Lezioni particolari di Matematica : I gialli matematici.

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1 Lezioni prticolri di Mtemtic : I gilli mtemtici. Per chi vuole prtecipre, nche ttivmente, queste lezioni, l indirizzo e-mil del prof. Di Slvtore Eugenio è il seguente: Prof_dislvtore@rundisium.net 3^ Lezione Argomento: Ultimo prolem di Fermt (U.P.F.) 2^ Procedur risolutiv geometric, del livello di difficoltà del 2 nno dell scuol medi superiore di 2 grdo. Enuncito del prolem: L equzione n + n = c n (1) per n > 2 intero ed, e c interi positivi, è impossiile. In quest procedur risolutiv geometric del prolem di Fermt, che è un tecnic risolutiv dell U.P.F. comprensiile senz eccessive difficoltà d prte di un lunno del 2 nno di un scuol medi superiore di 2 grdo, vlgono tutte le premesse ftte nell 1^ procedur geometric ed in prticolre, se, che:, e c dell (1) sono in relzione tringolre; l (1) per n >2 intero h soluzione c che, rimnendo >, è minore del vlore pitgorico di e ed è tnto più piccol di esso qunto più n è grnde e : è + > ( ) > 3 ( ) > 4 ( ) > > ; per n > 2 è n + n < ( ) n n + n < n ; l soluzione c dell (1): - diminuisce costntemente ll umentre di n>2, rispetto l vlore di ; - converge verso qundo n ument; per l su comprensione complet d prte del lettore, si devono tenere presenti i concetti già spiegti di figur geometricmente impossiile e di grndezz geometricmente irrzionle. 1

2 2^ Procedur risolutiv geometric Due qudrti sono equivlenti d un unico qudrto. Questo l h dimostrto Pitgor. Due cui non sono mi equivlenti d un unico cuo. Questo si dimostr in quest procedur risolutiv del prolem di Fermt. Se per hp semplifictiv, in quest procedur risolutiv: si prende riferimento l (1) nell su form cuic (/c) (n-3) * 3 +(/c) (n-3) * 3 = c 3 che h come cso prticolre, per n = 3, l relzione cuic = c 3 (1*) si dimostr che : - è impossiile l equivlenz geometric tr due cui ed un solo cuo, questo vuol dire che moltiplicndo l (1*) per U 3 si h 3 U U 3 c 3 U 3 (1**) cioè, l contrrio dell relzione pitgoric ( che d un eguglinz lgeric, o equzione, si pss, dl punto di vist geometrico, nche d un eguglinz o equzione geometric che h le terne pitgoriche): - d un uguglinz (equzione) lgeric, cioè l (1*), si pss d un diseguglinz (disequzione) geometric; - non esistono terne intere fermttine dell (1) per n >2. Le fsi essenzili di quest dimostrzione sono: Dimostrzione del nuovo teorem di geometri spzile, che chimeremo 1 teorem di Euclide nello spzio perché deriv dl corrispondente teorem del pino e si dimostr llo stesso modo, nche se l dimostrzione è molto più compless perché è spzile. Questo teorem, d cui ne derivno ltri come solo ccenneremo, è importnte gli effetti di quest procedur risolutiv di tipo geometrico, per cui ci soffermeremo più su esso. Teorem: Dto un prism tringolre di ltezz l, con se un tringolo rettngolo di cteti, ed ipotenus, il prllelepipedo di ltezz l, se qudrt di lto (oppure ), costruito sull fcci cteto f (o f) del prism, è equivlente l prllelepipedo di ltezz l, costruito sull fcci ipotenus fc, l cui ltr fcci è l proiezione di quell cteto f (o f) su fc. L figur di tle teorem, secondo il suo enuncito, è l seguente l 2

