In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

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1 L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze può essere: positiva se è più vicino a negativa se è più vicino a. Pertanto, per includere entrambi i casi occorre utilizzare il valore assoluto. = Il punto medio del segmento è detto centro dell iperbole. La distanza fra i fuochi e è detta distanza focale. Iperbole riferita al centro e con i fuochi appartenenti all asse x Consideriamo l iperbole che ha il centro nell origine degli assi cartesiani e i fuochi sull asse. I fuochi hanno coordinate ;0 e ;0. Dalla definizione si ha che: =2 (avendo indicato con 2>0 la differenza costante). Indicato con ; un generico punto del piano si ha: =2 ; = 2 ; Risolviamo prima: =2 ; + 2+ =2a ; + 2+ = ; 4 4= ; = ; + +2 = ; + +2 = ; elevando ambo i membri al quadrato elevando ambo i membri al quadrato + =0 ; =0 ; In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > 2>2 ; > ; > ; >0. Pertanto si può porre = =0 ; =1 Equazione dividendo per canonica o normale dell iperbole a centro con i fuochi appartenenti all asse Si perviene a questa forma anche risolvendo la seconda equazione: = 2 ; + 2+ = ; + 2+ = ; 4 4= ; += ; + +2 = ; + +2 = ; + =0 ; =0 ; =0 ; ponendo = =1. Matematica 1

2 Proprietà 1 L iperbole è una curva simmetrica rispetto all asse, all asse e all origine. Infatti, poiché nell equazione dell iperbole sia la variabile sia la variabile compaiono solo elevate a potenza pari, se un punto ; è un punto dell iperbole, lo sono anche i punti ;, ;, ; perché le loro coordinate ne verificano l equazione, dato che = e =. Proprietà 2 I fuochi dell iperbole hanno coordinate + + ; 0 e + ; 0 L iperbole interseca l asse nei punti ;0 e ;0 detti vertici dell iperbole. L iperbole non interseca l asse. I punti 0 ; e 0 ; sono detti vertici non reali dell iperbole. Il segmento =2 è detto asse trasverso. Il segmento =2 è detto asse non trasverso. Infatti risolvendo i due sistemi: =1 =1 = = =0 =0 =0 =0 Proprietà 3 L iperbole è una curva illimitata. =1 = 1 ; R =0 =0 Riscrivendo l equazione sotto la forma = si deduce che: 0 cioè. I punti della curva si trovano quindi al di fuori della striscia limitata delle rette = e =, e quindi è formata da due rami. Proprietà 4 La relazione = può essere interpretata come la relazione del teorema di Pitagora applicata al triangolo. Proprietà 5 L iperbole ha per asintoti le rette =. Consideriamo le intersezioni dell iperbole con una retta generica passante per l origine: =1 =+ si ottengono le soluzioni = ; = Queste soluzioni sono reali solo se >0 cioè se <<+ L iperbole è quindi intersecata da rette passanti per l origine che si trovano all interno dei due angoli opposti al vertice formati dalle rette = e contenenti l asse x. Osserviamo inoltre che, assegnando al coefficiente angolare, valori sempre più vicini a l espressione a denominatore diventa sempre più piccola, di conseguenza le frazioni = e = diventano sempre più grandi. In casi come questi si dice che le rette = intersecano la curva all infinito (tali rette sono dette asintoti per la curva). Proprietà 6 L eccentricità dell iperbole è il rapporto: = =2 2 = + = >1. Matematica 2

3 Iperbole riferita al centro e con i fuochi appartenenti all asse y Consideriamo l iperbole che ha il centro nell origine degli assi cartesiani e i fuochi sull asse. I fuochi hanno coordinate 0 ; e 0 ;. Dalla definizione si ha che: =2 (avendo indicato con 2>0 la differenza costante). Indicato con ; un generico punto del piano si ha: =2 ; = 2 ; Risolviamo prima: =2 ; + + 2= ; elevando ambo i membri al quadrato + + 2= = ; = ; + +2 = ; + +2 = ; + =0 ; + =0 ; In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > 2>2 ; > ; > ; >0. Pertanto si può porre = + =0 ; = 1 Equazione dividendo per canonica o normale dell iperbole a centro con i fuochi appartenenti all asse Si perviene a questa forma anche risolvendo la seconda equazione: = = ; + + 2= ; =4 +4 ; = + ; = + +2 ; = + +2 ; + + =0 ; + =0 ; + =0 ; Proprietà 1 ponendo = = 1. L iperbole è una curva simmetrica rispetto all asse, all asse e all origine. Infatti, poiché nell equazione dell iperbole sia la variabile sia la variabile compaiono solo elevate a potenza pari, se un punto ; è un punto dell iperbole, lo sono anche i punti ;, ;, ; perché le loro coordinate ne verificano l equazione, dato che = e =. Matematica 3

4 Proprietà 2 I fuochi dell iperbole hanno coordinate 0 ; + + e 0 ; + L iperbole interseca l asse nei punti 0 ; e 0 ; detti vertici dell iperbole. L iperbole non interseca l asse. I punti ; 0 e ;0 sono detti vertici non reali dell iperbole. Il segmento =2 è detto asse trasverso. Il segmento =2 è detto asse non trasverso. Proprietà 3 L iperbole è una curva illimitata. Riscrivendo l equazione sotto la forma = si deduce che: 0 cioè. I punti della curva si trovano quindi al di fuori della striscia limitata delle rette = e =, e quindi è formata da due rami. Proprietà 4 La relazione = può essere interpretata come la relazione del teorema di Pitagora applicata al triangolo. Proprietà 5 L iperbole ha per asintoti le rette =. Consideriamo le intersezioni dell iperbole con una retta generica passante per l origine: = 1 =+ = si ottengono le soluzioni ; =. Queste soluzioni sono reali solo se >0 cioè se < >+ L iperbole è quindi intersecata da rette passanti per l origine che si trovano all esterno dei due angoli opposti al vertice formati dalle rette = e contenenti l asse x. Osserviamo inoltre che, assegnando al coefficiente angolare, valori sempre più vicini a l espressione a denominatore diventa sempre più piccola, di conseguenza le frazioni = e = diventano sempre più grandi. In casi come questi si dice che le rette = intersecano la curva all infinito (tali rette sono dette asintoti per la curva). Proprietà 6 L eccentricità dell iperbole è il rapporto: = =2 2 = + = >1. Matematica 4

5 Posizioni di una retta rispetto a un iperbole Per stabilire la posizione di una retta di equazione + + =0 rispetto a un iperbole di equazione occorre considerare il sistema formato dalle due equazioni: + + =0 =1 1. Se l equazione risolvente è di II grado, si studia il segno del discriminante: Se >0, la retta è secante l iperbole in due punti; Se =0, la retta è tangente l iperbole in un punto; Se <0, la retta è esterna all iperbole; 2. Se l equazione risolvente è di I grado, la retta è secante l iperbole in un solo punto. =1 La retta è secante l iperbole in due punti La retta è tangente l iperbole in un punto (la retta non è parallela agli asintoti) La retta è esterna all iperbole La retta è secante l iperbole in un punto (la retta è parallela agli asintoti) Rette tangenti a un iperbole Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti condotte da un punto ; ad una iperbole di equazione =1 occorre considerare il sistema formato dalle due equazioni: = =1 1. si ricava l equazione risolvente di II grado nella variabile oppure 2. si pone la condizione di tangenza =0; 3. si risolve l equazione di II grado rispetto nell incognita ; a. Se, le rette tangenti sono due (il punto P è esterno all iperbole); b. Se =, la retta tangente è una (il punto P appartiene all iperbole); c. Se,, non esistono rette tangenti (il punto P è interno all iperbole); Nota: Se il punto appartiene a un asintoto, allora fra le equazioni delle tangenti c è anche l equazione dell asintoto stesso (gli asintoti sono considerati tangenti all iperbole all infinito). Due rette tangenti Una retta tangente Nessuna retta tangente Matematica 5

6 Formula di sdoppiamento Per determinare l equazione della retta tangente all iperbole in un suo punto ; si possono utilizzare le formule di sdoppiamento. È sufficiente effettuare le seguenti sostituzioni nell equazione dell iperbole : al posto di al posto di Iperbole traslata Consideriamo l iperbole a centro di equazione =1. Effettuiamo la traslazione dell iperbole portando il centro dell iperbole 0 ;0 nel punto ;. Le equazioni della traslazione sono: =+ =+. Utilizzando le equazioni inverse = = si ottiene: =1 ; Eliminando gli apici ininfluenti si ha: = ; = = ; = ; =0 ; = = ponendo 2 = si ottiene l equazione + +++=0 +2 = = L equazione dell iperbole traslata è un equazione di II grado in e con i coefficienti dei termini di secondo grado di segno opposto A= e B=. Gli assi di simmetria hanno equazione = e =. Le coordinate del centro di simmetria sono: = ; =. Infatti: = = 2 = +2 = = 2= 2= = = Viceversa, si può dimostrare che un equazione del tipo A B +++=0 rappresenta: con e di segno opposto o un iperbole con il centro in = ; = e con assi di simmetria = e = ; oppure una coppia di rette passanti per il centro di simmetria (iperbole degenere). Matematica 6

7 Iperbole equilatera riferita al centro e agli assi L iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria è un iperbole a centro avente gli assi trasverso e non trasverso congruenti ( = ). Si hanno le seguenti due iperboli equilateree riferite al centro e agli assi: = Iperbole equilatera riferita al centro e agli assi con, Iperbole equilatera riferita al centro e agli assi con, Essendo si ha che gli asintoti hanno equazione: cioè (bisettrici dei quattro quadranti). La semidistanza focale 2 2. L eccentricità 2. Iperbole equilatera riferita agli asintoti L iperbole equilatera riferita agli asintoti è un iperbole a centro avente gli asintoti coincidenti con gli assi cartesiani. Si hanno le seguenti due iperboli equilateree riferite agli asintoti: con 0 con 0 Iperbole equilatera riferita agli asintoti Iperbole equilateraa riferita agli asintoti L eccentricità 2. Matematica 7

8 Dimostrazione Effettuiamo una rotazione di 45 in senso antiorario dell iperbole equilatera riferita agli assi con i fuochi sull asse (ramo verde). Per effetto della rotazione il vertice ;0 viene portato nel punto tale che =. rappresenta la diagonale del quadrato di lato. Pertanto: = = 2 = 2 Quindi: = ; e = ; Per effetto della rotazione il vertice 2;0 viene portato nel punto tale che = 2. rappresenta la diagonale del quadrato di lato. Pertanto: = = 2 = 2 2 = Quindi: = ; e = ; Applicando la definizione di iperbole = =2 ; = 2 ; + = ; = ; = ; = + ++ ; = = =+ Ponendo = 2 = 2. = si ottiene l equazione = con >0. Dalla posizione = si ottiene: = 2 = 2 ; 2 e = 2 ; 2 = ; e = ; Effettuando una rotazione di 45 in senso orario dell iperbole equilatera riferita agli assi con i fuochi sull asse si ottiene invece l altra equazione = con <0. Matematica 8

9 Funzione omografica La funzione omografica è un iperbole equilatera con gli asintoti paralleli agli assi cartesiani. La sua equazione è: = Le equazioni degli asintoti sono: +=0 = Le coordinate del centro sono: ; Se le condizioni c 0 ad bc 0 non sono verificate si hanno i seguenti casi: Se =0 il grafico è una retta. Infatti l equazione diventa = + Se =0 il grafico della funzione omografica è una retta parallela all asse, privata di un punto. Infatti: =0 ; = = = = = = è una retta parallela all'asse privato del punto =. Dimostrazione Dimostriamo che, se 0 0 l equazione = rappresenta un iperbole equilatera traslata. Per fare ciò è sufficiente traslare la curva = in modo da portare il centro di simmetria C della funzione omografica nell origine. Le equazioni della traslazione sono: =+ =. Utilizzando le equazioni inverse = = + si ottiene: + = Eliminando gli apici ininfluenti si ha: + = + = + + ; + = ; = + + ; + + = + + ; = + Ponendo = si ottiene la forma =. Viceversa si può dimostrare che, se si considera un iperbole equilatera che ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, allora tale curva ha un equazione =. ; Matematica 9

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