Esercitazioni di Statistica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercitazioni di Statistica"

Transcript

1 Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti in un industria meccanica sia una variabile aleatoria normale con valore atteso non noto µ, e varianza σ Si supponga, inoltre, che il valore medio del diametro degli anelli prodotti riscontrato nel tempo sia 100 (pollici). Il direttore di produzione sospetta che una variazione del tasso di umidità alteri il processo produttivo fecendo aumentare il diametro degli anelli prodotti. Dopo aver selezionato casualmente 64 anelli prodotti in condizioni di elevata umidità e misurato il loro diametro, il direttore riscontra un valore medio di 106. Si assuma che egli decida di verificare l ipotesi nulla H 0 : µ 100 contro l alternativa H 1 : µ > 100, avendo fissato un valore di significatività α a) Si determini la regione di accettazione e la regione critica corrispondenti a tale test. b) Può il direttore concludere che il diametro medio degli anelli prodotti sia aumentato? Soluzione X diametro di un anello, X N(µ, 256), x 106, n64, α 0.05 Ipotesi H 0 : µ 100 H 1 : µ > 100, 1

2 a) Per risolvere il problema dobbiamo costruire una statistica test, che sia funzione dei dati campionari. Poiché la deviazione standard è nota si può utilizzare come statistica test, sotto l ipotesi nulla, la media campionaria standardizzata, statistica ottimale (di massima verosimiglianza) per questo tipo di test (l unico valore che ci fornisce il problema è infatti la media campionaria): T n X µ 0 σ/ n N(0, 1) dnorm(x, ) x Il test è un test unidirezionale, con ipotesi alternativa composita. Dato il sistema di ipotesi, respingiamo l ipotesi nulla per valori elevati della statistica test. Per scegliere il valore critico z α dobbiamo tenere in considerazione il valore di α richiesto. Poiché α 0.05 Φ(z 0.05 ) z α 1.645, allora le regioni di accettazione e critica saranno: R.A. : x µ 0 σ/ n R.C. : x µ 0 σ/ n > b) Il valore osservato della statistica test, sotto l ipotesi nulla, risulta t n x µ 0 σ/ n /

3 Il valore osservato della media campionaria standardizzata appartiene alla regione critica: 3 R.C. e quindi possiamo rifiutare l ipotesi nulla, data l evidenza contenuta nel campione. Il livello di significatività osservato (p-valore o p-dei-dati) risulta molto inferiore a Infatti: x 100 P r( x > 106/µ 100) P r( > 256/ /64 ) P r(z > 3) Esercizio 2 Sia X una variabile aleatoria distribuita come una v.a. gaussiana con parametri E(X) µ e V ar(x) 3. Sia estratto, inoltre, un campione casuale i.i.d. (X 1, X 2, X 3 ), per verificare l ipotesi nulla rispetto all alternativa H 0 : µ 2 Data la seguente regione critica: H 1 : µ 1. R.C. : (x 1, x 2, x 3 ) : 2x 1 2x 2 x 3 < 1.2}, a) calcolare α (la probabilità di commettere un errore di primo tipo), b) calcolare β (la probabilità di commettere un errore di secondo tipo). Soluzione La regione critica è definita in funzione di una statistica test, quindi il primo passo da effettuare determinare la distribuzione della statistica test (T (x) 2X 1 2X 2 X 3 ). Poiché X si distribuisce come una normale, e il campione è estratto in modo casuale, per la proprietà riproduttiva della normale: T (X) 2X 1 2X 2 X 3 N(µ; 27), poiché e E(T (X)) 2µ 2µ µ µ, Var(T (X)) Var(2X 1 2X 2 X 3 ) 4Var(X 1 ) 4Var(X 2 ) Var(X 3 ) 9Var(X) 27. 3

4 a) La probabilità α di commettere un errore di primo tipo (rifiutare un ipotesi nulla vera) è data da: α P (errore di I tipo) P (respingere H 0 H 0 ) P (2X 1 2X 2 X 3 < 1.2 µ 2) ( 2X1 2X 2 X 3 µ P < 1.2 µ ) µ P (Z < ) P (Z < 0.15) Φ( 0.15) 1 Φ(0.15) b) Poiché la regione critica è la regione di accettazione sarà: R.C. : (x 1, x 2, x 3 ) : 2x 1 2x 2 x 3 < 1.2}, R.A. : (x 1, x 2, x 3 ) : 2x 1 2x 2 x 3 1.2}. La probabilità β di commettere un errore del secondo tipo (non respingere un ipotesi di base che è falsa) è data da: β P (errore di II tipo) P (non respingere H 0 H 1 ) P (2X 1 2X 2 X µ 1) P r( 2X 1 2X 2 X 3 µ 1.2 µ µ 1) P r(z ) P r(z 0.038) 1 Φ(0.038) Esercizio 3 In un campione di 15 cavi elettrici la resistenza media risulta di 28.5 (ohm), con varianza campionaria pari a 16. Il responsabile della produzione afferma che un innovazione nel processo produttivo abbia fatto aumentare la resistenza media, fino ad allora valutata 25 (ohm). Assumendo una probabilità di errore di primo tipo 0.025, si verifichi l ipotesi del responsabile. Si assuma che la resistenza sia distribuita secondo una normale. Soluzione X resistenza, ˆσ S 4, x 28.50, n15, α Ipotesi H 0 : µ 25 H 1 : µ > 25 4

