Ammortamento americano. Ammortamento americano

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1 mmortameto amercao La cora lezoe abbamo vto che ell'ammortameto amercao l rmboro del debto zale avvee medate u uco verameto a cadeza, otteuto attravero ua operazoe d cottuzoe d u captale al tao attvo j; per queto parla ache d ammortameto a due ta. Vedamo u eempo umerco. S vuole determare l'eboro complevo auo ecearo a rpagare co ammortameto amercao u debto d Euro, apedo che 10% e j5%. Dato che ell'ammortameto amercao o ha etzoe progreva del debto reduo, la quota tere è cotate ed è par a Euro au. La quota d cottuzoe del fodo d ammortameto è data da Q C,, dove, u Q 7950 Euro. L' eboro totale è qud R , da cu mmortameto amercao Quado j<, l eboro complevo dell ammortameto amercao è empre uperore alla corrpodete rata dell ammortameto fracee; abbamo: R R C a,, dove , Euro. Se vece j ha geerale R C, a u 1 C ( ) C ( u 1 1 v ) C C + C C ( u 1 u C a, 6.145, da coè l eboro dell ammortameto amercao cocde co la rata dello ammortameto fracee. cu 1 + ) C( + 1) 1 u 1

2 mmortameto tedeco Nell'ammortameto tedeco o a tere atcpat, gl tere vegoo pagat atcpatamete, coè all'zo del perodo d competeza. Coderamo u debto zale d 5000 Euro, da ammortzzare 5 a, co quote captale cotat e tere atcpat. S ha: tempo rata q. cap. q. t d. re. tao ,00% partà d tao pavo ovvamete l metodo tedeco è meo coveete per l debtore; vedremo che queto corrpode a u tao tero d coto maggore. Uufrutto e uda propretà Coderamo u geerco pao d ammortameto; chama uufrutto l valore attuale delle quote teree che devoo acora eere corrpote, uda propretà l valore attuale delle retat quote captale. Oervamo che quet valor attual oo calcolat utlzzado u tao d valutazoe * che geerale è dtto dal tao pavo, e che dpede dalle codzo d mercato alla data cu fa la valutazoe. I formule ha U Evdetemete I e P + 1 ( 1+ *) + 1 (1 + *) + P + + (1 + *) + 1 (1 + *) + 1 I C R U V 1 (1 + *) coè la omma d uufrutto e uda propretà cocde co l valore attuale al tempo delle rate ucceve, al tao d valutazoe *. C.

3 Uufrutto e uda propretà Come eempo, coderamo l olto ammortameto talao d u debto zale d 5000 Euro 5 rate aual al tao 10%: ao rata q.cap. q.t. deb. Re. tao % Calcolamo uufrutto e uda propretà al tempo, utlzzado u tao d valutazoe *5%: U Euro, P Euro. Teorema d Maeham Tra uufrutto e uda propretà ute ua mportate relazoe ota come Teorema d Maeham: P D * U dove D dca l debto reduo al tempo., No vedamo la dmotrazoe del teorema d Maeham. Verfchamo la te ell eempo precedete: * 0.05 D U P 0.1.

4 Progett fazar Co l terme "progetto fazaro" o "operazoe fazara" tedamo tutta geeraltà u fluo fazaro d mport C dpobl alle cadeze t. Nel cao delle redte, gl mport C oo tutt potv; el cao d u geerco progetto fazaro gl mport pooo eere a d ego potvo che d ego egatvo. S parla d operazoe d vetmeto eo tretto, e l vettore de flu C preeta u'uca veroe d ego, paado dal ego egatvo al potvo, ad eempo [-,-,+,+,+]. S parla d operazoe d fazameto eo tretto, e l vettore de flu C preeta u'uca veroe d ego, paado dal ego potvo a quello egatvo, ad eempo [+,-] oppure [+,+,-]. Se c oo pù camb d ego, ad eempo [-,+,-] oppure [+,-,+,-], l carattere della operazoe è meo etto. Valore attuale etto Il crtero d celta tra progett fazar pù emplce è quello del valore attuale, che queto coteto prede l ome d valore attuale etto (VN), o ache rultato ecoomco attualzzato (RE), et preet value (NPV), dcouted cah flow (DCF). bbamo gà vto le ue propretà. Il prcpale puto debole d queto crtero è che rchede la pecfcazoe del tao che vee uato per la attualzzazoe; dvere celte del tao pooo dare dver rultat. Vedamo u eempo. Suppoamo d dover ceglere tra le eguet due operazo d vetmeto eo tretto: [-1000, +800, + 00, +100] e [-1000, +00, + 400, +700], etrambe co eme delle cadeze [0, 1,, ]. Quale preferco? Se applco l crtero del VN co 5%, ottego V ( ) V ( )

