Ci domandiamo allora se e sempre possibile rappresentare una funzione in questo modo.

Transcript

1 1. Serie di Fourier I problemi al bordo associai ad equazioni differenziali si sanno risolvere con il meodo di separazione delle variabili solano se il dao iniziale si rappresena nella forma fx = a cosx + b sinx. Ci domandiamo allora se e sempre possibile rappresenare una funzione in queso modo. Remar 1. Osserviamo preliminarmene che le funzioni seno e coseno verificano le propriea segueni: sinxdx = 0, cosxdx = 0, Inolre, usando il fao che sinx coshx = 1 2 sin + hx + sin hx sinx coshxdx = 1 sin + hx + sin hx dx = 0 2 Analogamene usando il fao che cosx coshx = 1 2 cos + hx + cos hx dx, se h, si oiene cosx coshxdx = 1 2 cos + hx + cos hx dx = 00, Infine sempre se h si ha sinx sinhxdx = 0, Remar 2. Se una funzione f : [, π] R ammee una rappresenazione del ipo fx = a 0 + a cosx + b sinx, allora a 0 = 1 fxdx, a = 1 fx cosxdx, b = 1 fx sinxdx 2π π π Proof Inegrando enrambi i membri dell espressione di f si ha Quindi fxdx = a 0 dx + per il remar 1 a cosxdx + b sinxdx = a 0 = 1 2π 1 a 0 dx = 2πa 0. fxdx,

2 2 Analogamene inegriamo l espressione di f moliplicaa per coshx fx coshxdx = a 0 cosxdx+ a cosx coshxdx+b sinx coshxdx = Quindi a h = per il remar 1 a h cos 2 hxdx fx coshxdx = 1 fx coshxdx cos2 hxdx π Analogamene inegriamo l espressione di f moliplicaa per sinhx fx sinhxdx = a 0 sinxdx+ a cosx sinhxdx+b sinx sinhxdx = Quindi b h = per il remar 1 b h sin 2 hxdx fx sinhxdx = 1 fx sinhxdx sin2 hxdx π Diamo ora un inerpreazione geomerica del cono che abbiamo appena fao, cercando di inerpreare f come combinazione lineare degli elemeni di una base di uno spazio veoriale. Osserviamo che per scrivere la rappresenazione che abbiamo oenuo ci serve deerminare l inegrale del quadrao delle funzioni seno e coseno. E ci serve inegrare la funzione f. Diamo perano la definizione seguene: Definiion 1. Si dice spazio delle funzioni di quadrao sommabile o L 2 [, π] lo spazio delle funzioni f ali che f 2 xdx < { } L 2 [, π] = f : f 2 xdx < Osserviamo espliciamene che L 2 [, π] e uno spazio veoriale, perche Se f, g L 2 [, π], allora f + g L 2 [, π] Se f L 2 [, π], allora λf L 2 [, π] Definiamo in queso spazio veoriale un prodoo scalare formalmene analogo a quello fra veori. Ricordo che, se abbiamo due veori v = v1, v2, vn w = w1, w2, wn il prodoo scalare si definisce < v, w >= viwi. i Inolre la norma verifica v 2 =< v, v >. Due veori si dicono orogonali se < v, v >= 0.

