PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI"

Transcript

1 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del IDICE (lezione PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore medio atteso o momento primo di una quantità aleatoria pag. 3. Varianza e momento secondo di una quantità aleatoria pag. 3.3 Frequenza assoluta, frequenza relativa e densita di frequenza dei valori osservati di una quantita aleatoria pag Probabilita, valore atteso e varianza delle quantitá aleatorie e loro relazione con i dati osservati pag. 10 1

2 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del PROBABILITÀ, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 VALORE MEDIO ATTESO O MOMETO PRIMO DI UA QUATITÀ ALEATORIA Per certe applicazioni non è necessario considerare la q.a. con il dettaglio di tutti i suoi valori possibili e con le corrispondenti probabilità o densità di probabilità. Il valore medio atteso, o momento primo, di una q.a. discreta o continua è un numero che sintetizza in modo appropriato la q.a. stessa. (Formula del valore medio atteso o momento primo di una q.a. Per poter sintetizzare una q.a. in modo appropriato il valore medio atteso, o E, di una q.a. si calcola utilizzando tutti i valori possibili della q.a. e le corrispondenti probabilità o densità di probabilità, e precisamente è dato dalle seguenti formule p ( q.a. discreta S E f d q.a. continua S [Osservazione facoltativa: dalla prima formula di risulta evidente che la dimensione fisica di è la stessa dei valori S (infatti le probabilità p ( sono numeri puri cioè privi di dimensione fisica. Es.: se la q.a. è una lunghezza (e quindi i suoi valori possibili S sono delle lunghezze, allora anche è una lunghezza (e precisamente la lunghezza media di tutti i valori possibili. Per la seconda formula di, come si vedrà più oltre, vale la stessa osservazione] (Significato applicativo del valore medio atteso di una q.a. I valori possibili di una q.a. sono distribuiti o posizionati o sparpagliati o dispersi sull asse delle ascisse. Inoltre, la posizione di ciascuno di essi è più o meno rilevante, e dà un contributo più o meno grande alla somma e all integrale che determina, a seconda della grandezza della probabilità o densità del valore stesso. Si dice allora che il valore medio atteso di una q.a. indica la posizione media della q.a. sull asse delle ascisse. Più brevemente si dice anche che il valore medio atteso è un indice di posizione di una q.a. (Proprietà del valore medio atteso di una q.a. Il valore medio atteso di una q.a. discreta o continua sintetizza in modo appropriato la q.a. stessa perché ha, fra le altre, le seguenti due proprietà: Proprietà di consistenza (verificare per esercizio S c, Proprietà di internalità Se è una q.a. degenere con { } allora: E c Per qualsiasi q.a. si ha: min S E ma S [Facoltativa, non in programma] Proprietà di compensazione delle differenze ( p 0, ( f 0 S S S :

3 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del (Osservazione: corrispondenza fra le formule di nel caso discreto e continuo Si noti la seguente corrispondenza fra le formule del valore medio atteso continue E p ( p P S di q.a. discrete e f d f d P( < + d S Corrispondenza indicata dalla prima freccia La sommatoria è definita in matematica soltanto per un numero finito o infinito numerabile (in questo caso è una serie di valori possibili, cioè per un insieme discreto di valori possibili. Per un insieme S continuo al posto della sommatoria si deve considerare l integrale. S Evidente. Corrispondenza indicata dalla seconda freccia Corrispondenza indicata dalla terza e quarta freccia [Facoltativa, non in programma]. L intervallo ( < + d è l intervallo infinitesimo che è il limite di un intervallo ( < + al tendere a zero la lunghezza (al limite si pone d: lim 0 ( < + ( < + d Per le q.a. continue l evento aleatorio dato dall intervallo infinitesimo ( < d S è il più piccolo evento che meglio approssima o meglio corrisponde (quarta freccia, all evento aleatorio ( con probabilità P( 0 delle q.a. discrete. Dalla corrispondenza fra i due eventi segue anche la corrispondenza (terza freccia fra le loro probabilità. (La dimensione fisica della densità di probabilità [facoltativa, non in programma] Assumiamo vera l equazione: f d P( d < + (v. quarta freccia sopra DOMADA: quale è la dimensione fisica della densità di probabilità f (? RISPOSTA. Il secondo membro della equazione di cui sopra è la probabilità P( < + d che, in quanto probabilità, è un numero puro (cioè privo di dimensione fisica. Allora deve essere f d al primo membro della equazione. Affinché il prodotto un numero puro anche il prodotto f d sia un numero puro, f dimensione fisica di d (che è la stessa di deve avere dimensione fisica pari al reciproco della S. Esempio: se S dimensione fisica lunghezza (elevata alla prima, allora f elevata alla 1, cosicché il prodotto f, e quindi d, ha la ha la dimensione lunghezza d è un numero puro. A questo punto si ritorni a verificare quanto detto sulla dimensione di nel caso di q.a. continua. 3