5 Per risolvere il problema dobbiamo costruire una statistica test, che sia funzione dei dati campionari. Poiché la deviazione standard non nota si può utilizzare come statistica test la media campionaria studentizzata, che utilizza una stima non distorta della varianza (S 2 ): T n X µ 0 S/ n t n 1 dt(x, 14) x Il test è un test unidirezionale, con ipotesi nulla e alternativa composite. L ipotesi nulla composita non comporta un cambiamento della regola di decisione, ma solo che il livello di significatività α, diventa la massima probabilità di commettere un errore del I tipo. Poiché i valori del parametro assunti sotto l ipotesi alternativa si trovano a destra dei valori del parametro sotto l ipotesi nulla, respingiamo l ipotesi nulla per valori elevati della statistica test, in particolare per valori superiori al valore critico t 14,α. Poiché α P (t 14 t 14,α ) t 14,α 2.145, allora le regioni di accettazione e critica saranno: R.A. : x µ 0 S/ n R.C. : x µ 0 S/ n >

6 Il valore osservato della statistica test, sotto l ipotesi nulla, risulta t n x µ 0 S/ n / Essendo 3.39 > 2.145, la statistica test campionaria cade nella regione critica, quindi, data l evidenza campionaria si può rifiutare l ipotesi nulla con un livello di significatività del 2.5%. Il responsabiledella produzione non andrà smentito. Esercizio 4 Il tempo X che un lavoratore impiega per raggiungere il luogo di lavoro segue la legge Normale con media µ e varianza σ 2 entrambe incognite. Si estrae un campione di ampiezza n 10 avente media x 12 e varianza S a) Trovare un intervallo di confidenza per µ al livello 1 α b) Verificare l ipotesi H 0 : µ 13 contro l alternativa H 1 : µ 13, al livello α c) Cambierebbe la decisione precedente se il livello diventasse α 0.01? Soluzione a) Il primo punto dell esercizio richiede di costruire un intervallo di confidenza per la media della popolazione in cui la varianza ignota. La distribuzione di riferimento è una t di student con n 1 gradi di libertà. In questo caso non si può utilizzare l approssimazione alla distribuzione Normale poiché n non è sufficientemente elevato. ] S S 95%CI [l 1, l 2 ] [ x t n 1;α/2 n ; x t n 1;α/2 n ] S S [ x t 9;0.025 n ; x t 9;0.025 n [ ; ] [9.14; 14.86] Ciò significa che il tempo medio che impiega un lavoratore è compreso nell intervallo [9.14;14.86] con un livello di confidenza del 95%. b) Il secondo punto del problema propone il seguente test statistico H 0 : µ 13 H 1 : µ 13. 6

7 Il test sopra è un test bidirezionale, quindi dal confronto tra ipotesi nulla e ipotesi alternativa possiamo dire che la regione critica sarà del tipo: R.C. : x µ 0 S/ n > t 9,0.025, quindi, in caso di test bidirezionale, abbiamo due regioni critiche, che si trovano nelle code della statistica test, corrispondenti a valori molto piccoli, o molto grandi della statistica. Il valore critico si trova risolvendo l uguaglianza sotto: P (t n 1 < t n 1,α/2 ) P (t n 1 > t n 1,α/2 ) α/ t n 1,α/ Quindi la regione di rifiuto è data da: x µ0 S/ R.C. : > n x µ 0 S/ < n Si può ora calcolare il valore della statistica test sotto l ipotesi nulla: t n x µ 0 S/ n / Visto che il valore osservato della statistica test non appartiene alla regione critica, si può concludere affermando che il campione non offre una sufficiente evidenza per rigettare l ipotesi nulla H 0. La stessa risposta si sarebbe potuta dare senza eseguire ulteriori calcoli, ma solo utilizzando l intervallo di confidenza calcolato sopra, al livello del 95%. Poiché l intervallo contiene il valore 13, il campione non offre una sufficiente evidenza per rigettare l ipotesi nulla che la media sia 13. c) La risposta del test non cambia, poiché, se si diminuisce il livello dell errore di primo tipo, si ha come risultato che la regione di accettazione aumenta e, quindi, quella di rifiuto si contrae. In altre parole, se il test non rifiutava l ipotesi nulla per un livello α 0.05, a maggior ragione non lo rifiuterà ad un livello α Esercizio 5 Un agenzia di disoccupazione sostiene che l età media di quelli che ricevono un sussidio di disoccupazione è di 37 anni con una deviazione standard di 10 anni. Un associazione di consumatori vuole testare questa ipotesi, dato che sospetta che l età media sia differente. Vengono intervistati in modo casuale 400 individui che ricevono il sussidio, e si ottiene un età media di 36 anni. Usando un livello di significatività dell 1% può l unione dei consumatori respingere l ipotesi fatta dall agenzia di disoccupazione? 7

