Le variabili casuali semplici

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1 573 7 Le varabl casual semplc Nel captolo precedete s è prvlegato l eveto e la sua probabltà seza dugare sulle faltà dell espermeto e sulle attvtà coesse alle sue mafestazo. charo però che l espermeto è codotto perché s spera d rcavare qualche utle dcazoe per mglorare lo stato coosctvo d u problema e s deve percò stablre che modo le coosceze probablstche acquste possao trasferrs su uo o pù aspett coess alla prova. L espermeto casuale è la sublmazoe d ua attvtà che s svolge sotto l azoe della sorte; le varabl casual d cu c occupamo questo captolo e soo aspett crcoscrtt che spesso soo comu a pù espermet e talvolta vvoo al d fuor degl espermet. Soo coè de modell da adattare al feomeo per descrvere e compredere l comportameto el presupposto che le forme dspobl sao abbastaza flessbl ed utl per terpretare feome real. I base alla fuzoe d seme dello spazo d probabltà (S,P,W) dell espermeto s rcava la dstrbuzoe d probabltà della varable casuale che, smle alla dstrbuzoe d frequeza, verrà stetzzata co gl dc descrttv trodott el captolo 3. Ifatt, le varabl casual rpredoo le dstrbuzo d frequeza dscusse el captolo propoedo per loro schem d studo semplfcat ed astratt, grado d dare rsposte o solo base alla partcolare dage che s effettua, ma mobltado, formazo a pror, espereze precedet ed l calcolo delle probabltà. Nel prmo paragrafo dscuteremo le varabl casual dscrete e fte essezalmete legate ad u umero lmtato d prove bare rpetute (modello bomale e pergeometrco). Nel secodo paragrafo verrao rafforzat postulat d Kolmogorov per gestre aspett spermetal eumerablmete ft (modello d Posso e Pascal). Ife, el terzo, dopo aver charto la tpologa degl evet d teresse, s tratterao le varabl casual cotue ed partcolare l modello Normale. Il lvello d astrazoe del captolo è acora pù elevato del precedete, ma s oterà la covergeza verso quato è stato esposto ella prma parte del testo.

2 Dalla probabltà alle varabl casual Il verfcars d u eveto o può esser regstrato e po dmetcato, ma deve escare l acquszoe e/o l elaborazoe d specfche formazo. No c s può lmtare alla mera esecuzoe dell espermeto o a motorare gl evet, ma s deve teer coto delle loro cosegueze su qualche aspetto osservable del problema coè su d ua o pù varabl. semp: a) Goco co l laco d due dad cu vce ch dova la somma de due putegg. Su quale esto gochereste? L uverso degl evet è formato dalle 66=36 coppe d est: S={(,); (,); (5,6);(6,6)}. Applchamo agl evet elemetar l modello d equprobabltà assegado ad og coppa probabltà /36. L esto del laco o forsce drettamete l rsultato per la scommessa, ma è ecessara ua medazoe che da S arrv a T={, 3,,} coè l seme de possbl valor della somma de due dad C soo 6 evet elemetar che geerao l 7 ; gl altr valor s ottegoo co u umero ferore. Addrttura l ed l soo assocabl ad u solo eveto elemetare: (,) e (6,6). La scelta qud dovrebbero rcadere sul 7 quato corrspodete ad u eveto composto {(,6); (6,); (,5); (5,); (3,4); (4,3)} che, presuppoedo l equprobabltà, ha maggor chaces. b) Idchamo co X l valore della somma de due dad e provamo ad amplare l dea d corrspodeza tra evet compost W (l algebra degl evet geerata da S) ed l domo T delle modaltà della varable. = (,) /36 =3 (,) (,) /36 X=4 (,3) (,) (3,) 3/36 =5 (,4) (,3) (3,) (4,) 4/36 =6 (,5) (,4) (3,3) (4,) (5,) 5/36 =7 (,6) (,5) (3,4) (4,3) (5,) (6,) 6/36 =8 (,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,) 5/36 =9 (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 4/36 = (4,6) (5,5) (6,4) 3/36 = (5,6) (6,5) /36 = (6,6) /36 Ad og valore della X T corrspode u eveto W; tuttava, la corrspodeza o è buvoca, dato che ad esempo l 5 s può otteere quattro mod dvers. c) Romlda vorrebbe avvcarlo, ma teme d sbaglare facedo le l prmo passo. D altra parte quello se e sta fermo che sembra ua statua d sale e Romlda è staca d aspettare. S dà comuque ua stratega effettuado l seguete espermeto : laca due moete e qud opera co l uverso degl evet S={(T,T); (T,C); (C,T); (C,C)}; le alteratve soo TT=lasco perdere; CC=gl chedo cosa fa stasera; TC e CT=rlaco le moete. La decsoe è qud ua varable omale che possamo così rassumere X= (abbadoo), X= (vto) e X=3 (rlaco). Ache questo caso s forma ua corrspodeza tra S e T={,,3}. La stratega d Romlda è ua varable qualtatva, ma che covee esprmere co de umer per uformare l trattameto co le varabl metrche teedo ovvamete coto del fatto che, el caso d varabl omal, l carattere umerco è solo apparete e, elle quattatve o metrche, rleva solo per la relazoe d orde tra le modaltà. Da otare che la varable casuale è la regola d corrspodeza tra modaltà e probabltà e o solo la probabltà assegata ad ua data modaltà. d) U mputato è sotto gudzo. Alcu dz portao alla sua assoluzoe ed altr alla sua codaa. Se X è l esto del gudzo poamo X= se assolto e X= se codaato. Poché la valutazoe delle prove è parte soggetta alla sorte la X o assume u valore predetermato, ma può assumere tutt quell del suo domo co probabltà. L dea è schematzzata ella fgura seguete: Uverso degl dz Assolto Codaato Gudzo X

3 575 La varable casuale è u cocetto trodotto per stablre ed aalzzare legam tra gl evet dell algebra descrtt come degl sem e le cosegueze delle loro mafestazo espresse come tervall d umer real. serczo_vc: u espermeto teso a saggare la pratcabltà del gree d ua buca da golf prevede l tro d 4 palle. L esto dell espermeto è certo quato, oltre alla capactà varable d ch goca, soo preset fattor clmatc e relatv all erba del tutto mprevedbl, ma che rteamo porto alla probabltà del 7% d madare la palla buca. Se dchamo co Y= umero d palle buca qual è lo spazo d probabltà dell espermeto co le palle? Qual probabltà soo assocate a valor della Y? 7.. Defzoe d varable casuale dscreta e fta I u espermeto casuale è possble dvduare uo o pù aspett -qualtatv o qualtatv- rcodott, per esgeze d abbrevazoe ed elaborazoe, ad sem d umer real. Agl evet elemetar s assocao de umer che valorzzao le varabl legate alla prova. Ad esempo, el laco de due dad l esto duce u valore per la somma delle due facce superor, ma ache per la dffereza valore assoluto de due putegg o per l loro rapporto. I questo captolo, tuttava, tratteremo solo l caso uvarato. Varabl ed espermet casual Sa (S, W, P) lo spazo d probabltà dove S è u uverso fto e dscreto d evet elemetar, W è l algebra d tutt possbl sottosem d S e P(.) è ua fuzoe d seme che verfca gl assom d Kolmogorov. La varable casuale è ua fuzoe che assega u umero reale ad og esto d u espermeto casuale. Pù formalmete X(e) è u applcazoe reale co domo S ed a valor T={,,, } R tale che { } X() e : S T R, T = = X() e per og e S Ua comoda scorcatoa per dcare che l espermeto ha avuto determazo che ducoo l valore a ella varable X è: X=a che equvale all eveto composto {e S X(e)=a}. ovvo che valor da collegare agl evet o soo scelt arbtraramete, ma dscedoo va aturale dagl aspett che s vogloo cosderare e dalla loro defzoe operatva. Il fatto che talvolta le modaltà sao caratterstche omal ovvero sao quattatve, ma o metrche o è cotrasto co la defzoe poché la X può essere terpretata come u dce e, ad esempo, l seme X(e) può essere letto come cosdera tutte le modaltà l cu dce sa ferore o uguale ad. semp: a) I valor d X T soo esprmbl forma d tervallo del tpo ab, T Ra b { } ( ] = < La atura dscreta e fta del codomo qu cosderata comporta che (, + ]={ }, co card{(, + ]}=. Soo oltre evdet le seguet relazo semstche: (,+)=(,+]=S, (,-]=φ, (-, + ]= (-, ] (, + ]. b) Il fatto che la fuzoe X(e) sa reale o è ua vera e propra lmtazoe dato che, caso d feome rlevat el campo complesso, s possoo utlzzare due varabl casual: ua per la parte reale ed u altra per la parte mmagara. c) S tede cooscere l umero X d dfett tre aspett rlevat d ua scheda logca scelta casualmete. L uverso degl evet è formato dalle tere S={(),(),(),(),(),(),(),()} dove dca che se la l aspetto -esmo è accettato e se dfettoso. Il umero d ella tera valorzzerà la varable X e qud valor d questa rcadoo ell tervallo dscreto:t=[,3]; ad esempo, X= è la modaltà che s produce per gl evet elemetar: (), (), (). Ad og elemeto dell uverso S corrspode ua ed ua sola modaltà della varable X ed og modaltà della X ha uo o pù put mmage S. La varable X è u cogego automatco che scatta o appea s realzza ua mafestazoe dell espermeto. Poché è casuale la determazoe spermetale, sarà casuale l valore della X (s agguge l terme casuale propro per sottoleare che l suo valore o è predetermable così come o lo è l esto dell espermeto a cu è legata). La varable casuale è qud ua fuzoe ache se s prefersce l terme varable quato, dovedo po serre la X u altra fuzoe g(x), s parlerebbe spesso della fuzoe d fuzoe g[x(e)] co ua crcolartà che potrebbe ostacolare l flusso espostvo e l appredmeto.