4 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del (Generalizzazione per le q.a. non uniformi della regola: probabilità base altezza [Facoltativa, non in programma]. Assumiamo vera l equazione: f d P( d < + (v. quarta freccia sopra DOMADA: Cosa ci dice, cosa significa, tale equazione? P < + tanto più RISPOSTA. Tale equazione ci dice che per il calcolo della probabilità piccola è la lunghezza dell intervallo considerato (al limite d tanto meglio il prodotto f (al limite il prodotto f d approssima il valore della probabilità P( < +. Si noti che il prodotto f (al limite il prodotto f d è la regola lunghezza di base (al limite d per altezza f densità f ( in realtà non è uniforme sull intervallo considerato ( generale l equazione f d P( d limite d tanto meglio il prodotto base per altezza f (al limite il prodotto f approssima il valore della probabilità P( < +. applicata nel caso generale in cui la < +. In tale caso < + ci dice dunque che tanto più piccolo è (al d (Interpretazione probabilistica di due formule del Calcolo differenziale: la formula del teorema del valor medio e la formula del differenziale [Facoltativa, non in programma]. Consideriamo l equazione: f d P( d < + (v. quarta freccia sopra DOMADA: Perché tale equazione è vera? PRIMA RISPOSTA. Tale equazione è vera perché è un risultato del Calcolo differenziale che si ottiene dal limite per che tende a zero dalla formula del teorema della media in forma integrale ovvero + f ( d f ( f d [, + (1 0 la cui interpretazione in Calcolo delle Probabilità è data da + f ( d P( < + P( < + d ( SECODA RISPOSTA. Alternativamente, l equazione di cui si tratta è un risultato del Calcolo differenziale che si ottiene dal limite per che tende a zero dalla formula del differenziale di una funzione F 0 F + F f + o f d (3 0 F la cui interpretazione in Calcolo delle Probabilità (con funzione di ripartizione è data da ( F + F P < + P < P < + P < + d ( 0 COCLUSIOE sia (1-(, sia (3-(, tendente a zero danno proprio l equazione: ( < + f d P d

5 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del VARIAZA E MOMETO SECODO DI UA QUATITÀ ALEATORIA (Formula della varianza σ di una q.a. Per il calcolo della varianza V, o σ, di una q.a. si utilizzano tutti i valori possibili della q.a. e le corrispondenti probabilità o densità di probabilità, e precisamente è data dalle seguenti formule ( p ( q.a. discreta S V σ ( f d ( q.a. continua S [Osservazione facoltativa: dalle due formule di cui sopra, e da quanto visto sulla dimensione fisica di, risulta evidente che la dimensione fisica di σ è il quadrato della dimensione fisica dei valori S. Esercizio. Se k è un numero puro (senza dimensione, dire se sono dimensionalmente corrette le espressioni: (1 kσ e + kσ (Risposta: O, ( kσ e + kσ (Risposta: SI]. (Significato applicativo della varianza σ di una q.a. In relazione al significato applicativo del valore medio atteso, si è già detto che i valori possibili S di una q.a. sono distribuiti o posizionati o sparpagliati o dispersi sull asse delle ascisse. Inoltre, si è detto che la posizione o distanza di ciascuno di essi rispetto a è più o meno rilevante a seconda della grandezza della probabilità p o densità f del valore S stesso. Allora si ha che: la varianza di una q.a. indica o misura la distanza complessiva o la dispersione complessiva o aggregata di tutti i valori possibili della q.a. rispetto alla posizione media data dal valore medio atteso. Infatti, il valore della varianza si calcola come sommatoria (o integrale delle distanze ( di ciascun valore possibile S dalla posizione media e ciascuna singola distanza dà un contributo maggiore o minore alla distanza complessiva (cioè alla f, per cui varianza a seconda che sia maggiore o minore la probabilità ciascuna singola distanza è moltiplicata (vedere le formule di σ sopra. p, o densità (Proprietà della varianza σ di una q.a. Proprietà di non negatività della varianza (la prima affermazione qui sotto è evidente; verificare la seconda per esercizio V σ 0 qa.. V σ 0 se e solo se è una q.a. degenere (Formula del momento secondo E ( di una q.a. Il momento secondo E ( di una q.a. è un numero che si calcola utilizzano tutti i valori possibili della q.a. e le corrispondenti probabilità o densità di probabilità, e precisamente è dato dalle seguenti formule (vedere la pagina seguente 5