8 Soluzione X età dei sussidiati, σ 10, x 36, n400, α 0.01 Ipotesi H 0 : µ 0 37 H 1 : µ 0 37 Il test èun test bidirezionale, quindi la regione di rifiuto sarà data dall unione di due regioni, quelle corrispondenti a valori molto alti o molto bassi della statistica test. La statistica test utilizzata in questo caso è la media campionaria standardizzata. Poich X non è distribuita secondo una normale, anche la media campionaria X non sarà distribuita secondo una normale, ma si può applicare il Teorema del Limite Centrale, dato che: Le n osservazioni X i sono indipendenti ed identicamente distribuite, derivando da un campionamento casuale semplice; E[X i ] 37 < ; V ar[x i ] 100 <. e quindi: T n X µ 0 σ/ n N(0, 1) al crescere di n. (Si noti che, anche se non avessimo conosciuto la varianza nella popolazione di riferimento (σ 2 ), e avessimo dovuto utilizzare una sua stima corretta (S 2 ), la distribuzione della statistica test sopra sarebbe stata ugualmente approssimativamente normale, per il Teorema del Limite Centrale.) Nel caso sopra, di un sistema di ipotesi bidirezionale, la regione critica sarà: Poiché R.C. : x µ 0 σ/ n > z α/2, α 0.01 α/ Φ(z ) z α/ , allora la regione di critica sarà: R.C. : x µ 0 σ/ n > 2.575, 8

9 Il valore della statistica test nel campione, sotto l ipotesi nulla, è : t n x µ 0 σ/ n / Dato che il valore della statistica test non ricade nella regione critica, l evidenza campionaria non permette di rifiutare l ipotesi nulla che l età media di coloro che ricevono un sussidio sia uguale a 37, con un livello di significatività effettivo di circa l 1%. Esercizio 6 Si vuole indagare sulla proporzione π di pezzi difettosi prodotti in un processo produttivo. A tale scopo si osservano 400 pezzi, 240 dei quali risultano difettosi. a) Si proponga una opportuna regione critica per verificare l ipotesi nulla H 0 : π 0.5 contro l ipotesi alternativa H 1 : π < 0.5, ponendo α b) Si decida a favore o contro H 0 sulla base della realizzazione campionaria osservata. Soluzione Xdifettosità Ber(π); ˆp 240/ ; α 0.01; n400. Il problema propone il seguente test statistico H 0 : π 0.5 H 1 : π < 0.5. a) Per testare questa ipotesi si utilizza la statistica test T n ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/n N(0, 1), ossia la media campionaria standardizzata per una popolazione di Bernoulli. Per il teorema del limite centrale, per n sufficientemente elevato, quando π π 0, la statistica test avrà una distribuzione approssimativamente normale. Il test è unidirezionale, quindi dal confronto tra ipotesi nulla e ipotesi alternativa, poiché i valori ipotizzati sotto l ipotesi nulla si trovano a destra, rispetto ai valori sotto l alternativa, possiamo dire che la regione critica, e la regione di accettazione saranno del tipo: R.C. : ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/n < z α 9

