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1 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o uguale a due e argomento compreso nell intervallo [π/4, π/]. Sia f la funzione reale di variabile reale ottenuta componendo la funzione tangente con la funzione radice quadrata: fx = tanx. Sia a n la successione di numeri reali definita da a n = f n α, dove α è un parametro non negativo. Sia I il valore dell integrale definito π/ fx dx. Esercizio. Determina le quattro radici complesse z, z, z 3, z 4 del polinomio p ed esprimile sia in forma cartesiana che in forma polare. L equazione z 4 = è equivalente all equazione z 4 =, dunque le radici del polinomio p non sono altro che le radici quarte di. Sappiamo che le radici quarte di un numero complesso non nullo formano i vertici di un quadrato inscritto in una circonferenza centrata nell origine. Una volta trovata una delle radici, le altre tre le si trovano facilmente, basta ruotarla di multipli di π/ intorno all origine. Siccome = e jπ ha modulo e argomento π, le sue radici quarte avranno modulo = 4 e argomenti π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, ovvero esse sono date dai numeri complessi z = e j π 4 = j, z = e j 3π 4 = j, z 3 = e j 5π 4 = j, z 4 = e j 7π 4 = j, che formano i vertici di un quadrato nel piano complesso inscritto nella circonferenza di centro e raggio come indicato in figura. Osserviamo inoltre che z 3 è il coniugato di z e che z 4 è il coniugato di z. z z z 3 z 4 Figura. Radici del polinomio p. Un metodo alternativo ma più lungo ed elaborato per trovare le radici di p poteva essere quello di cercare subito le soluzioni in forma cartesiana z = x jy, con x ed y variabili reali. In tal caso il polinomio pz diventa un polinomio nelle

2 due variabili x e y: pz = px jy = x jy 4 = = x 4 4x 3 jy 6x j y 4xj 3 y 3 j 4 y 4 = = x 4 4x 3 yj 6x y 4xy 3 j y 4 = = x 4 6x y y 4 4xy x y j. Per trovare le sue radici imponiamo che si annulli sia la parte reale che la parte immaginaria di p: { x 4 6x y y 4 =, 4xy x y =. Per la legge dell annullamento del prodotto, dalla seconda equazione ricaviamo che x =, oppure y =, oppure x = y. Se x =, la prima equazione si riduce a y 4 = che non ha soluzioni reali. Se y =, la prima equazione si riduce a x 4 = che non ha soluzioni reali. Se x = y, la prima equazione si riduce a 4y 4 =, che implica y = / e dunque otteniamo che il sistema si riduce alle equazioni x =, y =, le cui soluzioni si trovano facilmente e sono: x = ±, y = ±, dove tutte e quattro le combinazioni di segno sono valide e danno luogo alle quattro soluzioni z, z, z 3, z 4. Esercizio. Fattorizza il polinomio p come prodotto di quattro polinomi di primo grado a coefficienti complessi. Se z è una radice di un polinomio pz allora tale polinomio è divisibile per z z, ovvero il polinomio p si può fattorizzare come prodotto di z z per un altro polinomio q che avrà un grado in meno di p; inoltre, tutte radici di p diverse da z saranno ancora radici di q. Avendo tutte e quattro le radici del polinomio è immediata la fattorizzazione di p come prodotto di quattro polinomi di primo grado: pz = z z z z z z 3 z z 4 = = z j z j z j z j. Esercizio 3. Fattorizza il polinomio p come prodotto di due polinomi di secondo grado a coefficienti reali. Per ottenere coefficienti reali basta raggruppare a due a due i fattori corrispondenti alle coppie di radici coniugate. Infatti, fissato un numero complesso w C abbiamo che w w = Rew e ww = w sono valori reali; quindi il polinomio z wz w = z Rewz w è un polinomio a coefficienti reali. Nel nostro caso abbiamo: z z z z 4 = z z z 4 z z z 4 = z z = z, z z z z 3 = z z z 3 z z z 3 = z z = z.

3 3 Dunque abbiamo la fattorizzazione per p con polinomi a coefficienti reali data da pz = z z z z. Un altro metodo certamente più veloce, ma che richiedeva più ingegno e che non presupponeva lo svolgimento dei due precedenti esercizi, anzi poteva costituirne la premessa poteva essere quello di pensare a z 4 come la somma di due quadrati, a cui aggiungere e togliere il doppio prodotto in modo da ricondursi alla differenza di due quadrati: z 4 = z 4 z z = z z = z z z z. Esercizio 4. Disegna l insieme S nel piano complesso. Dalla definizione abbiamo { S = z = ρe jθ C: ρ, π 4 θ π }. Il disegno di S è riportato in figura S Figura. L insieme S. Esercizio 5. Determina l immagine di S tramite la funzione z pz, che al numero complesso z associa il valore di pz. La funzione Φ : z z 4 trasforma il numero z = ρe jθ di modulo ρ e argomento θ nel numero z 4 = ρ 4 e j4θ di modulo ρ 4 e argomento 4θ. Dunque i moduli vengono elevati alla quarta e gli argomenti vengono quadruplicati. Ne segue che l immagine di S tramite Φ è il semicerchio ΦS = { w = ρe jθ C: ρ 6, π θ π } = {w C: w 6, Imw }, con centro in, raggio 6 e contenuto nel semipiano con parte immaginaria non positiva. La funzione Ψ : w w lascia invariata la parte immaginaria mentre incrementa di la parte reale. Dal punto di vista grafico si traduce in una traslazione verso destra nel piano complesso. Il polinomio p non è altro che la composizione Ψ Φ, dunque l immagine di S tramite p non è altro che l immagine di ΦS tramite Ψ, ovvero il semicerchio ps = Ψ ΦS = {z C: z 6, Imw },