5 Valore attuale etto qud preferco, dato che V()>V(). Se vece ave coderato u tao 10%, allora V ( ) V ( ) , 1.10 e qud avre preferto, dato che queta volta V()>V(). Neu mtero: «paga» d pù (700) al tempo, qud ta pù alt la pealzzao rpetto ad che «paga» d pù al tempo 1 (800). Il crtero del VN ha qud l prego della emplctà d applcazoe ma l dfetto dell elemeto d oggettvtà dato dalla celta del tao d valutazoe, che può modfcare l rultato del cofroto. Il tao tero d redmeto U crtero puramete oggettvo per la celta tra progett fazar (che però, come vedremo, preeta altr problem) è quello del tao tero d redmeto o TIR, glee IRR (teral rate of retur), che el cao delle operazo d fazameto prede ache l ome d tao tero d coto (TIC). La defzoe è la eguete: l TIR è quel tao * che rede uguale a zero l valore attuale etto della operazoe. Il TIR * è qud la oluzoe della equazoe 1 C (1 + *) 0. bbamo gà cotrato queta equazoe el cao delle redte, el problema della rcerca del tao che rede l valore attuale uguale a u valore prefato. Il TIR è u crtero molto effcace per cofrotare operazo d vetmeto o fazameto eo tretto; vedamo alcu eemp.

6 Il tao tero d redmeto Izamo da u eempo emplcmo. Voglamo cofrotare l acquto d u CTZ d cadeza beale che cota 95 co l acquto d u OT auale che cota 98. S tratta d due emplcme operazo d vetmeto eo tretto: [-95, l00 ; 0, ] e [-98, 100; 0, 1]. I TIR d e d oo le oluzo delle equazo (1 + ) , coè 0 da cu (1 +,04% 100 da cu 95,60% Charamete, ecodo l crtero del TIR preferco, quato ha u TIR maggore. Pù geerale, tra pù progett d vetmeto, preferamo quello co l TIR maggore, quato queto cao l TIR aume l gfcato d redmeto della operazoe d vetmeto. ) Il tao tero d redmeto Rpredamo ora le due operazo d vetmeto gà cofrotate co l crtero del VN: [-1000, +800, + 00, +100] e [-1000, +00, + 400, +700], etrambe co eme delle cadeze [0, 1,, ]. Per calcolare l TIR d e d, dobbamo rolvere le equazo e 1+ (1 + ) (1 + ) (1 + ) v v + 00v + 400v (1 + ) + 100v + 700v 0, 0. 0, o equvaletemete Come abbamo gà vto, quete equazo pooo eere rolte olo umercamete. Utlzzado Excel (vedremo tra u attmo come) trovamo 14.01%, 11.79%; trattado d vetmet, preferamo.

