Bilanciamento di tempi e costi Progetti a risorse limitate Note bibliografiche

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Samuele Alessi
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1 Indice Prefazione 1 1 Modelli di ottimizzazione Modelli matematici per le decisioni Fasi di sviluppo di un modello Esempi di problemi di ottimizzazione Problema del commesso viaggiatore Un problema di trasporto Un problema di localizzazione Modelli di ottimizzazione Modelli di ottimizzazione matematica Rappresentazione geometrica delle superfici di livello Ottimizzazione matematica vincolata Algoritmi iterativi di ottimizzazione Ottimizzazione multi-obiettivo Ottimizzazione multi-obiettivo senza priorità Ottimizzazione multi-obiettivo con priorità Note bibliografiche Ottimizzazione lineare Applicazioni dell ottimizzazione lineare Mix produttivo Miscelazione Trasporto Pianificazione produttiva multi-periodo Selezione di investimenti finanziari Regressione Classificazione Formulazioni di ottimizzazione lineare Forma generale uniforme Forma standard Forma generale mista Equivalenza tra formulazioni Assunzioni dell ottimizzazione lineare Ammissibilità, illimitatezza e ottimalità Note bibliografiche

2 vi Indice 3 Geometria dell ottimizzazione lineare Geometria di problemi in due e tre dimensioni Rappresentazione dei vincoli Rappresentazione della funzione obiettivo Soluzione del modello lineare Problemi in tre dimensioni Caratterizzazione delle soluzioni ottimali Soluzioni ottimali multiple Problemi inammissibili Problemi illimitati Vincoli attivi, inattivi e ridondanti Problemi di minimizzazione Geometria di problemi in forma standard Poliedri, vertici e soluzioni di base Insiemi convessi Iperpiani, semispazi e poliedri Punti estremi e vertici di un poliedro Interpretazione geometrica delle soluzioni di base Soluzioni di base Equivalenza tra soluzioni di base, vertici e punti estremi Numerosità delle soluzioni di base Soluzioni di base degeneri Soluzioni di base nello spazio dei vincoli Soluzioni di base per problemi in forma generale Corrispondenza tra basi e soluzioni di base Soluzioni di base per variabili limitate Esistenza di soluzioni di base ottimali Note bibliografiche Algoritmo del simplesso Introduzione all algoritmo del simplesso Geometria del simplesso nello spazio delle variabili Condizioni di ottimalità Direzioni ammissibili e algoritmo del simplesso Cambio di base per l algoritmo del simplesso Algoritmo del simplesso: fase II Tableau del simplesso Convergenza dell algoritmo del simplesso Degenerazione e regole anticiclaggio Ricerca di una soluzione ammissibile - Fase I Estensione al caso di variabili limitate Complessità dell algoritmo del simplesso Congettura di Hirsch Il simplesso nello spazio dei vincoli Note bibliografiche

3 Indice vii 5 Dualità Esempi di problemi duali Duale del problema di mix produttivo Duale del problema della dieta Duale del problema di trasporto Problemi lineari duali Teoremi di dualità Dualità debole Dualità forte Schema riassuntivo dei legami tra primale e duale Scarti complementari Lemma di Farkas e teoremi delle alternative Algoritmo del simplesso duale Note bibliografiche Analisi di sensitività e parametrica Interpretazione geometrica Analisi di sensitività Variazioni nella funzione obiettivo Variazioni nel termine noto Variazioni nella matrice dei vincoli Analisi parametrica Analisi parametrica rispetto al termine noto Caratterizzazione delle soluzioni ottimali del duale Analisi parametrica rispetto ai coefficienti di costo Prezzi ombra Legame tra prezzi ombra e coefficienti di costo ridotto Variazioni strutturali di un problema Aggiunta di una nuova variabile Aggiunta di un nuovo vincolo Report del simplesso Note bibliografiche Coni, poliedri e ottimizzazione lineare Lemma di Farkas e dualità Teorema dell iperpiano separatore Lemma di Farkas e teorema di dualità forte Altre formulazioni dei teoremi delle alternative Una diversa formulazione del teorema di dualità forte Proiezione di poliedri e metodo di eliminazione di Fourier-Motzkin Rappresentazione di poliedri Cono di recessione, raggi estremi e spazio di linealità Involucri affini, conici e convessi Teorema di Caratheodory Teoremi di rappresentazione di Minkowsky-Weyl Condizioni di illimitatezza dell ottimizzazione lineare Teorema fondamentale dell ottimizzazione lineare Note bibliografiche