4 576 semp: a) I alcue prove gl evet elemetar soo ess stess de umer real. Ad esempo la scelta d ua cfra ella tabella de umer casual ha come uverso degl evet: S={,,,, 8, 9}. I quest cas X=X(e) è la fuzoe dettà e s porrà X=e per e=,,,9 b) I u eleco d preotazo d u grade albergo se e scelgoo 4 -co remmssoe- per accertare se l clete sa uovo oppure è gà stato ospte. L uverso degl evet è: S={(,v) (,v) (,v) (,v)} che cotempla 6 alteratve. Se l attezoe è dretta verso l coteggo de clet uov la varable da aalzzare è X= umero d uov e quattro prescelt ad esempo: X[(,,,v)]=3, X[(v,,v,v)]=, X[(v,v,v,v)]=. L seme de valor della varabl casuale è T={,,, 3, 4). Tutt possbl evet compost che covolgoo quest umer soo esprmbl come tervall d ter. Nel passare dall espermeto alla varable casuale l attezoe s sposta dalla probabltà d evet compost retrat ell algebra W alla probabltà d tervall d valor R: el laco de due dad s passa dall algebra formata a partre dagl evet elemetar S={(,); ; (6,6)} e s arrva all tervallo d real T={, tero} e, d fatto, come esto dell espermeto è cosderato l valore T e o l eveto elemetare e S. Da questa agolatura gl elemet d T soo evet del tutto legttmat ad avere assegata ua probabltà, ma o probabltà qualsas, besì quelle compatbl co la fuzoe d seme dello spazo orgaro d probabltà. Le maggor dffcoltà che cotreremo dervao dal fatto che la probabltà è defta per gl evet compost dell algebra W metre la varable casuale è defta per gl est dell uverso degl evet S. Dovremo mettere comucazoe quest due mod. serczo_vc: u ageza ha tre sportell. Nel mometo cu l clete-tpo etra ageza, cascuo degl sportell - dpedetemete dagl altr- ha probabltà.5 d essere lbero,.5 d essere chuso e.45 d essere occupato. L aspetto che teressa è Y= umero d sportell lber per l clete tpo che etra ageza. a) Descrvete l passaggo dallo spazo d probabltà alla varable casuale; b) Che caratterstche hao le probabltà assegate a valor della varable casuale? La dstrbuzoe d probabltà Defta la varable casuale X dobbamo dare sgfcato alle asserzo probablstche che la rguardao. Ragoamo su d u tervallo dscreto e fto d valor della varable casuale X=X(e), dcamo (a,b] T. L eveto costtuto co gl evet elemetar d S madat (a,b] dalla X è dcato co X - {(a,b]} L seme (a,b] T e la sua cotrommage X - {(a,b]}soo equvalet dato che og elemeto del secodo è abbable -uvocamete- ad u solo elemeto del prmo: l uo s verfca quado s verfca l altro e vceversa. Pertato, X - {(a,b])} è u eveto dell algebra W al quale è stata attrbuta ua probabltà attraverso la fuzoe d seme P(.) e rsulta qud logco, teuto coto della equvaleza, assegare all tervallo (a,b] T la stessa probabltà d cu è dotato X - {(a,b]} coè: P{(a,b]}=P{X - {(a,b]}. Le probabltà così attrbute agl tervall della X costtuscoo la fuzoe d dstrbuzoe della probabltà: = { } p X = per T,, p = altrove co cu s esprme la probabltà che la varable casuale X sa uguale al valore per ua data determazoe dell espermeto casuale. La dstrbuzoe d probabltà è dversa dalla fuzoe d seme quato p() è ua fuzoe putuale defta sull tervallo d ter T laddove P(.) è ua fuzoe d seme defta sull algebra W dell espermeto.

5 577 sempo: Rpredamo l caso de clet dell albergo ed potzzamo ua probabltà del 75% per lo status d clete uovo. Qual è la probabltà che X> coè qual è la probabltà da attrbure all eveto (,4]={3,4]? { } ( X> )= (, 4] ( v,,, );( v,,, );( v,,, );( v,,, );(,,, ) 3 4 px ( > )= P(, 4] 4 * ; { }= + = Calcolamo ache le probabltà de sgol valor della X teedo coto del umero d evet elemetar che l determao. 4 p p X P P X P = ( = )= { (, ]}= =. ; ( = )= { (, ]}= (. ). =. ; S può otare che: 4 p p X P 5 = ( = )= (, ] =. 9; PX ( = 3)= P { ( 3, 3] }= ; 3 = { }= 4 4 p( 4)= p( X = 4)= P{ ( 4, 4] }= ; = p ()= P { (, ]} = P U (, ] = PS = = = = = Se l meccasmo d coversoe s estede modo che tutt gl elemet S rsulto collegat uvocamete ad ua modaltà della X, ovvero og sua modaltà scatursce da u eveto composto W (o sempre è possble dare questa garaza), allora la fuzoe d probabltà sarà dotata d partcolar caratterstche. Poamo: (, ] = { T < } per =,,, = j ed potzzamo che la valorzzazoe della X avvega modo che: = X e X, e U X S, X X Semplc argomet portao alle relazo: = = = p= p( X = )= P[ e X ] per =,,, p= p( X = )= P[ e X ( )] P U e X = = = = [ ] = = La dstrbuzoe d probabltà eredta la o egatvtà e la somma utara della fuzoe d seme P(.) p ; p = Il seso della dscussoe è l seguete: se l obettvo dell espermeto è lo studo della varable casuale perché o cocetrars drettamete sulla sua fuzoe d dstrbuzoe (X, p) che ha lo stesso coteuto formatvo vece d covolgere l artefatto termedo (S,W, P)? Dcamo che feome soggett alla sorte o ascoo co l loro bravo modello, ma occorre decfrarlo, se possble, u opportuo spazo d probabltà. Dopo che cò è avveuto e per tutt cas rcooscut aalogh s può adottare drettamete l modello d dstrbuzoe. T semp: a) Tre moete equlbrate soo lacate smultaeamete e separatamete. L uverso degl evet è S={ =(T,T,T); =(T,T,C); 3 =(T,C,T); 4 =(C,T,T); 5 =(T,C,C); 6 =(C,T,C); 7 =(C,C,T); 8 =(C,C,C)}. La varable casuale che teressa è X= umero d teste. Per lac vgoo le codzo d dpedeza e d equprobabltà per cu P( )=/8 per =,,,8. Le probabltà della X soo rportate tabella. Il meccasmo della varable casuale può fuzoare allo stesso modo stuazo dverse. Nel laco delle moete le stesse probabltà s dao a Y= umero d croc per cu X ed Y hao le stesse modaltà e probabltà, ma soo dstte perché afferet ad aspett dvers d u espermeto. P( X = ) P( 8 ) = 8 P( X = ) P( ) = 3 8 P( X = ) P( 3 4 )= 3 8 P( X = 3) P( ) = 8 X p