6 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del E S S p f d ( q.a. discreta ( q.a. continua [Osservazione facoltativa: dalle due formule di cui sopra risulta evidente che la dimensione fisica E è il quadrato della dimensione fisica dei valori S ] di ( Il momento secondo permette di calcolare la varianza con una formula alternativa a quella data dalla sua definizione già vista. Inoltre il momento secondo coincide con la varianza nel caso particolare ma importante qui sotto specificato. (Formula della varianza scritta con il momento secondo e sua conseguenza Si dimostra che per le q.a. discrete e continue si ha V σ E da cui segue che il riquadro sinistro qui sotto implica quello destro e viceversa 0 E( E σ (Dimostrazione della formula della varianza scritta con il momento secondo [facoltativa, non in programma] Consideriamo il caso discreto (la dimostrazione è la stessa, mutatis mutandis, nel caso continuo. ( p S S V( ( p S ( p p p + + p p p + S S S p + S p ( S ( ( E E E (poiché: p (, p 1 S S (Scarto quadratico medio o deviazione standard σ di una q.a. Lo scarto quadratico medio o deviazione standard di una q.a. discreta o continua è la radice quadrata (positiva della varianza, ovvero è V σ σ 0 Il significato applicativo di σ è lo stesso della varianza σ. La differenza stà nella dimensione fisica. [Osservazione facoltativa: la dimensione fisica di σ, al contrario di quanto accade con la varianza, è la stessa dimensione fisica di S e di. Pertanto, se k è un numero puro (senza dimensione, allora: (a è dimensionalmente corretta l espressione kσ (che compare negli intervalli di confidenza, invece: (b è dimensionalmente scorretta l espressione kσ ]. 6

