I NUMERI DI LEYLAND E LE SERIE DI FIBONACCI E DI PADOVAN

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1 Gruppo B. Riemann * I NUMERI DI LEYLAND E LE SERIE DI FIBONACCI E DI PADOVAN Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa Abstract In this paper we show some connection between Leyland s Numbers, Fibonacci s numbers and Padovan s numbers Riassunto In questo lavoro mostriamo brevemente alcune relazioni tra i numeri di Leyland e i numeri di Fibonacci, simili a quelle già trovate sul numero delle cifre dei numeri perfetti ecc. Ma anche con i numeri della serie di Padovan, detta anche figlia di Fibonacci. Approfondiremo qui solo questo aspetto, tralasciando per il 1

2 momento le loro già note applicazioni (test di primalità e fattorizzazione) Innanzitutto riportiamo la definizione dei numeri di Leyland, da Wikipedia: Leyland number From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to: navigation, search In number theory, a Leyland number is a number of the form x y + y x, where x and y are integers greater than 1. [1] The first few Leyland numbers are 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (sequence A in OEIS). The requirement that x and y both be greater than 1 is important, since without it every positive integer would be a Leyland number of the form x x. Also, because of the commutative property of addition, the condition x y is usually added to avoid doublecovering the set of Leyland numbers (so we have 1 < y x). The first prime Leyland numbers are 17, 593, 32993, , , , , ( A094133) corresponding to , , , , , , , [2] As of June 2008, the largest Leyland number that has been proven to be prime is with digits. From July 2004 to June 2006, it was the largest prime whose primality was proved by elliptic curve primality proving. [3] There are many larger known probable primes such as , [4] but it is hard to prove primality of large Leyland numbers. Paul Leyland writes on his website: "More recently still, it was realized that numbers of this form are ideal test cases for general purpose primality proving programs. They have a simple algebraic description but no obvious cyclotomic properties which special purpose algorithms can exploit." 2

3 There is a project called XYYXF to factor composite Leyland numbers. [5] Per le curve ellittiche, connesse alla congettura di Birch e Swinnertom Dyer, e alla relativa crittografia omonima (concorrente della più nota crittografia RSA) vedremo brevemente in seguito (vedi Nota finale). (I numeri di Leyland) sono usati per testare i programmi di fattorizzazione o primalità ( tra parentesi, il più grande numero di Leyland conosciuto è 2638^ ^2638, che ha circa cifre Da LE SCIENZE luglio 2013, pag.26, articolo Siamo arrivati a 100! di Piergiorgio Odifreddi, rubrica Il matematico impertinente ). Ritorneremo in seguito su questo numero poiché su Wikipedia non si riporta la traduzione in italiano, riportiamo la definizione da un altro sito: todoslogos.altervista.org/num_leyland.php I numeri di Leyland sono numeri che possono essere scritti nella forma: x y + y x, con 1 < x <= y. Esempio 1: 17 è un numero di Leyland. Esso può essere scritto come: 17 = Esempio 2: è un numero di Leyland. Esso può essere scritto come: = Per approfondire: LINK I primi 10 numeri di Leyland 3

4 Riportiamo anche l elenco di tali numeri dalla sequenza OESIS A (Numeri primi di Leyland) site is supported by donations to The OEIS Foundation. Search Hints (Greetings from The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!) A as a simple table n a(n) che è molto utile ai nostro scopo, per il confronto tra il numero di cifre dei numeri di Leyland e i numeri di Fibonacci, come vedremo in Tabella 1 4

5 TABELLA 1 Numeri di Leyland (L) o loro numero d ordine Numero di cifre Numeri di Fibonacci (F) o loro medie aritmetiche Differenze F - L ,5 3 0, ,5 0, ,5-1, Numeri in rosso: coincidenze perfette tra numeri di Leyland e numeri di Fibonacci o loro medie aritmetiche. Osservazioni: come si nota facilmente, il numero delle cifre dei numeri di Leyland e i numeri di Fibonacci (o loro medie aritmetiche tra due numeri consecutivi) è minima, e quindi la 5

6 connessione tra le due serie numeriche è evidente, sebbene ancora tutta da dimostrare, come pure l analoga connessione con i numeri perfetti (vedi I numeri perfetti e il triangolo di Tartaglia (novità e altre proprietà ancora poco note e APPUNTI SUL PROBLEMA DI FERMAT (connessioni con la serie di Fibonacci) di prossima pubblicazione sul nostro sito) dove però non ci sono medie aritmetiche iniziali, ne emerge qualcuna solo dopo il 13 numero perfetto e dopo il 6 numero di Fermat) È possibile ipotizzare, visto che il numero delle cifre dei numeri di Leyland e i numeri di Fibonacci (o loro medie aritmetiche tra due numeri consecutivi) è minima, la connessione con Φ = ( 5 + 1) / 2 che è il numero aureo, che viene fuori dal rapporto tra un numero di Fibonacci e quello precedente e che, in teoria di stringa è connesso alle vibrazioni delle stringhe stesse che, secondo recenti studi, sembrano avere frequenze sempre coincidenti con valori derivanti da tale numero aureo. (Ref. Il numero aureo Φ: l orma impressa dal Creatore nell Universo. Michele Nardelli al link 6