6 578 b) U dage campoara propoe due domade a clet de egoz d almetar: ) Gl permercat determao rduzo d prezzo; ) La pccola dstrbuzoe favorsce l elusoe fscale. L espermeto è l tervsta; la varable casuale d teresse è l umero d sì: YεΤ={,, }. Prma d effettuare l espermeto abbamo la sesazoe che soggett tervstat dao rsposte secodo lo schema: y p(y) Sarao po rsultat effettv delle tervste a cofermare o scofermare la ostra potes. c) U quz a rsposta multpla compredete 4 opzo è strutturato modo che u umero qualsas (ache essua) delle opzo possa essere quella corretta. cco u modello e la relatva rappresetazoe co ortogramma a coloe. X p() La dstrbuzoe d probabltà asce da vare cosderazo ed esste certamete u espermeto cu lo schema proposto può essere motvato. No è però ecessaro presetarlo per la quas totaltà d aals rguardat le varabl casual. serczo_vc3: scelta d ua coppa d lettere equprobabl. Sa X =umero d vocal ella coppa. ab aj bg eg gj ae ak bj ej gk ag be bk ek jk Costrute la sua dstrbuzoe d probabltà e datee la rappresetazoe grafca. serczo_vc4: la cocessoare d automobl IStrada ha come modello d vedte goralere la tabella: X p() I che modo e che msura la s può cosderare ua varable casuale? Propretà della dstrbuzoe delle probabltà la cgha d trasmssoe tra valor (ache terpretabl come categore dczzate) della varable casuale X e le probabltà del loro verfcars: p(x=). L essteza dell espermeto e del relatvo spazo d probabltà è però geere sottteso e o se e fa mezoe esplcta se o è strettamete ecessaro; dveta uo scearo appea abbozzato d cu s trascura la gees per rvolgers alle quattà ed alle qualtà rlevate sulle sue mafestazo. Naturalmete la dstrbuzoe d probabltà scatursce dalla fuzoe d seme P(.), ma o sempre s ha possbltà o motvo d specfcarla (ad esempo, da ua stessa P(.) possoo ascere dverse p(.) d cu forse e teressa ua sola). qud pù comodo dcare le cosegueze della fuzoe d seme su d ua dstrbuzoe d probabltà e dare dettagl su quest ultma puttosto che assegare le probabltà agl evet W per solo dopo trattare co le sue dervazo. semp: a)il umero d ammach accertat u supermercato co poch cotroll ha come modaltà atural [, ]. Ivece d gestre la prova co u apparato complesso quale lo spazo d probabltà è pù facle escogtare ua espressoe algebrca che da le probabltà della varable casuale recepedo cò che è oto del feomeo; ad esempo, che le probabltà aumeto co l aumetare della modaltà:.35 3 ( ) p = ; =,,, Il grafco della dstrbuzoe d probabltà mostra la etta asmmetra egatva dovuta alla macaza d fre che agevola l moltplcars del feomeo (l terpretazoe è aaloga a quato vsto elle dstrbuzo d frequeza).

7 579 b) Se l umero delle modaltà della varable casuale o è elevato, la p(.) può essere realzzata elecado valor co le assocate probabltà. Suppoamo che ua socetà armatorale propoga ad ua ageza d collocare ua uova crocera e che l ageza accett d offrrla spermetalmete a 4 clet. I tabella soo rportate le probabltà d accettazoe secodo l armatore: 3 4 p() coè la uova crocera sarà scelta da due clet (X=) co probabltà del %; sarà rfutata da tutt (X=) co 5 chaces su mlle dato che p()=.5.. serczo_vc5: u mpresa co l 7% d doe s scelgoo a caso e co rposzoe due persoe per ua commssoe. Determare la dstrbuzoe d probabltà d X= umero d doe ella commssoe. La fuzoe d dstrbuzoe permette d calcolare la probabltà d og sottoseme d valor del domo T. pa ( < X b)= P{ ab (, ]}= P{ ( ab, ) ( bb, ]}= P{ ( ab, )}+ P{ ( bb, ]}= pa ( < X< b)+ px ( = b) = { [ )}= { ( ]} pa X< b P ab, P ab, aa, = P{ ( a, b) }+ P{ ( a, a] }= pa ( < X< b)+ px ( = a) pa ( X b)= P{ ab [, ]}= P{ ( ab, ) ( aa, ] ( bb, ]} = P{ ( a, b) }+ P{ ( a, a] }+ P{ ( b, b] }= p( a< X < b)+ p( X = a)+ p( X = b) S covee oltre d assegare probabltà zero a valor estrae al domo trattadol come mmage dell eveto mpossble tededo che la fuzoe d dstrbuzoe p(.) è comuque defta su tutto l asse reale ache se la probabltà è postva solo alcu put specfc. sempo: Nel laco de due dad defamo X= dffereza valore assoluto tra due rsultat. La dstrbuzoe d probabltà è la seguete: X p() 6/36 /36 8/36 6/36 4/36 /36 Calcolamo la probabltà:. Che la dffereza sa par, ma o zero;. Che sa 3; 3. Che sa X 4; 4. Che sa ferore a.5. p X è par = =4 36 ; 3. p( X< 4)= p( X = o X = ) 36 ;. p( X 3) = p( X = 3 o X = 4 o X = 5) = = 36 3 ; 4. p( X <.5) = p( X = o X = ) = = ; serczo_vc6: la socetà Multpol stablsce le polzze d resposabltà cvle base alla dstrbuzoe d probabltà d sstr dell asscurato secodo lvell X dcat ella seguete tabella: Calcolare p(x 4), p( X<4), p(x>) p() serczo_vc7: la varable casuale X ha dstrbuzoe d probabltà p()=/ per =,, 3, 4. Calcolare: a) p(x ); b) p( X 3); c) p(x 3); d) p(<x<4.5); e) p(x ); f)p(x>.33). La fuzoe d dstrbuzoe, come s è vsto egl esemp precedet, può essere data come tabella oppure costruta algebrcamete coè come ua fuzoe matematca. semp: a) Ua caddata, attesa del colloquo per l ammssoe ua équpe tecca be pagata, ha studato le commsso selezoatrc. I base a come s soo sussegute le chamate potzza la seguete tabella d probabltà per la commssoe co cu sosterrà l esame: Commssoe C C C3 C4 P(same) La caddata ha u modello cu ha maggor chaces d essere esamata dalla commssoe C.

