Analisi Complessa. Prof. Sebastiano Seatzu. Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica. 29 settembre 2010

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1 Università degli Studi di agliari Dipartimento di Matematica Prof. Sebastiano Seatzu Analisi omplessa 9 settembre Facoltà di Ingegneria orso di laurea in Ingegneria Elettronica

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3 3 Indice ANALISI OMPLESSA 5. Numeri complessi e funzioni complesse Funzioni complesse, limiti e continuità Funzioni notevoli Punti singolari Integrazione nel campo complesso Formule integrali di auchy e conseguenze Formula integrale per le derivate di ordine superiore Funzioni analitiche e serie di Taylor Funzioni analitiche e serie di Laurent Residui e teorema dei residui Teorema dei residui e calcolo di integrali Integrali del tipo + f(x) dx Integrali del tipo π f(cos(θ), sin(θ)) dθ Integrali del tipo + f(x){cos(αx), sin(αx)} dx Valore principale di auchy di integrali impropri Integrali calcolabili mediante il teorema dei residui Inversione della trasformata di Laplace nel campo complesso

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5 5 apitolo Analisi omplessa. Numeri complessi e funzioni complesse Questo capitolo è dedicato alle funzioni complesse, ossia alle funzioni che, in un assegnato dominio del campo complesso, assumono valori complessi. Allo scopo di evitare incomprensioni, dovute a lacune su questioni di base, vengono premesse definizioni e proprietà fondamentali sui numeri complessi. Si definisce unità immaginaria la soluzione dell equazione i +, ossia i. Ovviamente i non è un numero reale. Per numero complesso si intende un qualsiasi numero del tipo α a + ib, essendo a e b numeri reali. I numeri a e b sono definiti parte reale e immaginaria di α. Dunque Re(α) a e Im(α) b. Ad esempio: Re( + 4i) e Im( + 4i) 4. Due numeri complessi sono uguali se e solo se sono uguali sia le parti reali sia quelle immaginarie. Ad esempio: a + ib c + id se e solo se a c e b d. Di conseguenza la risoluzione di un equazione nel campo complesso richiede che lo siano le parti reali e immaginarie. Ad esempio: x + (x + y)i 3 implica la risoluzione del sistema { x 3 x + y dunque x ± 3 e y 3. Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono definite di conseguenza, ossia (a + ib) ± (c + id) a ± c + i(b ± d) (a + ib)(c + id) ac bd + i(bc + ad). Il complesso coniugato di un numero α a + ib è, per definizione, ᾱ a ib. Da notare che αᾱ (a + ib)(a ib) a + b, ossia che αᾱ è reale anche se α è complesso. Per ogni numero complesso α a + ib si definisce modulo di α, in simboli α, il numero reale non negativo α a + b αᾱ. Ovviamente α con α se e solo se α. Ad esempio: i. Se β, si definisce come rapporto α/β il numero α β a + ib c + id α β ac + bd + (bc ad)i β β c + d ac + bd bc ad + c + d c + d i

6 6 APITOLO. ANALISI OMPLESSA ome esempio si può considerare il rapporto tra + 4i e 3i: + 4i 3i ( + 4i)( + 3i) ( 3i)( + 3i) i. I numeri complessi ammettono una semplice interpretazione geometrica. on riferimento agli assi cartesiani, un numero α a + ib può essere identificato come il punto di coordinate (a, b), ma anche come il vettore ai + bj (Figura.), essendo i e j i versori (, ) e (, ) degli assi coordinati x e y rispettivamente. y b ab z a x Figura.: È utile notare che ᾱ rappresenta un punto del piano in posizione simmetrica rispetto ad α, relativamente all asse dell ascisse, e che il modulo di α rappresenta la lunghezza euclidea del vettore ai + bj, ossia la distanza del punto (a, b) dall origine. La somma di due numeri complessi (a + ib) + (c + id), in virtù della loro interpretazione geometrica, può essere associata al vettore (a+c)i+(b+d)j, ottenibile da (ai+bj)+(ci+dj) mediante la regola del parallelogramma. È anche immediato osservare che (a + ib) + (c + id) a + ib + c + id, essendo (a + c) + (b + d) a + b + c + d. Tale relazione corrisponde al fatto, ben noto dalla scuola Euclidea, che in un triangolo la lunghezza di qualsiasi lato è minore o uguale alla somma delle lunghezze degli altri due. Dalla precedente interpretazione segue che la distanza tra i punti α (a, b) e β (c, d) è data da α β (a c) + (b d). Esercizio. Determinare il luogo dei punti z per cui z. Si tratta evidentemente della circonferenza con centro l origine e raggio, ossia dei punti (x, y) con x + y. La relazione z indica invece il cerchio unitario, ossia l insieme dei punti (x, y) del piano con x + y. Esercizio. Determinare i numeri complessi z tali che z + 4i < 3. Si tratta dei punti interni al cerchio di centro 4i e raggio 3.

