Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p.

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1 Calcolo Differenziale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 1/33

2 Velocità istantanea Percorriamo il tratto di strada tra Udine e Trieste Velocità istantanea Udine 75km Trieste Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 2/33

3 Velocità istantanea Percorriamo il tratto di strada tra Udine e Trieste Velocità istantanea Udine 75km Trieste Tempo impiegato: 1h Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 2/33

4 Velocità istantanea Percorriamo il tratto di strada tra Udine e Trieste Velocità istantanea Udine 75km Trieste Tempo impiegato: 1h velocità media = spazio percorso tempo impiegato = 75 km/h Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 2/33

5 Velocità istantanea Percorriamo il tratto di strada tra Udine e Trieste Velocità istantanea Udine 75km Trieste Tempo impiegato: 1h velocità media = spazio percorso tempo impiegato = 75 km/h Questo non vuol dire che abbiamo avuto una velocità costante! Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 2/33

6 Dividendo il tratto di strada in due parti Velocità istantanea Udine 45km 30km Trieste Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 3/33

7 Dividendo il tratto di strada in due parti Velocità istantanea Udine 45km 30km Trieste Tempo impiegato primo tratto: 0.7h Tempo impiegato secondo tratto: 0.3h Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 3/33

8 Dividendo il tratto di strada in due parti Velocità istantanea Udine 45km 30km Trieste Tempo impiegato primo tratto: 0.7h Tempo impiegato secondo tratto: 0.3h velocità media primo tratto = km/h velocità media secondo tratto = 100 km/h Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 3/33

9 Dividendo il tratto di strada in due parti Velocità istantanea Udine 45km 30km Trieste Tempo impiegato primo tratto: 0.7h Tempo impiegato secondo tratto: 0.3h velocità media primo tratto = km/h velocità media secondo tratto = 100 km/h Si può dividere la strada in intervalli sempre più piccoli su cui calcolare la velocità media Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 3/33

10 s(t) = la distanza percorsa al tempo t Velocità istantanea Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 4/33

11 s(t) = la distanza percorsa al tempo t Velocità istantanea La velocità media nell intervallo di tempo [t 0,t 0 +h] è s(t 0 +h) s(t 0 ) h Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 4/33

12 s(t) = la distanza percorsa al tempo t Velocità istantanea La velocità media nell intervallo di tempo [t 0,t 0 +h] è s(t 0 +h) s(t 0 ) h Più h è vicino a0, più è precisa l informazione sull andamento della velocità. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 4/33

13 s(t) = la distanza percorsa al tempo t Velocità istantanea La velocità media nell intervallo di tempo [t 0,t 0 +h] è s(t 0 +h) s(t 0 ) h Più h è vicino a0, più è precisa l informazione sull andamento della velocità. Il limite lim h 0 s(t 0 +h) s(t 0 ) h rappresenta la velocità istantanea al tempo t 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 4/33

14 Derivabilità e derivata Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 5/33

15 Derivabilità e derivata Siaf :]a,b[ R una funzione ex 0 ]a,b[ Derivabilità e derivata f è derivabile nel punto x 0 se esiste finito lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h detto derivata di f nel punto x 0, indicato usualmente con uno dei simboli f df (x 0 ) dx (x 0) Df(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 6/33

16 Derivabilità e derivata Siaf :]a,b[ R una funzione ex 0 ]a,b[ Derivabilità e derivata f è derivabile nel punto x 0 se esiste finito lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h rapporto incrementale detto derivata di f nel punto x 0, indicato usualmente con uno dei simboli f df (x 0 ) dx (x 0) Df(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 6/33

17 Si dice che f è derivabile in un sottoinsiemeadel suo dominio se è derivabile in ogni punto di A Derivabilità e derivata Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 7/33

18 Si dice che f è derivabile in un sottoinsiemeadel suo dominio se è derivabile in ogni punto di A Derivabilità e derivata Operando il cambiamento di variabile x = x 0 +h si ottiene f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 che è un altro modo di definire la derivata Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 7/33

