Forze di adesione. Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico

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1 Forze di adesione Vicino alle pareti di un recipente sono attive interazioni tra le molecole del recipiente e quelle del liquido (adesione) oltre a quelle tra le molecole del liquido (coesione) Se le forze di adesione sono meggiori di quelle di coesione la superficie del liquido diventerà convessa (il liquido bagna la parete) Viceversa sarà concava Nel bilancio entra anche la forza peso L angolo tra liquido e vetro è l angolo di contatto α che varia da 0 o a 180 o. Il liquido bagna la parete per α > 90 o α vale circa 0 o per l acqua che bagna le pareti a contatto col vetro, circa 140 o per il mercurio, che non bagna le pareti e tende a formare sferette a contatto col vetro.

2 Capillarità Per tubi di piccolo raggio circa un decimo di millimetro o meno, la variazione di livello interessa tutta la superficie che viene chiamata menisco Si può dimostrare che, se r è il raggio del capillare, il dislivello h, dato dalla differenza di altezza del liquido ai bordi e al centro del capillare, si può ricavare dall angolo α in base alla legge (di Borelli-Jurin) h = 2 τ cos α g ρ r Se si intinge un biscotto o una zolletta di zucchero in un liquido, questo lo assorbe. È dovuto alla capillarità.

3 Applicazioni della capillarità Calcolo quanto l acqua può risalire nelle piante: se i condotti della linfa hanno un raggio di r 10 µm l altezza che posso raggiungere è h 2 0, 072N/m 10 3 Kg/m 3 10m/s m 1, 5 m In realtà r 0.2 mm, quindi la capillarità ha un ruolo molto piccolo nel portare la linfa in cima agli alberi se una bolla d aria ostruisce un capillare, questa ha due superfici a contatto col liquido. Le curvature delle superfici non sono le stesse, se la pressione sanguigna è più alta da una parte che dall altra. Per questo motivo c è una differenza di pressione tra fuori e dentro le bolla data da ( ) p = 2 τ 1 1 R1 R2 Sfruttando la capillarità si possono costruire termometri di massima e di minima

4 Dinamica dei fluidi Fluidi incomprimibili La densità è costante Date due sezioni S 1 e S 2 del fluidi, il volume di acqua che entra in una deve uscire dall altra In un tempo t il fluido che entra ha un volume S 1 v 1 t, quello che esce ha un volume S 2 v 2 t. La continuità in questo caso dice S 1 v 1 = S 2 v 2 se il fluido si può comprimere, deve essere costante la massa, data da ρ v S, piuttosto che la densità. L equazione di continuità diventa quindi ρ 1 S 1 v 1 = ρ 2 S 2 v 2 Questa si riduce alla precedente nel caso di fluidi incomprimibili, per i quali ρ 1 = ρ 2 Questa equazione vale per fluidi perfetti, cioè privi di viscosità, e per i quali parlare di un unica velocità ha senso

5 Teorema di Bernoulli Voglio trovare una legge analoga alla conservazione dell energia Considero un fluido spinto in un tubo attraverso una supeficie S 1 a quota z 1 con velocità v 1, che esce da questo attraverso una supeficie S 2 a quota z 2 con velocità v 2. Il lavoro fatto per fare entrare il fluido in un tempo t è W 1 = p 1 S 1 v 1 t = p 1 m/ρ, mentre il fluido che esce da S 2 compie un lavoro W 2 = p 2 S 2 v 2 t = p 2 m/ρ L energia cinetica K = 1 2 m v 2 varierà a causa del fatto che entra fluido con velocità v 1 ed esce con velocità v 2, quindi K = 1 2 m (v 2 1 v 2 2 ) L energia potenziale varia perché il fluido entra a quota z 1 ed esce a quota z 2, quindi U = m (z 2 z 1 )g scrivendo quindi la relazione tra lavoro ed energia per un fluido incomprimibile p 1 ρ g + v g + z 1 = p 1 ρ g + v g + z 2

6 Equazione di Bernoulli Terminologia Considero i veri termini che compaiono nell equazione Se un liquido di densità ρ esercita una pressione (statica ) p, la sua altezza deve essere p = ρ g h e quindi h = p/ρ g. Il primo termine dell equazione di Bernoulli si chiama quindi altezza piezometrica Un oggetto sparato verso l alto, raggiunge un altezza massima data da 1 2 v 2 = gy, quindi il secondo termine è la massima altezza che un getto di liquido con questa velocità potrebbe raggiungere: si chiama altezza di arresto il teorema di Bernoulli si potrebbe enunciare quindi come: La somma delle altezze piezometrica, di arresto e geometrica rimane costante in una condotta percorsa da un liquido perfetto

