i 1 ) = f(t i ) hf (t i )+ h2 2 f (t i ) h3 6 f (t i )+ h4 24 fiv (η i ), η i [t i 1, t i ]. 2

3 Sommiamo ora le due espressioni ricavando f(t i+1 ) + f(t i 1 ) = 2f(t i ) + h 2 f (t i ) + h4 24 [ f iv (ξi ) + f iv (η i ) ] f (t i ) = f(t i+1) 2f(t i ) + f(t i 1 ) h 2 h2 24 [ f iv (ξ i ) + f iv (η i ) ] 3

4 Trascurando l ultimo termine, l approssimazione della derivata seconda è: f (t i ) f(t i+1) 2f(t i ) + f(t i 1 ) h 2 mentre l errore vale: E(f (t i )) = h2 12 fiv (ξ), ξ [t i 1, t i+1 ]. L approssimazione si dice del secondo ordine perchè l errore dipende da h 2. 4

5 Interpretazione Geometrica y = f(t) t i 1 t i t i+1 5

6 L approssimazione della derivata seconda coincide con il valore della derivata seconda della parabola passante per i punti (t i 1, f(t i 1 )), (t i, f(t i )) e (t i+1, f(t i+1 )). Infatti scrivendo tale equazione come: risulta p(t) = a(t t i )(t t i 1 ) + b(t t i 1 ) + c c = f(t i 1 ) b = f(t i) f(t i 1 ) h a = f(t i+1) 2f(t i )+f(t i 1 ) 2h 2 e la proprietà segue poichè: p (t) = 2a. 6

7 Poniamoci lo stesso problema per la derivata prima e procediamo nello stesso modo cioè scrivendo le serie di Taylor per f(t i 1 ) e f(t i+1 ) : f(t i+1 ) = f(t i ) + hf (t i ) + h2 2 f (t i ) + h3 6 f (σ i ), σ i [t i, t i+1 ] f(t i 1 ) = f(t i ) hf (t i ) + h2 2 f (t i ) h3 6 f (µ i ), µ i [t i 1, t i ] 7

8 Sottraiamo la seconda dalla prima: f(t i+1 ) f(t i 1 ) = 2hf (t i ) + h3 ottenendo 6 [ f (σi ) + f (µ i ) ] f (t i ) = f(t i+1) f(t i 1 ) h2 [ f (σ i ) + f (µ i ) ] 2h 12 e, trascurando l ultimo termine, l approssimazione della derivata prima è: f (t i ) f(t i+1) f(t i 1 ). 2h 8

9 In questo caso l errore vale: E(f (t i )) = h2 6 f (δ), δ [t i 1, t i+1 ]. La formula prende il nome di formula alle differenze centrali. Osserviamo anche in questo caso l approssimazione numerica è del secondo ordine perchè l errore dipende da h 2. 9

10 Interpretazione Geometrica m = f(t i+1) f(t i 1 ) 2h y = f(t) t i 1 t i t i+1 10

11 Vediamo ora altre due approssimazioni per la derivata prima. Infatti possiamo anche scrivere: f(t i+1 ) = f(t i ) + hf (t i ) + h2 2 f (ξ i ), ξ i [t i, t i+1 ] da cui si ricava immediatamente la formula alle differenze in avanti: con errore f (t i ) f(t i+1) f(t i ) h E(f (t i )) = h 2 f (ξ i ), 11

12 Interpretazione Geometrica y = f(t) m = f(t i+1) f(t i ) h t i 1 t i t i+1 12

13 Analogamente nell intervallo a sinistra di t i, f(t i 1 ) = f(t i ) hf (t i ) + h2 2 f (µ i ), µ i [t i 1, t i ] da cui si ricava immediatamente la formula alle differenze all indietro: con errore f (t i ) f(t i) f(t i 1 ) h E(f (t i )) = h 2 f (µ i ). Queste due formule hanno ordine 1, inferiore rispetto alla formula alle differenze centrali, tuttavia hanno il pregio di poter essere applicate quando la derivata prima è discontinua in t i. 13

14 Interpretazione Geometrica y = f(t) m = f(t i) f(t i 1 ) h t i 1 t i t i+1 14

15 Approssimazioni di ordine superiore Per determinare approssimazioni di ordine superiore per le derivate prima e seconda di una funzione di variabile reale è necessario aumentare il numero di punti che sono coinvolti. Per esempio volendo calcolare un approssimazione per la derivata seconda in t i che coinvolge due a punti a destra e due a sinistra (quindi in tutto 5 punti) è possibile ottenere una formula molto più precisa. Si vogliono determinare i coefficienti della seguente relazione f (t i ) αf(t i 2 ) + βf(t i 1 ) + γf(t i ) + δf(t i+1 ) + εf(t i+2 ) in modo tale che l ordine sia il massimo possibile. 15

16 Si scrivono gli sviluppi in serie di Taylor delle quantità che intervengono nell approssimazione: f(t i±2 ) = f(t i )±2hf (t i )+2h 2 f (t i )± 4h3 3 f (t i )+ 2h4 3 fiv (t i )± 4h5 15 fv (σ i ) f(t i±1 ) = f(t i ) ± hf (t i )+ h2 2 f (t i ) ± h3 6 f (t i )+ h4 24 fiv (t i ) ± h5 120 fv (µ i ). 16

17 Raccogliendo i termini con il medesimo ordine di derivata e imponendo che la combinazione lineare abbia nulli i coefficienti dei termini differenziali di ordine 0,1,3 e 4, mentre quello di ordine 2 deve essere uguale a 1 si ottiene un sistema di cinque equazioni nelle cinque incognite: α +β +γ +δ +ε = 0 2hα hβ +hδ +2hε = 0 2h 2 α + h2 2 β +h2 2 δ +2h2 ε = h3 α h3 6 β +h3 6 δ +4 3 h3 ε = h4 α + h4 24 β +h4 24 δ +2 3 h4 ε = 0 17

18 che ammette come soluzione α = ε = 1 12h 2, γ = 5 2h 2, β = δ = 4 3h 2 f (t i ) 1 h 2 [ 1 12 f(t i 2) f(t i 1) 5 2 f(t i) f(t i+1) 1 12 f(t i+2) con errore quindi di ordine 4. E(f (t i )) = ch 4 f (vi) (ξ i ), c R, ] 18

19 In modo analogo si possono ottenere approssimazioni per la derivata prima di ordine 2, prendendo solo punti a destra di t i : e di ordine 3: f (t i ) 4f(t i+1) 3f(t i ) f(t i+2 ) 2h f (t i ) f(t i 2) 6f(t i 1 ) + 3f(t i ) + 2f(t i+1 ). 6h 19

20 Approssimazione della derivata prima di f(x) = log x, in x = 4: h Diff.C. Diff.Av. Diff.In. Ordine 2 Apx. su 4 punti E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 10 20

21 Approssimazione della derivata seconda di f(x) = log x, in x = 4: h Ordine 2 Ordine E E E E E E E E E E E E 13 21