19 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Retta tangente Significato geometrico f(x 0 ) x 0 P 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

20 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Tracciamo la retta secante passante per i punti di Retta tangente Significato geometrico ascissa x 0 ex 0 +h f(x 0 +h) P h f(x 0 ) x 0 P 0 x 0 +h Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

21 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Tracciamo la retta secante passante per i punti di Retta tangente Significato geometrico ascissa x 0 ex 0 +h f(x 0 +h) P h Facciamo tendere h a zero, quindi x 0 +h tenderà ax 0 f(x 0 ) x 0 P 0 x 0 +h Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

22 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Tracciamo la retta secante passante per i punti di Retta tangente Significato geometrico ascissa x 0 ex 0 +h Facciamo tendere h a zero, f(x 0 +h) P h quindi x 0 +h tenderà ax 0 Corrispondentemente il f(x 0 ) punto P h tenderà a P 0 lungo la curva x 0 P 0 x 0 +h Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

23 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Tracciamo la retta secante passante per i punti di ascissa x 0 ex 0 +h Retta tangente Significato geometrico Facciamo tendere h a zero, quindi x 0 +h tenderà ax f(x 0 +h) 0 Corrispondentemente il f(x 0 ) punto P h tenderà a P 0 lungo la curva x 0 P 0 P h x 0 +h Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

24 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Tracciamo la retta secante passante per i punti di ascissa x 0 ex 0 +h Facciamo tendere h a zero, quindi x 0 +h tenderà ax 0 f(x 0 +h) Corrispondentemente il f(x 0 ) punto P h tenderà a P 0 lungo la curva x 0 P h P 0 x 0 +h Retta tangente Significato geometrico Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

25 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Per h 0, la retta secante tende alla retta tangente al grafico nel punto ( x 0,f(x 0 ) ) Retta tangente Significato geometrico f(x 0 ) x 0 P 0 Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

26 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Per h 0, la retta secante tende alla Retta tangente Significato geometrico retta tangente al grafico nel punto ( x 0,f(x 0 ) ) Sef è derivabile inx 0, pas- sando al limite h 0 nell equazione della retta secante si trova l equazione della retta tangente f(x 0 ) x 0 P 0 Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

27 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Per h 0, la retta secante tende alla Retta tangente Significato geometrico retta tangente al grafico nel punto ( x 0,f(x 0 ) ) Sef è derivabile inx 0, pas- sando al limite h 0 nell equazione della retta secante si trova l equazione della retta tangente f(x 0 ) x 0 P 0 Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) y = (x x 0 )f (x 0 )+f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

28 Retta tangente Sia f :]a,b[ R e x 0 ]a,b[ Per h 0, la retta secante tende alla Retta tangente Significato geometrico retta tangente al grafico nel punto ( x 0,f(x 0 ) ) Sef è derivabile inx 0, pas- sando al limite h 0 nell equazione della retta secante si trova l equazione della retta tangente f(x 0 ) x 0 P 0 Equazione della secante: y = (x x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) h +f(x 0 ) Equazione della tangente in P 0 : y = (x x 0 )f (x 0 )+f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 8/33

29 Significato geometrico Dall equazione y = (x x 0 )f (x 0 )+f(x 0 ) si ottiene l interpretazione geometrica della derivata: La derivata della funzione f nel punto x 0 è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x 0,f(x 0 )) Retta tangente Significato geometrico Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 9/33

30 Derivate delle funzioni elementari Tabella di derivate Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 10/33

31 Tabella di derivate Funzione Derivata costante 0 x α αx α 1 senx cosx Funzione a x log a x senhx Derivata a x loga 1 xloga coshx cosx senx coshx senhx tgx arcsen x 1 cos 2 x = 1+tg2 x 1 1 x 2 tghx setsenh x 1 cosh 2 x 1 1+x 2 arccos x 1 1 x 2 setcosh x 1 x2 1 arctg x 1 1+x 2 settgh x 1 1 x 2 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 11/33