10 R.A. : ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/n z α Il valore di z 0.01 è determinabile attraverso la seguente relazione:. α 0.01 Φ(z 0.01 ) z α 2.33, z α 2.33 Riassumendo si è trovato che la regione critica R.C. è data da: R.C. ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/n < 2.33, e la regione di accettazione R.A. : ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/n 2.33 b) Per decidere a favore o contro l ipotesi nulla si calcoli il valore della statistica test, dato il nostro campione, sotto l ipotesi nulla: t n ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/n (1 0.5)/400 4 Dato che il valore osservato della media campionaria standardizzata appartiene alla regione di accettazione, non si può rigettare l ipotesi nulla in favore di quella alternativa, data l evidenza empirica. Esercizio 7 Il direttore dell Ospedale ABC, situato in un quartiere molto povero nei sobborghi di New York, sospetta che i neonati che nascono l abbiano un peso inferiore rispetto alla media nazionale (pari a 3.2 Kg), tale da dover richiedere un intervento di prevenzione sulla malnutrizione delle donne del quartiere. Il direttore decide allora di verificare l ipotesi nulla H 0 : µ 3.2 in alternativa all ipotesi H 1 : µ < 3.2. Il direttore misura, quindi, il peso (x 1, x 2,..., x 81 ) di 81 bambini scelti casualmente tra i neonati nell ultimo anno e riscontra che 81 i1 x i i1 x 2 i a) Proporre un opportuno stimatore non distorto per il parametro σ 2 e fornirne una stima. b) Calcolare l intervallo di confidenza a livello 1 α 0.9 per il parametro µ. 10

11 c) Scrivere l espressione analitica del p-valore corrispondente alla realizzazione campionaria osservata, per il set di ipotesi: H 0 : µ 3.2 e H 1 : µ < 3.2. Decidere, inoltre, se il direttore riterrà necessario un intervento di sanità pubblica contro la malnutrizione, avendo fissato α, il livello di significatività del test uguale a 0.1, o a Soluzione a) Il primo punto dell esercizio può essere risolto utilizzando come stimatore per σ 2 la varianza campionaria S 2. Calcoliamo prima la media campionaria x: x 1 81 x i 234.9/81 2.9, n i1 e poi lo stimatore per la varianza: S 2 1 n 1 [ n ] Xi 2 n X 2 e la corrispondente stima: S 2 [ n ] 1 x 2 i n x 2 n 1 i1 1 [ ] i1 1 ( ) 80 1 (320) b) Il secondo punto dell esercizio richiede di costruire un intervallo di confidenza per la media della popolazione in cui la varianza ignota. Poiché la distribuzione delle popolazione non è nota, per n sufficientemente grande, possiamo utilizzare come distribuzione di riferimento per la quantità pivot una normale standard. 90%CI [l 1, l 2 ] [ x z α/2 S n ; x z α/2 S n ] [ ] 9 ; [2.535; 3.265]. 9 11

12 c) L esercizio richiede anche il calcolo del p-valore. Il p-valore può essere interpretato come il più piccolo livello di confidenza che conduce a rifiutare l ipotesi nulla (assumendo quest ultima come vera). Il p-valore è dato dalla probabilità che, quando µ µ 0, la statistica test assuma valori minori del valore osservato nel campione, P (T n < t n µ µ 0 ), dove T n una generica statistica test X µ 0 S/, e t n n il particolare valore assunto dalla statistica test nel campione estratto, sotto l ipotesi nulla, ossia quel valore che si ottiene sostituendo alla media campionaria il valore realizzato (2.9), a µ il valore ipotizzato sotto l ipotesi nulla, e alla varianza campionaria il valore ottenuto nel campione: P (T n < t n µ 3.2) ( ) X µ0 P S/ < n 2/9 P (Z < 1.35) 1 Φ(1.35) 0.09, Da notare che il risultato p 0.09 < α 0.1 implica che ci troviamo nella regione critica per un test al livello del 10%, mentre p 0.09 > α 0.05 implica che ci troviamo nella regione di accettazione di H 0 ad un livello di significatività del 5%. p 0.09, infatti, il minimo livello di significatività per il quale l ipotesi nulla può essere respinta. Esercizio 8 (Cicchitelli) Per la generica voce di un inventario di un impresa mercantile sia X la variabile casuale valore inventariato - valore certificato. Un certificatore contabile estrae a sorte un campione di 120 voci ottenendo x 25.3, S Sia µ la media di X nella popolazione. a) Si sottoponga a verifica l ipotesi che µ 0 contro l alternativa µ > 0, cioè che l inventario è gonfiato, con α 0.01; b) Si calcoli il p-valore; c) Si calcoli la probabilità di errore di secondo tipo β nel caso di ipotesi alternativa H 1 : µ 10. Soluzione a) Trattandosi di un campione di dimensione elevata, si può ricorrere all approssimazione normale e considerare S 2 una buona stima della varianza della 12