8 58 b) Se s rtee che la probabltà d dovers recare dal medco -el corso d u mese- per u adulto aumet co l umero delle vste, ua fuzoe d probabltà adatta allo scopo è: 3 ( ) p = 4 per =,,, le probabltà soo postve co somma utara e rassute ua espressoe aaltca compatta. c) I Chg è u atchssmo testo cese d dvazoe. La rsposta s basa su esagramm coè blocch d se lee. Le lee possoo essere tere oppure spezzate; possoo oltre essere mobl oppure stabl (seza cercho al cetro). Per og domada s produce uo de 64 esagramm possbl e poché oguo d quest s può tramutare qualsas altro, gl oracol possbl soo 6464=4 96. Per accedere al resposo s possoo utlzzare due metod: gl stel d mllefogle oppure le tre moete. Tpo Smbolo Stel Moete Lea tera moble /6 /8 Lea spezzata stable 5/6 3/8 Lea tera stable 7/6 3/8 Lea spezzata moble 3/6 /8 La sorte tervee comuque ella scelta, ma modo dverso a secoda del metodo. I tabella soo presetat due modell d probabltà. Ch crede questo culto rtee che la sorte sa grado stozzars sulle forze che muovoo l uverso usado o l uo o l altro de metod, ed az la scelta del metodo è gà u etrare cotatto co quelle forze. serczo_vc8: verfcare che l modello: ( ) 3 p = ( per =,,, ) altrove sa effett ua dstrbuzoe d probabltà. De modell Per proporre ua partcolare fuzoe d probabltà s deve dmostrare che certe sue caratterstche sao cosoe all aspetto dell espermeto aalzzato e la sua valdtà deve aver coferma ella realtà. La dstrbuzoe d probabltà p() è ua rappresetazoe semplfcata ed astratta dell aspetto spermetale. astratta perché o esste realtà; o è ua rappresetazoe scala come l mappamodo; o esste forma aalogca come le ode sullo schermo d u modulatore d frequeza; o è proposta forma fsca come la rappresetazoe dell atomo co l ucleo composto da eutro e proto al cetro e gl elettro che gl orbtao attoro (modello peraltro va d superameto co la teora delle strghe); semplfcata perché essa o coflusce tutto cò che cooscamo o appredamo da dat, ma solo cò che è rlevate, almeo dal ostro puto d vsta. I modell servoo per dare corpo alle cogetture suggerte dalle coosceze acquste sul feomeo. Gedeko (989, p. 8) evdeza... Nello studo de feome atural è d obblgo trascurare dettagl o essezal. La cosderazoe de partcolar d tutte le relazo, cluse quelle o pertet al feomeo esame, o può che portare ad u rsultato: l oscurameto del feomeo e e è rtardata la compresoe a cause d complcazo artfcose.

9 58 semp: a) La sg.ra Smmos, za d Harvey ell omoma commeda e flm, dce: Quest vero ho seguto u corso ed ho mparato la dffereza tra ua bella pttura ed u lavoro meccaco tpo ua fotografa. La fotografa mostra solo la realtà, la pttura vece, oltre la realtà, mostra l sogo che s cela detro d essa. Soo sog che c sostegoo, quell che c dstguoo dalle beste. b) Tutt modell soo sbaglat, ma alcu d ess soo ache utl (G..P. Bo). c) Kuth (98, pp. 4-4) dscute la dstrbuzoe d probabltà della prma cfra sgfcatva ella matssa m d u umero X scrtto otazoe scetfca : X=m* a dove m è u umero razoale tra zero ed uo ed a è la poteza da dare al per otteere X. L astroomo Newcomb el 88 potzzò che l modello d probabltà fosse: p Log + = ; =,,, 9 Il grafco mostra la dmuzoe della probabltà all aumetare della cfra. Questo modello 8ache oto come legge d Beford) è corroborato da molte espereze (cfr. Ley, 996) ed altre potete aggugerle cosderado ad esempo la lughezza de fum d Itala o l altezza delle motage per cme sopra 5 metr. Come s spega la prevaleza della cfra? d)... tuttava, l ostro processo d astrazoe o sarà fe a se stesso, e pur partedo da materal pù semplc o s allotaerà tato dalla realtà cocreta da o cosetre d llumare delle sue cocluso ache le propretà de materal pù compless. Il processo adatto al ostro scopo è quello che passa attraverso la costruzoe d modell. ad ess che é affdata la medazoe tra l astrazoe teorca e la realtà spermetale. G. Segré (98, pp. -3). La possbltà d rappresetare ua stuazoe reale co u modello elle dag statstche è usuale, ma cotroversa perché feome s comportao come credoo e ulla sao de ostr tetatv d gabbarl schem precosttut. Tuttava, è u fatto che molte rlevazo soo descrtte co accuratezza soddsfacete dalle fuzo dscusse questo captolo. I modell soo del tutto geeral, svcolat da applcazo specfche ed dcao la va aturale per la geeralzzazoe de rsultat. Il covolgmeto el decdere ua partcolare questoe o è essezale per l modello che vve dpedetemete dalla sua utlzzazoe: l oere della prova della valdtà o è del modello, ma d ch lo usa. Ua cosa è costrure u modello, be altra cosa è dcare le regole per sceglere fatt a cu quel modello può essere applcato (T. Haavelmo). Il modello, percò, vale fo a che le cocluso otteute hao u mpatto sulla realtà. Se questo maca, l modello deve essere cambato, a meo che -per maga o per goco- o sa possble cambare la realtà. Modell e parametr I modell soo geere dotat d uo o pù parametr -spesso corrspodet a costat caratterstche del feomeo- che cosetoo loro d adattars a stuazo dverse pur mateedo varate alcu tratt geeral. Il problema dell dage statstca o è pù allora l aals della dstrbuzoe d probabltà, ma l dvduazoe de parametr che defscoo l modello approprato per dat gà acqust oppure quello pù plausble per quell d cu soo ot solo alcu comportamet base. sempo: Modello a probabltà crescet: pd ( d ) ( ; )= ;,,, ; " d" parametro ( ) d ( + ) ( + ) d( + = 6 6 )+ 6 [ ] S deve trasmettere l umero d ret segate per partte d calco d sere A coè S={,,, 3,,3,4, 4) qud 3 formazo. Se s scoprsse che le frequeze soo be modellate dalla p(;d) basterebbe trasmettere l solo parametro s oltre alla formula. serczo_vc9: ua moeta co probabltà p d produrre croce è lacata per volte. Qual è l modello d probabltà della varable facce ugual/facce dverse? Qual è l valore mmo della probabltà? serczo_vc: s fa rotolare u dado regolare quattro volte e s cosdera la facca rvolta verso l alto. Se X è la varable casuale umero d volte che l par precede l dspar qual è la sua dstrbuzoe d probabltà? Gl esemp llustrao u dea geerale: co u espressoe matematca possamo attrbure probabltà ad og elemeto del domo della varable casuale seza ma materalmete effettuare u solo espermeto perché tutto avvee a lvello vrtuale. I vatagg soo formdabl: samo grado d rappresetare allo stesso modo feome dvers, ma co ugual presuppost, samo grado d rassumere ua formula stetca l rsultato d lughssme sere d rlevazo; d descrvere co semplctà l comportameto d u feomeo ed attuare la smulazoe co l computer; d deleare le caratterstche attese o desderate qual la smmetra o l allugameto delle code, d colmare lacue o estedere la rappresetazoe a valor potetc, d rcodurre l cofroto tra dstrbuzo emprche alla comparazoe -molto pù agevole- d fuzo matematche.