32 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 12/33

33 Se f e g sono derivabili in un punto x allora sono derivabili in x anche αf, f + g, fg e f/g (purché g(x) 0), e valgono (αf) (x) = αf (x) (f +g) (x) = f (x)+g (x) (fg) (x) = f (x)g(x)+f(x)g (x) ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2 (x) se g(x) 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 13/33

34 Se f e g sono derivabili in un punto x allora sono derivabili in x anche αf, f + g, fg e f/g (purché g(x) 0), e valgono (αf) (x) = αf (x) (f +g) (x) = f (x)+g (x) (fg) (x) = f (x)g(x)+f(x)g (x) ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2 (x) se g(x) 0 Se g è derivabile in x ed f è derivabile in g(x) allora la funzione composta f g è derivabile in x e vale (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 13/33

35 Derivata n-esima Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 14/33

36 Derivata n-esima Sef :]a,b[ R è derivabile in ogni punto, allora si può considerare la funzione derivata f :]a,b[ R x f (x) Derivata n-esima Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 15/33

37 Derivata n-esima Sef :]a,b[ R è derivabile in ogni punto, allora si può considerare la funzione derivata f :]a,b[ R x f (x) Sef è derivabile in x 0 ]a,b[ diremo che la sua derivata(f ) (x 0 ) è la derivata seconda di f nel punto x 0, denotata con uno dei simboli Derivata n-esima f (x 0 ) d 2 f dx 2(x 0) D 2 f(x 0 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 15/33

38 Derivata n-esima Sef :]a,b[ R è derivabile in ogni punto, allora si può considerare la funzione derivata f :]a,b[ R x f (x) Sef è derivabile in x 0 ]a,b[ diremo che la sua derivata(f ) (x 0 ) è la derivata seconda di f nel punto x 0, denotata con uno dei simboli f d 2 f (x 0 ) dx 2(x 0) D 2 f(x 0 ) Procedendo oltre, potremo parlare di derivata terza e così via. Useremo il simbolo f (n) o D n f per denotare la derivatan-esima Derivata n-esima Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 15/33

39 Andamento di crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 16/33

40 Monotonia delle funzioni derivabili Consideriamo il grafico di una funzione crescente e derivabile. f(x) x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

41 Monotonia delle funzioni derivabili Consideriamo il grafico di una funzione crescente e derivabile. Ogni retta tangente al grafico punta verso l alto f(x) x 0 f(x 0 ) x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

42 Monotonia delle funzioni derivabili Consideriamo il grafico di una funzione crescente e derivabile. Ogni retta tangente al grafico punta verso l alto, ovvero ha un coefficiente angolare positivo. f(x) x 0 f(x 0 ) x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

43 Monotonia delle funzioni derivabili Consideriamo il grafico di una funzione crescente e derivabile. Ogni retta tangente al grafico punta verso l alto, ovvero ha un coefficiente angolare positivo. f(x 0 ) f(x) x 0 x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

44 Monotonia delle funzioni derivabili Consideriamo il grafico di una funzione crescente e derivabile. Ogni retta tangente al grafico punta verso l alto, ovvero ha un coefficiente angolare positivo. f(x 0 ) f(x) x 0 x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

45 Monotonia delle funzioni derivabili Consideriamo il grafico di una funzione crescente e derivabile. Ogni retta tangente al grafico punta verso l alto, ovvero ha un coefficiente angolare positivo. f(x 0 ) f(x) x 0 x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

46 Monotonia delle funzioni derivabili Analogamente accade per le funzioni decrescenti e derivabili. f(x) x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

47 Monotonia delle funzioni derivabili Analogamente accade per le funzioni decrescenti e derivabili. Ogni retta tangente al grafico punta verso il basso, ovvero ha un coefficiente angolare negativo. x 0 f(x) f(x 0 ) x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

48 Monotonia delle funzioni derivabili Analogamente accade per le funzioni decrescenti e derivabili. Ogni retta tangente al grafico punta verso il basso, ovvero ha un coefficiente angolare negativo. x 0 f(x) f(x 0 ) x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

