Matematica Finanziaria 29 novembre 2000

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1 Matematica Finanziaria 29 novembre 2000 Ottimizzazione. Cognome Nome FILA A ESERCIZIO 1: Gestione del rischio a) Ricavare l espressione del vettore dei coe cienti nella tecnica dei minimi quadrati. b) Sia data la seguente funzione f 1 (x) =log(x 1 + x 2 ). Se ne determini il dominio e si disegnino le corrispondenti curve di livello indicando la direzione di crescita. c) Si supponga che la funzione f 1 (x) descriva la relazione tra il prezzo del titolo 1edifattoridirischiox 1 e x 2. Determinarne il prezzo e la sensibilità ai due fattori di rischio, dato che x 1 =2e x 2 =5. d) Un gestore ha in portafoglio altri due titoli: ² il titolo 2 ha un prezzo corrente pari a 10, mentre ha una sensibilità pari a -1 al primo fattore di rischio ed una sensibilità pari a 1 al secondo fattore di rischio ² il titolo 3 ha un prezzo corrente pari a 8, mentre le sensibilità ai due fattori di rischio sono incognite. Sono disponibili solo le seguenti osservazioni: Tempo x 1 x 2 f 3 (x 1 ;x 2 ) Fornire una stima delle sensibilità del titolo 3 ai fattori di rischio e quindi costruire la matrice delle sensibilità. e) Se il gestore ha in portafoglio 10 unità di ciascun titolo, fornire il valore del portafoglio e le sensibilità del portafoglio a ciascun fattore di rischio. f) Il gestore prevede che x 1 > 0 mentre non ha previsioni relativamente alle variazioni del secondo fattore. Giusti cando la risposta, quale tra le seguenti combinazioni di sensibilità è preferibile?

2 M.F. Prova Parziale di Ottimizzazione, 29 novembre Sens. fattore 1 Sens. fattore 2 S S S g) Data la scelta al punto precedente scrivere (senza risolvere) il sistema lineare che caratterizza il problema di gestione del rischio. h) Dopo il ribilanciamento si osserva che x 1 < 0; x 2 > 0: Senza calcoli stabilire se il ribilanciamento è stato conveniente. i) Dato che x 1 = 0:1 e x 2 =0:1 stimare mediante la formula di Taylor la corrispondente variazione di valore del portafoglio in presenza ed assenza di ribilanciamento. ESERCIZIO 2: Ottimizzazione Vincolata a) Sia dato: f (x) = x 2 1 3x2 2 + x2 3 3x 3 +1 sub x 1 + x 2 + x 3 =1 2x 1 x 2 =0 scrivere il problema nella forma x T Ax + Bx + c sub : Dx = b speci cando la dimensione delle matrici/vettori. b) Veri care se è rispettata la condizione di regolarità dei vincoli. c) Scrivere la funzione Lagrangiana, indicando la dimensione del vettore dei moltiplicatori di Lagrange. d) Si scrivano le condizioni necessarie del primo ordine per la funzione Lagrangiana L (x; ). e) Se i moltiplicatori di Lagrange associati ai due vincoli sono rispettivamente 1 = -11/2 e 2 =7=2, determinare i punti che soddisfano la CN del primo ordine; f) Scrivere la matrice Hessiana orlata. g) Dato che i minori principali di NW dell orlata sono: 0, 0, 0, 9, -4 stabilire se il vettore x individuato al punto e) è un punto di minimo o di massimo. h) Valutare la convenienza relativa delle due seguenti alternative: ² aumentare la disponibilità del primo vincolo da 1 a 1.1 e ridurre quella del secondo a -0.1 ² ridurre la disponibilità del primo vincolo da 1 a 0.9 ed aumentare quella del secondo a +0.1.

3 M.F. Prova Parziale di Ottimizzazione, 29 novembre Matematica Finanziaria 29 novembre 2000 Ottimizzazione. Cognome Nome FILA B ESERCIZIO 1: Gestione del rischio a) Ricavare l espressione del vettore dei coe cienti nella tecnica dei minimi quadrati. b)siadatalaseguentefunzionef 1 (x) = p x 1 + x 2. Senedeterminiildominio e si disegnino le corrispondenti curve di livello indicando la direzione di crescita. c) Si supponga che la funzione f 1 (x) descriva la relazione tra il prezzo del titolo 1edifattoridirischiox 1 e x 2. Determinarne il prezzo e la sensibilità ai due fattori di rischio, dato che x 1 =4e x 2 =5. d) Un gestore ha in portafoglio altri due titoli: ² iltitolo2haunprezzocorrenteparia10,mentrehaunasensibilitàparia1al primo fattore di rischio ed una sensibilità pari a -1 al secondo fattore di rischio ² il titolo 3 ha un prezzo corrente pari a 6, mentre le sensibilità ai due fattori di rischio sono incognite. Sono disponibili solo le seguenti osservazioni: Tempo x 1 x 2 f 3 (x 1 ;x 2 ) Fornire una stima delle sensibilità del titolo 3 ai fattori di rischio e quindi costruire la matrice delle sensibilità. e) Se il gestore ha in portafoglio 10 unità di ciascun titolo, fornire il valore del portafoglio e le sensibilità del portafoglio a ciascun fattore di rischio. f) Il gestore prevede che x 2 < 0 mentre non ha previsioni relativamente alle variazioni del primo fattore. Giusti cando la risposta, quale tra le seguenti combinazioni di sensibilità è preferibile?