7 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del FREQUEZA ASSOLUTA, FREQUEZA RELATIVA E DESITA DI FREQUEZA DEI VALORI OSSERVATI DI UA QUATITA ALEATORIA Tutti i più importanti risultati teorico-matematici delle teorie delle scienze fisiche ( e quindi anche del calcolo delle probabilità si basano direttamente o indirettamente sull operazione matematica di limite che, a sua volta, coinvolge due nozioni di infinito, e precisamente: (I la nozione di infinito numerabile nel caso del limite per ( 1,,... { } (II la nozione di infinito più che numerabile nel caso del limite per 0 (, 0. Tuttavia, al di fuori della matematica, bisogna rinunciare all aiuto e all utilità della nozione matematica di infinito, ciò in particolare nelle due seguenti importanti circostanze: (III la verifica empirica dei risultati delle teorie delle scienze fisiche si basa sui valori osservati delle quantità coinvolte e tali valori, per quanto osservati in grande numero, saranno sempre in numero finito. (IV l applicazione in campo tecnologico ed industriale dei risultati delle teorie delle scienze fisiche si basa anch essa sui valori osservati delle quantità coinvolte e tali valori, per quanto osservati in grande numero, saranno sempre in numero finito. Inoltre a tal proposito, va tenuto presente che di tutti gli infiniti (e più che numerabili numeri dell asse reale (, che si dovrebbero scorrere per valutare il limite per 0 (, 0, la stragrande maggioranza di essi non potrà mai essere osservato misurando il valore delle quantità fisiche, infatti: (V per qualsiasi quantità fisica non potranno mai essere osservati valori dell asse reale 1 (, con un numero infinito di cifre decimali, p.es , (che sono 6 numeri reali razionali, o π , e (che sono numeri reali irrazionali. (VI dei numeri dell asse reale (, che restano, cioè quelli con un numero finito di cifre decimali, si potranno osservare solo quelli il cui numero finito di cifre decimali è abbastanza piccolo da poter essere, p. es., scritto a mano in tempo ragionevole od essere contenuto nei registri o nelle parole (word dei computer che hanno, ovviamente word length e memory size ( cioè capacità di immagazzinamento o memorizzazione finita. Tutto ciò premesso, ed a riprova del fatto che la nozione matematica di limite e di infinito risponde comunque ad una effettiva necessità dell indagine scientifica, nelle due importanti circostanze (III e (IV di cui sopra spesso si imita le nozione matematica di limite per ( 1,,... con una nozione empirica di limite per abbastanza grande. Ciò si fa anche { } nel calcolo delle probabilità, e ciò dà luogo alla seguente tabella di corrispondenza fra nozioni o quantità teoriche (che possono coinvolgere direttamente o indirettamente la nozione matematica di limite e le corrispondenti nozioni o quantità empiriche che invece possono coinvolgere, direttamente o indirettamente, la nozione empirica di limite abbastanza grande. ozioni teoriche per una q.a. ozioni empiriche per una q.a. ( Probabilità di un evento A P A Frequenza relativa di un evento A P A Densità di probabilità di f Densità di frequenza di f, Valore medio atteso Valore osservato della media campionaria Varianza σ Valore osservato della varianza campionaria s 7

8 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del Cominciamo ad illustrare con un semplice esempio numerico le prime nozioni di questo paragrafo. Subito dopo daremo le definizioni formali generali. Si consideri, p.es., la q.a. punteggio risultante dal lancio di un dado regolare a sei facce ovvero la q.a. seguente 1,,3,,5,6 p 16 Si facciano, p.es., lanci del dado e si osservino i quattro punteggi ottenuti. Indicando con i l i-esimo punteggio ottenuto, si ottenga p.es. 1, 3, 3 6, 3 Si hanno allora le seguenti nozioni di: insieme S dei valori osservati: S {,3,6} S { 1,,3,,5,6} (1* (dove l indice di S indica il numero dei valori osservati. n di ciascun valore osservato frequenza assoluta n 1, n ( 3, n ( 6 1 (* (dove l indice di n ( indica il numero dei valori osservati. frequenza relativa p (dove l indice di di ciascun valore osservato : n 1 n ( 3 p, p ( 3, ( 6 n 6 1 p (3* p indica il numero dei valori osservati. frequenza relativa P ( A dell evento aleatorio { 3, 6} n( 3 n( { 3, 6} A : P A P p p (* cioè, P A è la somma delle frequenze relative dei valori osservati che appartengono ad A. (dove l indice di P A indica il numero dei valori osservati. Come si vede immediatamente da quanto sopra, la frequenza relativa ha le stesse tre proprietà fondamentali della probabilità, ovvero: (Proprietà delle frequenze relative Proprietà di non negatività: la frequenza relativa non è mai minore di zero (poiché il numeratore è n, con n se e solo se non è mai stato osservato, vedasi (*-(3* sopra; 0 0 Proprietà di normalizzazione: la frequenza relativa non è mai maggiore di uno (poiché il n n se e solo se è stato l unico valore osservato in tutte le numeratore è, con osservazioni, vedasi (*-(3* sopra Proprietà di additività: la frequenza relativa di un evento aleatorio è la somma delle frequenze relative dei valori osservati che compongono l evento (cioè dei valori osservati che soddisfano la condizione che definisce l evento stesso, vedasi (* sopra. Seguono le definizioni formali generali delle nozioni di cui all esempio numerico precedente: 8

