Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

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1 Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione dell rett tngente o il tsso di cmbio st l problem del clcolo delle derivte. Il problem del clcolo di ree ci porterà ll de nizione di integrle de nito. Per inizire supponimo di vere un funzione positiv f : [; b]! R. Voglimo determinre l re dell regione tr il gr co l funzione e l sse. Per fre questo esminimo il seguente esempio. Clcolimo l re compres tr il gr co dell funzione f:[; ]! R; f() = + e l sse delle scisse In ltre prole, voglimo determinre l re dell regione colort sotto in zzurro: Per clcolre l re dell zon zzurr dividimo l intervllo in n sottointervlli ciscuno di lrghezz, b n Quindi in ogni intervllo si può formre un rettngolo l cui ltezz è dto dl vlore dell funzione in un punto dell intervllo. Possimo quindi trovre l re di ciscuno di questi rettngoli, sommrli e quest srà un pprossimzione dell re. Nell esempio sopr dto, or dividimo l intervllo in sottointervlli e considerimo l funzione nel punto nle per de nire l ltezz del rettngolo.

2 Avremo in questo cso un pprossimzione per eccesso In primo luogo, l lrghezz di ciscuno dei rettngoli è ;, mentre l ltezz di ogni rettngolo è determinto dl vlore in funzione non è ltro che il vlore ssunto dll funzione nel punto nle dell intervllo. Quindi l re dell regione zzurr è: A u = f( ) + f() + f( ) + f() = = ; 7 Se prendimo il punto inizile dell intervllo come punto per clcolre le ltezze dei rettngoli si vrà il seguente gr co e l seguente pprossimzione per difetto:

3 A d = f() + f( ) + f() + f( ) = = ; 7 Invece di usre i punti estremi di ciscun intervllo potremmo prendere il punto medio di ogni subintervllo. Ecco il gr co: In questo cso bbimo: Am = f( ) + f( ) + f( ) + f( 7 ) = = ; 6

4 Or bbimo tre stime. Per confronto l re estt è Am = = : 6 Il modo più semplice per ottenere un migliore pprossimzione è di umentre il numero delle suddivisioni. se rddoppimo il numero di rettngoli ottenimo: A d = ; 87 A u = ; 66 Quindi, l umento di n numero delle suddivisioni dell intervllo h ftto umentre l ccurtezz delle stime. Nell esempio bbimo usto tre modi diversi di sceglierie il punto dell intervllo coriispondente ll ltezz del subintervllo. Se considerimo funzioni continue, un modo nturle di fre quest scelt è quello di scegliere i punti di minimo e di mssimo in ogni subintervllo. Con l prim scelt vremo un pprossimzione per difetto dell re e nel secondo cso un pprossimzione per eccesso. In ogni cso, sempre considerndo un funzione positiv e continu, con l umento del numero di suddivisioni dell intervllo otterremo due clssi contigue di numeri reli,

5 A d (pprossimzioni per difetto) e A u (pprossimzioni per eccesso ) tli che il sup A d = inf A u e tle numro srà l re dellregione pin considert. Dimo or l de nizione di integrle de nito. Si f :[; b]! R un funzione continu. Suddividimo l intervllo [; b], con i punti = o < < :::::: < n = b in n sottointervlli uguli, [ i ; i ](i = ; :::; n); tutti di mpiezz b n :. Se indichimo con M i e con m i rispettivmente il mssimo ed il minimo di f in [ i ; i ], le somme P S n = n : np i= b n m i i= M i ( i i ) = b n : np M i i= P s n = n m i ( i i ) = sono dette somm superiore e somm inferiore reltive ll suddivisione ftt e forniscono rispettivmente un pprossimzione per eccesso e un per difetto dell misur che voglimo clcolre. Al crescere di n, si ottengono scomposizioni in cui cresce il numero di intervlli e decresce l mpiezz. Si può dimostrre che, per n!, le somme superiori S n e le somme inferiori s n convergono llo stesso numero che è l integrle de nito di f su [; b] simbolo f()d i= e viene indicto con il f()d f su [; b]. è l misur con segno dell regione di pino sottes l gr co di Si osservi che l integrle de nito non coincide in generle con l re di tle regione. Questo ccde solo se f() su [; b]. Per ottenere l re, bisogn considerre l integrle di jf()j cioè jf()jd= Are dell regione di pino sottes l gr co di f su [; b].