4 4 con centro in, raggio 6 e contenuto nel semipiano con parte immaginaria non positiva. Nella figura 3 rappresentiamo le immagini dell insieme S tramite le funzioni z z, z z, z z 3, z z 4 e z z 4. Figura 3. Ecco come viene trasformato l insieme S dalle funzioni z, z, z 3, z 4 e z 4. Esercizio 6. Determina il dominio naturale di f. Il dominio naturale D è dato da quei numeri reali per i quali è definita la tangente ed essa risulta non negativa, ovvero consiste nell unione degli intervalli [kπ, π/ kπ[ al variare di k Z: D = [ [ kπ, k π. k Z Osserviamo che la funzione f è periodica di periodo π in quanto la funzione tangente è periodica di periodo π. Dunque, basta studiare f sull intervallo [, π/[ per poi replicare per periodicità il suo comportamento sugli altri intervalli in cui è definita. Esercizio 7. Calcola la derivata prima e la derivata seconda di f. La derivata della funzione tangente è D =, mentre la derivata della funzione radice quadrata è D y = / y. Per la regola di derivazione di funzioni composte abbiamo f x = D =. Notiamo in particolare che f x > per < x < π/, quindi f è una funzione strettamente crescente sull intervallo [, π/[.

5 5 Calcoliamo anche la derivata seconda: 3 f x = D D = D = D = D = 4 4 = = 4 3. Il segno della derivata seconda sull intervallo ], π/[ coincide con il segno dell espressione 3. Risulta dunque che f si annulla quando = / 3, ovvero per x = π/6 che corrisponde ad un punto di flesso per f; f è negativa ed f ha la concavità verso il basso sull intervallo ], π/6[; f è positiva ed f ha la concavità verso l alto sull intervallo ]π/6, π/[. Il flesso in π/6 è un flesso ascendente. Esercizio 8. Descrivi il comportamento asintotico di f nei punti di frontiera del suo dominio naturale. I punti di frontiera dell intervallo [, π/[ sono i due punti x = e x = π/. La funzione f è continua nel punto x = e abbiamo lim x fx = f =, mentre la derivata prima non è definita e abbiamo lim x f x = tangente verticale. Inoltre, per x abbiamo che x e dunque 4 fx x per x. Per x = π/ la funzione presenta un asintoto verticale, 5 lim fx =, x π/ Inoltre, abbiamo π sin x = cos x, π cos x = sin x π x, per x π/; da cui segue che fx = sin x cos x π x, per x π/. Esercizio 9. Determina l equazione della retta tangente al grafico di f nei suoi punti di flesso. Per quanto visto nell esercizio 7, quando abbiamo calcolato la derivata seconda abbiamo anche trovato un punto di flesso in corrispondenza di x = π/6. Per periodicità avremo punti di flesso anche nei punti x k = π/6 kπ per ogni k Z. Abbiamo tanx k = tanπ/6 = / 3; dunque per la definizione di f abbiamo fx k = = 3 /4, 3 e per la formula abbiamo f x k = 3 = 3 3/4. 3

6 6 La retta tangente nel punto di flesso x k ha equazione y = fx k f x k x x k = 3 /4 3 3/4 x π 6 kπ. Nel caso k = corrispondente al punto di flesso in x = π/6 abbiamo la retta tangente y = 3 /4 3 3/4 x π. 3 Esercizio. Disegna il grafico di f. Negli esercizi precedenti abbiamo ricavato elementi sufficienti per essere in grado di tracciare il grafico della funzione f che riportiamo in figura 4. In particolare osserviamo che la funzione è periodica con periodo π, è sempre non negativa, è strettamente crescente su ogni intervallo [kπ, kπ π/[, si annulla con tangente verticale per x = kπ e tali punti sono punti di minimo assoluti, ha asintoti verticali per x = k /π, ha punti di flesso ascendenti per x = k /6π, dove k è un qualsiasi numero intero. π 5 6 π π π 6 π π 7 6 π 3 π Figura 4. Grafico della funzione f. Esercizio. Determina per quali valori di α la successione a n è infinitesima. Poniamo b n = n α In questo modo abbiamo a n = fb n. Se α = otteniamo b n = e a n = f = tan e dunque a n è una successione costante non nulla e dunque non è infinitesima. Se invece α > abbiamo lim b n = n lim n n α =, e per continuità della funzione f otteniamo che lim a n = lim fb n = f lim b n n n n e dunque a n è infinitesima. = f =, Esercizio. Determina per quali valori di α la serie n= a n converge.