49 Monotonia delle funzioni derivabili Analogamente accade per le funzioni decrescenti e derivabili. Ogni retta tangente al grafico punta verso il basso, ovvero ha un coefficiente angolare negativo. f(x) f(x 0 ) x 0 x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

50 Monotonia delle funzioni derivabili Analogamente accade per le funzioni decrescenti e derivabili. Ogni retta tangente al grafico punta verso il basso, ovvero ha un coefficiente angolare negativo. f(x 0 ) f(x) x 0 x Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

51 Monotonia delle funzioni derivabili Analogamente accade f(x) per le funzioni decrescenti e derivabili. Ogni retta tangente al grafico punta verso il basso, ovvero ha un coefficiente x x 0 f(x 0 ) angolare negativo. Poiché la pendenza della tangente al grafico di f nel punto (x 0,f(x 0 )) è data daf (x 0 ), ci si può aspettare che il segno della derivata prima sia legato all andamento di monotonia della funzione. Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 17/33

52 Criterio di monotonia Teorema (criterio di monotonia). Siaf una funzione derivabile in ]a,b[. Allora f (x) 0 x ]a,b[ f è crescente in ]a,b[ f (x) 0 x ]a,b[ f è decrescente in ]a,b[ Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 18/33

53 Criterio di monotonia Teorema (criterio di monotonia). Siaf una funzione derivabile in ]a,b[. Allora f (x) 0 x ]a,b[ f è crescente in ]a,b[ f (x) 0 x ]a,b[ f è decrescente in ]a,b[ Riguardo la monotonia in senso stretto: f (x) > 0 x ]a,b[ = f è strettamente crescente in ]a,b[ Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia f (x) < 0 x ]a,b[ = f è strettamente decrescente in ]a,b[ Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 18/33

54 Criterio di monotonia Teorema (criterio di monotonia). Siaf una funzione derivabile in ]a,b[. Allora f (x) 0 x ]a,b[ f è crescente in ]a,b[ f (x) 0 x ]a,b[ f è decrescente in ]a,b[ Riguardo la monotonia in senso stretto: f (x) > 0 x ]a,b[ = f è strettamente crescente in ]a,b[ Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia f (x) < 0 x ]a,b[ = f è strettamente decrescente in ]a,b[ Non vale il viceversa (ad esempio f(x) = x 3 ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 18/33

55 Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 19/33

56 Curvatura del grafico Talvolta è utile conoscere non solo dove la funzione cresce/decresce ma anche come lo fa. Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 20/33

57 Curvatura del grafico Talvolta è utile conoscere non solo dove la funzione cresce/decresce ma anche come lo fa. Ad esempio le tre funzioni f(x) g(x) h(x) x x x Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda f(x) = x g(x) = x 2 h(x) = x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 20/33

58 Curvatura del grafico Talvolta è utile conoscere non solo dove la funzione cresce/decresce ma anche come lo fa. Ad esempio le tre funzioni f(x) g(x) h(x) f(x) = x x g(x) = x 2 x h(x) = x sono tutte crescenti in [0,+ [, ma i grafici si curvano in maniera differente: x Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 20/33

59 Curvatura del grafico Talvolta è utile conoscere non solo dove la funzione cresce/decresce ma anche come lo fa. Ad esempio le tre funzioni f(x) g(x) h(x) f(x) = x x g(x) = x 2 x h(x) = x sono tutte crescenti in [0,+ [, ma i grafici si curvano in maniera differente: il grafico di f è un retta x Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 20/33

60 Curvatura del grafico Talvolta è utile conoscere non solo dove la funzione cresce/decresce ma anche come lo fa. Ad esempio le tre funzioni f(x) g(x) h(x) f(x) = x x g(x) = x 2 x h(x) = x sono tutte crescenti in [0,+ [, ma i grafici si curvano in maniera differente: il grafico di f è un retta il grafico di g si curva verso l alto x Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 20/33