7 .. NUMERI OMPLESSI E FUNZIONI OMPLESSE 7 Esercizio.3 Determinare z in modo che z + Re(z ) 4. Posto z x + iy, deve risultare x + y + (x y ) 3x y 4, per cui l equazione rappresenta l iperbole x 3 y 4 3. Esercizio.4 Verificare la validità, nel campo complesso, della formula sul binomio di Newton dove n è un numero naturale e (α + β) n ( n j è il j-esimo coefficiente del binomio di Newton. n j ) ( n j n! j!(n j)! ) α n j β j, Dimostrazione. Procedendo per induzione, è sufficiente osservare che la relazione è valida per n e che, supponendo sia valida per n,,..., k, è valida anche per n k +. Per n, è immediata, essendo (per definizione) ( n ) Per nk+, essendo la formula valida per k, si ha k ( (α + β) k+ (α + β) k (α + β) k j k j ( k ( k j j ) k+ α (k+) j β j + ) α k+ β + k+ ( k + j j k j r [( k j ) α (k+) j β j ( n n ). ) α k j β j (α + β) ( k r ) + ( k j ) α (k+) r β r (r j + ) )] ( α (k+) j β j k + k ) α β k+ dato che ( k j ) ( k + j ) k! j!(k j)! + k! k! j!(k j + )! k!(k + ) j!((k + ) j)! (j )!(k j + )! (k j + + j) ( k + j Il risultato è pertanto valido, anche nel campo complesso, qualunque sia il numero naturale n. ). Forma polare. Ad ogni numero α a+ib, si può associare il punto (a, b) del piano complesso (Figura.), a sua volta identificabile mediante le coordinate polari (ρ, θ), essendo a ρ cos θ e b ρ sin θ. Di conseguenza α ρ(cos θ + i sin θ) è la rappresentazione polare di α, essendo ρ la lunghezza del vettore ai + bj e θ < π la misura in radianti della rotazione positiva (senso

8 8 APITOLO. ANALISI OMPLESSA b z r t a Figura.: antiorario) necessaria per sovrapporre l asse x al vettore ai + bj. Le coordinate polari ρ e θ vengono rispettivamente definite modulo e argomento di α, essendo ρ a + b e θ arctan b a. ome esempio si possono considerare: + i + i (cos π 4 + i sin π 4 ) (cos 3 4 π + i sin 3 4 π). Proprietà fondamentali:. αβ α β ;. se β, α β α β ; 3. arg(αβ) arg(α) + arg(β); 4. se r è un numero positivo, α e rα hanno lo stesso argomento. Dimostrazione. Limitiamoci a dimostrare le proprietà. e 3. Posto α ρ(cos θ + i sin θ) e β r(cos φ + i sin φ) αβ ρr[(cos θ cos φ sin θ sin φ) + i(sin θ cos φ + cos θ sin φ)] ρr[(cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))] per cui αβ ρr e arg(αβ) arg(α) + arg(β). Esercizio.5 Se α i e β 3( + i), α β 3 3 Se a < al valore di θ si deve aggiungere π per via della periodicità della tangente.

9 .. NUMERI OMPLESSI E FUNZIONI OMPLESSE 9 e arg ( ) α π β π 4 π 4. Teorema. (Formula di de Moivre) Per ogni intero n e ogni numero reale θ, (cos θ + i sin θ) n cos nθ + i sin nθ. Dimostrazione. La formula è ovviamente valida per n. Per ogni intero positivo, in conseguenza della proprietà 3, arg(cos θ + i sin θ) n n arg(cos θ + i sin θ) nθ e di conseguenza il risultato è corretto, essendo ρ. Per n m, con m intero positivo, (cos θ + i sin θ) n (cos θ + i sin θ) m cos mθ + i sin mθ cos mθ i sin mθ e dunque, arg(cos θ + i sin θ) m mθ. Esercizio.6 Verificare l identità trigonometrica di Lagrange nell ipotesi che sin θ. n j cos jθ + sin[(n + )θ] sin θ Dimostrazione. Se α cos θ + i sin θ, si ha α j cos jθ + i sin jθ, per cui cos jθ Re(α j ) e dunque n ( n cos jθ Re α j) Re αn+ (α ) α j j ( cos(n + )θ) i sin(n + )θ Re ( cos θ) i sin θ [ cos(n + )θ]( cos θ) + sin(n + )θ sin θ ( cos θ) + sin θ cos θ cos(n + )θ + cos nθ ( cos θ) ( cos θ) cos nθ + sin nθ sin θ + 4 sin θ + sin θ cos nθ + sin nθ sin θ cos θ 4 sin θ + sin(n + )θ sin θ.