3 In tle figur è evidente, colort in verde, l equivlenz nel pino secondo il 1 criterio di Euclide. Per l dimostrzione del 1 criterio di Euclide nello spzio l figur, in nlogi l 1 criterio di Euclide nel pino, è l seguente: D3 D D4 D 5 E1 E C B1 H 1 A1 D1 D 2 C1 B H A F F1 G1 ; F G Hp: ABCC1A1B1 prism con se il tringolo rettngolo ABC di ipotenus AB = BCDEE1B1C1D1 prllelepipedo qudrto con se BCDE; CH AB; C1H1 A1B1; BHFG rettngolo equivlente BCDE; BHH1B1 proiezione dell fcci cteto BCC1B1 = f sull fcci ipotenus BAA1B1 = fc; BHGFF1G1H1B1 prllelepipedo rettngolo di se BHGF Th: BHGFF1G1H1B1 equivlente BCDEE1B1C1D1; DIMOSTRAZIONE Se è il simolo dell equivlenz geometric, disegnto il prism, il prllelepipedo con se qudrt BCDE costruito sull su fcci cteto f ed il prllelepipedo rettngolo dell Hp, si deve dimostrre che BHGFF1G1H1B1 BCDEE1B1C1D1. Allo scopo si prolunghino: * l fcci EE1D1D dll prte dell fcci f. Tle prolungmento è prllelo d f, quindi h ltezz CD = ; * i rettngoli BHGF e B1H1G1F1 dll prte di f, sino d incontrrsi nei punti D2, D3, D4 e D5.con il prolungmento precedente. D tli prolungmenti si vengono formre le seguenti figure solide, in ggiunt quelle già esistenti per Hp, BCC1B1D2D3D4D5 BED5D2B1E1 Dll figur si h inoltre BCC1B1D1DE BCC1B1D2D3D4D5 poggito nche sull fcci f ed vente ltezz, come già detto, CD = ; prism tringolre, con diedro retto in EE1 e congruente l prism dell Hp, perché entrmi hnno i tringoli di se congruenti come nel pino e l stess ltezz CC1 = EE1; 3

4 BCC1B1D2D3D4D5 BHGFF1G1H1B1 perché hnno se ed ltezz congruenti. Per l proprietà trnsitiv delle equivlenze si h: BCC1B1D1DE BHGFF1G1H1B1. (C.V.D.) Ne derivno i seguenti teoremi, che per revità non dimostreremo : Il teorem di Pitgor nello spzio: Teorem R B I prllelepipedi, se qudrt e di ltezz l, costruiti sulle due fcce cteto (f ed f) di un prism tringolre di ltezz l, vente per se un tringolo rettngolo di cteti e ed ipotenus (Hp), sono equivlenti l prllelepipedo, se qudrt di lto, di ltezz l, costruito sull su fcci ipotenus (Th). l l C A A1 R l Fig. 2 Equivlenz tr due prllelepipedi, se qudrt di lti e, ed un prllelepipedo, se qudrt di lto, venti l stess ltezz l. Questo teorem interpret geometricmente, come suoi csi prticolri, le seguenti equzioni che derivno dll relzione pitgoric : = 2 che, moltiplict per, dà 2 * + 2 * = 3, che rilev: due prllelepipedi, se qudrt di lto e rispettivmente, venti l stess ltezz = ( ), sono trsformili in un cuo d essi equivlente di spigolo ; con =, che, moltiplict per, dà = 2 * che rilev : due cui congruenti di spigolo sono trsformili in un prllelepipedo, se qudrt di lto = 2 ed ltezz h =, d essi equivlente; Si deduce che: se i due prllelepipedi hnno l stess ltezz h< ( ) (o divers ltezz oppure sono due cui congruenti o diversi e lo dimostreremo), è geometricmente impossiile l loro conversione in unico cuo d essi equivlente vente spigolo =, cioè in rispetto del teorem di Pitgor; il 2 teorem di Euclide nello spzio: Teorem Il prllelepipedo se qudrt di ltezz l, costruito sull ltezz h reltiv ll ipotenus dell se di un prism tringolre di ltezz l (Hp), è equivlente l prllelepipedo rettngolo vente come dimensioni di se le proiezioni dei cteti sull ipotenus dell se del prism e per ltezz l (Th). L figur corrispondente questo teorem è: C l C1 B A A1 4

5 inoltre, dl 1 teorem di Euclide nello spzio deriv quest ltro di geometri spzile, che è essenzile per quest procedur risolutiv del prolem di Fermt di tipo geometrico. Teorem: E geometricmente impossiile trsformre due cui in un unico cuo d essi equivlente. Questo teorem è l interpretzione geometric dell relzione cuic = c 3. Dimostrzione Considerimo prim Se è il predicto è equivlente, l figur, in cui AB== ( ), è: C B A R c A1 A ; R Hp: ABCA1B1C1 prism tringolre; ACB ngolo retto; BC = ; AC = ; AB=; BC 3 ; AC 3 cui sulle fcce cteto; Th: BC 3 +AC 3 cuo è impossiile. Disegnt l figur, che evidenzi: come loro sezione ortogonle le figure dell equivlenz : - pitgoric, che deve coesistere nche perché è un cso prticolre dell (1) per n = 2, ed euclide del pino; - euclide dello spzio; le figure dei due cui diversi BC 3 e AC 3 dell Hp disegnte sulle fcce cteto f ed f; e si ottiene pplicndo il 1 teorem di Euclide nello spzio d entrmi i due cui dell Hp di misur 3 e 3 rispetto d un stess unità di misur U 3 e disegnndo il cuo di spigolo = ( ) costruito sull fcci ipotenus del prism chimto cuo pitgorico; L figur di questo teorem rilev che: i due cui dell Hp non sono equivlenti l cuo pitgorico, che nzi, per il 1 teorem di Euclide nello spzio, li contiene, cioè è geometricmente prevlente d essi ; l equivlenz geometric dell Th BC 3 + AC 3 cuo è impossiile. 5

