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1 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro è dto dl prodotto dell superficie di bse per l ltezz, quindi 3 r r r. Vsfer V 3 cilindro Si trtt del celebre risultto ottenuto d Archimede per il clcolo del volume dell sfer in rpporto quello del cilindro. Secondo qunto descritto d Cicerone, questo risultto er stto scolpito sull tomb del celebre scienzito sircusno: Qundo ero questore in Sicili mi misi cercre l su tomb invs dlle erbe e dgli sterpi, che i sircusni non conoscevno e nzi negvno che esistesse. Avevo inftti sentito prlre di lcuni versi incisi sull tomb che spiegvno perché ess fosse sormontt d un sfer e d un cilindro. Fuori d Port Agrigentin c'è un grn numero di sepolture, e forz di cercre e di gurdre noti finlmente un piccol colon che pen superv l boscgli di sterpi, e su di ess erno rffigurti un sfer e un cilindro. Mrco Tullio Cicerone, Tusculne Disputtiones, V, 3. Quesito Determinre il numero delle soluzioni dell equzione: e + e L equzione v risolt grficmente. e + e 1 e + e ( e + e ), ricordndo l definizione di cosh, si h 1 cosh.

2 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 33 Dl grfico si deduce che l soluzione è unic. Quesito 3 Dimostrre che se p() è un polinomio, llor tr due qulsisi rdici distinte di p() c è un rdice di p ( ). Sino 1 e due rdici distinte di p(), quindi p( 1 )p( ). L funzione p() soddisf le ipotesi del teorem di Rolle: è continu in ogni punto dell intervllo [ 1, ]; è derivbile in ( 1, ); p( 1 )p( ) c, per il qule p (c) di conseguenz esiste ( ) 1 Quesito 4 Clcolre l derivt dell funzione f( ) rcsen + rccos Quli conclusioni se ne possono trrre per l f()?. 1 1 f '( ) 1 1 Per un corollrio del teorem di Lgrnge, l funzione è costnte. E sufficiente clcolre il vlore dell funzione in un punto: f (1) rcsen1 + rccos1. Quesito 5 Clcolre l integrle log d log log d log ( log ) ' d + k

3 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 34 Quesito 6 Con uno dei metodi di qudrtur studiti, si clcoli un pprossimzione dell integrle definito sen d e si confronti il risultto ottenuto con il vlore estto dell integrle. sen cos. Il vlore estto dell integrle è d [ ] Con il metodo dei rettngoli si h b b f( ) d f + f + f f n l errore è ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 1 ( b ) '( ) e M con f M n Dividendo in 6 prti l intervllo [, ] si h, con il metodo dei rettngoli 5 send sen + sen + sen + sen + sen + sen + sen 1, L errore è -1,954 Quesito 7 Verificto che l equzione e mmette un sol rdice positiv compres tr e 1 se ne clcoli un pprossimzione pplicndo uno dei metodi numerici studiti. L funzione y()-e - nell intervllo ssegnto [,1] soddisf le ipotesi del teorem degli zeri. y() è continu in [,1] y y 1 < (in qunto y()-1< e y(1)1-1/e>) ( ) ( )

4 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 35 Essendo l derivt prim mggiore di zero [y () 1+e - >], l funzione è strettmente crescente nell intervllo [,1], quindi esiste un sol rdice * compres tr e 1. y Risolvendo grficmente il sistem si h y e Utilizzndo, per esempio, il metodo dell bisezione si h: 1 y( 1 ) y( ) * 1 y( 1 )< y( )> < * <1,5 1 y( 1 )< y( )>,5< * <1,5,75 y( 1 )< y( )>,75< * <1 Quindi,5< * <,75 Quesito 8 Un clsse è compost d 1 rgzzi e 4 rgzze. Tr i sedici llievi se ne scelgono 3 cso: qul è l probbilità che essi sino tutti mschi? Considerimo l evento M Estrrre cso un llievo mschio. 1 Prim estrzione PM ( ) Second estrzione PM ( ) 15 1 Terz estrzione PM ( ) 14 Per il teorem delle probbilità composte l probbilità cerct è % Utilizzndo il clcolo combintorio P

5 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 36 Quesito 9 Spiegre il significto di sistem ssiomtico con prticolre riferimento ll sistemzione logic dell geometri. Il tem richiede un trttzione piuttosto lung e compless. Un esposizione in poche righe può essere l seguente. In un sistem ssiomtico-deduttivo, dimostrre un teorem signific verificre che esso discende logicmente d un sistem di proposizioni precedentemente dimostrte, le quli loro volt devono discendere d ltre proposizioni. E evidente che questo procedimento deve necessrimente vere un punto di prtenz. Devono quindi esserci un certo numero di proposizioni, dette postulti o ssiomi, che devono essere ccettte come vere e per le quli non si può richiedere un dimostrzione. Gli ssiomi possono essere scelti in modo rbitrrio, devono però essere comptibili, cioè non si possono dedurre teoremi che se si contrddicono, completi, cioè dgli ssiomi scelti si devono poter dedurre tutti i teoremi del sistem, indipendenti, cioè nessun ssiom può essere dimostrto come conseguenz degli ltri ssiomi. Nell orgnizzzione logico-deduttiv che Euclide h dto ll geometri nei suoi Elementi (3.C.), ssiomi e postulti fnno riferimento ftti intuitivmente evidenti o d strzioni di oggetti concreti. L ssiomtic modern, che nsce con il libro del 1889 Fondmenti di Geometri del mtemtico tedesco D. Hilbert, l geometri è strutturt come puro clcolo logico che oper su un sistem di ssiomi, senz lcun riferimento l significto fisico-geometrico degli ssiomi stessi. All orgnizzzione logic dell mtemtic hnno contribuito in modo significtivo nche G. Peno, G. Frege e B. Russell. Quesito 1 Dire, formlizzndo l questione e utilizzndo il teorem del vlor medio o di Lgrnge, se è vero che: «se un utomobilist compie un viggio senz soste in cui l velocità medi è 6 km/h, llor lmeno un volt durnte il viggio il tchimetro dell utomobile deve indicre esttmente 6 km/h». Teorem di Lgrnge Se un funzione f() è continu in [,b] e derivbile in (,b) ed esiste lmeno un punto c (, b) f ( b) f( ) per il qule f '( c). b In riferimento l quesito posto, con l ipotesi ggiuntiv che l legge orri del moto s(t) si continu in [t i,t f ] e derivbile in (t i,t f ), dove t i è l istnte inizile, t f l istnte finle, si h per il teorem di s( tf ) s( ti ) Lgrnge, che esiste un istnte t c, per il qule s' ( tc ), t t dove s' ( t c ) è l velocità in un istnte t c del viggio ( f ) s( ti ) s t t f t i è l velocità medi del viggio. f i

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