10 APITOLO. ANALISI OMPLESSA Radici n-esime dell unità. Sia n un intero positivo. Il numero z è una radice n-esima dell unità se z n. Posto z ρ(cos θ + i sin θ), per la formula di de Moivre deve dunque risultare z n ρ n (cos nθ + i sin nθ), ossia ρ e nθ kπ (k, ±, ±,... ). In conseguenza della periodicità di cos nθ e sin nθ, si ottengono n radici distinte dell unità ponendo z k cos kπ kπ + i sin, k,,..., n. n n Per qualunque altro valore intero di k si ottengono radici già ottenute di z k. Ragionando allo stesso modo è immediato dimostrare che se α r(cos φ + i sin φ) le sue radici n-esime sono ( β k n r cos φ + kπ + i sin φ + kπ ), n n con k,,..., n. Ad esempio: 4 kπ kπ cos + i sin 4 4 {, i,, i} Esercizio.7 Determinare le radici quarte di i. Poiché i ( cos 7 4 π + i sin 7 4 π), 4 ( 7 8 i 4 cos π + kπ i sin π + kπ ) 4 4 ( 7 [cos /8 6 π + k π ) + i sin (k,,, 3) ( 7 6 π + k π )], k,,, 3. Le definizioni e le principali proprietà sugli insiemi dei numeri reali possono formalmente estendersi al campo complesso senza particolari difficoltà. Questo vale in particolare per le seguenti definizioni: Punto interno: un numero α di un insieme S è un punto interno ad S se esiste un cerchio centrato in α contenente soltanto punti di S. Punto di frontiera: un numero α di un insieme S è un punto di frontiera per S se ogni cerchio centrato in α contiene punti di S e punti non di S. Insieme aperto: S è un insieme aperto se tutti i sui punti sono interni. Frontiera: la frontiera di S è l insieme dei punti di frontiera di S. Punto di accumulazione: un numero α è un punto di accumulazione per un insieme S se ogni intorno di α contiene punti di S. Un insieme S di numeri complessi è limitato se esiste un cerchio di diametro finito che lo contiene. Si definisce compatto un insieme chiuso e limitato. Teorema. (Bolzano-Weierstrass) Un insieme infinito e compatto possiede almeno un punto di accumulazione.

11 .. NUMERI OMPLESSI E FUNZIONI OMPLESSE Insieme chiuso: S. S è un insieme chiuso se tutti i suoi punti di accumulazione appartengono ad Limite: Il numero L è il limite di una successione {z n } se per ogni numero positivo ɛ esiste un n(ɛ) tale che per ogni n > n(ɛ) z n L < ɛ Se un tale numero non esiste, si dice che {z n } diverge. Proprietà: Sia z n x n + iy n per ogni intero positivo n e L a + ib. Allora lim n + z n L, se e solo se x n a e y n b. In parole z n converge se e solo se convergono la sua parte reale e la sua parte immaginaria. Ad esempio: in quanto z n 3 n + n + n + i i 3 n e n + n +. Al contrario, la successione z n cos n + i sin n diverge, in quanto non esistono i limiti di cos n e sin n per n +. Proprietà: Siano z n L e w n K, allora. z n + w n L + K;. αz n αl, per ogni numero α; 3. z n w n LK; 4. z n w n L K, se w n per ogni n e K Successione di auchy. Una successione {z n } è di auchy se, per ogni ɛ >, esiste un intero positivo n(ɛ) tale che z n z m < ɛ, qualunque siano n > n(ɛ) e m > n(ɛ). Teorema.3 Una successione {z n } è convergente se e solo se è di auchy. Esercizio.8 Sia {z n } (z n +z n ) per n 3, con z e z valori complessi assegnati. Dimostrare che {z n } è una successione di auchy. Osserviamo preliminarmente che z 3 z z z z 4 z 3 z 3 z z z. z n z n n z z, n 3.