61 Curvatura del grafico Talvolta è utile conoscere non solo dove la funzione cresce/decresce ma anche come lo fa. Ad esempio le tre funzioni f(x) g(x) h(x) f(x) = x x g(x) = x 2 x h(x) = x sono tutte crescenti in [0,+ [, ma i grafici si curvano in maniera differente: il grafico di f è un retta il grafico di g si curva verso l alto il grafico di h si curva verso il basso x Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 20/33

62 Funzioni convesse e concave Si può dire che una funzione è convessa se il grafico si flette verso l alto, assumendo una forma del tipo Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 21/33

63 Funzioni convesse e concave Si può dire che una funzione è convessa se il grafico si flette verso l alto, assumendo una forma del tipo Più precisamente, dataf:]a,b[ R Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 21/33

64 Funzioni convesse e concave Si può dire che una funzione è convessa se il grafico si flette verso l alto, assumendo una forma del tipo x y Più precisamente, dataf:]a,b[ R f si dice convessa in]a,b[, se, comunque presi due punti del grafico di f, il segmento che li congiunge sta sopra il grafico Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 21/33

65 Funzioni convesse e concave Si può dire che una funzione è convessa se il grafico si flette verso l alto, assumendo una forma del tipo x y Più precisamente, dataf:]a,b[ R f si dice convessa in]a,b[, se, comunque presi due punti del grafico di f, il segmento che li congiunge sta sopra il grafico, cioè se Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda f ( λx+(1 λ)y ) λf(x)+(1 λ)f(y) per ogni x,y ]a,b[ e per ogni λ [0,1] Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 21/33

66 Funzioni convesse e concave Si può dire che una funzione è convessa se il grafico si flette verso l alto, assumendo una forma del tipo x y Più precisamente, dataf:]a,b[ R f si dice convessa in]a,b[, se, comunque presi due punti del grafico di f, il segmento che li congiunge sta sopra il grafico, cioè se Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda f ( λx+(1 λ)y ) λf(x)+(1 λ)f(y) per ogni x,y ]a,b[ e per ogni λ [0,1] Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 21/33

67 Funzioni convesse e concave Si può dire che una funzione è convessa se il grafico si flette verso l alto, assumendo una forma del tipo x y Più precisamente, dataf:]a,b[ R f si dice convessa in]a,b[, se, comunque presi due punti del grafico di f, il segmento che li congiunge sta sopra il grafico, cioè se Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda f ( λx+(1 λ)y ) λf(x)+(1 λ)f(y) per ogni x,y ]a,b[ e per ogni λ [0,1] Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 21/33

68 Analogamente, una funzione è concava se il grafico si flette verso il basso, assumendo una forma del tipo Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 22/33

69 Analogamente, una funzione è concava se il grafico si flette verso il basso, assumendo una forma del tipo Più precisamente, dataf:]a,b[ R Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 22/33

70 Analogamente, una funzione è concava se il grafico si flette verso il basso, assumendo una forma del tipo x y Più precisamente, dataf:]a,b[ R f si dice concava in]a,b[, se, comunque presi due punti del grafico di f, il segmento che li congiunge sta sotto il grafico Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 22/33

71 Analogamente, una funzione è concava se il grafico si flette verso il basso, assumendo una forma del tipo x y Più precisamente, dataf:]a,b[ R f si dice concava in]a,b[, se, comunque presi due punti del grafico di f, il segmento che li congiunge sta sotto il grafico, cioè se Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda f ( λx+(1 λ)y ) λf(x)+(1 λ)f(y) per ogni x,y ]a,b[ e per ogni λ [0,1] Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 22/33

72 Analogamente, una funzione è concava se il grafico si flette verso il basso, assumendo una forma del tipo x y Più precisamente, dataf:]a,b[ R f si dice concava in]a,b[, se, comunque presi due punti del grafico di f, il segmento che li congiunge sta sotto il grafico, cioè se Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda f ( λx+(1 λ)y ) λf(x)+(1 λ)f(y) per ogni x,y ]a,b[ e per ogni λ [0,1] Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 22/33