4 viii Indice 8 Ottimizzazione intera Applicazioni dell ottimizzazione intera Knapsack e capital budgeting Pianificazione produttiva con lotti minimi Pianificazione produttiva con costi fissi Localizzazione di impianti Scheduling Vincoli either-or e disgiuntivi Covering, packing e partitioning Assegnazione Proprietà dell ottimizzazione intera Rilasciamenti Geometria dell ottimizzazione intera Formulazioni alternative e formulazione ideale Unimodularità e formulazione ideale Metodi dei piani di taglio Taglio di Gomory Metodi enumerativi Algoritmo di branch and bound Note bibliografiche Ottimizzazione nei grafi Grafi Alberi di supporto di costo minimo Modelli di ottimizzazione matematica Algoritmo di Kruskal Algoritmo di Prim Problemi di cammino minimo Modelli di ottimizzazione matematica Algoritmo di Dijkstra Algoritmo di Floyd-Warshall Problemi di flusso Problema di taglio minimo Algoritmo di Ford-Fulkerson Problema del commesso viaggiatore Modelli di ottimizzazione matematica Note bibliografiche Ottimizzazione di progetti Rappresentazione di progetti mediante digrafi Scomposizione di un progetto in attività elementari Digrafi con le attività sui nodi Digrafi con le attività sugli archi Identificazione di un cammino critico Diagrammi di Gantt Modelli probabilistici per l analisi PERT Distribuzione del tempo di completamento Analisi dei costi Modelli di ottimizzazione matematica Progetti a risorse illimitate

5 Indice ix Bilanciamento di tempi e costi Progetti a risorse limitate Note bibliografiche Ottimizzazione non lineare Funzioni convesse Problemi di ottimizzazione non lineare Applicazioni dell ottimizzazione non lineare Regressione con i minimi quadrati Classificazione con regolarizzazione Selezione di investimenti finanziari Mix produttivo e trasporto con costi variabili Mix produttivo con elasticità dei prezzi Localizzazione e allocazione logistica Geometria dell ottimizzazione non lineare Condizioni di esistenza di soluzioni ottimali Ottimi locali e globali di funzioni convesse Condizioni di ottimalità: problemi non vincolati Condizioni necessarie del primo ordine Condizioni necessarie e sufficienti per funzioni convesse Condizioni necessarie e sufficienti del secondo ordine Geometria dei punti stazionari Dualità per problemi non lineari vincolati Dualità debole e forte Duale di problemi lineari Condizioni di ottimalità: problemi vincolati Condizioni di Karush-Kuhn-Tucker Qualificazione dei vincoli e piano tangente Condizioni necessarie del primo ordine Note bibliografiche Metodi di ottimizzazione non lineare Metodi iterativi di discesa Ottimizzazione non lineare non vincolata Problemi unidimensionali Metodi di approssimazione polinomiale Metodo del gradiente Metodo di Newton Metodi Quasi-Newtoniani Ottimizzazione non lineare vincolata Metodi di penalità Metodi di barriera Metodi di ottimizzazione lineare a punti interni Note bibliografiche

6 x Indice 13 Ottimizzazione nei sistemi stocastici Teoria delle decisioni Decisioni ottimali in condizioni di rischio Decisioni sequenziali e alberi di decisione Valore atteso dell informazione campionaria Efficienza dell informazione campionaria Teoria dell utilità Decisioni ottimali in condizioni di incertezza Teoria dei giochi e ottimizzazione Equilibrio di Nash per strategie pure e miste Strategie miste a due giocatori e dualità Giochi differenziali e dualità Note bibliografiche A Algebra lineare e analisi 443 A.1 Notazioni A.2 Vettori e matrici A.3 Sistemi di equazioni e disequazioni lineari A.4 Analisi B Complessità degli algoritmi 455 Bibliografia 459 Indice 465

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