12 APITOLO. ANALISI OMPLESSA Di conseguenza, posto n m + p, z n z m z m+p z m (z m+p z m+p ) + (z m+p z m+p ) + + (z m+ z m ) z m+p z m+p + z m+p z m+p + + z m+ z m ( m+p + m+p ) m z z ( m p + ) p + + z z p m z z < m z z, che, ovviamente, converge a zero per m +. Serie di numeri complessi. Se {z n } è una successione di numeri complessi, con il simbolo n si indica una serie a termini complessi. ome nel campo reale z n S n n z n, n,,... k indica la n-esima somma parziale della serie e {S n } è la successione delle somme parziali. La serie converge/diverge a seconda che la successione sia convergente o divergente in. Per le serie a termini complessi valgono i seguenti teoremi: Teorema.4 Se z n x n + iy n, valgono i seguenti risultati:. z n converge se e solo se convergono le serie a termini reali n n x n e y n ; n. Se x n converge a x e n y n y, la serie n Teorema.5 ondizione necessaria perché la serie z n x + iy. n z n sia convergente è che z n. Teorema.6 ondizione necessaria e sufficiente per la convergenza della serie è che la successione delle sue somme parziali sia di auchy, ossia che prefissato ɛ >, esista un n(ɛ) tale che, qualunque siano n > n(ɛ) e l intero positivo p, risulti n z n+p + z n+p + + z n+ < ɛ.

13 .. NUMERI OMPLESSI E FUNZIONI OMPLESSE 3 Teorema.7 (riterio della assoluta sommabilità) Se z n converge, anche la serie converge. Questo significa che nel campo complesso, come in quello reale, l assoluta sommabilità di una serie implica la semplice sommabilità. Ovviamente non vale l inverso. n n z n Ad esempio mentre la serie n n diverge. ( ) n n ln n Teorema.8 (riterio del rapporto) Se z n per ogni n e se allora: z n+ lim n z n. la serie è assolutamente convergente e di conseguenza anche semplicemente se < r < ;. la serie è assolutamente divergente per r >. Da notare che se r la serie può essere convergente ma anche divergente. Ad esempio la serie n è convergente, mentre n è divergente. n Esercizio.9 Dimostrare che n n r, z n z se z < e che essa diverge per z. Posto S n + z + + z n e osservato che zs n z + z + + z n, sottraendo membro a membro si ha che ( z)s n z n, da cui, se z, S n zn z. Pertanto, se z <, lim S n n z. Per z, S n n e dunque lim S n. Se z >, si ha n z n e pertanto la successione S n non converge. Serie di potenze a termini complessi. Per serie di potenze a termini complessi, centrate in z, si intende una serie del tipo a n (z z ) n n dove z, a, a,..., a n,... sono numeri complessi noti. I numeri {a n } rappresentano i coefficienti della serie. La serie ovviamente converge ad a per z z. Per motivi di continuità c è da aspettarsi che la serie converga anche per z sufficientemente vicino a z, come evidenziato dal seguente teorema.

14 4 APITOLO. ANALISI OMPLESSA Teorema.9 Se la serie n a n (z z ) n converge per z z, allora essa converge assolutamente per ogni z che dista da z meno di z, ossia per ogni z tale che z z < z z (Figura.3). y z z z x Figura.3: Dimostrazione. Poiché z z e la serie a n (z z ) n è convergente, per n sufficientemente grande, diciamo n > N, a n (z z ) n <. Di conseguenza, per n > N, Pertanto la serie n a n (z z ) n a n (z z ) n z z n z z n n z z z z a n (z z ) n < z z z z n z z z z converge in quanto n z z z z nn n < n r n r essendo r z z z z <. Di conseguenza converge assolutamente anche la serie a n (z n z ) n. Il precedente teorema suggerisce l idea del raggio di convergenza, ossia dell esistenza di un numero positivo R tale che la serie è convergente per ogni z con z z < R e divergente per z z > R. Da notare che per z z R la serie può essere convergente oppure divergente. Se R la serie è convergente nell intero piano e se R lo è soltanto in z. Per la valutazione di R i criteri più usati sono i seguenti: n.