7 7 Se α =, come abbiamo visto nell esercizio precedente, a n non è infinitesima e dunque la serie non può cenvergere. Se α > allora a n è infinitesima. Utilizzando la relazione di asintoticità 4 trovata nell esercizio 8 otteniamo che a n = f n α n α = n α, per n. Per il criterio del confronto asintotico abbiamo che la serie a n converge se e solo se converge la serie la serie armonica generalizzata n α/, la quale sappiamo essere convergente se e solo se α/ >, ovvero per α >. Esercizio 3. Tramite la sostituzione x y = fx, oppure se preferisci tramite la catena di sostituzioni x t = tanx y = t, trasforma l integrale che definisce il valore di I nell integrale di una opportuna funzione razionale. Procedendo con la sostituzione x y = fx abbiamo che quando la x varia nell intervallo [, π/[ la y varia nell intervallo [, [ come si vede bene dal grafico di f in figura 4. Dalla formula per la derivata prima ricaviamo che la relazione tra gli elementi infinitesimo di integrazione dx e dy è data da e dunque ricaviamo che L integrale dunque diventa π/ fx dx = dy = f x dx = dx = y4 dx, y y dx = y y 4 dy. y y 4 dy = y y 4 dy = ry dy. Otteniamo così l integrale sull intervallo illimitato [, [ della funzione razionale 6 ry = y y 4. Esercizio 4. Riscrivi la funzione razionale trovata nell esercizio 3 come somma di frazioni semplici, con opportune costanti. Utilizziamo la fattorizzazione trovata nell esercizio 3, e troviamo che ry = y y y y y. Una decomposizione di r in frazioni semplici avrà la forma ry = Ay B y y Cy D y y. Per determinare le costanti A, B, C, D svolgiamo i conti e troviamo che 7 ry = Ay By y Cy Dy y y y y y = A Cy3 A B C Dy A B C Dt B D y 4. =

8 8 Le espressioni 6 e 7 coincidono quando è verificato il sistema di equazioni A C =, A B C D =, A B C D =, B D =. Tale sistema ha come soluzione: A = /, B =, C = /, D =. Dunque otteniamo che ry = y y y y y y. Esercizio 5. Siano A, B, C, D R. Determina le primitive delle funzioni Ax B Cx D 8 gx = x, hx = x. Per comodità di scrittura chiamiamo qx il denominatore di gx, qx = x. Osserviamo che la derivata di q è data da q x = D x Ci conviene allora scrivere g nel modo seguente: gx = Ax B qx = A x qx = x = x. B A qx = A q x qx B A qx. Una primitiva di q x/qx è data chiaramente da logqx; mentre per calcolare una primitiva di /qx raccogliamo prima un fattore / dal denominatore, dx qx = dx dx x = x, poi procediamo con la sostituzione x y = x, e quindi dy = dx, per ricondurci alla primitiva di /y, ovvero la funzione arcotangente, dx qx = dy y = arctany = arctan x. Una primitiva della funzione g sarà dunque data dalla funzione 9 Gx = A log x B A arctan x. In modo del tutto analogo basta stare attenti ai segni si ricava anche che una primitiva della funzione h è data da Hx = C log x D C arctan x. Esercizio 6. Spiega perchè l integrale che definisce il valore di I è un integrale generalizzato.

9 L integrale π/ tanx dx è da intendersi in senso generalizzato in quanto la funzione integranda, come si può capire dal limite 5 calcolato nell esercizio 8, non è limitata sull intervallo [, π/[. È invece continua e limitata su ogni intervallo del tipo [, b], per ogni b [, π/[. Dunque il valore di I è dato se esiste dal valore del seguente limite: b I = lim tanx dx. b π La sostituzione suggerita nell esercizio 3 trasforma l integrale in questione, nell integrale y y 4 dy, che è anch esso un integrale da intendere in senso generalizzato; in questo caso però la funzione integranda è limitata su tutto R, mentre invece è l intervallo di integrazione a non essere limitato. Abbiamo dunque che il valore di I è data se esiste anche dal valore sel seguente limite: I = lim b b y y 4 dy. Esercizio 7. Utilizzando i conti svolti negli esercizi 3, 4 e 5 calcola il valore di I. I conti svolti nell esercizio 4 ci dicono che ry = y y 4 = gy hy, dove g e h sono le funzioni definite dalla formula 8 dell esercizio 5, con i parametri A B, C, D dati da A =, B =, C =, D =. Una primitiva della funzione razionale ry è dunque la somma Ry = Gy Hy, dove G e H sono le funzioni definite nelle formule 9 e, sempre con i parametri, ovvero y log y = y log y Ry = log arctan y arctan y = arctan y arctan y Dalla formula e calcolando l integrale usando la primitiva Ry otteniamo dunque che I = lim Rb R = lim Ry R = b y = log π π log π 4 π = π. 4. 9

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