6 Proprietà degli integrli de niti: R f()d = f()d = b R f()d k f()d = k (f() + g())d = f()d (per ogni numero rele k) f()d+ g()d f()d = R c f()d+ c f()d dove < c < b f()d = f(t)dt un vribile mut cd = c(b ) l vribile di integrzione nell integrle de nito è Se f() per b llor f()d Se m f() M per b llor m(b ) j f()dj jf()jd Clcolo dell integrle de nito f()d M(b ) Si f :[; b]! R un funzione continu. Considerimo, per ogni [; b], l integrle R F () = f(t)dt dipende d e quindiè integrle di f : un funzione di : Tle funzione è dett funzione Teorem fondmentle del clcolo integrle (di Torricelli-Brrow) R Si f :[; b]! R un funzione continu e F () = f(t)dt l su funzione integrle llor 6

7 F è derivbile e F () = f(). Quindi F è un primitiv di f, in prticolre è l primitiv di f che vle in. Corollrio: (formul fondmentle del clcolo integrle) Se G è un primitiv di f, si h che F () = G() + c d cui, per =, ottenimo c = G(): Quindi, per = b : F (b) = G(b) G(), cioè, tenendo conto dell de nizione di F : R f()d = G(b) G() = [G()] b b dove G è un primitiv qulunque di f su [; b]. REsempi: sin d = cos + c quindi R sin d = [ cos ] = cos + cos = : R sin d = [ cos ] = cos( ) + cos =.... Formul di integrzione per sostituzione Qundo si us l formul di integrzione per sostituzione negli integrli de- niti, cioè ci si vvle di un vribile usiliri u = g();non è necessrio ritornre ll vribile originri, m si può utilizzre direttmente l formul:. Esempi f(g())g ()d = g(b) R g() f(u)du 7

8 R t p t dt Ponendo u = t si h du = t dt e t dt = du inoltre per t = ; u = e per t = ; u = : Quindi R t p t dt = 6 R h u du = R ( + w)(w + w ) dw 9 u i u= u= = p 9 Ponendo u = w + w si h du = ( + w)dw ; inoltre per w = u = e per w = u = : Quindi R R ( + w)(w + w ) dw = u du = u 6 u= = 88 8 u= 6R ( (+) + )d = R u u du Ponendo u = + si h du = d ; inoltre per = u = e per = 6 u = : Quindi R u u = u u ln u + = ln u u = 6R ( (+) + )d = R u u R du = ( u u )du = ln juj u= u = u= ln 6 ln + Re 6 e (ln t) t dt Ponendo u = ln t si h du = t dt ; inoltre per t = e u = ln(e ) = e per t = e 6 u = ln(e 6 ) = 6: Quindi Re 6 e (ln t) t dt = 6R u du = u u=6 = 77 u= 8

9 Vlor medio integrle Il vlore medio di un funzione f:[; b]! R nell intervllo [; b] è dto d f m = br f()d b è cioè il vlore che ssume un funzione costnte su [; b] con lo stesso integrle di f: Il concetto di medi integrle è quindi un generlizzzione dell ide di medi ritmetic; si vuole clcolre il vlore medio ssunto d un funzione su un intervllo [; b] Teorem del vlor medio integrle Se f:[; b]! R è continu llor esiste c [; b] tle che f(c) = equivlentemente, br f()d b o Dimostrzione f()d = (b )f(c) Essendof continu in [; b], per il teorem di Weierstrss ess è dott di mssimo M e di minimo m su [; b], quindi si vrà per ogni [; b] m f() M Dll proprietà di monotoni dell integrle risult md Quindi m(b ) f()d Md f()d M(b ) br f()d ovvero m b M Or di teoremi sulle funzioni continue sppimo che f ssume in [; b] tutti i vlori compresi tr m e M. quindi in prticolre esisterà un c [; b] tle che f(c) = Esempi br f()d b :. Determinre il vlor medio integrle e gli eventuli punti che soddisfno il teorem per le seguenti funzioni negli intervlli nco indicti: 9