15 .. NUMERI OMPLESSI E FUNZIONI OMPLESSE 5 riterio del rapporto: riterio della radice: R lim n a n a n+ R lim an n n Esercizio. Determinare il raggio di convergenza della serie n ( ) n n + n (z + i) n. Si tratta di una serie di potenze centrata in i. Per il criterio del rapporto a n n n + n + n+ n + n +, a n+ per n. Di conseguenza la serie è assolutamente convergente in tutti i punti del cerchio di centro i e raggio /, ossia per tutti i valori z con z + i <. Il precedente criterio del rapporto è una diretta conseguenza dell analogo criterio per le serie numeriche. Infatti la serie di potenze può essere pensata nella forma z n con z n a n (z z ) n. L applicazione del criterio del rapporto per la sua assoluta convergenza richiede che z n+ a n+ z z < z n a n ossia che Proprietà: z z < Supponiamo che una serie di potenze a n a n+. n a n (z z ) n abbia raggio di convergenza R. Questo comporta che per ogni numero z con z z < R resta definita una funzione f(z) n a n (z z ) n. Si può facilmente dimostrare che tale funzione è differenziabile e che f (z) n na n (z z ) n n ossia che la sua derivata è ottenibile derivando la serie termine a termine. Va altresì notato che le due serie a n (z z ) n e na n (z z ) n, la seconda delle quali è ottenuta dalla prima n n

16 6 APITOLO. ANALISI OMPLESSA per derivazione termine a termine, hanno lo stesso raggio di convergenza. L iterazione della suddetta proprietà implica che f (k) (z) n(n ) (n k + )a n (z z ) n k nk e che la nuova serie ha anch essa raggio di convergenza R. Dall ultima relazione deriva infine che f (k) (z ) k(k ) a k ossia che a k f (k) (z ), k,,... k! (ricordare che f () (z ) f(z ) e! ). I coefficienti {a k }, per la loro evidente coincidenza con quelli dello sviluppo di Taylor di una funzione, sono definiti coefficienti di Taylor della f e la serie f (k) (z ) (z z ) n n! n è definita serie di Taylor della f, con centro in z. Esercizio. Trovare il raggio di convergenza della serie di potenze Il raggio di convergenza è dato da n n + n (z + 3i)n. R lim n n + n n+ n +. Il dominio di convergenza è dunque costituito dal cerchio di centro 3i e raggio ( z + 3i < ). Esercizio. Stabilire se la serie a n (z i) n n può convergere in z e non in z i. Questo fatto non può verificarsi perché la serie assolutamente convergente nel caso lo sia a n ( i) n è n a n ( i) n. A questo scopo basta osservare che n a n ( ) n a n < a n ( i) n < a n n.. Funzioni complesse, limiti e continuità Per funzione complessa si intende una funzione f che, ad ogni numero complesso di un insieme S assegna un numero complesso. In simboli f : S. S è dominio di f e f(s) il suo codominio. Nel caso in cui il dominio di f non sia esplicitamente indicato, lo si definisce come il più ampio insieme di nel quale essa è definita.

17 .. FUNZIONI OMPLESSE, LIMITI E ONTINUITÀ 7 Per esempio f(z) z n, con n intero positivo, è definita su tutto ; f(z) z n, con n intero positivo, è definita per ogni z complesso e f(z) z + 3z + è definita per ogni z + z ±i. La definizione di limite per una funzione complessa è del tutto analoga a quella introdotta per le funzioni reali, con l avvertenza che la distanza tra numeri complessi nel piano sostituisce quella di distanza tra numeri reali sulla retta. Limite. Se f : S è una funzione complessa e z un punto di accumulazione di S, diciamo che lim z z f(z) l se, per ogni ɛ >, esiste un δ(ɛ) tale che f(z) l < ɛ per ogni z S con z z < δ(ɛ). In altre parole l è il limite di f(z) per z z se la distanza tra f(z) e l può essere resa arbitrariamente piccola prendendo z sufficientemente vicino a z. Proprietà immediate: lim z z [f(z) ± g(z)] l ± k lim z z αf(z) αl per ogni α lim z z f(z) g(z) lk f(z) lim z z g(z) l k se k ontinuità. Se lim z z f(z) l e lim z z g(z) k, allora: Una funzione f : S è continua in z se lim z z f(z) f(z ) Essa è continua in S se lo è in ogni punto di S. Ogni polinomio P n (z) a z n + a z n + + a n è continuo per qualunque z e ogni funzione razionale (quoziente di due polinomi) è continua tranne negli zeri del denominatore. ome nel campo reale, le combinazioni lineari di funzioni continue e i prodotti di funzioni continue generano funzioni continue. Il rapporto di funzioni continue è una funzione continua, tranne nei punti in cui si azzera il denominatore. Una serie di potenze, centrata in z ed avente R come raggio di convergenza, rappresenta una funzione continua nel cerchio con centro z e raggio R. Se f è una funzione continua in S e {z n } è una qualsiasi successione di numeri complessi convergente a z, f(z n ) f(z ) per n. Funzione limitata. Una funzione f : S è limitata in un dominio Ω S se esiste un numero L tale che f(z) L per ogni z Ω. Teorema. (Weierstrass) Ogni funzione continua in un compatto Ω è limitata. Di conseguenza essa assume massimo e minimo, ossia esistono due numeri z e z tali che, qualunque sia z Ω, f(z ) f(z) f(z ).