7 20numero%20aureo%20e%20l'unificazione.pdf) Qui riportiamo rispettivamente, dai suddetti lavori, le relative osservazioni per i suddetti numeri, cominciando dai numeri perfetti I primi 10 numeri perfetti sono: (8 cifre) (10 cifre) (12 cifre) (19 cifre) (37 cifre) (54 cifre) Notiamo che il numero delle cifre ( evidenziato da noi in rosso ) dei numeri perfetti successivi costeggia la serie di Fibonacci (in verde): 1 = 1 2 = 2 3 = = = 54? 89? 144 I prossimi numeri perfetti, quindi dovrebbero in teoria avere 7

8 rispettivamente numeri di cifre prossimi agli altri numeri di Fibonacci, ma non è proprio cosi: tale relazione comincia a venir meno dal 13 numero in poi Per i numeri di Fermat, invece: Tabella 1 n 2^n 2^2n+1 c = numero cifre fattori Primo o composto 0 1 2^1+1=3 1 1,3 primo 1 2 2^2= 4+1=5 1 1, 5 primo 2 4 2^4+1+1=17 2 1, 17 primo 3 8 2^8+1= ,257 primo ^16+1= , primo ^2^32= ,641, composto ^64+1= composto Da F6 in poi vedi sopra dalla voce di Wikipedia. Non abbiamo trovato delle novità circa la soluzione del problema di Fermat, ma solo due possibili relazioni approssimative tra i numeri delle cifre dei valori noti con i numeri di Fibonacci (cosa che abbiamo notato anche con i numeri perfetti, relazione inclusa in un lavoro ancora in corso), e con i valori di k di 6k+1, forme dei numeri primi, in questo caso 6k -1 per i numeri di Fermat (tranne il 3 iniziale). 8

9 Alla tabella abbiamo infatti aggiunto, accanto al valore di 2^2^n+1 (primo o composto che fosse), il relativo numero di cifre, c, molto prossimo ai numeri di Fibonacci; e che riepiloghiamo nella seguente Tabella 2 Fn c = numero di cifre (o somma c+c dei rispettivi fattori) Tabella 2 Numeri f di Fibonacci (o loro medie) F0 1 1 F1 1 1 F2 2 2 F3 3 3 F4 5 5 F F Differenze f c anche queste prossime ad f F ,5 = -0,5 1 (21+34)/2 F = F = F = =(55+89)/2 F = Come si vede, la relazione tra c dei numeri di Fermat, e i numeri f di Fibonacci o loro medie aritmetiche c è, sebbene approssimativa. Possiamo prevedere che per F12 il suo numero c di cifre sarà prossimo a 987 numero di Fibonacci. Non sappiamo ancora come tale relazione potrebbe influire sulla soluzione del problema di Fermat 9

10 (per n > 5 si hanno tutti composti?) ma potrebbe influire in futuro con altre ricerche sull argomento. Vediamo ora con la forma 6k+1 dei numeri di Fermat, a partire da 5 Tabella 3 Fn (di forma 6k-1) k =(Fn +1)/6 Fibonacci f Differenze f-k 5=6* = 6* = 6* ,5 = 1,5 2 (34+55)/ =6* =6* ?? 1 Non sappiamo se sia vicino ad un numero di Fibonacci, ma per i valori di Fn fino a F5 una sia pur debole connessione con k c è pure, occorrerebbe approfondirla meglio ma occorre una lista lunghissima di numeri di Fibonacci o un loro calcolo veloce. Notiamo anche che il rapporto k/ k precedente è di circa Fn precedente, e ciò potrebbe essere utile per ulteriori ricerche. Lasciamo ai lettori e matematici volenterosi l onere della dimostrazione di tali interessanti relazioni tra i numeri di cifre e la serie di Fibonacci, molto evidente nella parte iniziale delle rispettive liste di numeri perfetti, numeri di Fermat e numeri primi di Leyland. 10

11 Qui continueremo soltanto con la distribuzione dei numeri di Leyland più piccoli (primi e non primi), e con la connessione delle basi con la serie di Fibonacci. Cominciamo brevemente da quest ultima, da Wikipedia: , , , , , , , [2] Anche le basi con esponente 2, segnate in rosse, ricalcano la serie di Fibonacci: 3, 8, 13,21, 34, numeri vicinissimi a 3, 9, 15, 21, 33 con 3 e 21 numeri di Fibonacci essi stessi. Distribuzione fino a 10^n 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (sequence A in OEIS). Vedi successiva lista OESIS 11

