Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi matematica (A) a.a. 2007/08 9 giugno 2008

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1 9 giugno Data la funzione f(x) = x e 1/(x2 4), (c) stabilire se f ammette punti singolari e in caso affermativo classificarli; calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f e per determinare i punti stazionari di f ; stabilire la natura dei punti stazionari e singolari di f ; (d) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f (suggerimento: negli eventuali punti in cui f non è definita ma ha limite finito calcolare il limite della derivata prima, per determinare la pendenza limite della retta tangente al grafico); (e) stabilire in base al grafico ottenuto se f ammette punti di flesso e stabilire in quali intervalli f è convessa e in quali è concava (nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f ); (f) stabilire se f ammette estremi globali e in caso affermativo calcolarli; (g) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ al variare di λ R. 2. Data la funzione f(x) = (3 x 2 ) cos(2x), (b) calcolare l area della regione di piano delimitata dal grafico di f e dalle rette di equazione y = 0, x = 0, x = π/2. n 2 1 e 2n è convergente. In caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto n-esimo e utilizzarla per calcolare un valore approssimato della somma della serie con un errore inferiore a 10 3 ; stabilire se il valore trovato approssima per difetto o per eccesso la somma della serie. 4. Calcolare il limite lim x 0 (e x 1) tan x 2x sin x + log(1 2x 2 ).

2 23 giugno Data la funzione f(x) = x + 2 x x, (c) stabilire se f ammette punti singolari e in caso affermativo classificarli; calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f e per determinare i punti stazionari di f ; stabilire la natura dei punti stazionari e singolari di f ; (d) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f ; (e) stabilire in base al grafico ottenuto se f ammette punti di flesso e stabilire in quali intervalli f è convessa e in quali è concava (nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f ). 2. Data la funzione f(x) = ex (e x + 1) e 2x 6 e x + 10, (b) calcolare l integrale improprio di f nell intervallo [0, + ). ( 1) n log(e 2n + 1) è assolutamente convergente, condizionalmente convergente, non convergente. 4. In base al teorema degli zeri e a opportune considerazioni di monotonia, determinare il numero esatto di soluzioni dell equazione x 5 5 x 3 20 x + 5 = 0, specificandone la parte intera. Nota: l equazione assegnata non è risolvibile esplicitamente.

3 14 luglio 2008 x Data la funzione f(x) =, x 1 (c) stabilire se f ammette punti singolari e in caso affermativo classificarli; calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f e per determinare i punti stazionari di f ; stabilire la natura dei punti stazionari e singolari di f ; (d) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f ; (e) stabilire in base al grafico ottenuto se f ammette punti di flesso e stabilire in quali intervalli f è convessa e in quali è concava (nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f ); (f) (facoltativo) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ al variare di λ R. 2. Calcolare l integrale indefinito della funzione f(x) = log(x 3 + 8). Suggerimento: tenere presente che x = (x + 2)(x 2 2x + 4). n=3 ( 1) n (e log n n 1) è convergente, assolutamente convergente, non convergente. 4. Determinare l asintoto obliquo per x + della funzione f(x) = x 3 log ( x 2 ) + 1 x 2. 1

4 19 settembre Data la funzione f(x) = 1 x 2 e 1/x + 1, (c) calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f e per determinare i punti stazionari di f ; stabilire la natura dei punti stazionari di f ; (d) nei punti in cui f non è definita ma ha limite finito calcolare il limite della derivata prima, per determinare la pendenza limite della retta tangente al grafico; (e) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f ; (f) stabilire in base al grafico ottenuto se f ammette punti di flesso e stabilire in quali intervalli f è convessa e in quali è concava (nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f ); (g) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ al variare di λ R. 2. Data la funzione f(x) = 7 log x + 19 x(log x + 1)(log 2 x + 4 log x + 5), (b) calcolare l integrale definito di f nell intervallo [1, e]. ( 1) n sin 1 n 2 è convergente, assolutamente convergente, non convergente. 4. Calcolare (se possibile) i seguenti limiti: lim x 0 e x cos x sin x, lim x log(1 + x) x e x cos x sin x, lim x log(1 + x) x + e x cos x sin x. x log(1 + x)