7 Viscosità Il moto di una lamina trascinata sulla supeficie di un liquido raggiunge una velocità limite, segno che una forza si oppone al moto. Tutto il liquido, non solo lo strato superficiale, è interessato da moto Ogni strato di liquido è frenato da una strato vicino e trascina l altro Si trova sperimentalmente che, se h è la profondità del liquido, S la superficie della lamina e F la forza applicata, la velocità limite è data da v = η F h S quindi la forza viscosa è data da F = ηvs h η è una caratteristica del liquido e si chiama coefficiente di viscosità e si misura in Pa s = PI dove PI è il Poiseille mentre il poise (P) è l unità di misura nel sistena CGS 1 P = 0.1 PI. Diu solito si usa anche il centipoise (= 10 2 poise)

8 Tabella delle viscosità Sostanza Temperatura ( o C) Viscosità (Poise) Plasma sanguigno Sangue intero Glicerina Olio di macchina Olio di macchina Acqua Acqua Gas atmosferico η dipende da temperatura e pressione In alcuni fluidi dipende anche dalla velocità: questi sono detti non Newtoniani mentre gli altri sono detti Newtoniani in un liquido Newtoniano la velocità del fluido varia con l altezza x dal fondo con la legge v(x) = x h v(h)

9 Circolazione in un tubo cilindrico Si dimostra che la velocità a distanza r dall asse di un condotto ( ) cilidrico di raggio R e lunghezza L è data da v(r) = v max 1 r 2 R 2 la velocità è quindi massima al centro dove trovo v max = p R2 4 η L Si può integrare e trovare la portata totale data da q = dv dt = π pr 4 8 ηl Se un vaso sanguigno è ostruito per metà, si vede che, a parità di pressione la portata diventa 1/16, con importanti effetti fisiologici

10 Moto vorticoso Il moto laminare esiste per velocità moderate Sopra una certa velocità critica, che dipende dal raggio del tubo, non è più possibile il moto laminare. Questa è data da v c = Rc η R ρ R c è il numero di Reynolds e dipende dalla irregolarità e dalla pulizia delle pareti del tubo. Valori tipici sono di R c R c è adimensionale IL moto è considerato laminare se R c < 1200, turbolento se R c > e in una fase di transizione in mezzo Il moto vorticoso è importante più nei gas che nei liquidi È importante nel progettare l ala di un aeroplano o la chiglia di una nave Il moto laminare è silenzioso, quello vorticoso fa rumore: quindi se un vaso sanguigno è strozzato, potrebbe fare un rumore che la circolazione non fa in una persona sana

11 Liquidi non Newtoniani Una categoria sono quelli che hanno η funzione della velocità (viscoplastici) Soggetti ad un piccolo sforzo, si comportano come solidi elastici, se però lo sforzo è superiore al limite plastico scorrono come liquidi ai liquidi pseudoplastici basta una sollecitazione minima per scorrere Il sangue ha caratteristiche pseudoplastiche: la complicazione del suo comportamento deriva dalla composizione: una sospensione di globuli bianchi e rossi in una soluzione di proteine la branca della scienza che studia i fluidi non Newtoniani è la reologia

12 Legge di Stokes Una sferetta che si muove lentamente, con velocità v, in un fluido in quiete, è soggetta ad una forza viscosa F v = 6 π ηr v Se la sfera cade, sotto l effetto della gravità, nel fluido, la forza viscosa deve bilanciare il peso quando la velocità è costante mg = 4 3 πr 3 ρg = 6πηrv πr 3 ρ L g Questa da per la velocità, dopo il regime transitorio, il valore v = 2 r 2 g (ρ ρ L ) 9 η

13 Circolazione sanguigna È divisa in due parti: sistemica e polmonare La circolazione sistemica parte dall aorta, che ha raggio 9 mm, con portata di 80 cm 3 /s e velocità media di 0.33 m/s Passando alle altre arterie la sezione complessiva aumenta mentre la portata è costante: quindi la velocità deve diminuire (circa m/s) Questa tendenza continua fino ai capillari, la cui sezione totale è di 0,25 m 2, con una velocità, di conseguenza, di m/s Nel tornare verso il cuore, la velocità aumenta in modo inverso Tutti i vasi sanguigni hanno una certa elasticità, anche se non è uguale per tutti Il sangue viene pulsato da cuore dentro l aorta, che immagazzina parte dell energia sotto forma elastica L energia elastica viene restituita con un certo ritardo, smorzando l effetto delle pulsazioni tutti i vasi sanguigni si comportano in questo modo, per cui, a una certa distanza dall aorta, il flusso si può considerare continuo, e quindi laminare