12 TABELLA 4 n 10^n L valore reale (Numeri di Fibonacci o loro medie) Osservazione: valori reali intorno a: Valore stimato per difetto n* (n+1) (Fibonacci o loro medie) n +1 =0+1= n=3* n +1= * * ^6 40 7* ,5 7 10^ * ^ * ^ * ^ * ,5 12

13 Tale tabella si può proseguire ancora con la lista successiva, con risultati simili; valori reali di a(n) prossimi a numeri di Fibonacci o loro medie, o anche prossimi a numeri di forma 2T, con T numeri triangolari (Rif.1) nell ordine 2, 6, 12, 20, 30, 56, 72, 110 che, con l aggiunta di 1, danno i numeri di Lie, di forma 2T +1 molto importanti in Fisica ( 7, 13 e 31 sono alla base dei Gruppi di Lie). Inoltre, i numeri di forma 2T sono la somma dei primi numeri pari: 0+2=2 2+4= = =30 connessi al numero di facce e spigoli dei solidi platonici, importanti nelle simmetrie della natura e quindi ai gruppi di Lie eccezionali (Rif.1) Da : 13

14 This site is supported by donations to The OEIS Foundation. Search Hints (Greetings from The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!) A as a graph 14

15 15

16 Lista completa fino a e incompleta (salvo i punti di variazione di a(n) per ogni successiva potenza di 10, fino a Per il quale il valore reale di a(n) è numero di Fibonacci N a(n)

17

18 Forma aritmetica dei numeri primi di Leyland Come tutti i numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali), anche i numeri primi di Leyland debbono avere forma aritmetica 6k + 1. Infatti, da tabella seguente, abbiamo: numeri primi di Leyland TABELLA 5 Forma numerica 6k Rapporto successivo tra i valori di k (numeri di Fibonacci vicini) 17 6* * /3 = * /99 = 55, * /5499= 63,57 55 Gli stessi valori approssimativi si trovano ovviamente con i rapporti successivi tra un numero primo di Leyland e il

19 precedente: 593/17 = 34, /593 = 55, /32993= 63,57 55 Questa è un altra connessione con i numeri di Fibonacci, almeno nella parte iniziale della serie dei numeri di Leyland. Per quanto riguarda gli altri numeri di Leyland, la loro forma spazia per tutte le forme 6k-1 6k-2, 6k-3, 6k-4 ecc. come da seguente tabella (in rosso i numeri di Leyland più piccoli: TABELLA 6 6k-4 6k-3 6k-2 6k-1 6k 6k (primo)

20 (primo) E può essere primo, come il 17, quando ricade solo nelle colonne 6k + 1, quelle dei numeri primi e loro prodotti e loro potenze. Ma, come abbiamo già visto, i numeri primi di Leyland sembrano preferire la sola forma 6k -1, almeno i primi quattro. 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (sequence A in OEIS). Circa il rapporto successivo vediamo con la prossima Tabella 7. TABELLA 7 Numeri di Leyland Rapporto successivo /8 =2, , , , , ,

21 320 1, ,1500 L andamento dei rapporti è un po irregolare, mantenendosi comunque compreso tra 1 e 2, salvo per il valore iniziale 2,1250. Media aritmetica: 1,2522 1,2720 = 1,618 numero aureo Il numero 1,25 è anche la media dei rapporti successivi dei numeri di Padovan, che vedremo in seguito, ed ecco le somiglianze tra le due serie numeriche. Anche questo potrebbe essere interessante per ulteriori approfondimenti. Anche qui il numero aureo viene fuori dai rapporti successivi tra un numero primo di Leyland e il precedente almeno nella parte iniziale della serie dei numeri ed anche nella media aritmetica vista sopra 1,2522 1,2720 = 1,618 e come detto già in precedenza, in teoria di stringa tale numero è connesso alle vibrazioni delle stringhe stesse che, secondo recenti studi, 21

22 sembrano avere frequenze sempre coincidenti con valori derivanti da tale numero aureo. Vediamo ora la relazione diretta tra numeri di Leyland con i numeri di Fibonacci e numeri vicini, oltre quella già vista per il loro numero di cifre (in TABELLA 4). I numeri di Leyland sono segnati in rosso TABELLA 8 F-2 F-1 FIBONACCI F+1 F+2 F = media tra 13 e

23 La suddetta connessione è buona solo nella fase iniziale, poi si dirada sempre più. Vediamola ora con i numeri di partizione TABELLA 9 P-2 P-1 Numeri P+1 P+2 P Partizione