7 Tao tero d coto Coderamo ora l cao del cofroto tra due fazamet: [1000, -500, -100, -600] e [1000, -90, -90, -1090]. Sappamo dre ubto qual è l tao tero d coto d? Per calcolare ta ter d coto, dobbamo rolvere le equazo e 1 + (1 + ) (1 + ) %, 90 (1 + ) 9.00% 1090 (1 + ) 0, da cu L operazoe corrpode a u ammortameto al tao del 9% co rmboro del debto zale u uca quota a cadeza, pertato ache eza fare calcol vedamo che 9%. Tra due operazo d fazameto, ceglamo quella co l tao d coto more, pertato arà preferble. Tao tero d coto Come ecodo eempo, coderamo l cofroto tra pa d ammortameto co metodo talao e metodo tedeco d u debto zale d 5000 Euro 5 rate aue, al tao del 10%. bbamo pertato [5000, -7500, -7000, -6500, , -5500] e [500, -7000, -6500, -6000, -5500, -5000]. Dalla codzoe d chuura fazara, l tao d coto d deve eere par al 10%. Il tao d coto rolve la equazoe (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) da cu rcava umercamete 11,11%. Ovvamete, la correpooe atcpata degl tere del metodo tedeco è meo coveete per l debtore, e traduce u tao d coto uperore. 5

8 TN e TEG Nell ambto del credto al coumo, la ormatva europea mpoe la pubblczzazoe d u dce tetco d coto del fazameto. Il TN (tao auo omale) vee calcolato utlzzao oltato l debto zale e le rate dell ammortameto; l TEG (tao auo effettvo globale) tee coto d tutte le evetual pee acceore ed è pertato l parametro pù corretto (ovvamete, l TEG è empre maggore del TN). Molt fazamet «a tere zero» preetao u TN ullo, ma u TEG o tracurable, come coegueza de umero cot acceor. Calcolo del TIR o del TIC Excel I aaloga a quato vto per l valore attuale, ache per ltir (o TIC, a ecoda de ca) etoo vare fuzo Excel. Le pù emplc oo TIR.COST e TIR.X. La fuzoe TIR.COST ha come put u fluo fazaro corrpodete a cadeze perodche; l corrpodete TIR è quello relatvo al perodo. La fuzoe TIR.X ha vece put ache le cadeze, formato data. Nell' eempo, precedete uamo TIR.COST:

9 Calcolo del TIR o del TIC Excel Calcolo del TIR o del TIC Excel

10 Problem ell uo del TIR Il TIR fuzoa bee quado tratta d cofrotare operazo d vetmeto o d fazameto eo tretto. Nel cao d operazo pù geeral, che preetao pù camb d ego, pooo eerc dver problem: - può o etere u TIR potvo (el eo che la equazoe che defce l TIR o ha oluzo potve) - può etere pù d u TIR potvo (el eo che la equazoe che defce l TIR ha pù oluzo potve). Problem ell uo del TIR Coderamo ad eempo l'operazoe [-100, 10, -40; 0, 1, ]. L' equazoe v 40v o ha radc real, poché < 0. Se vece coderamo l'operazoe [-48, 140, -100; 0, 1, ], otteamo v 100v che ha due oluzo real, che corrpodoo a due TIR: 1 5% e 66,66%. E evdete che queto cao l cocetto d TIR perde d eo. Occorre pertato dagare qual tp d operazo fazare preetao u uco TIR potvo; queto è l'oggetto de teorem d Lev e d Nordtrom. 0 0,

11 Scadeza meda artmetca Defamo aztutto la cadeza meda artmetca d u fluo fazaro come C t t 1 1 C, coè la meda poderata delle cadeze t co pe par alle rate C. Per cofroto, vedremo ella proma lezoe che la cadeza meda fazara o durato è data dalla tea meda ma co pe par a valor attual delle rate: D 1 1 C (1 + ) t C (1 + ) t t, Ivetmet eo lato Poamo oervare che la cadeza meda artmetca o dpede dal tao, metre la durato dpede dal tao. Se 0 la durato cocde co la cadeza meda artmetca, e >0 vedremo che la durato è ferore alla cadeza meda artmetca, quato è ua fuzoe decreecte del tao. Ua operazoe fazara prede l ome d vetmeto eo lato e la cadeza meda artmetca de cot è ferore alla cadeza del prmo rcavo. I u vetmeto eo tretto, tutt cot devoo precedere l prmo rcavo (e d coegueza tutt rcav). I u vetmeto eo lato amo pù tollerat: la cadeza meda artmetca de cot deve precedere l prmo rcavo.

