Elementi di Matematica Finanziaria. Rendite e ammortamenti. Università Parthenope 1

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1 Elemet d Matematca Fazara Redte e ammortamet Uverstà Partheope 1

2 S chama redta ua successoe d captal da rscuotere (o da pagare) a scadeze determate S chamao rate della redta sgol captal da rscuotere (o da pagare) Uverstà Partheope 2

3 Le redte s dstguoo per vare tpologe Redte certe Le rate soo fssate a pror el umero, ammotare e epoche Redte aleatore Uverstà Partheope 3

4 Le redte s dstguoo per vare tpologe Perodche le scadeze delle rate soo equspazate; l tervallo costate tra ua rata e l altra è detto perodo aperodche Uverstà Partheope 4

5 Le redte s dstguoo per vare tpologe Postcpate l pagameto della rata avvee alla fe del perodo {0, R 1, R 2,..., R k,...,r -1,R,}/{t 0, t 1, t 2,...,t k,...,t -1,t }. Atcpate l pagameto della rata avvee all zo del perodo {R 1, R 2, R 3,..., R k+1,..., R, 0}/{t 0, t 1, t 2,...,t k,...,t -1,t }. Uverstà Partheope 5

6 Le redte s dstguoo per vare tpologe Temporaee l umero delle rate è fto (prefssato) Perpetue l umero delle rate è fto Uverstà Partheope 6

7 Le redte s dstguoo per vare tpologe costat le rate hao tutte lo stesso valore utare se le rate hao ammotare utaro varabl Uverstà Partheope 7

8 Valore d ua redta ad u tempo t Valore rteuto fazaramete equvalete alla redta: somma d tutte le rate attualzzate al tempo t Occorre fssare la legge fazara d rfermeto ormalmete s opera teresse composto Uverstà Partheope 8

9 Valore d ua redta ad u tempo t se t<t 0, state zale, s parla d valore attuale della redta che è mmedata se tt 0, dfferta altrmet La somma che rsulta suffcete per produrre tutte le rate della redta se tt, state fale, s parla d motate della redta solo per redte temporaee Uverstà Partheope 9

10 Il caso base Valore attuale d ua redta utara aua postcpata mmedata d durata a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: V (0) k (1 + ) v k 1 k 1 k 1 v v 1 v v v, ( v 1, 0) Uverstà Partheope 10

11 Il caso base Valore attuale d ua redta utara aua postcpata mmedata d durata a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S poe: a 1 v 1 (1 + ) che s legge "a fgurato al tasso " Uverstà Partheope 11

12 Applcazoe Valore attuale d ua redta costate aua postcpata mmedata d durata a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse e rata R S ha: V(0) R a R 1 v R 1 (1 + ) Uverstà Partheope 12

13 ESEMPIO 1 Calcolare l valore attuale d ua redta costate aua postcpata mmedata d durata 5 a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse 8% e rata 100 euro. V(0) 100 a ,271 Uverstà Partheope 13

14 Cosegueze del caso base Valore attuale d ua redta utara aua atcpata mmedata d durata a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: 1 1 v a&& a (1 + ) a v 1 v che s legge "a atcpato fgurato al tasso " Uverstà Partheope 14

15 ESEMPIO 2 Calcolare l valore attuale d ua redta costate aua atcpata mmedata d durata 5 a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse 8% e rata 100 euro. V(0) 100 a& & (1.08) ,213 Uverstà Partheope 15

16 Cosegueze del caso base Valore attuale d ua redta utara aua postcpata dfferta d t e d durata a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: t / a (1 + ) t a v t a che s legge "a fgurato al tasso dfferto t" Uverstà Partheope 16

17 Cosegueze del caso base Valore attuale d ua redta utara aua atcpata dfferta d t e d durata a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: t v t t a& / a (1 + ) (1 + ) a v che s legge "a atcpato fgurato al tasso dfferto t " Uverstà Partheope 17

18 Cosegueze del caso base Motate d ua redta utara aua postcpata mmedata e d durata a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: s (1 + ) a v a Uverstà Partheope 18

19 Cosegueze del caso base Motate d ua redta utara aua postcpata dfferta d t e d durata a, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: t / s ( 1+ ) t / a v t / a Uverstà Partheope 19

20 Cosegueze del caso base Valore attuale d ua redta utara aua postcpata mmedata perpetua, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: a 1 v lm a lm 1 Uverstà Partheope 20

21 Cosegueze del caso base Valore attuale d ua redta utara aua atcpata mmedata perpetua, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: a&& 1 a v (1 + ) a 1+ 1 d Uverstà Partheope 21

22 Cosegueze del caso base Valore attuale d ua redta utara aua postcpata dfferta d t e perpetua, valutato secodo l regme dell teresse composto co tasso d teresse. S ha: t / a (1 + ) t a v t a Uverstà Partheope 22

23 Cosegueze del caso base Redte frazoate: Redte che pagao ua frazoe d ao, ad esempo, 1/m, ua rata par ad 1/m, ovvero complessvamete ua utà all ao S ha: (m) a 1 m 1 ( ν 1/m 1/m ) m 1 m 1 (1+ 1/m 1/m ) m Uverstà Partheope 23

24 Cosegueze del caso base Redte cotue: Redta deale otteuta al tedere d m all fto ua redta frazoara S ha: _ a lm a ) m (m 1 a δ 1 e δ δ Uverstà Partheope 24

25 Cosegueze del caso base Redte cotue Per le redte cotue, l tempo può essere ua umero o tero Uverstà Partheope 25

26 Cocorroo a defre ua redta 4 parametr terdpedet V(0), R,, V(0) R a R 1 (1 + ) cooscedoe 3 la relazoe permette d rsalre al quarto Uverstà Partheope 26

27 Not V(0),, R V(0) a Not V(0), R, R V(0) log R log(1+ ) Not V(0), R, R (1 (1 + V(0) ) ) Uverstà Partheope 27

28 Ammortamet Ua partcolare classe d redta è quella che rappreseta l pao d ammortameto d u debto, ossa qual temp e co qual mport s realzza la resttuzoe d u captale S, cogutamete alla corresposoe degl teress Uverstà Partheope 28

29 Ammortamet Iformazo rportate el pao d ammortameto: perodo (k0,1,2,,); rata R k ( caso d rata costate); quota captale C k ; quota teresse I k ; debto resduo D k Uverstà Partheope 29

30 Ammortamet Ammortameto fracese Rate costat postcpate R S a 1. D 0 S 2. I 1 D C 1 R-I 1 4. D 1 D 0 -C 1 5. I 2 D C 2 R-I 2 7. D 2 D 1 -C 2 8. S prosegue fo a quado D 0 Uverstà Partheope 30

31 Ammortamet Ammortameto talao Quote captal costat postcpate C S 1. D 0 S 2. I 1 D R 1 C+ I 1 4. D 1 D 0 -C 5. I 2 D R 2 C+ I 2 7. D 2 D 1 -C 8. S prosegue fo a quado D 0 Uverstà Partheope 31

32 Ammortamet Possbltà d gestre cotratt pù compless Esempo Costo del bee: X100 mlo Durata operazoe: 2,5 a Cao trmestral: m4 Cao alla stpula: s2 Tasso auo: 8,2432% Prezzo d rscatto: P0 Determare l pao d ammortameto. Uverstà Partheope 32

33 Ammortamet Esempo Numero rate trmestral: 8 Tasso trmestrale: 2% a fgurato 7,3255 Rata 10,7233 Somma resdua: 78,5534 Ammortameto Fracese. Uverstà Partheope 33

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