24 Anche qui la connessione è buona nella fase iniziale, poi le due serie divergono sempre più. Con i numeri triangolari T si ottengono risultati simili. Relazioni con i numeri di Padovan, con frequenza simile TABELLA 10 P-2 P-1 Numeri P P+1 P+2 di Padovan 7 8 8= media tra 7 e ,5 media tra 16 e ,5 24

25 Media tra 28 e Media perfetta tra 49 e Media perfetta tra 86 e ,5 Media tra 151 e Media tra 265 e Vedi anche successive Tabella 11 e Tabella

26 In questo caso la serie dei numeri di Leyland costeggia molto bene la media aritmetica tra due numeri successivi di Padovan, e nel caso di 8, 57 e di 100 essi coincidono perfettamente con tale media (Tabella 12), oltre ad essere essi stessi numeri di Leyland. E anche viceversa (Tabella 11), in modo equivalente. Anche questo potrebbe essere interessante, e anche di più rispetto ai numeri di Fibonacci o delle partizioni, dove tale fenomeno si ripete pure, ma con minore precisione. Alternanza tra le due serie di numeri e loro fattori TABELLA 11 (in rosso le medie perfette) Numeri di Leyland Numeri di Padovan ( medie tra numeri di Leyland) 26 Fattori dei numeri di Leyland da 8 in poi Fattori dei numeri di Padovan da 7 in poi In blu i semiprimi 7 primo 8 2*2*2 9

27 *2*3 2^4 17 primo *7 2*2*7 32 2^ primo 7^2 54 2*3*3* * *13 2* *2*5* *3* * primo 177 3* primo 2^3*5^2 2* ^6* ^3* ^4*23 27

28 Numeri di Padovan TABELLA 12 (medie invertite) In rosso le medie perfette Numeri di Leyland ( medie tra numeri di Padovan) 28 Fattori dei numeri di Padovan da 7 in poi In blu i semiprimi Fattori dei numeri di Leyland da 8 in poi 7 primo 8 2*2* *2*3 2^4 17 primo 3*7 2*2*7 32 2^5 primo 7^2 54 2*3*3*3 57 3*19 5*13 2* *2*5* *3* * primo 177 3* ^3*5^2

29 265 2* ^6* ^3* Circa le fattorizzazioni dei due tipi di numeri, non ci sono sostanziali differenze: numeri primi, semiprimi e prodotti di piccoli numeri primi sono presenti in circa le stesse quantità nelle due serie numeriche. La cosa più importante che abbiamo scoperto è l alternarsi, sia pure un po irregolare, tra i due tipi di numeri, con a volte due o anche tre numeri di una serie compresi tra due numeri dell altra serie, e l osservazione sulle medie aritmetiche. Quindi i numeri di Leyland sono connessi, oltre che con la serie di Fibonacci (direttamente o anche tramite il numero delle loro cifre), anche meglio con la serie di Padovan (detta anche figlia di Fibonacci, Rif.2) tramite le medie tra due numeri successivi di questa serie, e viceversa. 29

30 Per quanto riguarda il numero di Leyland più grande conosciuto, osserviamo che 10946, sono i due numeri di Fibonacci prossimi a ; la loro media è 14328,5 vicina al numero di cifre, 15000, del più grande numero di Leyland: 2638^ ^2638 Quindi la suddetta relazione tra numero di cifre dei numeri primi di Leyland e numeri di Fibonacci o ad essi molto vicini (e/o medie aritmetiche dei numeri di Fibonacci o numeri ad esse molto vicini), e ancora meglio con la serie di Padovan, continua all infinito, essendo tutte e tre serie infinite. Conclusioni Possiamo concludere che tali relazioni con i numeri di Fibonacci e di Padovan, pur non ancora dimostrate, sono molto evidenti, relazioni (per quanto riguarda Fibonacci) anche con i numeri perfetti e i numeri di Fermat (primi e non primi). 30

31 Future dimostrazioni spiegheranno il perché di tale relazione, sicuramente non del tutto casuale. Riferimenti 1) L EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n 2 + n + 1 (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri,delle simmetrie e delle teorie di stringa ) (aggiornamento all con alcune tabelle finali) GRUPPO B. RIEMANN - Francesco Di Noto, Michele Nardelli sul sito 2) I NUMERI DI PADOVAN (CONNESSIONI TRA LA SERIE DI PADOVAN ED ALTRE SERIE NUMERICHE) Gruppo B. Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardelli 31

32 NOTA FINALE sulla congettura di Birch e Swinnerton Dyer. Poiché i numeri di Leyland hanno a che fare anche con le curve ellittiche (e queste con la relativa crittografia), è possibile che prima o poi gli infiniti numeri di Leyland possano contribuire in qualche modo a dimostrare l esistenza di infiniti punti razionali sulle curve ellittiche, e, di conseguenza, anche se molto indirettamente, anche la suddetta congettura, che è uno dei sei problemi del millennio ancora irrisolti. 32

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