12 Ivetmet eo lato Cofrotamo ad eempo ua operazoe del tpo [-,+,+,+,+] co ua del tpo [-,+,+,+,+,-]. d eempo veto Euro TP co cadeza tra due a e +vado a feteggare alla cadeza. E charo che e l mporto dell ultmo fluo egatvo d è pccolo, l operazoe comuque cofgura come u vetmeto. Se l mporto dell ultmo fluo d è pccolo, la cadeza meda artmetca (che è ua meda poderata) è molto vca alla cadeza del prmo fluo, e qud è atecedete alla data del prmo rcavo. I modo del tutto aalogo, ua operazoe fazara prede l ome d fazameto eo lato, e la cadeza meda artmetca de rcav è atecedete alla cadeza del prmo coto. Eempo ttolo d eempo, coderamo la operazoe [-000, 600, -1000, 000, 600]. No tratta é d u vetmeto é d u fazameto eo tretto, quato abbamo pù camb d ego. No può emmeo eere u fazameto eo lato, quato l prmo fluo è egatvo. La cadeza meda artmetca de cot è par a t C < 1, 000 ed è ferore alla cadeza del prmo rcavo, pertato tratta d u vetmeto eo lato.

13 Ivetmet e fazamet pur U approcco alteratvo è baato u flu d caa cumulat. Data u'operazoe fazara quala, l vettore de ald cotabl è dato dalle omme parzal de flu d caa: S ( t ) C j. j 1 Ua operazoe fazara per cu l vettore S camba ego ua ola volta paado dal ego egatvo a quello potvo prede l ome d vetmeto puro; e vece camba ego ua ola volta paado dal ego potvo a quello egatvo, prede l ome d fazameto puro. Ovvamete, u vetmeto o fazameto eo tretto è ache u vetmeto o fazameto puro. Ivetmet e fazamet pur d eempo, coderamo la operazoe [-000, 600, 1000, 000, -400, 6000; 0, 1,,, 7, 8]. No tratta d u vetmeto eo tretto; o tratta d u vetmeto eo lato quato la cadeza meda artmetca de cot è data da t C > 1; verfchamo che tratta d u vetmeto puro calcolado l vettore de ald cotabl, che camba d ego ua ola volta paado dal ego egatvo a quello potvo: S[-000, + 600, +1600, +4600, +400, +1000].

14 pplcabltà del TIR e del TIC bbamo vto che l crtero del TIR applca molto bee a vetmet e fazamet eo tretto. I teorem d Lev e Nordtrom che eucamo elle lde ucceve motrao che queto crtero può eere applcato ache a fazamet eo lato e a fazamet pur, quato e hao u uco tr potvo, otto mme pote aggutve. l d fuor d quete cla l crtero del TIR o è be defto e può portare a rultat paradoal. Teorema d Lev U vetmeto eo lato che abba alla cadeza u aldo cotable potvo ammette u uco TIR potvo. U fazameto eo lato che abba alla cadeza u aldo cotable egatvo ammette u uco TIC potvo. Oervamo che l aldo cotable a cadeza o è altro che la omma d tutt flu. d eempo, poamo rcoderare la operazoe [-000, 600, -1000, 000, 600]. bbamo gà vto che tratta d u vetmeto eo lato; l aldo cotable a cadeza è par a 00, pertato ete u uco TIR potvo; co la fuzoe TIR d Excel verfchamo che *6,8%.

15 Teorema d Nordtrom U vetmeto puro ha empre u uco TIR potvo. U fazameto puro ha empre u uco TIC potvo. Oervamo che per defzoe u vetmeto puro l vettore de ald cotabl camba ego ua volta ola paado da egatvo a potvo, pertato ache queto cao l aldo cotable a cadeza è potvo. d eempo, poamo rcoderare la operazoe [-000, 600, 1000, 000, -400, 6000; 0, 1,,, 7, 8]. bbamo gà vto che tratta d u vetmeto eo puro; l vettore de ald d caa camba ego ua ola volta, paado da egatvo a potvo. Co Excel verfchamo che *104,8%.