9 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del (Frequenza assoluta di un valore osservato di una q.a. discreta o continua Definizione: Dati valori osservati t ( t 1,... di una quantità aleatoria discreta o continua, si dice frequenza assoluta del valore il numero delle volte che si è ripetuto negli valori osservati. Simbologia: frequenza assoluta di : n ( (Frequenza relativa di un valore osservato di una q.a. Definizione: Dati valori osservati t si dice frequenza relativa di osservati. Simbologia: frequenza relativa di : ( t 1,... la sua frequenza assoluta n discreta o continua di una quantità aleatoria discreta o continua, P ( p n divisa per il numero degli valori [ota bene facoltativo: al passare da valori osservati a + 1, la frequenza relativa di non può (salvo che nel caso particolare (c qui sotto rimanere costante. Infatti, si hanno solo tre casi: (a se al passare da a 1 si ha n n n p > p (b se al passare da a 1 si ha (c se al passare da a 1 si ha + + 1, allora n n< e n+ 1 n+ 1, allora p < p n n e n + 1 n+ 1, allora p p + ] 1 1 (Frequenza relativa di un evento aleatorio A di una q.a. discreta o continua Definizione: Dati valori osservati t ( t 1,... di una quantità aleatoria, la frequenza relativa P ( A di un evento aleatorio A è la somma delle frequenze relative p dei valori osservati che appartengono all evento, ovvero dei valori osservati che soddisfano la condizione che definisce l evento stesso. Simbologia: frequenza relativa di un evento aleatorio A di una q.a. dove il numeratore P A p A S A S discreta o continua: n n A n A è la frequenza assoluta dei valori osservati che appartengono ad A n ( A n A S ([Facoltativo, non in programma]. Densità di frequenza dell evento aleatorio A ( < + di una q.a. continua di una quantità aleatoria continua, la densità Definizione: Dati valori osservati t ( t 1,... di frequenza (relativa f, dell evento aleatorio A ( n ( A f, < + è il valore 9

10 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del (continua dalla pag. precedente ovvero, è la frequenza relativa di A per unità di lunghezza di. Allora, per definizione, la densità di frequenza f è tale che n A n A f, P ( A P ( < + ovvero f, è tale, nel caso di q.a. continua, la frequenza relativa di un evento dato da un intervallo è rappresentata dall area che si ottiene con la regola lunghezza di base ( per altezza che è data da dalla densità di frequenza f stessa.,, 3. PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI Ritorniamo all esempio numerico iniziale del paragrafo 3.3 precedente ed osserviamo che: (A con soli lanci non si possono ottenere S 1,, 3,, 5, 6, si tutti i valori possibili { } otterrà invece un insieme di valori S S, nell esempio S,3,6 S 1,,3,,5,6 { } { } (B analogamente le frequenze relative p dei valori osservati non possono essere tutte uguali ad 16 (anche se il dado è effettivamente regolare; nell esempio tali frequenze relative sono state n 1 n ( 3 n ( 6 1 p, p ( 3, p ( 6 (C E tuttavia intuitivo che al crescere del numero dei lanci, diciamo per, ovvero con un numero sufficientemente grande di lanci, si abbia prima o poi S S 1,,3,,5,6 { } e che (se il dado è effettivamente regolare per le frequenze relative si ottenga prima o poi circa p 16 p ( S { 1,,3,,5,6} (5* (se ciò non accadesse dovremmo concludere che il dado non è regolare dove p è la probabilità di S. La formula (5* è un caso particolare della seguente proprietà empirica generale delle frequenze relative comportamento asintotico delle frequenze relative. (Comportamento asintotico delle frequenze relative Per, ovvero per sufficientemente grande, c è da attendersi che si abbia [ ] p p S S (6*, dove, per le ragioni che si sono dette, non indica un limite in senso matematico. Ciò si interpreta nel senso che per sufficientemente grande c è da attendersi che la frequenza relativa dei valori osservati tenda empiricamente alla (e quindi dia una stima attendibile della probabilità dei valori stessi. [Due osservazioni facoltative, nel caso di una q.a. continua: (a l espressione tra parentesi in (6*, ovvero [ S S, ], alla luce delle considerazioni iniziali su limite e infinito dovrebbe porre un problema per le q.a. continue, quale? (b nel caso di una q.a. continua la frequenza relativa P dei valori che cadono in un dato intervallo tende empiricamente alla probabilità dell intervallo ovvero P < + P < + ] 10

11 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del Inoltre da (A e (B di cui sopra si ha anche che: se con i valori osservati si calcola la media dei valori osservati stessi si avrà in generale p S p S f ( d S Ma, per (6* si ha in generale anche che: (Relazione fra valore medio atteso di una q.a. e la media dei valori osservati Per, ovvero per sufficientemente grande, c è da attendersi che si abbia p S p S f ( d S Ovvero, per sufficientemente grande, c è da attendersi che la media dei valori osservati tenda empiricamente al (e quindi dia una stima attendibile del valore medio atteso della q.a. considerata. [Osservazione facoltativa: si noti che l integrale in alto a destra è in realtà esso stesso una somma per. Si unisca questa osservazione con il quesito (a del riquadro sul Comportamento asintotico delle frequenze relative e con la natura necessariamente empirica di qualsiasi limite che coinvolga valori osservati, per concludere che il problema sollevato in (a non è un problema] Analogamente da (A e (B di cui sopra si ha che: se con i valori osservati si calcola la varianza dei valori osservati stessi, si avrà in generale s ( p σ ( ( S s ( p S ( f d σ S Ma, per (6* si ha in generale anche che: (Relazione fra varianza σ di una q.a. e la varianza dei valori osservati Per, ovvero per sufficientemente grande, c è da attendersi che si abbia s ( p σ ( ( S s ( p S ( f d σ S Ovvero, per sufficientemente grande, c è da attendersi che la varianza dei valori osservati tenda empiricamente alla (e quindi dia una stima attendibile della varianza σ della q.a. considerata. [Osservazione facoltativa: circa l integrale sopra a destra vale la stessa osservazione fatta nel riquadro precedente relativo alla relazione fra di una q.a. e ] s 11

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

1 Valore atteso o media

1 Valore atteso o media 1 Valore atteso o media Definizione 1.1. Sia X una v.a., si chiama valore atteso (o media o speranza matematica) il numero, che indicheremo con E[X] o con µ X, definito come E[X] = i x i f(x i ) se X è

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Esempi introduttivi Variabili casuali Eventi casuali e probabilità

Esempi introduttivi Variabili casuali Eventi casuali e probabilità Esempi introduttivi Esempio tipico di problema della meccanica razionale: traiettoria di un proiettile. Esempio tipico di problema idraulico: altezza d'acqua corrispondente a una portata assegnata. Come

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 1.1 Che cos è un algoritmo CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 Gli algoritmi sono metodi per la soluzione di problemi. Possiamo caratterizzare un problema mediante i dati di cui si dispone all inizio

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le funzioni nel discreto 3 1.1 Le funzioni nel discreto.................................. 3 1.1.1 La rappresentazione grafica............................

Dettagli

La dissomiglianza tra due distribuzioni normali

La dissomiglianza tra due distribuzioni normali Annali del Dipartimento di Scienze Statistiche Carlo Cecchi Università degli Studi di Bari Aldo Moro - Vol. X (2011): 43-50 Editore CLEUP, Padova - ISBN: 978-88-6129-833-0 La dissomiglianza tra due distribuzioni

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE Lezione 7 a Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della scienza, di voler studiare come il variare di una o più variabili (variabili

Dettagli

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA L ERRORE DI MISURA Errore di misura = risultato valore vero Definizione inesatta o incompleta Errori casuali Errori sistematici L ERRORE DI MISURA Errori casuali on ne si conosce l origine poiche, appunto,

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009 ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Pag 1 di 92 Francesco Sardo ELEMENTI DI STATISTICA PER VALUTATORI DI SISTEMI QUALITA AMBIENTE - SICUREZZA REV. 11 16/08/2009 Pag 2 di 92 Pag 3 di 92 0 Introduzione PARTE I 1 Statistica descrittiva 1.1

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla

Dettagli

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim.

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim. LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. Calcolare i seguenti iti: a + 4 + b + 4 + 4 c 5 e ± g i + + sin 4 m sin o π q sin π + 4 + 7 d + 4 + + 5 4 + f 4 4 + 5 4 + 4 h + + l + + cos n sin cos p π π +

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,

Dettagli

1 Medie. la loro media aritmetica è il numero x dato dalla formula: x = x 1 + x 2 +... + x n

1 Medie. la loro media aritmetica è il numero x dato dalla formula: x = x 1 + x 2 +... + x n 1 Medie La statistica consta di un insieme di metodi atti a elaborare e a sintetizzare i dati relativi alle caratteristiche di una fissata popolazione, rilevati mediante osservazioni o esperimenti. Col

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

LA CORRELAZIONE LINEARE

LA CORRELAZIONE LINEARE LA CORRELAZIONE LINEARE La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ovvero, a covariare. Ad esempio, si può supporre che vi sia una relazione tra l insoddisfazione

Dettagli

UN CASO CONCRETO DI VALUTAZIONE DELLA SODDISFAZIONE DEL CLIENTE

UN CASO CONCRETO DI VALUTAZIONE DELLA SODDISFAZIONE DEL CLIENTE Tratto dal corso Ifoa UN CASO CONCRETO DI VALUTAZIONE DELLA SODDISFAZIONE DEL CLIENTE Recentemente, si sono sviluppati numerosi modelli finalizzati a valutare e a controllare il livello di soddisfazione

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Forma d onda rettangolare non alternativa.

Forma d onda rettangolare non alternativa. Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Programmazione Generale. Matematica e Complementi. Classi: 2 Biennio Quarta. Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno

Programmazione Generale. Matematica e Complementi. Classi: 2 Biennio Quarta. Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno Programmazione Generale Matematica e Complementi Classi: 2 Biennio Quarta I Docenti della Disciplina Salerno, lì 12 settembre 2014 Finalità della Disciplina

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1 UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA Filippo Romano 1 1. Introduzione 2. Analisi Multicriteri o Multiobiettivi 2.1 Formule per l attribuzione del

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

LA FUNZIONE INTEGRALE

LA FUNZIONE INTEGRALE LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/

Dettagli

IDENTIFICAZIONE dei MODELLI e ANALISI dei DATI. Lezione 40: Filtro di Kalman - introduzione. Struttura ricorsiva della soluzione.

IDENTIFICAZIONE dei MODELLI e ANALISI dei DATI. Lezione 40: Filtro di Kalman - introduzione. Struttura ricorsiva della soluzione. IDENTIFICAZIONE dei MODELLI e ANALISI dei DATI Lezione 40: Filtro di Kalman - introduzione Cenni storici Filtro di Kalman e filtro di Wiener Formulazione del problema Struttura ricorsiva della soluzione

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

Statistica. Lezione 6

Statistica. Lezione 6 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado

Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado I quesiti sono distribuiti negli ambiti secondo la tabella seguente Ambito

Dettagli

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile.

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ Statistica5 23/10/13 Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. Se si afferma che un vitello di razza chianina pesa 780 kg a 18

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

Equazioni non lineari

Equazioni non lineari Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di modellazione e progettazione materiali Trovare il valore x R tale che f (x) = 0,

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè:

La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè: 1 Limiti Roberto Petroni, 2011 Possiamo introdurre intuitivamente il concetto di limite dicendo che quanto più la x si avvicina ad un dato valore x 0 tanto più la f(x) si avvicina ad un valore l detto

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO Capitolo 14 EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO Nel Cap.11 abbiamo trattato metodi di risoluzione dell equazione di Schrödinger in presenza di perturbazioni indipendenti dal tempo; in questo capitolo trattiamo

Dettagli

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria

La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria La funzione caratteristica Φ densità di probabilità è f + Φ ω = ω di una v.a., la cui x, è definita come: jωx f x e dx E e j ω Φ ω = 1 La Funzione

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) 4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) L analisi della varianza è un metodo sviluppato da Fisher, che è fondamentale per l interpretazione statistica di molti dati biologici ed è alla

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA Classe VA scientifico MATEMATICA MODULO 1 ESPONENZIALI E LOGARITMI 1. Potenze con esponente reale; 2. La funzione esponenziale: proprietà e grafico; 3. Definizione di logaritmo;

Dettagli

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 1 RAPPRESENTARE I DATI: TABELLE E GRAFICI Un insieme di misure è detto serie statistica o serie dei dati 1) Una sua prima elementare elaborazione può

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE variabile casuale (rv): regola che associa un numero ad ogni evento di uno spazio E. variabile casuale di Bernoulli: rv che può assumere solo due valori (e.g.,

Dettagli