6 Intuitivmente l equivlenz dell Th si potree rggiungere immginndo di effetture un opportun rotzione, con centro nel vertice C, ntiorri del segmento BC oppure orri del segmento AC, llo scopo di diminuire con continuità il segmento AB sino che l equivlenz dell Hp poss verificrsi. M questo è geometricmente impossiile. Inftti: scomprireero le equivlenze pitgoric del pino ed euclidee del pino e dello spzio: ciò è impossiile perché simo nell mito delle equivlenze geometriche e tutte devono coesistere; osservndo l figur, in ess è evidente un vuoto geometrico, dovuto d e che corrisponde l prllelepipedo qudrngolre vente per se il rettngolo, trtteggito rosso sull fcci ipotenus del prism tringolre e le cui dimensioni sono - e l proiezione di uno spigolo del cuo 3 sull fcci ipotenus, e per ltezz il segmento congruente con l ipotenus del tringolo rettngolo se del prism. L effetto di tle vuoto geometrico è quello d impedire, nonostnte l continuità dell rotzione effettut, l formzione del cuo di spigolo c = 3 ( ) che si equivlente i due cui dell ipotesi. per cui il cuo dell tesi : - è impossiile geometricmente formrlo: - h un rppresentzione grfic non geometricmente rzionle, cioè non è disegnile; - non esiste come figur geometric; - è un entità geometric irrzionle che tende d un cuo. Ne consegue che : l grndezz volume che ess contiene è nche un entità geometric irrzionle: - che fornisce un misur sempre irrzionle rispetto d un qulsisi unità di misur d ess omogene; - di cui si può dire solo che è compres tr il cuo 3 ed il cuo ( ) 3, che sono geometricmente possiili; l somm dei volumi di due cui non può essere contenut in un cuo. Considerimo il cso = Osservndo l stess figur, in cui però è =, il cuo pitgorico è ( 2) 3 ed esso contiene sempre, per il 1 teorem di Euclide nello spzio, i due cui congruenti, però scompre il vuoto geometrico che prim er originto d. Effettundo l rotzione precedente, AB, diminuendo con continuità, può geometricmente rggiungere l equivlenz dell Th se =, però scompiono le equivlenze pitgoric del pino ed euclidee del pino e dello spzio e questo è geometricmente impossiile: non esiste llor l figur geometric corrispondente che è, nche in questo cso, geometricmente irrzionle. Si conclude che: (U) 3 +(U) 3 (cu) 3 (4**) è un diseguglinz geometric, per cui: E impossiile trsformre due cui in un unico cuo geometrico d essi equivlente. (C.V.D.) 6

7 Conclusioni: ' ' per cui, dl punto di vist geometrico, si può dire solo che l somm dei cui dell Hp è compreso tr 3 e quello pitgorico. Si stilisce, così, geometricmente il legme tr le terne fermtine (,,c), per n=3, e lo vedremo nche per ogni n>3, e le terne pitgoriche (,,), nel senso che, se per Hp semplifictiv è, si h sempre < c <. dl punto di vist lgerico si h: nell equzione = c 3 cso prticolre dell equzione di Fermt, è sempre <[ ( )] < ( ) ( ) ed il vlore di c è sempre compreso tr e il vlore pitgorico di e ; "(,) Q+ ( quindi i cui (U) 3 e (U) 3 sono geometricmente rzionli o disegnili) è sempre (U) 3 +(U) 3 (cu) 3 (*) che, siccome dl punto di vist lgerico deve essere = c 3, si può scrivere nche, 3 U U 3 c 3 U 3 (U) 3 +(U) 3 ( )U 3 cioè: è geometricmente impossiile l commensurilità tr i volumi di due cui ed il volume di un terzo cuo d essi equivlente. Allor i tre cui non hnno lcun sottomultipl comune U 3 e l (*), divis per U 3 > 0, divent c 3. Quindi l soluzione c dell (1), per n=3 e (,) Q+, non può essere mi rzionle ed in prticolre inter, cioè non esistono tre numeri Q+ che soddisfno l equzione di Fermt per n=3. dl punto di vist geometrico, per qunto detto ll inizio di quest procedur risolutiv, si h: moltiplicndo l relzione cuic per U 3, ess si trsform nell corrispondente disuguglinz (disequzione) geometric; l estrzione di rdice cuic non è geometricmente mmess nell (1) se n = 3, essendo dl punto di vist geometrico un disequzione, per cui, l contrrio dell relzione ed equivlenz pitgoric, l su soluzione c è solo e sempre irrzionle, nel senso che non esisterà mi l su figur geometric. Si risponde così nche ll seguente domnd: Poiché per n=3 nell equzione di Fermt l soluzione c è compres tr e ( ), cioè è < c< ( ) il vlore di c può essere, in questo intervllo, intero? Un domnd del genere è legittim, perché, soprttutto nelle terne pitgoriche non primitive che sono del tipo k,k, [(k) 2 +(k) 2 ], ci sono, tr k e [(k) 2 +(k) 2 ], molti ed nche un infinità di interi positivi, come per es. le terne pitgoriche (3000, 4000, 5000); (300000, , ) ecc... L rispost è no, perché ll impossiilità geometric dell relzione cuic deve corrispondere dl punto di vist lgerico, (,) Q+, un soluzione c dell equzione di Fermt per n=3 sempre irrzionle. 7