10 58 Il processo d astrazoe può essere spto acora pù oltre per ragoare drettamete su modell de feome e trascurare -almeo parte- feome stess. I altre parole, vece d procedere ad ua dage emprca, ad esempo sulla captalzzazoe delle mprese o proft, s dscute d u modello d dstrbuzoe che e rassuma loro aspett salet evtado -addrttura- d accertare se ma esstoo mprese dell ecooma reale sml a quelle postulate dal modello. tuttava u errore grave cofodere l modello co cò che esprme: due pa debboo sempre essere teut dstt e dstat. serczo_vc: è oto che u feomeo ha u adameto mootoo co effett cumulatv coè la probabltà vara ragoe dell adameto delle modaltà. Cò che o è charo è l tpo d legame: dretto o verso. U modello flessble adatto allo scopo è l seguete: ( θ ) θ px ( = )= ; =,,, ; θ > θ a) ua dstrbuzoe d probabltà? b) Come s comporta al varare del parametro θ? 7.. La fuzoe d rpartzoe delle probabltà Le varabl casual relatve ad aspett quattatv della prova espress co l domo dscreto e fto T={,, } possoo ache essere descrtte co le probabltà cumulate acqusedo qualche vataggo pratco allorché le modaltà del domo sao umerose. Per ua modaltà geerca T s defsce la fuzoe: F = PX ( )= P { (, ] }= P (, ] U ( j, j] = p < < j= che esprme la probabltà che la X sa ferore o uguale ad u valore prefssato. Tale probabltà è data dalla somma delle probabltà de sgol valor feror o al pù ugual ad. La F() è detta fuzoe d rpartzoe delle probabltà e asce co mpostazoe, struttura e faltà aaloghe alla fuzoe d rpartzoe emprca trodotta el captolo. semp: a) I clet dell albergo. F( 4)= p( X 4)= P{ (, 4] }= P{ T}= F()= 3 p( X 3)= P{ (, 3] }= P{ (, ] (, ] (, ] (. 3] }= P{ (, ] }+ P{ (, ] }+ P (, ] P, 3 = px ( = )+ px ( = )+ px ( = )+ px ( = 3)= F= p( X )= P{ (, ] }= P{ (, ] (, ] (, ]}= P{ (, ] }+ P{ (, ]}+ P{ (, ]} = px ( = )+ px ( = )+ px ( = )=. 67 F()= px ( )= P { (, ] }= P { (, ] (, ] }= P { (, ] }+ P { (, ] }= px ( = )+ px ( = )=. 58 F= p( X )= P{ (, ] }= px ( = )=. 39 { }+ { ( ]} b) I uo staff operao 4 persoe prossme alla pesoe, ma acora abbastaza decse se rvare l pesoameto oppure lascare l lavoro. L uffco persoale dovedo programmare per tempo le sosttuzo ha messo a puto l seguete schema per la probabltà d rtro per prossm tre a: 3 4 p() La fuzoe d rpartzoe può ache essere data forma tabellare. 3 4 F() Vedamo come la coosceza della F(.) coseta l calcolo delle probabltà per tervall d valor T: p ( < X )= P { (, ] }= P { (, ] (, ] }= P { (, ] } P(, ], = P { (, ] } P { (, ] }= F F { ( ]}

11 583 p ( X )= P { [, ] }= P { (, ] (, ] }= P(, ] (, ] P, { }+ { ( ]} = + ( = ) F F px p ( X< )= F F + px ( = ) px ( = ) ; p ( < X< )= F F px ( = ) ; cu la atura dscreta del domo comporta: P{(, ]}=p(x= ). semp: a) Larso (969, p. 79) llustra l goco Chuck-a-Luck cu s lacao tre dad. S può scommettere ua sola posta su uo degl ter (,,,6). Se scommettete sul 5 e questo esce uo de tre dad vcete ua posta, se esce su due dad vcete due poste e e vcete tre se tutt dad mostrao l 5. Se l 5 o esce l baco rtra la vostra posta. Idchamo co X la varable casuale che descrve l vostro casso etto per ua gocata d Chuck-a-Luck: T={-,,,3) co probabltà: p( )= ; p()= ; p= ; p()= 3 ; F( ) = ; F = ; F = ; F( 3) = ; cco l calcolo per alcu tervall: P( < X 3)= F() 3 F= p( )= ; P( < X )= F F( )= = Lo zero dell ultmo rsultato scatursce dal fatto che la fuzoe d rpartzoe s matee costate ell tervallo (-,] quato la varable casuale dscreta X o assume qu altr valor ovvero a que valor è data probabltà ulla. b) Il prezzo terazoale d u prodotto è fssato dollar (tero e seza frazo) base al modello d probabltà p()=/35 per =,,,35 ed alla fuzoe d rpartzoe: F()=/35 per =,,,35. Il cartello che cotrolla l mercato o tervee fché l prezzo rmae ell tervallo d [,3] dollar; se scede sotto l estremo ferore rduce le quote vedta e le aumeta se supera l estremo superore. Qual è la probabltà che l cartello debba tervere? { } = P{ [, 3] } = { F( 3) F+ p( X = ) } = 3 P (,) ( 3,) = 4 35 Il calcolo della probabltà dell tervallo rsulta pù semplce usado la F(.) quato evta d sommare le probabltà per le modaltà termede, qualuque e sa l umero. serczo_vc: co l auslo della fuzoe d rpartzoe data tabella: F() Calcolare: ) p(x 3); ) p(<); 3)p(< 4). serczo_vc3: per la fuzoe d rpartzoe: Calcolare: ) p(<3/); )p( 5/); 3) p(/< ). se = se < 7 F = 7 se < 3/ 4 se 3 < 5 7 se > 5 Aalzzamo le caratterstche che redoo ua qualsas F(.) ua fuzoe d rpartzoe d probabltà scegledo due valor T: e poamo: { } (, ] = (, ] (, ] dove (, ] = T L tervallo (-, ] è dvso due part seza put comue e pertato: F( ) = P{ (, ]}= P{ (, ] (, ]}= P{ (, ]}+ P (, ] F P, { }= + {( ]} Poché la probabltà è o egatva: F( ) F( ) per > per cu la F è mootoa o decrescete.

12 584 Ioltre: F( )= Lm F = Lm P { (, ] }= P( )= ; F= Lm F = Lm P { (, ] }= PT = C è u ulterore caratterstca che deve essere approfodta. Per og T esstoo -ft- l lmte sstro e quello destro della fuzoe d rpartzoe: [ ] ( )= [ ( ε) ] F ( + )= Lm F ( + ε) F ; F Lm F F ε ε Poché T è dscreto due lmt soo dvers e la F(.) ha u salto d ampezza F( +)-F( -). Questo, però, è l solo tpo d dscotutà che può presetare la fuzoe d rpartzoe (Chug, 974, p.). Il valore della F(.) ua dscotutà è arbtraro, ma soggetto al vcolo: F( -) F() F( +). Fra le scelte possbl abbamo: F = λ F ( )+ λ F ( + ) coλ, λ, λ + λ = λ =, λ = F( )= F cotutà a sstra; λ =, λ = F( )= F + cotutà a destra; ( ) La secoda scelta è la pù cosueta e sarà così ache el presete testo. I deftva, la fuzoe d rpartzoe è mootoa o decrescete, lmtata ell tervallo [, ], cotua a destra F ( ) F ( + ) =,,, La cotutà a destra mplca che l grafco della F(.), come è gà avveuto per le fuzo d rpartzoe emprca, ragguto l lvello F( +), v permaga fché o s arrva ad + ; a questo puto scatta a F( + ) per stazoarv fo ad u uovo cambo d modaltà. I agguta, se l lmte superore dell tervallo tede all fto, s ha: p ( < X<)= px ( > )= F F F = che quatfca la probabltà da assegare a valor maggor d e defsce la fuzoe d sopravvveza term d probabltà. semp: a) I alcue dag è mportate dsporre d uo schema probablstco che descrva l umero d soggett co cu ua data utà può etrare cotatto. Idchamo co X l umero d tal cotatt ed potzzamo che ua geerca utà abba seguet potezal cotatt:..8 X p() F() Il grafco a destra rappreseta la fuzoe d rpartzoe delle probabltà che, come s vede, ha struttura detca alla fuzoe d rpartzoe delle frequeze relatve. b) La probabltà d u guadago borsa è rteuta proporzoale al umero d ttol ralzo. Se ttol soo k=5 allora: ( + ) ( + ) p = ; =,,, 5 F= F()= per <, F()= per 5; F(+)=F()+(+) /55 per =,,, serczo_vc4: la dstrbuzoe d probabltà della varable casuale X è: per =,,, 4 p = altrove Determare e rappresetare la sua fuzoe d rpartzoe.