73 Analogamente, una funzione è concava se il grafico si flette verso il basso, assumendo una forma del tipo x y Più precisamente, dataf:]a,b[ R f si dice concava in]a,b[, se, comunque presi due punti del grafico di f, il segmento che li congiunge sta sotto il grafico, cioè se Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda f ( λx+(1 λ)y ) λf(x)+(1 λ)f(y) per ogni x,y ]a,b[ e per ogni λ [0,1] Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 22/33

74 Convessità e derivata seconda Il seguente teorema caratterizza la convessità di una funzione derivabile due volte: Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 23/33

75 Convessità e derivata seconda Il seguente teorema caratterizza la convessità di una funzione derivabile due volte: Teorema. Sia f :]a, b[ R una funzione derivabile due volte in ]a,b[. Allora f (x) 0 x ]a,b[ = f è convessa in ]a,b[ Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda f (x) 0 x ]a,b[ = f è concava in ]a,b[ Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 23/33

76 Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 24/33

77 Punti di massimo e minimo Siaf : A R, x 0 A Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 25/33

78 Punti di massimo e minimo Siaf : A R, x 0 A x 0 A si dice punto di massimo di f se f(x 0 ) f(x) per ogni x A cioè se f(x 0 ) è il più grande valore che f assume Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 25/33

79 Punti di massimo e minimo Siaf : A R, x 0 A x 0 A si dice punto di massimo di f se f(x 0 ) f(x) per ogni x A cioè se f(x 0 ) è il più grande valore che f assume x 0 A si dice punto di minimo di f se f(x 0 ) f(x) per ogni x A Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi cioè se f(x 0 ) è il più piccolo valore che f assume Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 25/33

80 Massimo e minimo I valori assunti nei punti di massimo e minimo sono rispettivamente il massimo e minimo dif Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 26/33

81 Massimo e minimo I valori assunti nei punti di massimo e minimo sono rispettivamente il massimo e minimo dif x 0 punto di massimo = f(x 0 ) = max x A f(x) Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 26/33

82 Massimo e minimo I valori assunti nei punti di massimo e minimo sono rispettivamente il massimo e minimo dif x 0 punto di massimo = f(x 0 ) = max x A f(x) x 1 punto di minimo = f(x 1 ) = min x A f(x) Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 26/33

83 Massimo e minimo I valori assunti nei punti di massimo e minimo sono rispettivamente il massimo e minimo dif x 0 punto di massimo = f(x 0 ) = max f(x) x A x 1 punto di minimo = f(x 1 ) = min f(x) x A y Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 26/33

84 Massimo e minimo I valori assunti nei punti di massimo e minimo sono rispettivamente il massimo e minimo dif x 0 punto di massimo = f(x 0 ) = max f(x) x A x 1 punto di minimo = f(x 1 ) = min f(x) x A y maxf Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi x 0 x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 26/33

85 Massimo e minimo I valori assunti nei punti di massimo e minimo sono rispettivamente il massimo e minimo dif x 0 punto di massimo = f(x 0 ) = max f(x) x A x 1 punto di minimo = f(x 1 ) = min f(x) x A y maxf Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi minf x 0 x 1 x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 26/33

86 Teorema di Weierstrass In generale massimo e minimo di una funzione non esistono Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 27/33

87 Teorema di Weierstrass In generale massimo e minimo di una funzione non esistono, ma per le funzioni continue vale il seguente teorema: Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 27/33

88 Teorema di Weierstrass In generale massimo e minimo di una funzione non esistono, ma per le funzioni continue vale il seguente teorema: Teorema (di Weierstrass) Se f è una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato[a, b] ed è ivi continua allora esistono il massimo e il minimo di f in [a,b] Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 27/33

89 Teorema di Weierstrass In generale massimo e minimo di una funzione non esistono, ma per le funzioni continue vale il seguente teorema: Teorema (di Weierstrass) Se f è una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato[a, b] ed è ivi continua allora esistono il massimo e il minimo di f in [a,b] Problema: Come trovare il massimo e il minimo di f (nel caso in cui esistono)? Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 27/33