3 3 Se lavoriamo in uno spazio di dimensione n, e scegliamo N < n e N veori orogonali e 1, e N, indichiamo con V N lo spazio veoriale generao da e 1, e N e possiamo esprimere la proiezione orogonale di un veore v sul soospazio V N come π VN v = < v, e 1 > e 1 2 e < v, e N > e N 2 e N. Ovviamene π VN v, e aumenando il numero dei veori e i, ovvero aumenando N si oiene una migliore approssimazione. Osserviamo infine che se v e un veore e π VN e la sua proiezione su V N allora v π VN e orogonale a π VN v. In analogia a quese considerazioni definiremo un prodoo scalare in L 2 : Definiion 2. Se f, g L 2 [pi, π], si dice prodoo scalare di f e g Inolre si dice norma < f, g > L 2= f 2 =< f, f >= Due funzioni si dicono orogonali se fxgxdx. < f, g >= 0. f 2 xdx. Con quesa definizione Proposiion 1. il remar 1 garanisce che veori 1, cosx, sinx, : N, sono orogonali. e generano uno spazio V N, soospazio di L 2. Infai < 1, cosx >=< 1, sinx >= 0 < sinx, coshx >= 0, ed infine, se h, < sinx, sinhx >= 0, < cosx, coshx >= 0. la proiezione della funzione f sul soospazio V N si rappresena π VN f = < f, 1 > < f, cosx > < f, sinx > cosx 2 cosx + sinx 2 sinx. il remar 2 ci dice che se π VN fx = a 0 + a cosx + b sinx, e i coefficieni della proiezione sono esaamene a 0 = < f, 1 > < f, cosx > < f, sinx > 1 2 a = cosx 2 b = sinx 2

4 4 Osserviamo quindi che il linea di principio, anche se i coefficieni della rappresenazione che cercavamo erano unici, non e deo che siamo in grado di ricosruire la funzione f. Si raa invece di una proiezione su un soospazio. Theorem 1. di Piagora Se f e g sono due funzioni in L 2 orogonali fra loro Proof f + g 2 = f 2 + g 2 f + g 2 =< f + g, f + g >=< f, f > + < f, g > + < g, f > + < g, g >= poiche f e g sono orogonali =< f, f > + < g, g >= f 2 + g 2 Theorem 2. Se f L 2 e π VN fx = a 0 + a cosx + b sinx, e la sua proiezione, allora a 0, b 0 as. Proof Osserviamo che, per il eorema di Piagora π VN f 2 = a 0 + a cosx + b sinx 2 = a a 2 cosx 2 + b 2 sinx 2 = poiche cosx 2 = sinx 2 = π 2π a π a 2 + b 2. D alra pare E quindi 2π a π π VN f 2 f 2 a 2 + b 2 f 2. In paricolare la serie a 2 + b 2 e convergene e quindi a 0, b 0 Osserviamo espliciamene che le due funzioni seno coseno si rappresenano in ermini dell esponenziale reale. Possiamo infai considerare expix = cosx + i sinx exp ix = cosx i sinx.

5 5 Possiamo quindi riscrivere la proposizione precedene in ermini di esponenziali immaginarie invece che di funzioni rigonomeriche Proposiion 2. il remar 1 i veori e ix, : Z, sono orogonali. e generano uno spazio V N, soospazio di L 2. la proiezione della funzione f sul soospazio V N si rappresena π VN f = + = < f, expix > expix 2 expix Poso π VN fx = c expix i coefficieni della proiezione sono esaamene c = c per + e per < f, expix > expix 2 Definiion 3. Funzione coninua a rai. Una funzione f : [a, b] R si dice coninua a rai se e limiaa ed esisono n + 1 puni x 0 = a, x 1,, x n = b ali che x 0 < x 1 < < x n = b ali che f e coninua in ]x i 1, x i [ per ogni i Analogamene si definisce una funzione C 1 a rai. Theorem 3. Sia f : R C una funzione T -periodica e C 1. Se essa è coninua in c, allora le somme parziali di Fourier di f anche non simmeriche convergono a fc. Dimosrazione. Per semplificare le noazioni, effeuiamo la dimosrazione con T = 2π. Inolre, non è resriivo supporre c = 0. Consideriamo allora la funzione f f0 g = e i. 1 1 In ogni inervallo chiuso conenuo in 0, 2π, la funzione e i 1 è limiaa; perano, in ali inervalli, la funzione g è C 1 a rai, perché lo è f. Inolre, vicino a 0, si ha, per ipoesi: g = f f0 e i 1 = f f0 cos i sin f f0 1 = i + o1 if 0+, per 0+; perano g è coninua a rai in [0, a], a 0, 2π. Il ragionameno fao a desra di 0 può essere ripeuo anche a sinisra di 0; perano, g è coninua a rai anche in [a 2π, 0]. Dalla periodicià di f, si oiene che g è coninua a rai anche in [a, 2π]. Ne consegue che g è è coninua a rai su di un periodo. Si ha poi: f = f0 + g e i 1. Allora, enendo presene che la serie di Fourier di una funzione cosane coincide con la funzione sessa e quindi ui i suoi coefficieni di Fourier sono nulli ranne =