13 585 serczo_vc5: S lacao tre moete, ma o soo equlbrate: testa ha probabltà /3 e croce /3. ) Rcostrure la dstrbuzoe della varable casuale X= umero d teste e tre lac ; ) Rappresetare grafcamete la fuzoe d dstrbuzoe e d rpartzoe. serczo_vc6: ua cava s trova u labrto dove ha quattro percors da segure. Alla fe d due percors trova l cbo, alla fe degl altr due attva l magolo d u gatto. Alla cava soo cocess due tetatv. Se la cava o mpara dall esto del percorso, qual è la dstrbuzoe d probabltà e la fuzoe d rpartzoe d X= umero d volte che ha trovato l cbo? serczo_vc7: la presetatrce televsva ha tre umer d telefoo scelt a caso. Sa X l umero d quell che rspoderao. Se è l eveto che l umero rspoda e l cotraro, l uverso degl evet è S={(,,); (,,); (,,); (,,); (,,); (,,); (,,); (,,)}. La X sarà par alla somma degl preset ella tera e qud l suo domo è T={,,,3}. Ad og tera assocamo: p[ e (3-) )= Utlzzare la F(.) per calcolare p(.<<3.6), p( ), p(.). Dalla fuzoe d rpartzoe alla fuzoe d dstrbuzoe Se ua varable casuale è ota attraverso la sua fuzoe d rpartzoe, la sottostate dstrbuzoe d probabltà s può rcavare per va aaltca. Fssamo u rcadete ell tervallo b-ε< b co ε>. Allora: Lm pb ( ε < b)= Lm[ Fb Fb ( ε) ]= Fb Lm Fb ( ε)= Fb Fb ( ) ε ε ε Se b è u puto d dscotutà allora ha probabltà postva par all altezza del salto p(b). Qud, geerale: F per p = F F ( )= F F per =,,, ( ) ( ) < sempo: U dage sull testà del traffco ua strada partcolarmete frequetata ha rlevato l umero d vecol che og 5 mut svoltao ua traversa posta a metà percorso. X F() p() La probabltà della prma modaltà cocde co l valore della fuzoe d rpartzoe dato che F()=; le altre s rcavao per dffereza tra valor cosecutv della F(.). serczo_vc8: data la fuzoe d rpartzoe: F()= [.5(+)], =,,, determare la corrspodete dstrbuzoe d probabltà. La fuzoe d rpartzoe può essere rformulata term della dstrbuzoe d probabltà. Ifatt, poché F( -)=p(x - )=F(X - ) e cosegue che: p( -)=p(x= )=F( )-F( - ) da cu segue la relazoe rcorsva: = + = = F F p ; F p serczo_vc9: la dstrbuzoe d probabltà della somma de put el laco d due dad regolar è: per = 3,,, 6 p ()= 36 3 per = 78,,, 36 Determare la fuzoe d rpartzoe. serczo_vc: esprmere la fuzoe d rpartzoe F() come somma delle probabltà che la fuzoe d rpartzoe assega alle modaltà feror o ugual ad.

14 586 Trasformazo d varabl casual dscrete fte Le varabl casual soo spesso trasformate per studare delle altre varabl legate fuzoalmete alle prme: s rleva l umero d post occupat u cema X, ma po s aalzza l casso Y=4.5X. Se valor della X soo assut co probabltà lo stesso accade a Y=g(X) per effetto d cocateameto. Le fuzo d varabl casual soo delle uove e dverse varabl casual rspetto a quelle da cu dervao e per determare la fuzoe d dstrbuzoe d probabltà s deve rtorare all uverso degl evet dell espermeto ed dvduare valor della varable trasformata per po rure valor evetualmete rpetut. semp: a) La dstrbuzoe d probabltà del umero d blocch d cofezo rtrate per superameto data è descrtta ella tabella a sstra; blocch devoo essere alleat per l trasporto automatco e serve cooscere la dstrbuzoe d y=. X p() Y p(y) Dato che per og c è uo ed u solo y s modfcao le modaltà, ma o le probabltà del modello. b) Studamo la varable casuale X che ha dstrbuzoe d probabltà: 4 p = 4 ; =,,, 9 6 ed aalzzamo Y=/X. S vede subto che è ua trasformazoe buvoca; oltre, se la modaltà X= ha probabltà del 6.5% lo stesso dovrà succedere per la sua trasformata Y=/ vsto che ete è cambato el quadro probablstco dell espermeto. Per otteere le probabltà della Y basta collocare la relazoe versa X=/Y ella fuzoe d dstrbuzoe: Y y Py = y = ;,,, p() X - c) Cosderamo la varable casuale X a valor T=(-,) co probabltà (.,.8) e trasformamola Y=3X+. La uova varable casuale può assumere due sol solo valor (-, 4) ed esste ua corrspodeza uo-a-uo X ed Y e varabl per cu le probabltà della Y soo le stesse della X. Poché P(Y y)=p[x (y-)/3] le fuzo d rpartzoe soo: se < se y < F =. se < Fy =. se y < 4 se se y 4 Le trasformazo pogoo l seguete problema: determare la fuzoe d dstrbuzoe d ua varable casuale Y allorché sa ota quella d X legata alla precedete dalla relazoe: Y=g(X). Se X è ua varable casuale dscreta e fta co domo T={,,, k } e g(.) ua applcazoe cotua e co u umero d verse alpù eumerable, allora Y=g(X) è ua varable casuale dscreta co dstrbuzoe d probabltà e rpartzoe: [ { }] = [ ] = = py = py= y p g y ; Fy p g y,,, dove {g - (y )} per =,,,k è l seme de put T tal che g( )=y. Trattados d ua varable dscreta la probabltà d Y=y può essere calcolata sommado le probabltà de valor della X che geerao y. py ( = y)= p= g ( y ) { } semp: a) Sa X=,, 3 la varable casuale che descrve l puteggo otteble co u tro a caestro ed potzzamo le probabltà: {.4,.35,.5}. Qual e la dstrbuzoe da assocare a Y=X- che rleva putegg partedo dal egatvo e raddoppado dslvell tra valor? Y=-, 3, 5; le probabltà soo varate rspetto alla X. Qual è la fuzoe d rpartzoe d Y? F(y) = p(x- y) = p[x (y+)/].

15 587 b) Sa X=-3 o X=3 co P(-3)=.6 e P(+3)=.4 e cosderamo la trasformazoe y=. La varable casuale Y questo caso è degeere dato che Y=9 è u eveto certo: P(Y=9)= P[X=(-3) ]+P[X=3 ]=.6+.4=. c) La squadra d calco che goca casa ottee put se perde, se paregga e 3 se vce. Ipotzzamo che P(3)=.6, P()=.3, P()=.. Qual è la dstrbuzoe d probabltà della meda glese? La meda glese assega put zero alla squadra che vce casa, - se paregga e - se perde. La trasformazoe che collega due putegg è: Nessua trasformazoe è ecessara per le probabltà. y = + d co d = se = 3 altrmet serczo_vc: la socetà che gestsce ua lea d autobus accetta preotazo fo a 4 post oltre la capeza. I tabella è data la dstrbuzoe della rchesta X de post. X 3 4 p() serczo_vc: se l casso è par al doppo del quadrato del umero de post: Y=X, determare p(y) e F(y). b) Per la varable casuale co dstrbuzoe d probabltà d (.,.,.3,.3,.) rspettvamete assocate a {-,-,,,}, determare la fuzoe d dstrbuzoe e d rpartzoe d Y=(X+3)/(X-3). Teorcamete, è possble che Y=g(X) trasform la varable dscreta e fta dscreta ed eumerable (ad esempo co ua fuzoe perodca). I questo caso trattazoe della Y retra e cas studat el paragrafo Descrzoe delle varabl casual dscrete fte Sa T={,,, } l domo della varable casuale X e sa p, =,, la sua dstrbuzoe d probabltà. Tutte le msure d cetraltà vste el paragrafo 3. possoo essere applcate alle varabl casual sottoleado però la modfca d sgfcato: la dstrbuzoe emprca è quella costruta dopo la rlevazoe, la dstrbuzoe d probabltà è costruta prma, ma forse dopo altre che hao portato ad potzzare quel partcolare modello. Cetraltà delle dscrete fte La moda ella rlevazoe è la modaltà che s è verfcata pù spesso; la moda d ua varable casuale è l valore pù probable. Lo stesso ragoameto vale per quatl, per le mede e tutt gl altr momet. semp: a) Determare la medaa per ua varable casuale che ha dstrbuzoe d probabltà: p = ( + ) ; =,,, ( + ) ( + ) ( 3+ 5) Se è dspar sarà M e =(+)/ altrmet og valore tero a [/,/ +] è ua medaa. b) Determare la moda el modello: [ ] 4m p = ( + ) m p = m + = + ( + ) ;,,, ; ; p m Il quozete tra probabltà successve rcorre spesso ello studo delle varabl dscrete. La moda è dvduata da u rapporto par ad uo: questo caso per = dato che rapport d probabltà soo crescet. c) Per ua dstrbuzoe d probabltà p( ) =,,, determamo e 3 quartle base alla formula del paragrafo 3..3: + < + = X5. = γ X() γx( + ), ;. 5 ; γ + < + = X75. = γ X() γx( + ), ;. 75 ; γ 5. se [ 5. ]= 5. ; se [. 5]< se [. 75]=. 75 se [. 75]<. 75