5 17 novembre 2008 Appello riservato agli studenti immatricolati nell a.a. 2005/06 e precedenti 1. Data la funzione f(x) = ex x 2 1, (c) calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f, per determinare i punti stazionari e stabilirne la natura; (d) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f ; (e) stabilire in base al grafico ottenuto se f ammette punti di flesso, in quali intervalli è convessa e in quali è concava (nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f ). 2. Data la funzione f(x) = x arctan(1 x), (b) calcolare l integrale definito di f nell intervallo [0, 1]. ( 1) n n2 1 3 n è convergente. In caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto n-esimo e utilizzarla per calcolare un valore approssimato della somma della serie con un errore inferiore a (Facoltativo) Stabilire se la serie è assolutamente convergente. 4. Determinare il numero delle soluzioni dell equazione e x x 2 = λ, al variare di λ R. 1

6 19 gennaio Data la funzione f(x) = x ln(x 5) 2, (a) determinare il dominio di f e l intersezione del grafico di f con l asse delle ordinate; (c) calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f e per determinare i punti stazionari di f ; stabilire la natura dei punti stazionari di f ; (d) calcolare la derivata seconda di f e utilizzarla per studiare la convessità di f e per determinare i punti di flesso di f ; (e) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f ; (f) in base al grafico ottenuto, determinare il numero di soluzioni dell equazione f(x) = Data la funzione f(x) = x2 1 e x, (b) calcolare l integrale improprio di f nell intervallo [0, + ). 3. Data la serie ( 1) n 1 4 n + n, (a) stabilire se è convergente; (b) in caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto n-esimo e utilizzarla per calcolare un valore approssimato della somma della serie con un errore inferiore a 10 3 ; (c) (facoltativo) stabilire se il valore trovato al punto precedente approssima per difetto o per eccesso la somma della serie. 4. Calcolare i seguenti limiti: lim x 0 log(1 + x 2 ) x 2 x 3, lim arctan x x + log(1 + x 2 ) x 2 x 3. arctan x

7 9 febbraio Data la funzione f(x) = 3 ex 1 e 2x + 8, (a) determinare il dominio di f, le intersezioni del grafico di f con gli assi cartesiani, il segno di f ; (c) stabilire se f ammette punti singolari e in caso affermativo classificarli; (d) calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f e per determinare i punti stazionari di f ; stabilire la natura dei punti stazionari di f ; (Suggerimento: per risolvere un equazione del tipo ae 2x + be x + c = 0, porre t = e x e risolvere l equazione ausiliaria at 2 + bt + c = 0.) (e) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f ; (f) in base al grafico ottenuto, stabilire se f ammette punti di flesso, in quali intervalli f è convessa e in quali è concava. Nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f. 2. Data la funzione f(x) = 1 arctan x, x2 (b) calcolare l integrale improprio di f nell intervallo [1, + ). 3. Data la serie arctan n n 2, (a) stabilire se è convergente; (b) in caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto n-esimo e utilizzarla per calcolare un valore approssimato della somma della serie con un errore inferiore a In base al teorema degli zeri e a opportune considerazioni di monotonia, determinare il numero esatto di soluzioni dell equazione e 2x x2 = x x2. Nota: l equazione assegnata non è risolvibile esplicitamente.

8 6 aprile 2009 Appello riservato agli studenti immatricolati nell a.a. 2005/06 e precedenti ( x 2 ) 3x Data la funzione f(x) = log x 2, + 1 (a) determinare il dominio di f, le intersezioni del grafico di f con gli assi cartesiani, il segno di f ; (c) calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f e per determinare i punti stazionari di f ; stabilire la natura dei punti stazionari di f ; (d) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f ; (e) in base al grafico ottenuto, stabilire se f ammette punti di flesso, in quali intervalli f è convessa e in quali è concava. (Nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f.) 2. Data la funzione f(x) = x2 3x + 2 x 3, + x (b) calcolare l integrale improprio di f nell intervallo [1, + ). ( 1) n n2 + 3n + 1 n è assolutamente convergente, condizionalmente convergente, non convergente. 4. Calcolare i seguenti limiti: lim x 0 x + 3 x ( x + 1 x 2 arctan x ), lim x + x + 3 x ( x + 1 ). x 2 arctan x 2 + 1

{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x.

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