8 Per n=3, quindi, non ci sono terne fermtine (,,c) cioè tridi di vlori interi e positivi che soddisfno l equzione di Fermt. IL PROBLEMA DI FERMAT per n >3. Rest or d dimostrre che, per n>3 intero ed,, c interi e positivi, l (1) è impossiile. Come nel cso n = 3, isogn dimostrre che l (1) dl punto di vist geometrico è impossiile, quindi non mmette come soluzione terne intere (,, c) positivi.; ciò vuol dire che l (1) dl punto di vist geometrico è un disequzione. DIMOSTRAZIONE Si consideri l (1) nell su form cuic Poiché, per precedente dimostrzione, ( ) R+, è < [ ( )] 3 mggior rgione deve essere minore di c 3 il suo primo memro se c = ( ) per n>3, perché i suoi termini cuici del 1 memro sono moltiplicti per fttori positivi e minori di 1 essendo <c. Si deduce che deve essere sempre per n>3, n + n < c n se c = ( ) ed mggior rgione se c> ( ). Allor c deve essere minore del vlore pitgorico di e e tnto minore qunto più è n>3. Per l figur precedente ed cus soprttutto del vuoto geometrico sempre esistente (n 3) N se e, se =, solo cus dell scomprs delle equivlenze pitgoric ed euclidee che devono coesistere come visto nel cso di n=3, l (6) è impossiile dl punto di vist geometrico, quindi è un disequzione geometric. Si conclude che l soluzione c dell (1) è sempre irrzionle: si deduce che l equzione di Fermt non vrà mi, (,) N+, terne fermtine intere o tutte rzionli. (C.V.D.) Si può fre un figur riepilogtiv dei csi n 2 intero dell (1) interprett geometricmente, ess è: C1 C B1 A1 AB = CC1 = = ( ); B A In tle figur ABCC1A1B1 è un prism tringolre, con se il tringolo ABC rettngolo in C, inscritto in un semicilindro di dimetro AB ed ltezz CC1 tr loro congruenti e di misur ugule = ( ). In ess: per è evidenzito il vuoto geometrico prllelepipedeo trtteggito in verde; 8

9 dei cui 3 e 3 sono disegnti, per un migliore visulizzzione dell figur, solo le fcce pogginti sulle fcce cteto f ed f e colorte in nero ed in lu rispettivmente. In tle figur si osserv che, qundo il vertice C (e quindi nche C1 sull se oppost del semicilindro) si spost sull semicirconferenz, per l universle: commensurilità delle infinite terne di superfici dei qudrti pitgorici, i cui lti, e sono otteniili con un sezione ortogonle del semicilindro in cui è inscritto il prism tringolre, esistono terne pitgoriche, che esprimono nche l commensurilità dei lti del loro tringolo rettngolo; incommensurilità di tutte le infinite terne di cui di spigolo U, U e [ n ( n + n )]U per n 3, dovut ll impossiilità geometric delle uguglinze (U) 3 +(U) 3 = [ 3 ( ) 3 ]U] 3 e [/ n ( n + n )] (n-3) * (U) 3 + [/ n ( n + n )] (n-3) * (U) 3 = [ n ( n + n )] 3 U cus soprttutto del vuoto geometrico se e solo per l scomprs delle equivlenze pitgoric del pino ed euclidee del pino e dello spzio se =, non esistono terne fermtine. Questo vuol dire che: le terne pitgoriche esistono grzie ll commensurilità universle delle superfici dei qudrti pitgorici; le terne fermtine non esistono grzie ll impossiilità geometric delle due uguglinze geometriche precedenti, che si trduce in un universle incommensurilità dei volumi in esse rppresentti. Si conclude che l soluzione c dell (1), come misur di un segmento, se e sono numeri interi che esprimono l misur di due segmenti rispetto ll stess unità di misur, non può essere mi inter né rzionle m solo irrzionle e compres tr e = ( ) cioè è < c<. Prof. Eugenio Di Slvtore 9