6 6 quello per = 0, il -esimo coefficiene di Fourier di f può essere scrio nella forma seguene: c f = δ 0 f0 + c 1 g c g. 1 Ne consegue che n c f = f0 + c m 1 g c n g. = m Ma sappiamo che c m g 0, per m + e c n g 0, per n +. Allora, n lim lim c f = f0. m + n + = m Teorema 2. Sia f : R C una funzione T -periodica e C 1 a rai. Se f possiede in c un puno di disconinuià di prima specie, allora le somme parziali simmeriche di Fourier di f convergono a 1 2 fc+ + fc serie di fourier in soli seni o in soli coseni. Definiion 4. Una funzione f : [ a, a] R si dice pari se f x = fx per ogni x. Una f : [ a, a] R si dice dispari se f x = fx per ogni x. Proposiion 3. L inegrale di una funzione dispari su un inervallo simmerico e nullo. Il prodoo di due funzioni pari e pari, di due funzioni dispari e pari, di una funzione dispari e una pari e dispari. Esempio 1. La funzione sin e dispari, la funzione coseno e pari su [, π]. Proposiion 4. Una funzione f : [ L, L] R coninua e dispari si sviluppa in soli seni, una funzione pari si sviluppa in soli coseni. dove Proof Supponiamo che la funzione sia dispari. Allora nei puni di coninuia f = a 0 + π π a cos L x + b sin L x, L a 0 = 1 fxdx, 2L L quindi a 0 = 0, perche l inegrale della funzione f, dispari, e nullo a = 1 L π fx cos L L x dx, L anche gli a sono nulli, perche il prodoo della funzione f, dispari, per la funzione coseno, pari, e dispari, e ha l inegrale nullo. Quindi sono non nulli soli i coefficieni dei seni. Proposiion 5. Una funzione f : [0, L] R si puo sviluppare in soli seni, Proof. Infai, basa esendere la funzione ad una funzione dispari su uo [ L, L], ponendo f x = fx su [ L, 0] E, poiche la funzione e dispari, ammee sviluppi in soli seni. 1 Il simbolo di Kronecer δh assume valore 1 se gli indici h e sono uguali e valore 0 se sono diversi. Perano, δ 0 è uguale a 1 se = 0, menre è uguale a 0 alrimeni.

7 7 Proposiion 6. Una funzione f : [0, L] R si puo sviluppare in soli coseni, Proof. Infai, basa esendere la funzione ad una funzione pari su uo [ L, L], ponendo f x = fx su [ L, 0] E, poiche la funzione oenua e pari, ammee sviluppi in soli coseni. Svolgere gli esercizi segueni u = u xx x ]0, 1[, > 0 u0, = u1, = 0, > 0 ux, 0 = x x ]0, 1[ u = u xx x ]0, 1[, > 0 u x 0, = u x 1, = 0, > 0 ux, 0 = 5 2x x ]0, 1[ u = u xx x ] 1, 1[, > 0 u 1, = u1,, u x 1, = u x 1,, > 0 ux, 0 = x + 1 x ] 1, 1[ u xx + u yy = 0 x ]0, 1[, 0 < y < 2 ux, 0 = 2x, ux, 2 = 0 x ]0, 1[, u0, y = 0 = u1, yy ]0, 2[ u = u yy x ]0, 1[, > 0 u x 0, = 0, u x 0, = 0 > 0, ux, 0 = x 1, u x, 02 cosπx > 0 u = u yy x ]0, 1[, > 0 u0, = 0, u0, = 0 > 0, ux, 0 = 1, u x, 0 sinπx > 0