18 8 APITOLO. ANALISI OMPLESSA Differenziabilità (ondizioni di auchy-riemann). Una funzione f è detta differenziabile in z se esiste finito il f(z) f(z ) lim. z z z z Se questo avviene, il valore del limite viene indicato con f (z ) e rappresenta la derivata della f in z. È del tutto equivalente dire che la f è differenziabile in z e che f (z ) è il valore della sua derivata se f(z + h) f(z ) lim f (z ). h h Spesso f (z ) viene definito come lim z f(z + z) f(z ). z La differenza sostanziale rispetto a quanto avviene nel campo reale, dove la variabile x può tendere a x unicamente sulla retta, è che ora z può tendere a z secondo una qualsiasi curva del piano. Vediamo alcuni esempi:. f(z) z è differenziabile in + i e f ( + i) ( + i); infatti [( + i) + h] ( + i) lim h h lim h ( + i)h + h h ( + i).. f(z) z non è differenziabile in z i, in quanto il limite dipende dalla traiettoria con cui z i; infatti se la z i lungo l asse immaginario (Figura.4) ossia assumendo i valori αi con α, risulta f(z) f(i) z i f(αi) f(i) αi i αi ( i) (α )i ( α)i (α )i. i z j w Figura.4: Se z i orizzontalmente, ossia assumendo valori del tipo z α + i con α, il rapporto incrementale diventa f(z) f(i) z i α i ( i) α + i i. Il limite dunque non esiste perché procedendo lungo l asse delle ordinate si ottiene - e parallelamente all asse delle ascisse si ottiene.

19 .. FUNZIONI OMPLESSE, LIMITI E ONTINUITÀ 9 3. f(z) z è differenziabile in z e f (), ma non lo è in qualsiasi punto z. Per dimostrare che f (), basta osservare che in quanto z /z z z/z z. f(z) f() lim z z z lim z z Per dimostrare che la f non è differenziabile in z, posto z x + iy e z x + iy facciamo tendere z z secondo le due traiettorie z x + iy, y y, e z x + iy, con x x. La prima è dunque verticale e la seconda orizzontale. Lungo la prima traiettoria: f(z) f(z ) x + iy x + iy z z i(y y ) che converge a iy per y y. Lungo la seconda traiettoria (y y )(y + y ) i(y y ) i(y + y ) f(z) f(z ) z z x + iy x + iy x x x x x x (x + x ) che converge a x per x x. Resta così dimostrata la non derivabilità di z in qualunque punto z. Analiticità. Una funzione complessa f è analitica in z se esiste un intorno di z, in ogni punto del quale la f è differenziabile. Ad esempio la funzione z è analitica per ogni valore di z (in breve è analitica nel piano); mentre z non lo è mai in quanto è unicamente differenziabile in z, punto nel quale non è analitica perché non esiste un aperto centrato in z in ogni punto del quale sia differenziabile. ondizioni di auchy-riemann. Le condizioni di auchy-riemann forniscono un criterio di importanza fondamentale per stabilire l analiticità di una funzione complessa. Per la sua applicazione si devono preliminarmente identificare le parti reale e immaginaria della f(z), ossia si deve esprimere f(z) nella forma f(z) f(x + iy) u(x, y) + iv(x, y). Alcuni esempi:. Se f(z) z, essendo f(z) (x + iy) x y + ixy, u(x, y) x y e v(x, y) xy;. se f(z) z, u(x, y) x + y e v(x, y) ; 3. se f(z) z + z, u(x, y) 3x e v(x, y) y. Teorema. (Equazioni di auchy-riemann) Sia f continua in un cerchio z z < r con centro z x + iy e raggio r. Supponiamo inoltre che f sia differenziabile in z. Sotto tali ipotesi valgono le seguenti equazioni per le funzioni u e v: { u (x x, y ) v (x y, y ) u (x y, y ) v (x x, y ).