10 . f() = + + in [; ] R ( + + )d = + + = = = 99 ; quindi il vlor medio integrle è 99 = : Cerchimo dunque i punti c in [; ] tli che f(c) = c + c + =, si hnno due soluzioni c = p 67 ; c p = 67 ; non pprtiene [; ] Dunque l unico punto in cui l funzione vle il vlor medio integrle è c = p 67 :.f() = in [ ; ] R ( )d = = = ;quindi il vlor medio integrle è : = Cerchimo q i punti c q in [ ; ] tli che f(c) = c c =, si h c = ; c = ; c = (tre soluzioni )

11 . f() = p in [; ] is: 96 8 R p h i = d = = quindi il vlor medio integrle è = 9 = Cerchimo dunque i punti c in [; ] tli che f(c) = p c = 9, Solution, dunque c = 96 8 = : f() = + in [; ]

12 R + d = [rctn ] = = = rctn rctn = rctn ;quindi il vlor medio integrle è rctn = rctn = : Cerchimo dunque i punti c in [; ] tli che f(c) = c + = rctn = :, cioè : c = p rctn p rctn ; c = p rctn p rctn, c non pprtiene ll intervllo [; ];dunque l unico punto in cui l funzione vle il vlor medio integrle è c = p rctn p rctn

13 Clcolo di Aree tr i gr ci di due funzioni Considerimo due funzionif; g:[; b]! R, con g() f() voglimo determinre l re compres tr il gr co di f e il gr co di g nell intervllo [; b]: Se m g è il minimo di g in [; b];l re d clcolre è ugule quell che si ottiene tr le funzioni g() m g e f() m g : Così operndo si hnno due funzioni positive o nulle, inftti m g g() e quindi g() m g f() m g :(il minimo di g() m g è )

14 In questo cso l re si trov come di erenz tr m g )d cioè A = (f() m g )d (f() (g() m g )d = g())d dunque (f() m g )d e (g() (f() m g g() + m g )d = A = (f() g())d Esempi. Determinre l re dell regione delimitt dlli gr ci delle funzioni f() = p e g() = Prim di tutto, solo che cos si intende per "zon delimitt signi c che l regione cui simo interessti deve vere un delle due curve su ogni con ne dell regione. Pertnto, qui è un gr co delle due funzioni con l llegt regione colort Si noti che noi non prendimo nessun prte dell regione destr del punto di intersezione di questi due gr ci (; ). In quest regione l zon compres tr i gr ci non è limitt e così non f prte dell zon richiest. R ( p h i = )d = = =

15 . Determinre l re dell regione delimitt dlle funzioni f() = +, g() = e ; l rett = e l sse. p Si noti che in tle intervllo il punto di mssimo per g in [; ]è e (pprossimto p :8 88) nel punto = p :Essendo e < (minimo di f in in [; ]), si può concludere che g() f() nell intervllo [; ] : R Pertnto l re cerct è : ( + e )d = e + 7 h + + e i = = =. Determinre l re dell regione delimitt dlle funzioni f() = + 6, g() = + Occorre prim trovre le intersezioni delle due curve, cioè i punti per cui + 6 = +, l equzione h due soluzioni = ;, quindi i due punti di intersezione delle due curve sono: (; 8) e ( ; )

16 R ( + 6 ( + ))d = = = = 6. Determinre l re dell regione delimitt dlle funzioni f() = + 6, g() = +, = e = 6 6

17 All re dell regione precedente dobbimo ggiungere l re colort sotto Si h quindi R (( + ) + 6)d + R R ( + 6 ( + ))d + (( + ) + 6)d = 6 = + = = 6 = = = = +. Determinre l re dell regione delimitt dlle funzioni f() = sin e g() = cos le rette = e sse 7

18

19 R (cos - sin )d+ p R (sin cos )d = [sin + cos ] +[ cos sin ] = 9

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