Introduzione alla Meccanica: Cinematica

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1 Introduzione alla Meccanica: Cinematica La Cinematica si occupa della descrizione geometrica del moto, senza riferimento alle sue cause. E invece compito della Dinamica mettere in relazione il moto con le sue cause: perchè e come gli oggetti si muovono. Nel seguito ci occuperemo di fenomeni classici, ovvero: che avvengono a velocità << velocità della luce ( m/s) che avvengono su scale di lunghezza d >> dimensioni atomiche, per corpi di massa m >> massa delle particelle elementari; in tal caso si può parlare di una traiettoria ben definita per un corpo.

2 Cinematica: moto rettilineo Per localizzare un oggetto che si muove su di una retta, è sufficiente conoscere la sua posizione, x(t), rispetto ad un sistema di riferimento: Spostamento: x = x(t 2 ) x(t 1 )[m]. E la distanza percorsa in un tempo t = t 2 t 1 [s]. Velocità media: v = x t [m/s] Velocità istantanea: v = lim t 0 x t [m/s] Attenzione ai segni! La velocità può essere positiva o negativa, ma spesso si intende la velocità scalare, v o v, che è sempre positiva.

3 Moto rettilineo: rappresentazione grafica Diagramma orario, x(t): v: velocità media, è la pendenza della retta che congiunge i punti x(t 1 ) e x(t 2 )

4 Un altro esempio

5 Velocità media e istantanea x(t + t) x(t) v(t) = lim = dx(t) t 0 t dt La velocità istantanea è la derivata di x(t) rispetto al tempo (notazione alternativa: v(t) = ẋ(t)), e la pendenza della tangente alla curva x(t).

6 Accelerazione media e istantanea Accelerazione media: a = v t [m/s2 ] Accelerazione istantanea: a = lim t 0 v t L accelerazione istantanea è la derivata di v(t) rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda di x(t) rispetto al tempo: a(t) = dv(t) dt = d2 x(t) dt 2 (notazione alternativa: a(t) = ẍ(t)), ovvero la pendenza della tangente alla curva v(t).

7 Richiamo: calcolo di derivate Derivata della somma di funzioni: d df dg (f(x) + g(x)) = (x) + dx dx dx (x) Se α è costante, d (αf)(x) = αdf dx dx (x) Derivata del prodotto di due funzioni: d (f(x)g(x)) = g(x)df (x) + f(x)dg dx dx dx (x) Derivata di funzione di funzione: d df (f(g(x)) = dx dg (g(x))dg dx (x) funzione derivata y = α y = 0 y = x α y = αx α 1 y = sin x y = cos x y = cos x y = sin x y = tan x y = 1/ cos 2 x y = log x y = 1/x y = e x y = e x

8 Quiz rapido Quanto vale la velocità media nei primi 4 secondi? E la velocità istantanea nell istante t = 4 s? Qual è l accoppiamento corretto fra grafici di velocità e di accelerazione qui accanto?

9 Riassunto Se conosciamo la posizione x(t) in funzione del tempo, possiamo determinare velocità e acelerazione in funzione del tempo come: x = x(t) v = dx dt a = dv dt = d2 x dt 2 Esempio: La posizione di una particella sull asse x è data dalla funzione: x = 8t 2 6t + 4, dove le unità di misura sono m per x, s per t. Trovare le funzioni v(t) e a(t) della particella.

10 Moto uniforme e uniformemente accelerato Moto rettilineo uniforme: Moto uniformemente accelerato: x = x 0 + vt v = costante a = 0 x = x 0 + v 0 t at2 v = v 0 + at a = costante Grafici di posizione, velocità, accelerazione in funzione del tempo per il moto uniformemente accelerato:

11 Moto uniformemente accelerato, relazioni utili Da v = v 0 + at, risolvendo rispetto a t: t = v v 0 a Da x = x 0 + vt at2, sostituendo l espressione per t prima trovata: x = x 0 + v 0 v v 0 a + 1 ( ) 2 v 2 a v0 a ovvero x x 0 = ( v av v ) ( ) 0 v v0 a a = ( ) ( ) v + v0 v v0 2 a da cui un espressione che lega velocità e spazio percorso: v 2 v 2 0 = 2a(x x 0 )