20 APITOLO. ANALISI OMPLESSA In altri termini, le equazioni di auchy-riemann danno delle condizioni necessarie per la differenziabilità di una funzione continua in un punto. Dimostrazione. Poiché la f(z) è differenziabile in z, esiste in il numero f f(z + z) f(z ) (z ) lim. z z Posto z x + i y, il rapporto incrementale può essere scritto nel modo seguente f(z + z) f(z ) z [u(x + x, y + y) + iv(x + x, y + y)] [u(x, y ) + iv(x, y )] x + i y u(x + x, y + y) u(x, y ) x + i y + i v(x + x, y + y) v(x, y ). x + i y Poiché f (z ) esiste, il rapporto incrementale deve convergere allo stesso valore indipendentemente dalla traiettoria lungo la quale z, dunque per x e y, come per x e y. caso caso Di conseguenza [ f u(x + x, y ) u(x, y ) (z ) lim + i v(x ] + x, y ) v(x, y ) x x x u x (x, y ) + i v x (x, y ) [ f u(x, y + y) u(x, y ) (z ) lim + i v(x ], y + y) v(x, y ) y i y i y i u y (x, y ) + v y (x, y ) (/i i) u x (x, y ) + i v x (x, y ) v y (x, y ) i u y (x, y ). Da cui, eguagliando le parti reali e immaginarie, seguono le equazioni di auchy-riemann. Esercizio.3 Verificare, nei tre esempi indicati precedentemente, se sono verificate le condizioni di auchy-riemann u v x, x y u x u v 3, x y x; u y x x + y, v y ; u y v y, y (sono soddisfatte) x ; u y y x + y, v (non soddisfatte) x v, (non soddisfatte) x Teorema. (ondizione sufficiente per la differenziabilità) Se u e v sono funzioni continue in (x, y ) con le derivate parziali, anch esse continue e soddisfacenti le equazioni di auchy-riemann, la funzione complessa f(z) u(x, y) + iv(x, y) è ivi differenziabile.

21 .3. FUNZIONI NOTEVOLI Dominio. Un insieme D è definito un dominio se: a. ad ogni punto di D si può associare un cerchio aperto contenuto in D; b. ogni coppia di punti di D può essere congiunta con una curva regolare a tratti, interamente contenuta in D. Una funzione è analitica in un dominio D, se lo è in tutti punti di D. Alcuni esempi:. La funzione f(z) z 3 è analitica in tutti i punti del piano; infatti f(z) (x + iy) 3 (x 3 3xy )+i(3x y y 3 ) implica che, qualunque sia z x+iy, u x v y 3(x y ) e u y v 6xy ossia che valgono le condizioni di auchy-riemann e che, inoltre, x le derivate parziali sono ovunque continue.. La funzione f(z) z + iz non è analitica, infatti f(z) x + y y + ix implica che le funzioni u(x, y) x + y y e v(x, y) x non soddisfano le equazioni di auchy-riemann. Regole di differenziazione. Se f e g sono funzioni differenziabili in z, per esse valgono regole di derivazione del tutto analoghe a quelle valide nel campo reale. In particolare:. (f ± g) (z ) f (z ) ± g (z ). (αf) (z ) αf (z ), per ogni α 3. (fg) (z ) f (z )g(z ) + f(z )g (z ) 4. ( f g ) (z ) f (z )g(z ) f(z )g (z ) (g (z )), se g (z ).3 Funzioni notevoli Funzione esponenziale. Le serie di potenze consentono di estendere al campo complesso la funzione esponenziale. Ricordiamo che nel campo reale, per un valore di x, vale il seguente sviluppo in serie di potenze: e x x n n!. n Nel campo complesso la funzione esponenziale viene definita per estensione analitica, ossia definendo e z, con z x + iy, nel modo seguente: e z n Una curva è regolare se è dotata di tangente in tutti i suoi punti interni; è regolare a tratti se non lo è unicamente in un numero finito di punti. z n n!.