90 Teorema di Weierstrass In generale massimo e minimo di una funzione non esistono, ma per le funzioni continue vale il seguente teorema: Teorema (di Weierstrass) Se f è una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato[a, b] ed è ivi continua allora esistono il massimo e il minimo di f in [a,b] Problema: Come trovare il massimo e il minimo di f (nel caso in cui esistono)? E i punti di massimo e minimo? Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 27/33

91 Massimi e minimi relativi Data f : A R diremo che x 0 A è punto di massimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore massimo dif(x) per gli x vicini ax 0 Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 28/33

92 Massimi e minimi relativi Data f : A R diremo che x 0 A è punto di massimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore massimo dif(x) per gli x vicini ax 0 Diremo chex 0 A è punto di minimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore minimo di f(x) per gli x vicini a x 0 Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 28/33

93 Massimi e minimi relativi Data f : A R diremo che x 0 A è punto di massimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore massimo dif(x) per gli x vicini ax 0 Diremo chex 0 A è punto di minimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore minimo di f(x) per gli x vicini a x 0 y Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 28/33

94 Massimi e minimi relativi Data f : A R diremo che x 0 A è punto di massimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore massimo dif(x) per gli x vicini ax 0 Diremo chex 0 A è punto di minimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore minimo di f(x) per gli x vicini a x 0 y Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi x 2 x 2 è punto di massimo relativo x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 28/33

95 Massimi e minimi relativi Data f : A R diremo che x 0 A è punto di massimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore massimo dif(x) per gli x vicini ax 0 Diremo chex 0 A è punto di minimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore minimo di f(x) per gli x vicini a x 0 y Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi x 2 x 3 anchex 3 è punto di massimo relativo x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 28/33

96 Massimi e minimi relativi Data f : A R diremo che x 0 A è punto di massimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore massimo dif(x) per gli x vicini ax 0 Diremo chex 0 A è punto di minimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore minimo di f(x) per gli x vicini a x 0 y maxf Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi x 0 x 2 x 3 pure x 0 è punto di massimo relativo x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 28/33

97 Massimi e minimi relativi Data f : A R diremo che x 0 A è punto di massimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore massimo dif(x) per gli x vicini ax 0 Diremo chex 0 A è punto di minimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore minimo di f(x) per gli x vicini a x 0 y Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi x 4 x 4 è punto di minimo relativo x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 28/33

98 Massimi e minimi relativi Data f : A R diremo che x 0 A è punto di massimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore massimo dif(x) per gli x vicini ax 0 Diremo chex 0 A è punto di minimo locale (o relativo) per f se f(x 0 ) è il valore minimo di f(x) per gli x vicini a x 0 y Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi minf x 1 x 4 pure x 1 è punto di minimo relativo x Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 28/33

99 Punti critici o stazionari Siaf : [a,b] R derivabile. f(x) x Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 29/33

100 Punti critici o stazionari Siaf : [a,b] R derivabile. Se x 0 è punto di massimo relativo interno ad [a, b] f(x) x 0 x Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 29/33

101 Punti critici o stazionari Siaf : [a,b] R derivabile. Se x 0 è punto di massimo relativo interno ad [a, b], la relativa tangente è orizzontale f(x) x 0 x Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 29/33

102 Punti critici o stazionari Siaf : [a,b] R derivabile. Se x 0 è punto di massimo relativo interno ad [a, b], la relativa tangente è orizzontale, quindi la derivata prima è nulla f(x) x 0 x Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 29/33

103 Punti critici o stazionari Analogamente se x 0 è punto di minimo relativo interno ad [a,b] f(x) x 0 x Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 29/33

104 Punti critici o stazionari Analogamente se x 0 è punto di minimo relativo interno ad [a,b] f(x) x 0 x Teorema (dei punti critici). Sia f : [a,b] R e sia x 0 un punto di massimo o di minimo locale. Se x 0 ]a,b[ e se f è derivabile in x 0 alloraf (x 0 ) = 0 Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 29/33