4 M.F. Prova Parziale di Ottimizzazione, 29 novembre sens. fattore 1 sens. fattore 2 S S S g) Data la scelta al punto precedente scrivere (senza risolvere) il sistema lineare che caratterizza il problema di gestione del rischio. h) Dopo il ribilanciamento si osserva che x 1 > 0; x 2 > 0: Senza calcoli stabilire se il ribilanciamento è stato conveniente. i) Dato che x 1 =0:1 e x 2 =0:1 stimare mediante la formula di Taylor la corrispondente variazione di valore del portafoglio in presenza ed assenza di ribilanciamento. ESERCIZIO 2: Ottimizzazione vincolata a) Sia dato: f (x) = x 2 1 x2 2 +2x2 3 + x 2 +1 sub x 1 + x 3 =1 2x 1 x 2 =1 scrivere il problema nella forma x T Ax + Bx + c sub : Dx = b speci cando la dimensione delle matrici/vettori. b) Veri care se è rispettata la condizione di regolarità dei vincoli. c) Scrivere la funzione Lagrangiana, indicando la dimensione del vettore dei moltiplicatori di Lagrange. d) Si scrivano le condizioni necessarie del primo ordine per la funzione Lagrangiana L (x; ). e) Se i moltiplicatori di Lagrange associati ai due vincoli sono rispettivamente 1 = 0e 2 =1, determinare i punti che soddisfano la CN del primo ordine; f) Scrivere la matrice Hessiana orlata. g) Dato che i minori principali di NW dell orlata sono: 0, 0, 0, 1, -2 stabilire se il vettore x individuato al punto e) è un punto di minimo o di massimo. h) Valutare la convenienza relativa delle due seguenti alternative: ² aumentare la disponibilità del primo vincolo da 1 a 1.1 e ridurre quella del secondo a 0.9 ² ridurre la disponibilità del primo vincolo da 1 a 0.9 ed aumentare quella del secondo a 1.1.

5 M.F. Prova Parziale di Ottimizzazione, 29 novembre Matematica Finanziaria 29 novembre 2000 Ottimizzazione. Cognome Nome FILA C ESERCIZIO 1: Gestione del rischio a) Ricavare l espressione del vettore dei coe cienti nella tecnica dei minimi quadrati. b) Sia data la seguente funzione f 1 (x) =log(x 1 + x 2 ). Se ne determini il dominio e si disegnino le corrispondenti curve di livello indicando la direzione di crescita. c) Si supponga che la funzione f 1 (x) descriva la relazione tra il prezzo del titolo 1edifattoridirischiox 1 e x 2. Determinarne il prezzo e la sensibilità ai due fattori di rischio, dato che x 1 =2e x 2 =5. d) Un gestore ha in portafoglio altri due titoli: ² iltitolo2haunprezzocorrenteparia10,mentrehaunasensibilitàparia2al primo fattore di rischio ed una sensibilità pari a -2 al secondo fattore di rischio ² il titolo 3 ha un prezzo corrente pari a 7, mentre le sensibilità ai due fattori di rischio sono incognite. Sono disponibili solo le seguenti osservazioni: Tempo x 1 x 2 f 3 (x) Fornire una stima delle sensibilità del titolo 3 ai fattori di rischio e quindi costruire la matrice delle sensibilità. e) Se il gestore ha in portafoglio 10 unità di ciascun titolo, fornire il valore del portafoglio e le sensibilità del portafoglio a ciascun fattore di rischio. f) Il gestore prevede che x 1 < 0 mentre non ha previsioni relativamente alle variazioni del secondo fattore. Giusti cando la risposta, quale tra le seguenti combinazioni di sensibilità è preferibile?

6 M.F. Prova Parziale di Ottimizzazione, 29 novembre sens. fattore 1 sens. fattore 2 S S S g) Data la scelta al punto precedente scrivere (senza risolvere) il sistema lineare che caratterizza il problema di gestione del rischio. h) Dopo il ribilanciamento si osserva che x 1 > 0; x 2 < 0: Senza calcoli stabilire se il ribilanciamento è stato conveniente. i) Dato che x 1 =+0:1 e x 2 = 0:1 stimare mediante la formula di Taylor la corrispondente variazione di valore del portafoglio in presenza ed assenza di ribilanciamento. ESERCIZIO 2: Ottimizzazione Vincolata a) Sia dato: f (x) = x x2 2 x2 3 +2x 2 +1 sub x 1 + x 2 + x 3 =1 x 1 +4x 3 =2 scrivere il problema nella forma x T Ax + Bx + c sub : Dx = b speci cando la dimensione delle matrici/vettori. b) Veri care se è rispettata la condizione di regolarità dei vincoli. c) Scrivere la funzione Lagrangiana, indicando la dimensione del vettore dei moltiplicatori di Lagrange. d) Si scrivano le condizioni necessarie del primo ordine per la funzione Lagrangiana L (x; ). e) Se i moltiplicatori di Lagrange associati ai due vincoli sono rispettivamente 1 = 2e 2 = 2=3, determinare i punti che soddisfano la CN del primo ordine; f) Scrivere la matrice Hessiana orlata. g) Dato che i minori principali di NW dell orlata sono: 0, 0, 0, 1, 174 stabilire se il vettore x individuato al punto e) è un punto di minimo o di massimo. h) Valutare la convenienza relativa delle due seguenti alternative: ² aumentare la disponibilità del primo vincolo da 1 a 1.1 e ridurre quella del secondo a 1.9 ² ridurre la disponibilità del primo vincolo da 1 a 0.9 ed aumentare quella del secondo a 2.1