22 APITOLO. ANALISI OMPLESSA Il criterio del rapporto consente di verificare immediatamente che la serie è assolutamente convergente per ogni z in quanto, essendo lim n a n a n+ lim (n + )! n n!, il raggio di convergenza è R. È immediato osservare che la funzione esponenziale è infinitamente derivabile e che esattamente come campo reale. d dz ez e z Proprietà della funzione esponenziale:. e (per definizione). se g(z) è differenziabile, e g(z) è differenziabile e d dz eg(z) g (z)e g(z) 3. e z+w e z e w, per ogni coppia di numeri complessi z e w 4. e z, per ogni z 5. e z e z 6. e z e w ez w 7. e z e x, per ogni y, in quanto e iy qualunque sia y R 8. e z se e solo se z nπi, con n intero. Funzioni sin z e cos z. sviluppi in serie: ominciamo con il ricordare che per ogni x R valgono i seguenti e x cos x sin x n n n x n n! + x + x! + x3 3! + ( ) n (n)! xn x! + x4 4! x6 6! + ( ) n (n + )! xn+ x x3 3! + x5 5! x7 7! + Da tali sviluppi deriva, come notato da Eulero, che le funzioni cos x e sin x posseggono globalmente tutti i termini dello sviluppo di e x. Più precisamente Eulero ha osservato che, sostituendo

23 .3. FUNZIONI NOTEVOLI 3 x con ix nello sviluppo di e x, risulta e ix (ix) n n n! + ix + (ix)! + (ix)3 3! + (ix)4 4! + + ix x! ix3 3! + x4 4! + ix5 5! x6 6! + ) ) ( x! + x4 4! x6 6! + + i (x x3 3! + x5 5! x7 7! + cos x + i sin x. Per ogni x reale vale dunque l importante formula di Eulero dalla quale discende immediatamente che e ix cos x + i sin x cos x eix + e ix e sin x eix e ix. i Formula di Eulero nel campo complesso. Se cos z e sin z vengono estese al campo complesso mediante gli sviluppi in serie validi nel campo reale si perviene alle seguenti definizioni: sin z n ( ) n (n + )! zn+, cos z È immediato osservare che sono ambedue derivabili e che d d cos z sin z, dz n sin z cos z. dz ( ) n (n)! zn. ome nel campo reale sin z e cos z sono rispettivamente dispari e pari, ossia sin( z) sin z e cos( z) cos z, in quanto le potenze di z che compaiono negli sviluppi di sin z e cos z sono rispettivamente dispari e pari. ome conseguenza dei precedenti sviluppi si ha che, anche nel campo complesso, vale la famosa relazione di Eulero e iz cos z + i sin z dalla quale, ricordando che cos z è pari e sin z è dispari, segue che cos z eiz + e iz e sin z eiz e iz i esattamente come campo reale. Da tali definizioni discende l estensione di ben note proprietà trigonometriche al campo complesso, come le seguenti: sin(z ± w) sin z cos w ± cos z sin w cos(z ± w) cos z cos w sin z sin w.

24 4 APITOLO. ANALISI OMPLESSA Proprietà:. sin z e cos z non sono limitate se Im(z). Infatti per z iy con y, sin iy i (e y e y ) che, in modulo, tende a + per y ±. La stessa conclusione vale anche per cos iy.. cos iy cosh y ey +e y e sin iy i sinh y i ey e y per ogni y R. Basta infatti osservare che: cos iy ei(iy) + e i(iy) sin iy ei(iy) e i(iy) i e y + e y e y e y i cosh y (per definizione) i ey e y 3. sin z sin(x + iy) sin x cosh y + i cos x sinh y cos z cos(x + iy) cos x cosh y i sin x sinh y i sinh y (per definizione) Dalla definizione delle funzioni sin z e cos z, posto z x + iy, deriva che Analogamente sin z eiz e iz i eix y e ix+y i i [e y (cos x + i sin x) e y (cos x i sin x)] (formula di Eulero) i(cos x) e y e y + (sin x) e y + e y sin x cosh y + i cos x sinh y. cos z eiz + e iz eix y + e ix+y [e y (cos x + i sin x) + e y (cos x i sin x)] (cos x) ey + e y i(sin x) ey e y cos x cosh y i sin x sinh y. 4. sin z e cos z sono periodiche di periodo π, ossia sin(z + nπ) sin z e cos(z + nπ) cos z, per ogni intero n. È sufficiente osservare che, per la 3. e tenuto conto della periodicità nel campo reale: Analogamente sin(z + nπ) sin[(x + nπ) + iy] sin(x + nπ) cosh y + i cos(x + nπ) sinh y sin x cosh y + i cos x sinh y sin(x + iy) sin z. cos(z + nπ) cos[(x + nπ) + iy] cos(x + nπ) cosh y i sin(x + nπ) sinh y cos x cosh y i sin x sinh y cos(x + iy) cos z.

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