105 Punti critici o stazionari Analogamente se x 0 è punto di minimo relativo interno ad [a,b] f(x) x 0 x Teorema (dei punti critici). Sia f : [a,b] R e sia x 0 un punto di massimo o di minimo locale. Se x 0 ]a,b[ e se f è derivabile in x 0 alloraf (x 0 ) = 0 Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Non vale il viceversa del teorema (ad esempio f(x) = x 3, con x 0 = 0) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 29/33

106 Punti critici o stazionari Analogamente se x 0 è punto di minimo relativo interno ad [a,b] f(x) x 0 x Teorema (dei punti critici). Sia f : [a,b] R e sia x 0 un punto di massimo o di minimo locale. Se x 0 ]a,b[ e se f è derivabile in x 0 alloraf (x 0 ) = 0 Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi I punti x 0 per cui f (x 0 ) = 0 si dicono punti critici dif Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 29/33

107 Criterio della derivata seconda Il seguente criterio permette di identificare i massimi e minimi relativi tra i punti critici, grazie alla derivata seconda: Criterio della derivata seconda. Sia f :]a,b[ R derivabile due volte, e x 0 un punto critico di f, cioè f (x 0 ) = 0. Allora f (x 0 ) = 0 = x 0 è pt. di minimo locale f (x 0 ) > 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0 = x 0 è pt. di massimo locale Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 30/33

108 Ricerca dei massimi e minimi Siaf : A R una funzione che ammette massimo e minimo. Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 31/33

109 Ricerca dei massimi e minimi Siaf : A R una funzione che ammette massimo e minimo. Allora i punti di massimo e minimo vanno ricercati tra: Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 31/33

110 Ricerca dei massimi e minimi Siaf : A R una funzione che ammette massimo e minimo. Allora i punti di massimo e minimo vanno ricercati tra: gli eventuali punti in cui f non è derivabile Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 31/33

111 Ricerca dei massimi e minimi Siaf : A R una funzione che ammette massimo e minimo. Allora i punti di massimo e minimo vanno ricercati tra: gli eventuali punti in cui f non è derivabile gli estremi di A Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 31/33

112 Ricerca dei massimi e minimi Siaf : A R una funzione che ammette massimo e minimo. Allora i punti di massimo e minimo vanno ricercati tra: gli eventuali punti in cui f non è derivabile gli estremi di A i punti critici di f Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 31/33

113 Ricerca dei massimi e minimi Siaf : A R una funzione che ammette massimo e minimo. Allora i punti di massimo e minimo vanno ricercati tra: gli eventuali punti in cui f non è derivabile gli estremi di A i punti critici di f a pt. di massimo y a x 1 2 x 3 x x 4 b x x 1 pt. di min. relativo (senza tangente) x 2,x 4 pt. di max. relativo con x 3 tangente orizzontale pt. di minimo con tangente orizzontale b pt. di min. relativo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 31/33

114 Schema Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 32/33

115 Schema determinare il dominiod della funzionef Schema Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 33/33

116 Schema determinare il dominiod della funzionef studio della continuità della funzione in D Schema Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 33/33

117 Schema determinare il dominiod della funzionef studio della continuità della funzione in D studio del segno di f, in particolare dove f interseca l asse delle ascisse Schema Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 33/33

118 Schema determinare il dominiod della funzionef studio della continuità della funzione in D studio del segno di f, in particolare dove f interseca l asse delle ascisse studio dei limiti della funzione agli estremi di D e negli eventuali punti di discontinuità Schema Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 33/33

119 Schema determinare il dominiod della funzionef studio della continuità della funzione in D studio del segno di f, in particolare dove f interseca l asse delle ascisse studio dei limiti della funzione agli estremi di D e negli eventuali punti di discontinuità studio della derivata; per determinare gli intervalli di crescenza/decrescenza di f ed eventuali punti di massimo/minimo relativo Schema Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 33/33

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