13 popolazione. Il test è unilaterale del tipo con ipotesi alternativa Dunque H 1 µ > µ 0 nel nostro caso Standardizziamo x: R.C. z : z z α }, R.C. z : z z }. t n (25.3 0) 13240/ Dato che 2.41 > 2.326, l ipotesi nulla è da rifiutare. b) Il livello di significatività effettivo (p-valore), è ( ) X p P ( X µ µ 0) P S/ n /120 P (Z 2.41) L ipotesi nulla infatti è stata rifiutata al livello α 0.01, perchè p < α. c) Per determinare la probabilità di errore di seconda specie conviene esprimere la zona di rifiuto in unità originarie, ossia in termini di x. La zona di rifiuto in unità standardizzate è R.C. z : z 2.326}, possiamo quindi scrivere ( x 0) 13240/ , da cui si ottiene x c La zona di rifiuto è dunque R.C. x : x 24.4}. La probabilità di errore di seconda specie β è allora data da 13

14 ( X P ( X R.A. H 1 ) P ( X µ µ 10) P ) P ( Z S/ n 24.4 µ 1 S/ n P (Z 1.37) ) Esercizio 9 Supponiamo di effettuare un test sul parametro media µ di una popolazione normale. Consideriamo i due casi A) H0 : µ 3 H 1 : µ 4 B) H0 : µ 3 H 1 : µ 6 Una volta fissato il livello di significatività α, a) la regione di rifiuto dell ipotesi nulla è la stessa nei due casi; è più ampia nel caso A è più ampia nel caso B. b) la probabilità di commettere un errore di seconda specie β è la stessa nei due casi; maggiore nel caso A; maggiore nel caso B. Soluzione a) è la stessa nei due casi. b) maggiore nel caso A. Esercizio 10 In un test delle ipotesi il p-valore risulta pari a Vuol dire che rifiutiamo l ipotesi nulla se il livello di significatività è α 0.01, ma non se è α 0.05; se il livello di significatività è α 0.05, ma non se è α 0.01; ad entrambi i livelli di signficatività α 0.01 e α 0.05 Soluzione Se il livello di significatività è α 0.05, ma non se è α

15 Esercizio 11 Su 100 imprese è stata rilevato il numero di anni di attività: Anni Totale Imprese ) Verificare se, a livello α 0.05, la proporzione di imprese con meno di 6 anni sia pari al 45% e quelle con più di 10 anni sia pari al 25%. 2) Cosa si conclude a livello α 0.1? Soluzione 1) Possiamo riscrivere la tabella come Anni Totale Imprese Il sistema di ipotesi è il seguente: 0.45 se A < 6 H 0 : P (A) 0.30 se 6 A se A > 10 H 1 : altrimenti Sotto l ipotesi nulla, le frequenze attese ˆn i sono pari a Quindi, la statistica Q vale Anni Totale n p(x i ) Q k (n i n p(x i )) 2 i1 n p(x i ) (50 45)2 45 (20 30)2 30 (30 25) La regione critica e di accettazione sono: R.C. Q > χ 2 (k 1),α, R.A. Q χ 2 (k 1),α, Mettendo a confronto questo valore con il quantile χ 2 k 1,α χ2 2, si conclude che non si può escludere l ipotesi nulla. 2) il quantile χ 2 2,0.1 è pari a 4.61, quindi si rifiuta l ipotesi nulla. 15

16 Esercizio 12 Si ritiene che una variabile casuale X sia Normale con valor medio µ 174 e varianza σ Verificare l ipotesi con il test χ 2 con α 0.01 sulla base del seguente campione di numerosità n 400: X f requenza osservata f requenza attesa X < X < X < X < X Soluzione Le ipotesi sono: H 0 : XNormale(174, 16) H 1 : XnonNormale(174, 16). La frequenza attesa per ciascun intervallo è determinata mediante standardizzazione. Ad esempio: P (165 X < 170) P ( Z < 16 La regione critica e di accettazione sono: R.C. Q > χ 2 4, χ 2 (k 1),α, ) P ( 2.25 Z < 1) La statistica Q vale k (n i ˆn i ) 2 Q ˆn i i1 R.A. Q χ 2 4, χ 2 (k 1),α (7 4.8)2 4.8 ( ) ( )2 176 ( )2 ( ) Mettendo a confronto questo valore con il quantile χ 2 k 1,α χ2 4, si conclude che non si può rifiutare l ipotesi nulla. Esercizio 13 Si sono prelevati 100 campioni di acqua e si è proceduto al conteggio del numero di esemplari di un certo microorganismo, ottenendo la seguente distribuzione: Esemplari Campioni Verificare la conformità della distribuzione ottenuta ad una distribuzione di Poisson con una probabilità di errore di primo tipo α