12 Accelerazione di gravità Un oggetto lasciato libero cade verso terra per effetto della forza di gravità. L accelerazione causata dalla gravità è la stessa per qualunque oggetto: in assenza di altre forze (per esempio, resistenza dell aria) tutti gli oggetti cadono con la stessa accelerazione. L accelerazione di gravità si indica per convenzione con la lettera g. Alle nostre latitudini, alla superficie terrestre: g = 9.81m/s 2 All equatore, g = 9.78m/s 2 Al polo nord, g = 9.83m/s 2

13 Caduta libera dei gravi Nell esempio a lato, y 0 = y(t = 0) = 0 v 0 = v(t = 0) = 0 y(t) = 1 2 at2 = 1 2 gt2 Il segno dell accelerazione è dovuto alla scelta del verso dell asse y (positivo verso l alto)

14 Caduta libera dei gravi Un altro esempio

15 Cinematica in due o più dimensioni Le grandezze cinematiche fondamentali: posizione, velocità, accelerazione, sono dei vettori nello spazio a due o tre dimensioni, dotati di modulo, direzione, verso. In realtà anche nel moto rettilineo tali grandezze sono dei vettori, ma... in una dimensione! Hanno un segno e un modulo ma la direzione è fissata. Il corpo percorre una traiettoria nello spazio

16 Posizione e spostamento Vettore posizione: r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)ˆk Spostamento: r = r 2 r 1 = (x 2 x 1 )î + (y 2 y 1 )ĵ + (z 2 z 1 )ˆk

17 Velocità Velocità media: v = r t Velocità istantanea: v(t) = lim t 0 r t = d r dt La velocità istantanea: v(t) = v x (t)î + v y(t)ĵ + v z(t)ˆk = dx dt î + dy dt ĵ + dz dt ˆk è sempre tangente alla traiettoria

18 Accelerazione Accelerazione media: a = v t Accelerazione istantanea: a(t) = lim t 0 v t = d v dt = d2 r dt 2 In componenti cartesiane: a(t) = a x (t)î + a y(t)ĵ + a z(t)ˆk = dv x dt î + dv y dt ĵ + dv z dt ˆk = d2 x dt 2 î + d2 y dt 2 ĵ + d2 z dt 2 ˆk

19 Accelerazione (2) In generale, in un moto curvilineo, la velocità cambia sia in modulo che in direzione: l accelerazione può essere non nulla anche se il modulo della velocità non cambia. L accelerazione è un vettore nella direzione della variazione della velocità. Poiché la velocità cambia nella direzione in cui la traiettoria s incurva, l accelerazione è sempre diretta verso la concavità della traiettoria

20 Moto circolare e circolare uniforme Moto caratterizzato da v R, con R costante. Introduciamo la distanza percorsa lungo la circonferenza, s = Rθ: v = ds dt = Rdθ dt La grandezza ω = dθ è detta velocità dt angolare, si misura in radianti/s o in s 1. Moto circolare uniforme: caratterizzato da velocità angolare ω costante. Periodo: T = 2π, tempo necessario per fare un giro completo. ω Frequenza: ν = 1 T = ω, numero di giri per unità di tempo. 2π

21 Velocità angolare come vettore La velocità angolare può essere definita come un vettore di modulo ω, direzione perpendicolare al piano del moto, verso secondo la regola della mano destra. Con queste convenzioni: v = ω r

22 Velocità e accelerazione nel moto circolare uniforme Dal disegno sopra si vede che v = v f v i tende ad un vettore di modulo v θ = vω t = (v 2 /r) t, diretto verso il centro l accelerazione è quindi centripeta e di modulo a C = v2 r = ω2 r.

23 Esempio Determinare la velocità angolare della terra attorno al proprio asse. Attenzione: non è semplicemente ω = 2π/T, dove T = s è la lunghezza del giorno solare medio! Il periodo T di rotazione della terra, o giorno sidereo, vale T = s, perché la terra deve ancora ruotare di un angolo γ 1 affinchè il sole torni nella stessa posizione. Da qui: ω = 2π T = rad s 1. La differenza t = T T = 240 s può essere stimata come t = γ/ω. Usando γ 2π/360 rad si trova t = 239 s.