16 588 serczo_vc3: ua scatola cotee 5 bgle d cu 3 bache e rosse. Ipotzzamo che la scelta delle bgle avvega a caso e seza remmssoe. a) Defre la dstrbuzoe d probabltà d X= umero d estrazo per otteere le due bgle rosse ; b) Calcolare moda e medaa d X. La meda artmetca o valore atteso della varable casuale X, dcata co (X) è: X = p = dove sta per pectato coè aspettatva, valore atteso. semp: a) u dado è truccato modo che la probabltà d uscta sa legata al puteggo (questo può succedere se put del dado soo realzzat co de rlev). Qual è la meda artmetca? 6 6 se =,,, 6 Truccato : µ = = 433. ; No truccato : µ = = 35. p = = = 6 altrmet Il trucco può essere scoperto realzzado che la meda è ora pù elevata rspetto a cò che c s aspetterebbe da u dado o truccato. b) U modello assega le probabltà a valor secodo la formula d seguto rportata e d cu è dato u esempo fgura per =9..5 p ()= per =,,,, ; µ = = = = I questo caso µ=m e. Se è par la dstrbuzoe è umodale e la moda è par alla meda ed alla medaa. c) Port (994, cap. 4) dscute u teressae esempo d come la Statstca coseta d rsparmare rsorse. Ua popolazoe d N persoe deve essere sottoposta a test per accertare la preseza d u marker la cu probabltà p d preseza è costate ed è dpedete tra ua persoa e l altra. Ivece d provare su tutt, soggett soo s suddvs k grupp d uguale umerostà m (uo de grupp potrebbe essere meo umeroso degl altr, ma per semplfcare potzzamo lo stesso umero d soggett og gruppo); prelev degl m dvdu soo mschat ed l test è effettuato sul solo prelevo aggregato. Se l marker è assete o s procede oltre; se vece è presete s cerca l marker cascuo de prelev dvdual. Se s poe X = allorché l test aggregato dell -esmo gruppo è postvo e altrmet. Il umero d accertamet svolt el gruppo -esmo è N =+mx. Poché X = se essu soggetto del gruppo è portatore allora P(X =)=(-p) m e qud P(X =)=-(-p) m. Il valore atteso del umero d test da effettuare per l -esmo gruppo è: { [ ]} = + [ ] m m m N = ( + mx)= + mx = + m( p) + ( p ) m ( p ) Geeralzzado l valore atteso a tutt k grupp ed usado l fatto (approfodto ella parte dedcata alle varabl casual multdmesoal) che ( )= (X ), l valore atteso del totale de test è: { [ ]} { = + [ ]} = + k k m N m T X N k m p m p N m m = = ( ) = + ( ) ( p ) = = m m La suddvsoe grupp rsulta ua stratega mglore dell aals totale (che rchede N test) se l argometo paretes è more d uo e maggore d zero. Data la probabltà d preseza p esste u valore ottmo d m che rede mmo (T). La tabella che segue e rporta l valore per alcu lvell d p (altr soo ottebl faclmete co l foglo elettroco). p m serczo_vc4: per l modello d Newcomb: p( )= Log + =, =,,, 9 a) Determare moda, medaa e valore atteso; b) Qual è la dffereza terquartlca?

17 589 serczo_vc5: ua clete dell albergo rcorda l pao della sua staza, ma o l umero che peraltro o è leggble dalla sua scheda. La clete decde d tetare co tutte le porte del pao scegledo a caso le porte su cu tetare seza però rpetere l tetatvo pù d ua volta per og staza. Sa X dca l umero d tetatv ecessar per aprre la porta. Poché la procedura è la stessa della estrazoe seza remmssoe d ua partcolare bgla da u ura che e cotee. Allora: PX ( > )= = a) Calcolare (X); b) Come camba () se la clete o resce a rcordare tetatv gà fatt? Scommesse e guadag prevst La meda artmetca delle varabl casual s ammata d u uovo sgfcato: quello d speraza matematca che costtusce l puto d rfermeto d molte applcazo della probabltà. Nelle scommesse bookmakers propogoo l espressoe l eveto è dato :y ( a y) coè se l eveto s verfca s rceverao putate rschadoe y per u casso totale d +y utà d coto. prass dcare per prma l guadago caso d vcta. U goco d azzardo s dce equo se le poste che s pagao per partecparv soo proporzoal alle probabltà d vcta. I altre parole, u goco equo o favorsce essuo el rpeters prolugato delle gocate. semp: a) Nel laco del dado l uscta sgola è data 5:. Per ua putata d 5 lre, caso d vcta dovre cassare 3 (le me 5 mla pù 5 d vcta) ovvero se perdo, l baco trattee solo lre e resttusce 4 per compesare le sue maggor probabltà: ' ' ' ' 6 6 = 6 6 = La speraza matematca è quell mporto certo che s è dspost a pagare per rcevere cambo u mporto aleatoro descrtto dalla varable casuale. b) Nella roulette amercaa decdete d gocare lre X sul ero co P(N)=8/38 e P(N c )=/38 ( questo tpo d roulette c soo lo ed l d colore verde). Se esce l ero rcevete X. u goco equo? Y* 8 X = Y = X Se l goco fosse equo putado 7 se e dovrebbero cassare 57 : 3 =7*/9 d vcta pù la gocata. Il fatto che l casò da 54 (7 d vcta pù la gocata) s spega per le spese orgazzatve, d mautezoe e gestoe, ma lo scarto dell % è alto. I geerale, se p è la probabltà d vcere ua scommessa G cu v sa la promessa d vcere u mporto co probabltà p e d perdere u mporto y co probabltà (-p) l esto atteso è: ( G)= p y( p)= p y + yp = + y p y y G = + yp y p, p y y = = + = + Questa espressoe, detta speraza matematca deve essere ulla per u goco equo e cò avvee quado la probabltà d vcere cocde co la quota dell mporto perso sul totale della posta goco semp: a) La tassa sulla stupdtà. Cccllo s goca u ambo secco (5, 5) sulla ruota d Caglar (perché comca come l suo ome). La sua speraza matematca, teuto coto delle combazo a favore: C(,)*C(88,3) e delle combazo possbl: C(9,5), è: ' ' ' = = Per equlbrare l maggor rscho d Cccllo l baco dovrebbe pagargl, caso d vcta =79* /. Cccllo vece rceve 5 volte la posta coè 5. La dffereza è parte da attrbure a spese orgazzatve e d gestoe, ma ua parte - cospcua- è la tassa sulla dabbeagge de gocator che trova parzale gustfcazoe ell teresse pubblco co cu s mpegao fod così otteut.