17 Soluzione La variabile casuale di Poisson ha funzione di probabilità p(x, λ) e λ λx x!. Poiché il parametro λ da cui dipende la distribuzione di Poisson non è noto lo si stima con il corrispondente stimatore di massima verosimiglianza, ˆλ n i1 x i n X 186/ Le ipotesi sono: H 0 : XP oisson(1.8) H 1 : XnonP oisson(1.8) Le probabilità attese, nell ipotesi che la variabile casuale X che genera il campione sia una variabile casuale di Poisson, sono: e le numerosità attese: x i p(x i ) x i n p(x i ) Le ultime due frequenze risultano inferiori a 5 per cui le frequenze dei valori 5 e 6 vengono accorpate alla frequenza del valore 4. Le distribuzioni da confrontare, osservata e teorica, risultano: La statistica test vale: x i n(x i ) n p(x i ) Q k i1 (n i ˆn i ) 2 ˆn i ( ) (30 29)2 29 (25 27)2 27 ( )2 ( ) Mettendo a confronto questo valore con il quantile χ 2 k 1 1,α χ2 3, si conclude che l ipotesi nulla di conformità della distribuzione osservata ad una variabile casuale di Poisson può essere accettata. 17

18 dchisq(x, 3) x 18

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati BIOSTATISTICA 3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi :

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in

Dettagli

Statistica. Lezione 6

Statistica. Lezione 6 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante

Dettagli

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi Idea di base Supponiamo di avere un idea del valore (incognito) di una media di un campione, magari attraverso

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE variabile casuale (rv): regola che associa un numero ad ogni evento di uno spazio E. variabile casuale di Bernoulli: rv che può assumere solo due valori (e.g.,

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Pag 1 di 92 Francesco Sardo ELEMENTI DI STATISTICA PER VALUTATORI DI SISTEMI QUALITA AMBIENTE - SICUREZZA REV. 11 16/08/2009 Pag 2 di 92 Pag 3 di 92 0 Introduzione PARTE I 1 Statistica descrittiva 1.1

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE

STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE La presentazione dei dati per molte ricerche mediche fa comunemente riferimento a frequenze, assolute o percentuali. Osservazioni cliniche conducono sovente

Dettagli

4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti

4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti BIOSTATISTICA 4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO

Dettagli

Potenza dello studio e dimensione campionaria. Laurea in Medicina e Chirurgia - Statistica medica 1

Potenza dello studio e dimensione campionaria. Laurea in Medicina e Chirurgia - Statistica medica 1 Potenza dello studio e dimensione campionaria Laurea in Medicina e Chirurgia - Statistica medica 1 Introduzione Nella pianificazione di uno studio clinico randomizzato è fondamentale determinare in modo

Dettagli

LA CORRELAZIONE LINEARE

LA CORRELAZIONE LINEARE LA CORRELAZIONE LINEARE La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ovvero, a covariare. Ad esempio, si può supporre che vi sia una relazione tra l insoddisfazione

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA L ERRORE DI MISURA Errore di misura = risultato valore vero Definizione inesatta o incompleta Errori casuali Errori sistematici L ERRORE DI MISURA Errori casuali on ne si conosce l origine poiche, appunto,

Dettagli

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile.

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ Statistica5 23/10/13 Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. Se si afferma che un vitello di razza chianina pesa 780 kg a 18

Dettagli

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Ingegneria Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali - Anno Accademico 010/11

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

1 Valore atteso o media

1 Valore atteso o media 1 Valore atteso o media Definizione 1.1. Sia X una v.a., si chiama valore atteso (o media o speranza matematica) il numero, che indicheremo con E[X] o con µ X, definito come E[X] = i x i f(x i ) se X è

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

Statistical Process Control

Statistical Process Control Statistical Process Control 1 Introduzione SPC si occupa del miglioramento della qualità. I metodi per il miglioramento della qualità possono essere applicati a qualsiasi area in una fabbrica o organizzazione

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2

ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2 ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2 Quando si hanno scale nominali o ordinali, non è possibile calcolare il t, poiché non abbiamo medie, ma solo frequenze. In questi casi, per verificare se un evento

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

Esercizio 1. Svolgimento

Esercizio 1. Svolgimento Esercizio 1 Vengono lanciate contemporaneamente 6 monete. Si calcoli: a) la probabilità che si presentino esattamente 2 testa ; b) la probabilità di ottenere almeno 4 testa ; c) la probabilità che l evento