24 Moto dei proietti E il moto di particelle che vengono lanciate con velocità iniziale v 0 e sono soggette alla sola accelerazione di gravità g supposta costante. La pallina rossa viene lasciata cadere da ferma nello stesso istante in cui l altra è lanciata orizzontalmente verso destra con velocità v 0. Osservazioni sperimentali: gli spostamenti verticali delle due palline sono identici Il moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti

25 Analisi del moto dei proietti Il moto può essere analizzato separatamente nelle sue componenti: la componente orizzontale è descritta dalle relazioni cinematiche del moto rettilineo uniforme quella verticale dalle relazioni del moto uniformemente accelerato. Il moto avviene nel piano individuato da v 0 e g: scegliamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale orientando l asse x orizzontalmente e l asse y lungo la verticale.

26 Analisi del moto dei proietti Analizziamo separatamente il moto orizzontale: e il moto verticale: a x = 0, v x = v 0x = cost, x = x 0 + v 0x t a y = g, v y = v 0y gt, y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 v 0x = v 0 cos θ, v 0y = v 0 sin θ Determiniamo la traiettoria: il luogo geometrico dei punti occupati dal vettore posizione r(t) nel corso del tempo.

27 Equazione della traiettoria Eliminiamo t fra le equazioni del moto per x(t) e y(t): x(t) = x 0 + v 0x t t = x x 0 v 0x y(t) = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 y y 0 = v 0y (x x 0 ) 1 v 0x 2 g(x x 0) 2 v0x 2 Ponendo v 0x = v 0 cos θ, v 0y = v 0 sin θ, x 0 = y 0 = 0, otteniamo: y = x tan θ g 2(v 0 cos θ) 2x2 Questa è l equazione di una parabola: la traiettoria è parabolica.

28 Gittata Distanza orizzontale coperta dal proietto all istante in cui tocca il suolo: y = v 0 t sin θ 1 2 gt2 = 0 Soluzioni: t = 0, oppure t = 2v 0 sin θ g Sostituendo quest ultimo in x(t) = x 0 + v 0 (cos θ)t si trova: x x 0 = 2v2 0 g sin θ cos θ = v2 0 g sin(2θ) = R

29 Gittata 2 La gittata R: R = v2 0 g sin(2θ) è massima se θ = 45. L altezza massima h si raggiunge quando v y = v 0 sin θ gt = 0, ovvero per t = g v 0 sin θ, da cui h = v2 0 2g sin2 θ.

30 Qualche esercizio In un cantiere una chiave inglese viene lasciata cadere da ferma da una certa altezza h e arriva al suolo con velocità v = 24 m/s. 1. Quanto tempo ha impiegato a cadere? 2. Da che altezza è caduta? (si trascuri l effetto dell attrito con l aria)

31 Qualche esercizio In un cantiere una chiave inglese viene lasciata cadere da ferma da una certa altezza h e arriva al suolo con velocità v = 24 m/s. 1. Quanto tempo ha impiegato a cadere? 2. Da che altezza è caduta? (si trascuri l effetto dell attrito con l aria) 1) v = gt, da cui t = v/g = 2.45 s 2) h = gt 2 /2 = v 2 /(2g) = 29.4 m. Notare che quest ultima relazione è uguale all espressione trovata in precedenza: v 2 v 2 0 = 2a(x x 0 ) con v 0 = 0, x 0 = 0, x = h, a = g

32 Come impostare la risoluzione di un problema Qualche consiglio utile: a) Leggere attentamente il testo b) Fare un disegno scegliendo il sistema di riferimento c) Analizzare il problema: quali relazioni cinematiche si possono usare? d) Risolvere il problema simbolicamente e) Verificare se la risposta è dimensionalmente corretta f) Risolvere il problema numericamente.

33 Qualche altro esercizio Una palla viene lanciata lungo la verticale ascendente con velocità iniziale v 0 = 20 m/s. a) Per quanto tempo rimane in aria? b) Qual è il valore della massima quota raggiunta? c) In quale istante si trova a 15 m sopra il suolo?

34 Soluzioni: a) y(t) = v 0 t gt 2 /2; cerchiamo il tempo t 1 tale per cui y(t 1 ) = 0. Otteniamo: v 0 t 1 gt 2 1/2 = 0, ovvero t 1 = 0 (soluzione banale) e t 1 = 2v 0 /g = 4.08 s. b) La quota massima è raggiunta quando v(t) = v 0 gt = 0, ovvero dopo t 2 = v 0 /g = 2.04 s. Notate che t 1 = 2t 2 : la salita dura lo stesso tempo della discesa. La quota raggiunta è quindi y(t 2 ) = v 0 t 2 gt 2 2/2 = v0/2g 2 = 20.4 m. c) Dobbiamo cercare il tempo t 3 tale per cui y(t 3 ) = y 1 con y 1 = 15 m, ovvero v 0 t 3 gt 2 3/2 = y 1. Questa è un equazione di secondo grado in t che ha come soluzioni t 3 = v 0± v 2 0 2gy 1 g. Le due soluzioni sono t 3 = 0.99 s (in salita) e t 3 = 3.09 s (in discesa). Notare che se y 1 > v 2 0/2g non ci sono soluzioni: il termine sotto radice diventa negativo. In effetti la pallina non sale mai oltre tale livello.

35 Altri esercizi Si lascia cadere una pietra da un dirupo alto 100 m. Quanto tempo impiega per cadere a) per i primi 50 m, b) per i restanti 50m? Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso l alto un sasso. Esso raggiunge la massima altezza 1.60 s dopo il lancio. Ricade in strada dove giunge 6.00 s dopo il lancio. Determinare: a) La velocità di partenza del sasso; b) l altezza massima raggiunta sopra l edificio; c) l altezza dell edificio.

36 Qualche esercizio Un camion rallenta da una certa velocità iniziale fino ad una velocità finale di 2.80 m/s. La frenata dura 8.5 s e in questo tempo il camion percorre 40.0 m. Trovare a) la velocità iniziale del camion, b) la sua accelerazione.

37 Esempio 1 Nel 1996 C. Lewis vinse la medaglia d oro nel salto in lungo con un salto di 8.50 m. Se l angolo con cui spiccò il salto fu θ = 23, calcolare, assumendo il moto parabolico, il modulo v 0 della velocità iniziale.

38 Esempio 1 Nel 1996 C. Lewis vinse la medaglia d oro nel salto in lungo con un salto di 8.50 m. Se l angolo con cui spiccò il salto fu θ = 23, calcolare, assumendo il moto parabolico, il modulo v 0 della velocità iniziale. R = v2 0 g sin(2θ) v 0 = Rg sin(2θ) = m/s = 10.8m/s 0.72 Vi sembra un valore ragionevole?

39 Esempi 2 e 3 Dal tetto di un edificio di altezza h viene lanciata una pallina con velocità v 0 = 10 m/s e inclinazione θ = 30 rispetto all orizzontale. Calcolare l altezza h dell edificio, sapendo che la pallina arriva al suolo ad una distanza d = 18 m dalla base dello stesso. Variante (un po più complicata): Dal tetto di un edificio di altezza h = 45 m viene lanciata una pallina con velocità v 0 = 20 m/s e inclinazione θ = 30 rispetto all orizzonte. Calcolare a che distanza dall edificio la pallina tocca il suolo.

40 Nota Bene E necessario specificare sempre in quale sistema di riferimento si descrive il moto: le componenti di r, di v e di a, l espressione analitica della traiettoria, dipendono dal sistema di riferimento. Le relazioni generali tra le grandezze cinematiche sono invece relazioni vettoriali e in quanto tali non dipendono (sono covarianti) dalla scelta del sistema di riferimento. Usiamo l equazione della traiettoria (valida se x 0 = y 0 = 0!): y = x tan θ Soluzione del primo problema: y = d tan 30 g 2(v 0 cos θ) 2x2 g 2(v 0 cos 30 ) 2d2, h = y = 10.8m