18 59 b) A tre gorate dalla fe del campoato la retrocessoe della Regga è data 5:. Qual è la probabltà soggettva che bookmakers attrbuscoo all eveto? G = 5* p( p)= p= 8. 6% 7 Questo però per asscurare l goco equo. Tuttava, l allbratore deve retrare delle spese ed avere u ragoevole proftto per cu la probabltà d retrocessoe della Regga è realtà rteuta pù bassa del 8.6%. c) La Socetà Aoma d Asscurazo offre polzze vta alle doe età 3-6 a che, a frote d u premo auale d eur, paga mla eur caso d morte. Il premo è equo? Il dat cesuar segalao doe quella fasca d età e la frequeza d morte ell ao del cesmeto è d 7. L casso atteso della polzza è: 7 I ()= ' * = 7 ' ' Su og polzza la SADA cassa aualmete eur e s aspetta d sborsare 7. serczo_vc6: state rsparmado per comprare casa. Ruscte a mettere da parte dec mlo l ao e v s prospettao due stratege: ) tro l 4 geao d og ao depostate baca sold co u tasso fsso del 4% e d flazoe dell 8%; ) Ne prm d geao d og ao v recate u casò e gocate mlo sul (o altro umero a vostra scelta). Quale stratega è pù coveete? serczo_vc7: Roberts (993, pp39-4) llustra l goco del Keeo, smle alla tombola. I gocator scelgoo da a 5 umer compres tra e 8. Il gestore estrae, seza remmssoe, umer dall ura che cotee gl 8 possbl. Le vcte soo proporzoal al umero d abbamet tra le scelte del gocatore e le estrazo del gestore. Defamo X= umero d abbamet ed dchamo co l umero d scelte. Se = allora p(=)=/8=/4 co pagameto equo ragoe d 3 a, ma l gestore paga.:. Per = s ha p(=)=(/ 8)(9/79)=3/5 coè 6: cotro u payoff d :. La tpca cartella del Keeo ha umer. a) Calcolare le probabltà d vcta semplc e cumulate per =5, 6, e 7; b) Teuto coto che l gestore paga, rspettvamete, :, 7:, 79: valutate l equtà del goco. Valore atteso d fuzo d varabl casual dscrete fte Segue dalla dscussoe fatta precedeza che se X è ua varable casuale dscreta ache Y=g(X) è ua varable casuale dscreta purché g(.) sa cotua ed abba u umero d verse fto o eumerable; oltre, la sua dstrbuzoe d probabltà può essere rcavata da quella della X. Il valore atteso della trasformata è: k Y = ypy= y g px g y = g px= = [ ] k k = = = = coè la somma de prodott y p( ) per tutte le del domo che ducoo y. [ ] semp: a) Sa X ua varable casuale dscreta co valor {-,-,, } e p(x=-)=p(x=)=. e p(x=-)=p(x=)=.3. Calcolamo l valore atteso d Y=X. Tale trasformazoe geera ua varable pure dscreta co valor: {, 4}. Possamo determare la dstrbuzoe d probabltà della Y teedo coto che dvers valor della X soo compatbl: p(y=)=p[(x=-)u(x=+]=p(x=-)+p(x=+)=.6; p(y=4)=p[(x=-)u(x=+)]=p(x=-)+p(x=)=.4. A questo puto è semplce calcolare l valore atteso della Y: (Y)=*.6 + 4*.4=.. b) Ua varable casuale dscreta X ha modello d dstrbuzoe: 6 7 p = 36 Qual è l valore atteso d y=l()? Teuto coto che =e y s ha: per = 3,,, altrove y 6 e 7 py = 36 per y = L, L( 3),, L y =. 875 altrove

19 59 c)se la dstrbuzoe d probabltà d è p()=/55, per =,,, co valore atteso µ =7 allora l valore atteso d y=3- sarà µ y =3*7- =9 dato che: k k k k k k Y = ypy = ( a + bp ) = ap + bp ( ) = a p + b p ( ) = aµ + b = = = = = = serczo_vc8: Dougherty (99, pp.-) propoe u esempo sulla compressoe delle mmag. Se l pel ha otto lvell d grgo, la trasmssoe del suo colore rchede 3 bt ( 3 =8). Se lvell fossero rdott a quattro basterebbero bt co u otevole rsparmo. S abba la dstrbuzoe de lvell orgar d grgo: p() L algortmo d compressoe prevede l accoppameto d lvell successv Y= se X= o X=, Y= se X= o X=3, Y= se X=4 o X=5, Y=3 se X=6 o X=7. a) Determare la dstrbuzoe d probabltà della Y; b) Calcolare l valore atteso della X e della Y. Cosa s può dre sul rsultato della compressoe? serczo_vc9: ua varable casuale ha modello: k, = 34,,, p = altrove a) Per quale valore d k è effett ua dstrbuzoe d probabltà; b) Determare l valore atteso d X; c) Determare l valore atteso d y= -. La procedura co cu s ottee l valore atteso d ua trasformata è chara el suo svluppo, ma lasca perpless sul fatto che ua trasformazoe pù complessa possa essere ragoevolmete affrotata questo modo. Daveport (97, p.6) propoe ua possble semplfcazoe: calcolamo (y) applcado la trasformazoe y=g() ad og valore e moltplcado po l rsultato otteuto per la probabltà assocata alla modaltà d X seza covolgere esplctamete la dstrbuzoe della uova varable Y. k k [ { }] = j k = r ( j ) Y ypx j g yr gj px= j gj px= r= r= g ( y ) r = { } = Pertato, la procedura prma deleata dà tutte le garaze d geeraltà. sempo: Rcosderamo gl elemet dell esempo precedete: Y =( ) px ( = )+ ( ) px ( = )+ px ( = )+ px ( = )= 4*. + * 3. + * *. =. I momet delle dscrete fte Aaloga estesoe avvee per momet che hao qu le stesse faltà d stes che statstca descrttva. k r r r k ' r Rspetto all' orge : ( X ) µ r = p ; Rspetto alla meda : ( X µ )=µ r = ( µ ) p = = semp: a) Per le tre dstrbuzo d probabltà date tabella: p(x=) p(y=y)..... p(z=z) Calcolamo, per cascua, l dce d etropa d Backma-Pateroster: 4 (X)=.435, 4 (Y)=.4, 4 (Z)=.33. L terpretazoe passa per l grado d certezza co cu s può prevedere l esto d ua determazoe della varable casuale. Nel caso della Y è massma e se fosse ua scommessa dovremmo razoalmete sceglere d gocare co la X cu la prevsoe è meo certa.

20 59 b) U goco cosste el lacare u dado co le seguet putate: (,) s vcoo eur, (3) se e vcoo 5 e (4,5,6) s vcoo eur. La posta è d eur. Calcolamo la varaza per og gocata: σ 3 = µ = p = = S potrà otare che l goco o è equo. I questo seso basterebbe ua putata d poco meo d 6 eur. c) La devazoe stadard è ua msura del rscho coesso co la prevsoe d evet cert. Cosderamo gl vestmet tabella. σ( X) + 5* * * 4 8 * * * * Dal puto d vsta del guadago atteso o soo dstgubl. Ch rfugge dal rscho sceglerà l vestmeto, ch ha ua moderata avverstà al rscho opterà per la 4, ch è dsposto a fars carco d maggor rsch sceglerà la 3 ; ch è dfferete rspetto al rscho sarà dfferete rspetto alla scelta. I realtà, tutte le msure d varabltà possoo essere terpretate come fuzo d rscho d quell mporto aleatoro d cu µ (o altra msura d cetraltà) costtusce l valore d rfermeto. d) Calcolamo la devazoe meda per l modello: p = ; =3,, 3,,,, 6 + La formula della devazoe meda gà data per msurare la dspersoe elle rlevazo emprche s modfca per le f sosttute co le p : Sµ = µ p 3 µ = = + = 3 * 3 6 = 6 + =. 93 serczo_vc3: alcu feome s mafestao co probabltà specular rspetto al cetro. U modello che rspode a tale requsto è: p = * ( ) ; =,,,, 6 ( ) a) Calcolare l σ e S Me per =; b) Come s terpretao valor otteut? serczo_vc3: tass d redmeto aual attes d tre blu chps soo seguet: Ttolo 3% % % % 9% 8% 7% 6% 5% Gat Mrell Nocett Adoperate l coeffcete d dspersoe (S Me /M e ) per comparare l rscho de tre vestmet. Trasformazo lear Ua delle trasformazo pù rcorret è quella leare: Y=aX+b dove a e b soo delle costat fte. Il fatto che X sa ua varable casuale sgfca che comuque s form A T, la sua cotrommage X - (A) rcade ell algebra W d u espermeto probablstco. I partcolare, dato che T è dscreto e fto, certamete X - {(a, ]}={e S X(e) } W è coè u eveto e qud probablzzable e lo è qualsas sottoseme d valor d T. { e S ax()+ e b }= { ax b}

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