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

LA POVERTÀ IN ITALIA. Anno 2013. 14 luglio 2014

LA POVERTÀ IN ITALIA. Anno 2013. 14 luglio 2014 14 luglio 2014 Anno 2013 LA POVERTÀ IN ITALIA Nel 2013, il 12,6% delle famiglie è in condizione di povertà relativa (per un totale di 3 milioni 230 mila) e il 7,9% lo è in termini assoluti (2 milioni 28

Dettagli

Lezione 10. La Statistica Inferenziale

Lezione 10. La Statistica Inferenziale Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) 4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) L analisi della varianza è un metodo sviluppato da Fisher, che è fondamentale per l interpretazione statistica di molti dati biologici ed è alla

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1 Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 Capitolo 3. L'analisi della varianza. Il problema dei confronti multipli. La soluzione drastica di Bonferroni ed il test

Dettagli

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA Un conduttore ideale all equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo

Dettagli

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 14: Analisi della varianza (ANOVA)

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 14: Analisi della varianza (ANOVA) Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 4: Analisi della varianza (ANOVA) Analisi della varianza Analisi della varianza (ANOVA) ANOVA ad

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

i=1 Se tale somma ha un valore finito allora diremo che la variabile aleatoria X ammette valor medio. In tal caso, la quantità xp {X = x} = x E

i=1 Se tale somma ha un valore finito allora diremo che la variabile aleatoria X ammette valor medio. In tal caso, la quantità xp {X = x} = x E 2.7 Il valor medio La nozione di media aritmetica di un insieme finito di numeri reali {x 1,x 2,...,x n } è nota e molto naturale. Una delle sue possibili interpretazioni è quella che si ottiene associando

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 1 RAPPRESENTARE I DATI: TABELLE E GRAFICI Un insieme di misure è detto serie statistica o serie dei dati 1) Una sua prima elementare elaborazione può

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione

Dettagli

1 Medie. la loro media aritmetica è il numero x dato dalla formula: x = x 1 + x 2 +... + x n

1 Medie. la loro media aritmetica è il numero x dato dalla formula: x = x 1 + x 2 +... + x n 1 Medie La statistica consta di un insieme di metodi atti a elaborare e a sintetizzare i dati relativi alle caratteristiche di una fissata popolazione, rilevati mediante osservazioni o esperimenti. Col

Dettagli

Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani

Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso Luigi De Giovanni, Laura Brentegani 1 1) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare. ma + + 3 s.t. 2 + + 2 + 2 + 3 5 2 + 2 + 6,, 0 Soluzione.

Dettagli

Rapporto CESI. Cliente: Oggetto: Ordine: Contratto CESI n. 71/00056. Note: N. pagine: 13 N. pagine fuori testo: Data: 30.05.2000.

Rapporto CESI. Cliente: Oggetto: Ordine: Contratto CESI n. 71/00056. Note: N. pagine: 13 N. pagine fuori testo: Data: 30.05.2000. A0/010226 Pag.1/13 Cliente: Ricerca di Sistema Oggetto: Determinazione della tenacità di acciai eserciti - Correlazioni per stime di FATT da prove Small Punch Ordine: Contratto CESI n. 71/00056 Note: DEGRADO/GEN04/003

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

1. Scopo dell esperienza.

1. Scopo dell esperienza. 1. Scopo dell esperienza. Lo scopo di questa esperienza è ricavare la misura di tre resistenze il 4 cui ordine di grandezza varia tra i 10 e 10 Ohm utilizzando il metodo olt- Amperometrico. Tale misura

Dettagli

VALORE DELLE MERCI SEQUESTRATE

VALORE DELLE MERCI SEQUESTRATE La contraffazione in cifre: NUOVA METODOLOGIA PER LA STIMA DEL VALORE DELLE MERCI SEQUESTRATE Roma, Giugno 2013 Giugno 2013-1 Il valore economico dei sequestri In questo Focus si approfondiscono alcune

Dettagli

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore 3.4 Teciche per valutare uo stimatore 3.4. Il liguaggio delle decisioi statistiche, stimatori corretti e stimatori cosisteti La teoria delle decisioi forisce u liguaggio appropriato per discutere sulla

Dettagli

Dall italiano alla logica proposizionale

Dall italiano alla logica proposizionale Rappresentare l italiano in LP Dall italiano alla logica proposizionale Sandro Zucchi 2009-10 In questa lezione, vediamo come fare uso del linguaggio LP per rappresentare frasi dell italiano. Questo ci

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

3 m 3 m. 1 m. B) Fili elettrici C) Isolatori D) Paletti E) Paletti messa a terra. Assicurarsi che ci siano almeno 2500V in tutta la linea del recinto