7 M.F. Prova Parziale di Ottimizzazione, 29 novembre Matematica Finanziaria 29 novembre 2000 Ottimizzazione. Cognome Nome FILA D ESERCIZIO 1: Gestione del rischio a) Ricavare l espressione del vettore dei coe cienti nella tecnica dei minimi quadrati. b) Sia data la seguente funzione f 1 (x) = p x 1 + x 2 : Se ne determini il dominio e si disegnino le corrispondenti curve di livello indicando la direzione di crescita. c) Si supponga che la funzione f 1 (x) descriva la relazione tra il prezzo del titolo 1edifattoridirischiox 1 e x 2. Determinarne il prezzo e la sensibilità ai due fattori di rischio, dato che x 1 =4e x 2 =5. d) Un gestore ha in portafoglio altri due titoli: ² il titolo 2 ha un prezzo corrente pari a 10, mentre ha una sensibilità pari a -2 al primo fattore di rischio ed una sensibilità pari a 2 al secondo fattore di rischio ² il titolo 3 ha un prezzo corrente pari a 9, mentre le sensibilità ai due fattori di rischio sono incognite. Sono disponibili solo le seguenti osservazioni: Tempo x 1 x 2 f 3 (x 1 ;x 2 ) Fornire una stima delle sensibilità del titolo 3 ai fattori di rischio e quindi costruire la matrice delle sensibilità. e) Se il gestore ha in portafoglio 10 unità di ciascun titolo, fornire il valore del portafoglio e le sensibilità del portafoglio a ciascun fattore di rischio. f) Il gestore prevede che x 2 < 0 mentre non ha previsioni relativamente alle variazioni del primo fattore. Giusti cando la risposta, quale tra le seguenti combinazioni di sensibilità è preferibile?

8 M.F. Prova Parziale di Ottimizzazione, 29 novembre sens. fattore 1 sens. fattore 2 S S S g) Data la scelta al punto precedente scrivere (senza risolvere) il sistema lineare che caratterizza il problema di gestione del rischio. h) Dopo il ribilanciamento si osserva che x 1 < 0; x 2 > 0: Senza calcoli stabilire se il ribilanciamento è stato conveniente. i) Dato che x 1 = 0:1 e x 2 =0:1 stimare mediante la formula di Taylor la corrispondente variazione di valore del portafoglio in presenza ed assenza di ribilanciamento. ESERCIZIO 2: Ottimizzazione Vincolata a) Sia dato: f (x) = x x x x 1 +1 sub x 1 + x 2 + x 3 =0 2x 1 x 2 =1 scrivere il problema nella forma x T Ax + Bx + c sub : Dx = b speci cando la dimensione delle matrici/vettori. b) Veri care se è rispettata la condizione di regolarità dei vincoli. c) Scrivere la funzione Lagrangiana, indicando la dimensione del vettore dei moltiplicatori di Lagrange. d) Si scrivano le condizioni necessarie del primo ordine per la funzione Lagrangiana L (x; ). e) Se i moltiplicatori di Lagrange associati ai due vincoli sono rispettivamente 1 = -5/8 e 2 =3=8, determinare i punti che soddisfano la CN del primo ordine; f) Scrivere la matrice Hessiana orlata. g) Dato che i minori principali di NW dell orlata sono: 0, 0, 0, 9, 48 stabilire se il vettore x individuato al punto e) è un punto di minimo o di massimo. h) Valutare la convenienza relativa delle due seguenti alternative: ² aumentare la disponibilità del primo vincolo da 0 a 0.1 e ridurre quella del secondo a 0.9 ² ridurre la disponibilità del primo vincolo da 0 a -0.1 ed aumentare quella del secondo a +1.1.

9 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila A Pagina 1 FILA A Esercizio 1 a) L'espressione del vettore dei beta dei minimi quadrati è data da: b =(X'X) -1 X'y Per ricavare l'espressione del vettore beta e per il contenuto di X e di y si vedano gli appunti di lezione. b) f 1 (x) =log(x 1 +x 2 ), da cui il dominio della funzione è dato da: D= {x ε R 2 : x1+x2 >0} Le curve di livello sono date da: C k = {x ε D: log(x 1 +x 2 )=k, k ε R} Si ricava quindi che: (x 1 +x 2 )=e k e quindi: x 2 =e k -x 1 coè le cdl sono delle rette di pendenza -1 ed intercetta e k.si ha quindi il seguente grafico Curve di livello e dominio della funzione log(x1+x2) k= k= k=-inf Il prezzo del titolo 1 è dato da log(2+5) = Per calcolare le sensibilità, devo ricavare il vettore gradiente che è dato da: gradiente f 1 (x) = 1/(x 1 +x 2 ) 1/(x 1 +x 2 ) e sostituendo i valori di x1 e x2 si trova gradiente f 1 (x) = c) Per stimare le sensibilità del titolo 3 ai fattori di rischio, si utilizza la tecnica dei minimi quadrati mediante la regressione di f rispetto a x 1 e a x 2 Si ha: Tempo x1 x2 f(x1, x2) x 1 x 2 f dove: X è una matrice 5 x 2 che ha come colonne x 1 e a x 2 y è un vettore 5 x 1 dato da f Quindi: X'X = 4-3 (X'X) -1 = X'y = -10 b =(X'X) -1 X'y = Quindi la matrice delle sensibilità è data da: sens. fatt. 1 sens. fatt. 2 titolo titolo titolo d) Il valore del portafgolio è dato da:v(x) = n T f(x) dove n è il vettore riga delle quantità e f(x) è il vettore colonna dei prezzi. n T = f(x) T =

10 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila A Pagina 2 per cui: V(x) = n T f(x) = La sensibilità del portafoglio ai fattori di rischio è data da n T S dove S è la matrice delle sensibilità data al punto precedente Fatt.1 Fattore 2 Sens. Iniz. Portaf e) Poiché si prevede che x 1 >0, mentre la sensibilità corrente del portafoglio al fattore 1 è negativa, il gestore cercherà di avere un'esposizione positiva al fattore 1. Non avendo previsioni sul fattore 2, il gestore cercherà di immunizzarsi, attraverso una sensibilità nulla al fattore 2. Quindi la sensibilità desiderata è data da SD = 1 0 f) Il sistema lineare che caratterizza il problema di gestione del rischio è quindi dato da: titolo 1 titolo 2 titolo 3 n Termini Noti f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) n 1 0 df 1 (x)/dx 1 df 2 (x)/dx 1 df 3 (x)/dx 1 n 2 = SD 1 -SI 1 df 1 (x)/dx2 df 2 (x)/dx2 df 3 (x)/dx2 n 3 SD 2 -SI 2 dove SDj è la sensibilità desiderata al fattore j, mentre Sij è la sensibilità iniziale del portafoglio al fattore j. Utilizzando i dati dei punti precedenti, il sistema lineare diviene titolo 1 titolo 2 titolo 3 n Termini Noti n n 2 = n da cui si ricava che le variazioni delle quantità dei titoli sono date da: Titolo n n n+ n g) Il ribilanciamento rispetto a x1 non è risultato conveniente, perché la previsione non era corretta. Il ribilanciamento rispetto a x2 non ha consentito di sfruttare il rialzo del titolo: il mancato guadagno rappresenta il costo per la realizzazione di una strategia di immunizzazione. h) La variazione del portafoglio la possiamo stimare mediante la formula di Taylor del primo ordine V(x) = < G v, x> +o( x ) dove G V rappresenta il vettore gradiente del portafoglio. Assenza di ribilanciamento G V = x = V(x) = 5 Con Ribilanciamento G V = 1 0 x = V(x) = -0.1 da cui si osserva che effettivamente il ribilanciamento non è stato conveniente: FILA A Esercizio 2 a) Il problema di ricerca di ottimo con vincoli, può essere riscritto in forma sintetica come: f(x) = x T A x + B x +c

11 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila A Pagina 3 sub D x = b dove A è una matrice 3x3, B è un vettore riga 1 x 3, c è uno scalare, D è una matrice 2 x 3 e b un vettore colonna 2 x 1, mentre il vettore delle incognite x è un vettore colonna 3 x 1. In particolare queste matrici sono date da: A B c 1 D b b) La condizione di regolarità dei vincoli richiede che il rango della matrice Jacobiana dei vincoli sia pari al numero di vincoli. Poiché i vincoli sono dati dalla trasformazione lineare D x, la Jacobiana coincide con la matrice D che ha effettivamente rango 2. Quindi la condizione di regolarità dei vincoli è soddisfatta. c) La funzione Lagrangiana è data da: L(x, l) =x T A x + B x + l (b-d x) dove l è un vettore riga 1 x 2. d) La condizione necessaria del primo ordine richiede che, qualora sia rispettata la condizione di regolarità dei vincoli, nel punto di ottimo il gradiente della funzione lagrangiana si annulli. Quindi otteniamo D x L(x, l) = 0 D λ L(x, l) = 0 e nel nostro caso D x L(x, l) = 2 A x + B T -(l D) T = 0 n equazioni D x L(x, l) = B - D x = 0 m equazioni da cui se det(a) è diverso da 0, per il teorema di Rouchè-Capelli le prime n equazioni possono essere risolte rispetto al vettore x, dando come soluzione: x =A -1 [- B T -(l D) T ]/2 e il vettore dei moltiplicatori lo si trova sostituendo nei vincoli questa espressione. e) Poiché la matrice A è una matrice diagonale la sua inversa è di immediato calcolo ed è data da: A -1 = / A -1 B T = = Inoltre usando il fatto che l = -11/2 7/2 A -1 [(l D) T ] = A -1 D T l T = /2 = / /2 = 3/2 = -1/3 1/3 7/ /2 Di conseguenza si ottiene che

12 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila A Pagina 4 x =[-A -1 B T +A -1 (l D) T ]/2 0 3/2 3/ = 1/2* 0 + 1/2* 3 = 3/2 = /2-5/ f) La matrice hessiana orlata è di ordine 5 x5 ed è data da: g) I m.p. di interesse sono gli ultimi n-m e nel ns caso n=3 e m=2 per cui occorre guardare il determinante dell'orlata che dal testo risulta essere pari a : -4 Questo ha segno -. Per avere un massimo il segno deve essere lo stesso di (-1) m+1, mentre per un minimo deve essere lo stesso di (-1) m. Nel nostro caso, si ha di conseguenza un per la funzione f(x) ed un punto di sella per la funzione Lagrangiana. massimo h) Nel punto di ottimo, una variazione dei termini noti che caratterizzano i vincoli induce una corrispondente variazione nella funzione obiettivo data da: f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 +o( b ) Allora se b 1 =0.1 b 2 =-0.1 f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 = -0.9 mentre se b 1 =-0.1 b 2 =0.1 f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 = 0.9 Trattandosi di un problema di massimo è quindi preferibile la seconda possibilità che consente di incrementare maggiormente il valore della funzione obiettivo.

13 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila B Pagina 1 FILA B Esercizio 1 a) L'espressione del vettore dei beta dei minimi quadrati è data da: b =(X'X) -1 X'y Per ricavare l'espressione del vettore beta e per il contenuto di X e di y si vedano gli appunti di lezione b) f 1 (x) =(x 1 +x 2 ) 0.5, da cui il dominio della funzione è dato da: D= {x ε R 2 : x1+x2 >=0} Le curve di livello sono date da: C k = {x ε D: (x 1 +x 2 ) 0.5 =k, k ε R + } Si ricava quindi che: (x 1 +x 2 )=k 2 e quindi: x 2 =k 2 -x 1 coè le cdl sono delle rette di pendenza -1 ed intercetta k 2.Si ha quindi il seguente grafico Curve di livello e dominio della funzione log(x1+x2) k=1 k= k=2 k=2 k= k=-inf k=0 Il prezzo del titolo 1 è dato da (4+5) 0.5 = 3 Per calcolare le sensibilità, devo ricavare il vettore gradiente che è dato da: gradiente f 1 (x) = 1/(2*(x 1 +x 2 ) 0.5 ) 1/(2*(x 1 +x 2 ) 0.5 ) e sostituendo i valori di x1 e x2 si trova gradiente f 1 (x) = c) Per stimare le sensibilità del titolo 3 ai fattori di rischio, si utilizza la tecnica dei minimi quadrati mediante la regressione di f rispetto a x 1 e a x 2 Si ha: Tempo x1 x2 f(x1, x2) x 1 x 2 f dove: X è una matrice 5 x 2 che ha come colonne x 1 e a x 2 y è un vettore 5 x 1 dato da f Quindi: X'X = 16 2 (X'X) -1 = X'y = -12 b =(X'X) -1 X'y = Quindi la matrice delle sensibilità è data da: sens. fatt. 1 sens. fatt. 2 titolo titolo titolo d) Il valore del portafgolio è dato da:v(x) = n T f(x) dove n è il vettore riga delle quantità e f(x) è il vettore colonna dei prezzi. n T = f(x) T =

14 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila B Pagina 2 per cui: V(x) = n T f(x) = 190 La sensibilità del portafoglio ai fattori di rischio è data da n T S dove S è la matrice delle sensibilità data al punto precedente Fatt.1 Fattore 2 Sens. Iniz. Portaf e) Poiché si prevede che Dx2 <0, mentre la sensibilità corrente del portafoglio al fattore 2 è positiva, il gestore cercherà di avere un'esposizione negativa al fattore 2. Non avendo previsioni sul fattore 1, il gestore cercherà di immunizzarsi, attraverso una sensibilità nulla al fattore 1. Quindi la sensibilità desiderata è data da SD = 0-1 f) Il sistema lineare che caratterizza il problema di gestione del rischio è quindi dato da: titolo 1 titolo 2 titolo 3 n Termini Noti f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) n 1 0 df 1 (x)/dx 1 df 2 (x)/dx 1 df 3 (x)/dx 1 n 2 = SD 1 -SI 1 df 1 (x)/dx2 df 2 (x)/dx2 df 3 (x)/dx2 n 3 SD 2 -SI 2 dove SDj è la sensibilità desiderata al fattore j, mentre Sij è la sensibilità iniziale del portafoglio al fattore j. Utilizzando i dati dei punti precedenti, il sistema lineare diviene titolo 1 titolo 2 titolo 3 n Termini Noti n n 2 = n da cui si ricava che le variazioni delle quantità dei titoli sono date da: Titolo n n n+ n g) Il ribilanciamento rispetto a x 2 non è risultato conveniente, perché la previsione non era corretta. Il ribilanciamento rispetto a x 1 non ha consentito di sfruttare il rialzo del titolo: il mancato guadagno rappresenta il costo per la realizzazione di una strategia di immunizzazione. h) La variazione del portafoglio la possiamo stimare mediante la formula di Taylor del primo ordine V(x) = < G v, x> +o( x ) dove G V rappresenta il vettore gradiente del portafoglio. Assenza di ribilanciamento G V = x = V(x) = Con Ribilanciamento G V = 0-1 x = V(x) = -0.1 da cui si osserva che effettivamente il ribilanciamento non è stato conveniente: FILA B Esercizio 2 a) Il problema di ricerca di ottimo con vincoli, può essere riscritto in forma sintetica come: f(x) = x T A x + B x +c sub D x = b dove A è una matrice 3x3, B è un vettore riga 1 x 3, c è uno scalare, D è una matrice 2 x 3 e b un vettore colonna 2 x 1, mentre il vettore delle incognite x è un

15 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila B Pagina 3 vettore colonna 3 x 1. In particolare queste matrici sono date da: A B c 1 D b b) La condizione di regolarità dei vincoli richiede che il rango della matrice Jacobiana dei vincoli sia pari al numero di vincoli. Poiché i vincoli sono dati dalla trasformazione lineare D x, la Jacobiana coincide con la matrice D che ha effettivamente rango 2. Quindi la condizione di regolarità dei vincoli è soddisfatta. c) La funzione Lagrangiana è data da: L(x, l) =x T A x + B x + l (b-d x) dove l è un vettore riga 1 x 2. d) La condizione necessaria del primo ordine richiede che, qualora sia rispettata la condizione di regolarità dei vincoli, che nel punto di ottimo il gradiente della funzione lagrangiana si annulli. Quindi otteniamo D x L(x, l) = 0 D λ L(x, l) = 0 e nel nostro caso D x L(x, l) = 2 A x + B T -(l D) T = 0 n equazioni D x L(x, l) = B - D x = 0 m equazioni da cui se det(a) è diverso da 0, per il teorema di Rouchè-Capelli le prime n equazioni possono essere risolte rispetto al vettore x, dando come soluzione: x =A -1 [- B T -(l D) T ]/2 e il vettore dei moltiplicatori lo si trova sostituendo nei vincoli questa espressione. e) Poiché la matrice A è una matrice diagonale la sua inversa è di immediato calcolo ed è data da: A -1 = /2 A -1 B T = = Inoltre usando il fatto che l = 0 1 A -1 [(l D) T ] = A -1 D T l T = = = 2 = /2 0 0 Di conseguenza si ottiene che x =[-A -1 B T +A -1 (l D) T ]/2

16 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila B Pagina 4 0 3/2 1 = 1/2* 1 + 1/2* 3 = /2 0 f) La matrice hessiana orlata è di ordine 5 x5 ed è data da: g) I m.p. di interesse sono gli ultimi n-m e nel ns caso n=3 e m=2 per cui occorre guardare il determinante dell'orlata che dal testo risulta essere pari a : -2 Questo ha segno -. Per avere un massimo il segno deve essere lo stesso di (-1) m+1, mentre per un minimo deve essere lo stesso di (-1) m. Nel nostro caso, si ha di conseguenza un per la funzione f(x) ed un punto di sella per la funzione Lagrangiana. massimo h) Nel punto di ottimo, una variazione dei termini noti che caratterizzano i vincoli induce una corrispondente variazione nella funzione obiettivo data da: f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 +o( b ) Allora se b 1 =0.1 b 2 =-0.1 f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 = -0.1 mentre se b 1 =-0.1 b 2 =0.1 f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 = 0.1 Trattandosi di un problema di massimo è quindi preferibile la seconda possibilità che consente di incrementare maggiormente il valore della funzione obiettivo.

17 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila C Pagina 1 FILA C Esercizio 1 a) L'espressione del vettore dei beta dei minimi quadrati è data da: b =(X'X) -1 X'y Per ricavare l'espressione del vettore beta e per il contenuto di X e di y si vedano gli appunti di lezione b) f 1 (x) =log(x 1 +x 2 ), da cui il dominio della funzione è dato da: D= {x ε R 2 : x1+x2 >0} Le curve di livello sono date da: C k = {x ε D: log(x 1 +x 2 )=k, k ε R} Si ricava quindi che: (x 1 +x 2 )=e k e quindi: x 2 =e k -x 1 coè le cdl sono delle rette di pendenza -1 ed intercetta e k.si ha quindi il seguente grafico Curve di livello e dominio della funzione log(x1+x2) k= k= k=-inf Il prezzo del titolo 1 è dato da log(2+5) = Per calcolare le sensibilità, devo ricavare il vettore gradiente che è dato da: gradiente f 1 (x) = 1/(x 1 +x 2 ) 1/(x 1 +x 2 ) e sostituendo i valori di x1 e x2 si trova gradiente f 1 (x) = c) Per stimare le sensibilità del titolo 3 ai fattori di rischio, si utilizza la tecnica dei minimi quadrati mediante la regressione di f rispetto a x 1 e a x 2 Si ha: Tempo x1 x2 f(x1, x2) x 1 x 2 f dove: X è una matrice 5 x 2 che ha come colonne x 1 e a x 2 y è un vettore 5 x 1 dato da f Quindi: X'X = 11 0 (X'X) -1 = X'y = 11 b =(X'X) -1 X'y = Quindi la matrice delle sensibilità è data da: sens. fatt. 1 sens. fatt. 2 titolo titolo titolo d) Il valore del portafgolio è dato da:v(x) = n T f(x) dove n è il vettore riga delle quantità e f(x) è il vettore colonna dei prezzi. n T = f(x) T =

18 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila C Pagina 2 per cui: V(x) = n T f(x) = La sensibilità del portafoglio ai fattori di rischio è data da n T S dove S è la matrice delle sensibilità data al punto precedente Fatt.1 Fattore 2 Sens. Iniz. Portaf e) Poiché si prevede che Dx1 <0, mentre la sensibilità corrente del portafoglio al fattore 1 è positiva, il gestore cercherà di avere un'esposizione negativa al fattore 1. Non avendo previsioni sul fattore 2, il gestore cercherà di immunizzarsi, attraverso una sensibilità nulla al fattore 2. Quindi la sensibilità desiderata è data da SD = -1 0 f) Il sistema lineare che caratterizza il problema di gestione del rischio è quindi dato da: titolo 1 titolo 2 titolo 3 n Termini Noti f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) n 1 0 df 1 (x)/dx 1 df 2 (x)/dx 1 df 3 (x)/dx 1 n 2 = SD 1 -SI 1 df 1 (x)/dx2 df 2 (x)/dx2 df 3 (x)/dx2 n 3 SD 2 -SI 2 dove SDj è la sensibilità desiderata al fattore j, mentre Sij è la sensibilità iniziale del portafoglio al fattore j. Utilizzando i dati dei punti precedenti, il sistema lineare diviene titolo 1 titolo 2 titolo 3 n Termini Noti n n 2 = n da cui si ricava che le variazioni delle quantità dei titoli sono date da: Titolo n n n+ n g) Il ribilanciamento rispetto a x 1 non è risultato conveniente, perché la previsione non era corretta. Il ribilanciamento rispetto a x 2 non ha consentito di sfruttare il rialzo del titolo: il mancato guadagno rappresenta il costo per la realizzazione di una strategia di immunizzazione. h) La variazione del portafoglio la possiamo stimare mediante la formula di Taylor del primo ordine V(x) = < G v, x> +o( x ) dove G V rappresenta il vettore gradiente del portafoglio. Assenza di ribilanciamento G V = x = V(x) = 4 Con Ribilanciamento G V = -1 0 x = V(x) = -0.1 da cui si osserva che effettivamente il ribilanciamento non è stato conveniente: FILA C Esercizio 2 a) Il problema di ricerca di ottimo con vincoli, può essere riscritto in forma sintetica come: f(x) = x T A x + B x +c sub D x = b dove A è una matrice 3x3, B è un vettore riga 1 x 3, c è uno scalare, D è una matrice 2 x 3 e b un vettore colonna 2 x 1, mentre il vettore delle incognite x è un

19 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila C Pagina 3 vettore colonna 3 x 1. In particolare queste matrici sono date da: A B c 1 D b b) La condizione di regolarità dei vincoli richiede che il rango della matrice Jacobiana dei vincoli sia pari al numero di vincoli. Poiché i vincoli sono dati dalla trasformazione lineare D x, la Jacobiana coincide con la matrice D che ha effettivamente rango 2. Quindi la condizione di regolarità dei vincoli è soddisfatta. c) La funzione Lagrangiana è data da: L(x, l) =x T A x + B x + l (b-d x) dove l è un vettore riga 1 x 2. d) La condizione necessaria del primo ordine richiede che, qualora sia rispettata la condizione di regolarità dei vincoli, che nel punto di ottimo il gradiente della funzione lagrangiana si annulli. Quindi otteniamo D x L(x, l) = 0 D λ L(x, l) = 0 e nel nostro caso D x L(x, l) = 2 A x + B T -(l D) T = 0 n equazioni D x L(x, l) = B - D x = 0 m equazioni da cui se det(a) è diverso da 0, per il teorema di Rouchè-Capelli le prime n equazioni possono essere risolte rispetto al vettore x, dando come soluzione: x =A -1 [- B T -(l D) T ]/2 e il vettore dei moltiplicatori lo si trova sostituendo nei vincoli questa espressione. e) Poiché la matrice A è una matrice diagonale la sua inversa è di immediato calcolo ed è data da: A -1 = / A -1 B T = = Inoltre usando il fatto che l = 2-2/3 A -1 [(l D) T ] = A -1 D T l T = = / = 4/3 = / /3 Di conseguenza si ottiene che x =[-A -1 B T +A -1 (l D) T ]/2

20 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila C Pagina 4 0 4/3 2/3 = 1/2* /2* 1/4 = 0 0 2/3 1/3 f) La matrice hessiana orlata è di ordine 5 x5 ed è data da: g) I m.p. di interesse sono gli ultimi n-m e nel ns caso n=3 e m=2 per cui occorre guardare il determinante dell'orlata che dal testo risulta essere pari a : 174 Questo ha segno +. Per avere un massimo il segno deve essere lo stesso di (-1) m+1, mentre per un minimo deve essere lo stesso di (-1) m. Nel nostro caso, si ha di conseguenza un per la funzione f(x) ed un punto di sella per la funzione Lagrangiana. minimo h) Nel punto di ottimo, una variazione dei termini noti che caratterizzano i vincoli induce una corrispondente variazione nella funzione obiettivo data da: f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 +o( b ) Allora se b 1 =0.1 b 2 =-0.1 f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 = mentre se b 1 =-0.1 b 2 =0.1 f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 = Trattandosi di un problema di minimo è quindi preferibile la seconda possibilità che consente di ridurre maggiormente il valore della funzione obiettivo.

21 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila D Pagina 1 FILA D Esercizio 1 a) L'espressione del vettore dei beta dei minimi quadrati è data da: b =(X'X) -1 X'y Per ricavare l'espressione del vettore beta e per il contenuto di X e di y si vedano gli appunti di lezione. b) f 1 (x) =(x 1 +x 2 ) 0.5, da cui il dominio della funzione è dato da: D= {x ε R 2 : x1+x2 >=0} Le curve di livello sono date da: C k = {x ε D: (x 1 +x 2 ) 0.5 =k, k ε R + } Si ricava quindi che: (x 1 +x 2 )=k 2 e quindi: x 2 =k 2 -x 1 coè le cdl sono delle rette di pendenza -1 ed intercetta k 2.Si ha quindi il seguente grafico Curve di livello e dominio della funzione log(x1+x2) k=1 k= k=2 k=2 k= k=-inf k=0 Il prezzo del titolo 1 è dato da (4+5) 0.5 = 3 Per calcolare le sensibilità, devo ricavare il vettore gradiente che è dato da: gradiente f 1 (x) = 1/(2*(x 1 +x 2 ) 0.5 ) 1/(2*(x 1 +x 2 ) 0.5 ) e sostituendo i valori di x1 e x2 si trova gradiente f 1 (x) = c) Per stimare le sensibilità del titolo 3 ai fattori di rischio, si utilizza la tecnica dei minimi quadrati mediante la regressione di f rispetto a x 1 e a x 2 Si ha: Tempo x1 x2 f(x1, x2) x 1 x 2 f dove: X è una matrice 5 x 2 che ha come colonne x 1 e a x 2 y è un vettore 5 x 1 dato da f Quindi: X'X = 8 5 (X'X) -1 = X'y = 13 b =(X'X) -1 X'y = Quindi la matrice delle sensibilità è data da: sens. fatt. 1 sens. fatt. 2 titolo titolo titolo d) Il valore del portafgolio è dato da:v(x) = n T f(x) dove n è il vettore riga delle quantità e f(x) è il vettore colonna dei prezzi. n T = f(x) T =

22 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila D Pagina 2 per cui: V(x) = n T f(x) = 220 La sensibilità del portafoglio ai fattori di rischio è data da n T S dove S è la matrice delle sensibilità data al punto precedente Fatt.1 Fattore 2 Sens. Iniz. Portaf e) Poiché si prevede che x 2 <0, mentre la sensibilità corrente del portafoglio al fattore 2 è positiva, il gestore cercherà di avere un'esposizione negativa al fattore 2. Non avendo previsioni sul fattore 1, il gestore cercherà di immunizzarsi, attraverso una sensibilità nulla al fattore 1. Quindi la sensibilità desiderata è data da SD = 0-1 f) Il sistema lineare che caratterizza il problema di gestione del rischio è quindi dato da: titolo 1 titolo 2 titolo 3 n Termini Noti f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) n 1 0 df 1 (x)/dx 1 df 2 (x)/dx 1 df 3 (x)/dx 1 n 2 = SD 1 -SI 1 df 1 (x)/dx2 df 2 (x)/dx2 df 3 (x)/dx2 n 3 SD 2 -SI 2 dove SDj è la sensibilità desiderata al fattore j, mentre Sij è la sensibilità iniziale del portafoglio al fattore j. Utilizzando i dati dei punti precedenti, il sistema lineare diviene titolo 1 titolo 2 titolo 3 n Termini Noti n n 2 = n da cui si ricava che le variazioni delle quantità dei titoli sono date da: Titolo n n n+ n g) Il ribilanciamento rispetto a x 2 non è risultato conveniente, perché la previsione non era corretta. Il ribilanciamento rispetto a x 1 non ha consentito di sfruttare il ribasso del titolo: il mancato guadagno rappresenta il costo per la realizzazione di una strategia di immunizzazione. h) La variazione del portafoglio la possiamo stimare mediante la formula di Taylor del primo ordine V(x) = < G v, x> +o( x ) dove G V rappresenta il vettore gradiente del portafoglio. Assenza di ribilanciamento G V = x = V(x) = Con Ribilanciamento G V = 0-1 x = V(x) = -0.1 da cui si osserva che effettivamente il ribilanciamento non è stato conveniente: FILA D Esercizio 2 a) Il problema di ricerca di ottimo con vincoli, può essere riscritto in forma sintetica come: f(x) = x T A x + B x +c sub D x = b dove A è una matrice 3x3, B è un vettore riga 1 x 3, c è uno scalare, D è una matrice 2 x 3 e b un vettore colonna 2 x 1, mentre il vettore delle incognite x è un vettore colonna 3 x 1. In particolare queste matrici sono date da:

23 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila D Pagina 3 A B c 1 D b b) La condizione di regolarità dei vincoli richiede che il rango della matrice Jacobiana dei vincoli sia pari al numero di vincoli. Poiché i vincoli sono dati dalla trasformazione lineare D x, la Jacobiana coincide con la matrice D che ha effettivamente rango 2. Quindi la condizione di regolarità dei vincoli è soddisfatta. c) La funzione Lagrangiana è data da: L(x, l) =x T A x + B x + l (b-d x) dove l è un vettore riga 1 x 2. d) La condizione necessaria del primo ordine richiede che, qualora sia rispettata la condizione di regolarità dei vincoli, che nel punto di ottimo il gradiente della funzione lagrangiana si annulli. Quindi otteniamo D x L(x, l) = 0 D λ L(x, l) = 0 e nel nostro caso D x L(x, l) = 2 A x + B T -(l D) T = 0 n equazioni D x L(x, l) = B - D x = 0 m equazioni da cui se det(a) è diverso da 0, per il teorema di Rouchè-Capelli le prime n equazioni possono essere risolte rispetto al vettore x, dando come soluzione: x =A -1 [- B T -(l D) T ]/2 e il vettore dei moltiplicatori lo si trova sostituendo nei vincoli questa espressione. e) Poiché la matrice A è una matrice diagonale la sua inversa è di immediato calcolo ed è data da: A -1 = / A -1 B T = = Inoltre usando il fatto che l = -5/8 3/8 A -1 [(l D) T ] = A -1 D T l T = /8 = / = -1/8 = / /8 Di conseguenza si ottiene che x =[-A -1 B T +A -1 (l D) T ]/2 1-1/8 7/16

24 Soluzioni Prova Parziale di Ottimizzazione del 29 Novembre Fila D Pagina 4 = 1/2* 0 + 1/2* -1/4 = -1/8 0-5/8-5/16 f) La matrice hessiana orlata è di ordine 5 x5 ed è data da: g) I m.p. di interesse sono gli ultimi n-m e nel ns caso n=3 e m=2 per cui occorre guardare il determinante dell'orlata che dal testo risulta essere pari a : 48 Questo ha segno +. Per avere un massimo il segno deve essere lo stesso di (-1) m+1, mentre per un minimo deve essere lo stesso di (-1) m. Nel nostro caso, si ha di conseguenza un minimo per la funzione f(x) ed u di sella per la funzione Lagrangiana. h) Nel punto di ottimo, una variazione dei termini noti che caratterizzano i vincoli induce una corrispondente variazione nella funzione obiettivo data da: f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 Allora se b 1 =0.1 b 2 =-0.1 f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 = -0.1 mentre se b 1 =-0.1 b 2 =0.1 f(x) = λ 1 b 1 + λ2 b 2 = 0.1 Trattandosi di un problema di minimo è quindi preferibile la prima possibilità che consente di ridurre maggiormente il valore della funzione obiettivo.