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1 Caitolo III VALORI MEDI. SAZIONARIEÀ ED ERGODICIÀ III. - Mdi tatitich dl rimo ordi. Sia f( ) ua fuzio cotiua i aoci al gal alatorio (, t ζ ) la uatità dfiita dalla y f[(, t ζ )]. Ea idividua, a ua volta, u gal alatorio la cui grica maiftazio è ota i corriodza dlla grica maiftazio dl gal (t,ζ). uttavia i fia il valor dl tmo t, la uatità y aum il igificato di ua variabil alatoria; è ota la ua dità di robabilità ad a i uò aociar ua valor mdio tatitico. La gradzza coì dfiita: (III..) E{ f() } f () f (x) (x; t)dx rd il om di valor mdio tatitico dlla fuzio f(). È oortuo ottoliar ch tal mdia did i gr dall itat di orvazio t. Ea, ioltr, i uato didt dalla dità di robabilità dl rimo ordi, dfiic ua mdia tatitica dl rimo ordi. S i o f () (co itro) dalla (III..) i otti il valor mdio tatitico dlla otza -ima dl gal: (III..) ( ) m () t x ( x;) ch cotituic il momto -imo dl rimo ordi dl gal (t, ζ). I articolar, i virtù dlla (II..5), riulta (III..3) ( ) () ( ;) m t x. Pr i ha: m () () t E (, t ) x ( x;) ζ ch rd il om di valor mdio tatitico dl gal. Pr i dduc: () (III..4) m () t E (, t ζ ) x ( x;) ch rarta il valor uadratico mdio tatitico dl gal. S al gal (t,ζ) i ottra il uo valor mdio tatitico i otti u uovo gal () (, t ζ) m () t il cui momto -imo dl rimo ordi: (III..5) ( ) () () μ () t E (, t ) m () t x m () t ζ ( x;) dfiic il momto ctral -dl rimo ordi aociato ad (t,ζ). La (III..5) foric, i articolar, r : (III..6) () () σ () t μ () t x m () t ( x;) domiata variaza dl gal. Riulta facilmt: (III..7) ( ) t m t ( ) σ () () m t ()

2 -6- G. Mamola: Fodamti di Comuicazioi Elttrich III. Mdi tatitich dl codo ordi. Più i gral dato u gal (t,ζ), fiata la -ula t,,t, uò r idividuato u vttor di variabili alatori l cui comoti oo rittivamt: (t, ζ),, (t, ζ). Alla gradzza x f() dov f() dota ua fuzio dfiita i uo azio -dimioal, è oibil aociar la mdia tatitica x odo: (III..) E f() f() f( x) ( x;) dov (x;t) idica la dità di robabilità di ordi dl gal. I articolar, coidrado olo du itati di tmo t la rcdt i riduc alla:, t (III..) E f(, ) f(, ) f( x, x ) ( x, x ; t, t ) dx dx S i o f (, ) dalla (III..) i otti il momto ( + ) -imo dl codo ordi dl gal: (, ) m ( t, t ) E x x ( x, x ; t, t ) dx dx (III..3) { } I articolar, r i otti m (,) ( t, t ) r foric la mdia m (,) ( t, t ) dtta fuzio di autocorrlazio dl gal: (III..3) R( t, t ) x x (, ;, ) x x t dx Molto o è covit rimr la fuzio di autocorrlazio i fuzio dll itat t dlla diffrza t t. Podo allora t t τ t t lla (III..3), la fuzio di autocorrlazio divta: (III..4) R(, t τ ) x x (, ;, ) x x t t+τ dx dx Si ooo ach dfiir di momti ctrali ( + ) -imi dl codo ordi: (III..5) (, ) () () t t m t m t μ (, ) ( ) ( ) () () x m ( t) x m ( t) ( x, x; t, t) dxdx μ (, ) i articolar il momto ctral σ (t,t ) riulta: (III..6) σ ( t, t ) R ( t, t ) E{ } E{ } I momti ctrali μ (, ) tati t t rittivamt: rd il om di autocovariaza dotata co μ (, ) idividuao la variaza dl gal calcolata gli i- (,) () μ ( t) σ ( t) m ( t) (III..7) (,) () μ ( t) σ ( t) m ( t) Ach l cao di du gali alatori dititi x(t) y(t), i uò dfiir il valor mdio tatitico dlla fuzio f( x, y ) mdiat la: E f( x, y ) f( x, y ) f( x, y) ( x, y; t, t ) dxdy (III..8) xy do rittivamt x y l variabili alatori x(t, ζ) y(t, ζ) dov x y (x, y;t, t ) dota la dità di robabilità cogiuta di du gali. Il momto icrociato ( + ) -imo è allora dfiito dalla: (III..9) E{ x y} x y x y (, ; xy x y t, t) dxdy Qualora i gali iao tatiticamt ididti riulta vidtmt:

3 Ca. III Valori mdi. Stazioarità d rgodicità -7- (III..) { } { E x y E x } E{ y} cioè il valor mdio dl biomio x. y S i o lla (III..9) x y i ha: (III..) Rxy ( t, t) xy (, ; xy x y t, t) dxdy i otti dal rodotto di valori mdi dll uatità ch cotituic la fuzio di corrlazio icrociata o di mutua corrlazio aociata ai du gali. S i o lla rcdt t t τ t t i ha (III..) Rxy (, t τ ) xy (, ;, ) xy x y t t +τ dxdy cioè la fuzio di mutua corrlazio è ra i fuzio dll itat iizial t dlla diffrza τ. I momti ctrali ( + ) -imi icrociati, oo dfiiti com gu: (III..3) Podo i ha: (III..4) ( x x ) ( y y ) E ( x x ) ( y y ) ( ) ( ) xy x x y y ( x, y; t, t ) dxdy {( )( )} σ ( t, t ) E x x y y xy ( )( ) x x y y ( x, y; t, t ) dxdy xy ch è la fuzio di covariaza icrociata o di mutua covariaza. Si otti facilmt: (III..5) σ xy ( t, t) Rxy ( t, t) E{ x} E{ y} S i gali oo tatiticamt ididti riulta R t t E{ x } E{ y } (III..6) σ xy (t, t ) xy (, ), uidi: III.3 Sgali alatori dtrmiitici. Ua cla articolar di gali alatori è cotituita dai coiddtti gali alatori dtrmiitici. I i l voluzio dlla grica maiftazio r t τ uò r ddotta dalla coocza dl gal i t < τ. I gral u gal di uto tio è rartato da ua fuzio (, t v ) i cui v è u -vttor comoto da variabili alatori dfiit u uo to rimto caual carattrizzat da ua dità di robabilità cogiuta v ( v, v,, v ; t, t,, t ). I uto cao il valor mdio tatitico divta: (III.3.) il valor uadratico mdio: (III.3.) la fuzio di autocorrlazio: E (, t v) (, t v) (, t v) v ( v; t) dv E (, t v) (, t v) (, t v) v ( v; t) dv (III.3.3) R ( t, t) ( t, v) ( t, v) v ( v; t) dv

4 -8- G. Mamola: Fodamti di Comuicazioi Elttrich Emio Si coidri il gal t (, ϕ ) co( π ft +ϕ ) dov ϕ è ua variabil alatoria dfiita i [, π ) carattrizzata dalla dità di robabilità ϕ ( ϕ ). Il valor mdio dl gal val: il valor uadratico mdio: la fuzio di autocorrlazio: {} π / co( π/ ) ϕ ( ) E π f t +ϕ ϕ d ϕ π / E co ( π f t +ϕ) ( ϕ) d ϕ π / π/ R ( t, t ) co( π f t +ϕ) co( π f t +ϕ) ( ϕ) dϕ π/ S ϕ è uiformmt ditribuita i [ ), π l rcdti divtao: π E{} co( π f t +ϕ) dϕ π π π/ + co(4π ft + ϕ) E{ } co ( π ft +ϕ) dϕ dϕ π π π/ co( πf ( t t ) + co( π f ( t + t + ϕ) R ( t, t ) co( f t ) co( f t ) d d π π co( πf ( ) t t π π π +ϕ π +ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ III.4 - Stazioarità. U gal alatorio (t) i dic tazioario i o trtto l u fuzioi di robabilità, di ualiai ordi didoo cluivamt dalla oizio rlativa dgli itati i cui il gal vi orvato. Cioè riulta: ( x, x,, x ;,,, ) t t t (III.4.) ( x, x,, x ; t +, t +,, t + ) N, S la rcdt val olo k, il gal i dic tazioario all ordi k. La codizio (III.4.) comorta ch la dità di robabilità di ordi dida dall diffrz τ ij t i t j fra gli itati di orvazio. I articolar r i ha: (III.4.), (x, x ;t,t ), ) (x, x ;τ) do τt t, mtr la dità di robabilità dl rimo ordi dv riultar ididt dal tmo: (III.4.3) (x;t) (x) Si oti ch dal momto ch la dità di robabilità di ordi uò r ddotta da ulla di ordi la tazioarità all ordi k comorta ulla agli ordii ifriori, ma o il vicvra. Ua cla imortat di gali è cotituita dai gali tazioari i o lato. U gal i dic tazioario i o lato riulta: E{ (, t ζ )} cot (III.4.4) E ( t, ζ) ( t, ζ ) R ( t t ) cioè il uo valor mdio è ididt dal tmo la ua l autocorrlazio did olo dalla diffrza fra gli itati t t.

5 È vidt ch, do R () E{ ( t, )} Ca. III Valori mdi. Stazioarità d rgodicità -9- ζ la tazioarità i o lato imlica ch ach il valor uadratico mdio o did da t. È oortuo ifi orvar ch u gal tazioario i o trtto lo è ach i o lato, ma o vicvra giacché, ad mio, l ivariaza tmoral dl momto dl codo ordi o imlica cariamt ulla dlla corriodt dità di robabilità. III.5 - Mdi tmorali d rgodicità. L coidrazioi i ui volt motrao com è oibil ottr dll iformazioi u u gal alatorio a artir dall iim dll u maiftazioi ot ch iao l u fuzioi di robabilità. I molti cai i hao a dioizio alcu maiftazioi dl gal ( o ua ola) dall uali ooo dduri olo ull iformazioi ch i ottgoo utilizzado l coiddtt mdi tmorali. S (, t ζ ) dota la grica maiftazio di u gal alatorio, la uatità (III.5.) f [(, tζ )] lim f[()] t it, cotituic la mdia tmoral dlla fuzio f() aociata alla maiftazio (, t ζ ) dl gal. Dalla (III.5.) ooo i articolar dduri il valor mdio tmoral: (III.5.) (, t ζ ) lim (, t ζ) il valor uadratico mdio tmoral: (III.5.3) (, t ζ ) lim (, t ζ) ch rim la otza mdia cifica aociata alla maiftazio (, t ζ ). Più i gral i uò dfiir ua mdia tmoral aociata alla fuzio f [ ( t+ t, ζ ), ( t + t, ζ ),, ( t + t, ζ )] mdiat la: f[ ( t+ t, ζ ), ( t + t, ζ ),, ( t + t, ζ )] (III.5.4) lim f [ t ( + t, ζ ), t ( + t, ζ ),, t ( + t, ζ)] Dalla (III.5.4) i articolar, odo [ ] +λ ζ +λ ζ d +λ ζ +λ ζ λ f ( t + λ, ζ ), ( t +λ, ζ ) ( t +λ, ζ ) ( t +λ, ζ ) i ha: (III.5.5) ( t, ) ( t, ) lim ( t, ) ( t, ) ch, odo t t +λ τ ( t +λ) ( t+λ) cotituic l rio dlla fuzio di autocorrlazio i mdia tmoral dl gal (, t ζ ). Riulta: (III.5.6) γ (, τ ζ ) lim (, t ζ )( t+τ, ζ) È da otar ch, i ogi cao, l mdi tmorali, forit dalla (III.5.) o dalla (III.5.4), dfiicoo altrttat variabili alatori, dato ch didoo dalla maiftazio dl gal. È uidi oibil calcolar u loro valor mdio tatitico com gu:

6 -3- G. Mamola: Fodamti di Comuicazioi Elttrich (III.5.7) { [ (, )] } { lim [ (, )] } E f tζ E f tζ { ζ } lim E f[ ( t, ζ )] E f[ ( t, )] I maira aaloga, artdo dalla (III.5.4) i rvi alla: E{ f[( t+ t, ζ ),( t + t, ζ ),,( t + t, ζ )] } (III.5.8) E f[( t + t, ζ ),( t + t, ζ ),,( t + t, ζ)] L (III.5.7) (III.5.8) tao a igificar ch l orazioi di mdia tmoral mdia tatitica ooo r tra loro rmutat. L mdi tmorali, di r è, o rmttoo di ottr dll iformazioi di atura tatitica dl gal. uttavia it ua articolar cla di gali r i uali ogi rorità tatitica uò r dtrmiata a artir da ua ualiai maiftazio. I altri trmii, ualiai orazio di mdia ffttuata l tmo u ua grica maiftazio coduc agli ti riultati i ffttua l orazio aaloga ulla ba dll iim dll maiftazioi. U gal di tal tio i dic rgodico. Normalmt i è itrati ad u articolar aramtro dl gal (valor mdio, valor uadratico mdio o autocorrlazio). Di coguza l rgodicità è formulata limitatamt al aramtro i coidrazio i uato u gal alatorio è rgodico ritto a crti aramtri uò o rlo r altri. I articolar u gal i dic rgodico i mdia uado riulta t (, ζ ) Et {(, ζ)} cioè: (III.5.9) lim ( t, ζ ) x ( x; t) dx i dic rgodico i fuzio di autocorrlazio t (, ζ ) t ( +τ, ζ ) Et { (, ζ ) t ( +τ, ζ)} cioè: (III.5.) lim ( t, ζ ) ( t +τ,) x x ( x, x ; t, t +τ) dx dx Affiché la codizio di rgodicità i vrifichi, occorr iazi tutto ch l mdi tmorali o didao dalla articolar maiftazio; ioltr è cario ch l mdi tatitich a codo mmbro dll (III.5.9) o didao da t ull dfiit dalla (III.5.) didao olo da τ. Ciò comorta ch rchè u gal alatorio ia rgodico è cario ch ia tazioario almo i o lato. Poiché odo lla (III.5.) τ i otti: τ (III.5.) lim ( t, ζ ) x ( ; ) S x do lim ( x, x ; t, t+τ ) ( x ; t) δ( x x ) la codizio di rgodicità ritto al valor uadratico mdio dicd da ull dll autocorrlazio. Si tgao rti l (II..7) (II..8) dl Ca. II.

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