3 m 3 m. 1 m. B) Fili elettrici C) Isolatori D) Paletti E) Paletti messa a terra. Assicurarsi che ci siano almeno 2500V in tutta la linea del recinto B) Fili elettrici C) Isolatori D) Paletti E) Paletti messa a terra 3 m 3 m 1 m Assicurarsi che ci siano almeno 2500V in tutta la linea del recinto Il sistema di recinzione elettrico consiste di: A) un

Dettagli

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE Lezione 7 a Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della scienza, di voler studiare come il variare di una o più variabili (variabili

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Dipendenza di un carattere QUANTITATIVO da un carattere QUALITATIVO

Dettagli

LINEE GUIDA PER LA DETERMINAZIONE DEI VALORI DEL FONDO NATURALE NELL AMBITO DELLA BONIFICA DEI SITI CONTAMINATI

LINEE GUIDA PER LA DETERMINAZIONE DEI VALORI DEL FONDO NATURALE NELL AMBITO DELLA BONIFICA DEI SITI CONTAMINATI Università degli Studi di Milano Dipartimento di Scienze della Terra A. Desio LINEE GUIDA PER LA DETERMINAZIONE DEI VALORI DEL FONDO NATURALE NELL AMBITO DELLA BONIFICA DEI SITI CONTAMINATI Direzione centrale

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Ecco come funziona un sistema di recinzione!

Ecco come funziona un sistema di recinzione! Ecco come funziona un sistema di recinzione! A) Recinto elettrico B) Fili elettrici C) Isolatori D) Paletti E) Paletti messa a terra 3 m 3 m 1 m Assicurarsi che ci siano almeno 2500V in tutta la linea

Dettagli

Principal Component Analysis (PCA)

Principal Component Analysis (PCA) Principal Component Analysis (PCA) Come evidenziare l informazione contenuta nei dati S. Marsili-Libelli: Calibrazione di Modelli Dinamici pag. Perche PCA? E un semplice metodo non-parametrico per estrarre

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Appunti di Teoria dei Segnali Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Concetti preliminari di probabilità... Introduzione alla probabilità... Deinizione di spazio degli eventi... Deinizione di evento...

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t;

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t; CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filiforme ed una sua sezione normale S si definisce: Corrente elettrica i Q = (1) t dove Q è la carica che attraversa la sezione S

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Valore caratteristico EC7

Valore caratteristico EC7 Procedura da adottare - Azioni (E) Valore caratteristico EC7 Per le combinazioni delle azioni si rimanda a quanto detto ampiamente in precedenza. Resistenze (Rd) del sistema geotecnico Il valore di progetto

Dettagli

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione 8.2.4 La gestione finanziaria La gestione finanziaria non dev essere confusa con la contabilità: quest ultima, infatti, ha come contenuto proprio le rilevazioni contabili e il reperimento dei dati finanziari,

Dettagli

Conduzione di uno studio epidemiologico (osservazionale)

Conduzione di uno studio epidemiologico (osservazionale) Conduzione di uno studio epidemiologico (osservazionale) 1. Definisco l obiettivo e la relazione epidemiologica che voglio studiare 2. Definisco la base dello studio in modo che vi sia massimo contrasto

Dettagli

La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria

La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria La funzione caratteristica Φ densità di probabilità è f + Φ ω = ω di una v.a., la cui x, è definita come: jωx f x e dx E e j ω Φ ω = 1 La Funzione

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca Trascrizione del testo e redazione delle soluzioni di Paolo Cavallo. La prova Il candidato svolga una relazione

Dettagli

IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA

IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA 1. Introduzione Realizzare un prodotto di qualità significa produrre rispettando certe specifiche e livelli di tolleranza prestabiliti, sulla base delle aspettative e

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

ANALISI DEI DATI CON SPSS

ANALISI DEI DATI CON SPSS STRUMENTI E METODI PER LE SCIENZE SOCIALI Claudio Barbaranelli ANALISI DEI DATI CON SPSS II. LE ANALISI MULTIVARIATE ISBN 978-88-7916-315-9 Copyright 2006 Via Cervignano 4-20137 Milano Catalogo: www.lededizioni.com

Dettagli

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Liceo G. B. Vico - Napoli Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Prof. Giuseppe Caputo Premetto due teoremi come prerequisiti necessari per la comprensione di quanto verrà esposto

Dettagli

La ricerca non sperimentale

La ricerca non sperimentale La ricerca non sperimentale Definizione Ricerca osservazionale: : 1. naturalistica Ricerca osservazionale: : 2. osservatori partecipanti Ricerca d archiviod Casi singoli Sviluppo di teorie e verifica empirica

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli