LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione

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1 LEZIONE Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici come le coniche e le quadriche. Tutti noi ricordiamo, dalla scuola superiore, l iperbole, l ellisse, la parabola (che, nel seguito, chiameremo coniche classiche). Nei seguenti esempi supporremo che sia stato fissato un sistema di riferimento O (in questa e nelle prossime lezioni è preferibile mettere l accento sul nome delle coordinate di punto piuttosto che sui versori come, invece, abbiamo sempre fatto in precedenza: perciò scriviamo O invece di O ı j ) nel piano. Esempio Siano a, b ]0, + [. Si consideri C { P (, ) 2 /a 2 2 /b 2 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione ( ) 2 /a 2 2 /b 2 1 si dice equazione canonica di C. C è simmetrica sia rispetto ad O sia rispetto agli assi coordinati: l origine e gli assi coordinati vengono detti centro (in questo caso si parla di conica a centro) ed assi (principali) di C. L asse delle ascisse viene detto asse trasverso od asse reale, quello delle ordinate asse secondario od asse immaginario. I punti di intersezione di C con l asse trasverso sono detti vertici: sono, nel nostro caso, i punti (±a, 0). Talvolta le coppie (0, ±ib) sono detti vertici immaginari. Determiniamo i punti di intersezione di C con le rette parallele all asse delle ordinate: ciò equivale a determinare le soluzioni dei sistemi { 2 /a 2 2 /b 2 1 k al variare di k R: quindi ci riduciamo a risolvere l equazione 2 /b 2 k 2 /a Tpeset b AMS-TEX

2 ELLISSE, IPERBOLE, PARABOLA Tale equazione ha sempre soluzioni (reali o complesse): ha però soluzioni reali (corrispondenti quindi a punti del piano) se e solo se k a, ovvero C è all esterno della fascia ] k, k[ R. In particolare C ha, necessariamente, due componenti distinte che non si intersecano: C è, dunque, sconnessa. Intersechiamo C con le rette per l origine: ciò equivale a determinare le soluzioni dei sistemi { 2 /a 2 2 /b 2 1 m al variare di m R non entrambi nulli. Quindi ci riduciamo a risolvere l equazione (b 2 m 2 a 2 ) 2 a 2 b 2. Per m ±b/a tale equazione non ha soluzioni (reali o complesse): le rette ±b/a si dicono asintoti di C. Per ogni altro valore di m l equazione ha soluzioni (reali o complesse): ha però soluzioni reali (corrispondenti quindi a punti del piano) se e solo se m < b/a, ovvero C è all interno del cono delimitato dagli asintoti e contenente l asse delle ascisse. Si noti che gli asintoti di C sono perpendicolari fra loro se e solo se a b: in tal caso si parla di iperbole equilatera. In Figura è rappresentata la conica C di equazione (con i suoi asintoti). 2 /2 2 /4 1 O Figura Esempio Siano a, b ]0, + [. Si consideri C { P (, ) 2 /a /b 2 1 }.

3 LEZIONE 27 3 C si dice ellisse di semiassi a e b (in forma canonica): talvolta si parla anche di ellisse reale per distinguerla dall ellisse immaginaria che sarà definita in seguito. L equazione ( ) 2 /a /b 2 1 si dice equazione canonica di C. Come nel caso dell iperbole, C è simmetrica sia rispetto ad O sia rispetto agli assi coordinati: l origine e gli assi coordinati vengono detti centro (anche C è una conica a centro) ed assi (principali) di C. I punti di intersezione di C con i suoi assi vengono detti vertici: sono, nel nostro caso, (±a, 0) e (0, ±b). Intersecando con rette parallele agli assi e studiando le soluzioni delle equazioni di secondo grado che così si ottengono, è facile verificare che C [ a, a] [ b, b]. Si noti che più a si avvicina a b, più C tende ad assomigliare ad una circonferenza. In Figura è rappresentata la conica C di equazione 2 /3 + 2 /5 1. O Figura Esempio Sia p ]0, + [. Si consideri C { P (, ) 2 2p }. C si dice parabola di parametro p (in forma canonica). L equazione ( ) 2 2p si dice equazione canonica di C.

4 ELLISSE, IPERBOLE, PARABOLA C è simmetrica rispetto a all asse delle ascisse: tale retta viene detta asse. Invece non esistono punti nel piano rispetto a cui C sia simmetrica (perciò C non è una conica a centro). Il punto di intersezione di C con l asse delle ascisse viene detto vertice: è, nel nostro caso, O. Intersecando con rette parallele agli assi e studiando le soluzioni delle equazioni di secondo grado che così si ottengono, è facile verificare che C [0, + [ R. In Figura è rappresentata la conica C di equazione 2 /3. O Figura Notiamo che tutte le coniche classiche sopra descritte sono luoghi geometrici definiti, rispetto ad un opportuno sistema di riferimento O fissato nel piano, da equazioni di grado 2 nelle variabili, : se due di tali equazioni differiscono per una costante moltiplicativa non nulla, esse definiscono la stessa conica classica. Similmente abbiamo visto che, rispetto ad un opportuno sistema di riferimento O fissato nel piano, ogni retta nel piano è individuata da un equazione di grado 1 nelle variabili, (unica a meno di costanti moltiplicative). Di più abbiamo visto che, viceversa, ogni equazione di grado 1 nelle variabili, rappresenta una retta nel piano. Viene allora naturale domandarsi se una tale proprietà vale anche per le equazioni di grado 2: cioè è vero o falso che ogni equazione di grado 2 nelle variabili, rappresenta un ellisse, un iperbole od una parabola? Purtroppo ciò non accade come risulta dal seguente Esempio Consideriamo la generica equazione ( ) α 2 + β 2 γ :

5 LEZIONE 27 5 si noti che le Equazioni ( ) e ( ) hanno questa forma. Assumiamo β 0 (sarà, in seguito, chiarito perché ciò è sempre lecito): ricordiamo inoltre che l Equazione ( ) va intesa a meno di una costante moltiplicativa non nulla. Analizziamo i vari casi possibili. i) Se α > 0, β < 0, γ 0 si parla di coppia iperbolica di rette incidenti: spesso si parla anche di iperbole degenere. Poiché α 2 + β 2 ( α + β)( α β) (ricordate che β < 0, dunque β R!), in tal caso il luogo geometrico { P (, ) α 2 + β 2 0 } è composto dall unione delle due rette di equazioni α+ β 0 e α β 0. ii) Se α 0, β, γ > 0 si parla di coppia iperbolica di rette parallele: spesso si parla anche di parabola degenere reale. In tal caso il luogo geometrico { P (, ) β 2 γ } è composto dall unione delle due rette di equazioni β γ e β γ. iii) Se α γ 0 si parla di retta doppia: in tal caso il luogo geometrico { P (, ) β 2 0 } coincide con l asse delle ascisse, ma contato con molteplicità doppia. iv) Se α, β > 0, γ 0 si parla di coppia ellittica di rette incidenti: spesso si parla anche di ellisse degenere. in tal caso il luogo geometrico { P (, ) α 2 + β 2 0 } si riduce ad un solo punto, l origine. Si noti che, anche in questo caso il polinomio di grado 2 si scompone in prodotto di polinomi di grado 1: infatti si ha α 2 + β 2 ( α + i β)( α i β). La differenza rispetto al caso della coppia iperbolica di rette è che tali polinomi lineari hanno coefficienti complessi non reali. v) Se α 0, β > 0, γ < 0 si parla di coppia ellittica di rette parallele: spesso si parla anche di parabola degenere immaginaria. Si noti che pur essendo { P (, ) β 2 γ }, ancora il polinomio di grado 2 si scompone in prodotto di polinomi di grado 1: infatti si ha β 2 γ ( β + i γ)( β i γ).

6 ROTOTRASLAZIONI NEL PIANO Anche in questo caso tali polinomi lineari hanno coefficienti complessi non reali. vi) Se α, β > 0, γ < 0 si parla di ellisse immaginaria. Anche in questo caso il luogo geometrico { P (, ) α 2 + β 2 γ } è evidentemente vuoto. C è una differenza sostanziale tra il caso dell ellisse immaginaria e quello della coppia ellittica di rette parallele. Infatti, nel caso dell ellisse immaginaria, il polinomio α 2 +β 2 γ non si può scomporre come prodotto di due polinomi lineari nè a coefficienti reali nè a coefficienti complessi. Infatti se fosse α 2 + β 2 γ (a + b + c )(a + b + c ) dovrebbe essere a a α. Se α 0 moltiplicando ambo i membri per l inverso di α a a R possiamo supporre α a a 1. Ci siamo ricondotti a studiare l uguaglianza 2 + β 2 γ ( + b + c )( + b + c ) : quindi si deve avere b b β, c c γ e b + b c + c b c + b c 0, dunque b b, c c, 2b c 0, quindi o c 0 (da cui γ 0) o b 0 (da cui β 0). Ragionando in maniera analoga ci si convince che anche le equazioni dell ellisse, dell iperbole e della parabola non si possono scomporre come prodotto di due polinomi lineari nè a coefficienti reali nè a coefficienti complessi Rototraslazioni nel piano. Da quanto visto nel paragrafo precedente, sorge naturalmente il problema seguente: fissato nel piano un sistema di riferimento O e data un polinomio di grado 2 in, a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo a 2 + b + c 2 + d + e + f (a, b, c, d, e, f R, a, b, c non simultaneamente nulli), vogliamo descrivere il luogo (eventualmente vuoto) C { P (, ) a 2 + b + c 2 + d + e + f 0 }. In particolare, se possibile, vogliamo disegnare tale luogo geometrico. Noi sappiamo rispondere a tali domandi se il polinomio è di forma particolarmente semplice: ciò dipende dal fatto che il luogo C si trova in una particolare posizione rispetto al sistema di riferimento fissato O come abbiamo avuto modo di verificare in precedenza. È, allora, naturale porsi i seguenti due quesiti. (Q1) Sia O un sistema di riferimento: come sono legate le coordinate (, ) e (, ) di uno stesso punto nei due sistemi di riferimento? (Q2) Conoscendo una descrizione in termini di equazioni rispetto al sistema di riferimento O di un certo luogo geometrico C, esiste un modo per descriverlo con equazioni anche rispetto al sistema di riferimento O?

7 LEZIONE 27 7 Iniziamo a rispondere al secondo quesito. Supponiamo che sia C { P (, ) q(, ) 0 } ove q(, ) è una qualche espressione matematica. Supponiamo poi che ci sia un legame fra le coordinate (, ) ed (, ) di uno stesso punto P rispetto ad i due sistemi di riferimento O ed O del tipo f(, ), g(, ). Allora P C se e solo se P ha coordinate (, ) tali che q(, ) 0, cioè se e solo se le coordinate (, ) per cui f(, ), g(, ) soddisfano q(f(, ), g(, )) 0: concludiamo che è possibile descrivere C anche nel sistema di riferimento O in termini di equazioni: precisamente C { P (, ) q(f(, ), g(, )) 0 }. Esempio Sia O un sistema di riferimento fissato nel piano. Sia poi C { P (, ) }. Si consideri ora un sistema di riferimento O ottenuto da O ruotando di un angolo π/2 in senso antiorario. Allora e : quindi C { P (, ) }. Concludiamo che C è un iperbole e possiamo anche tracciarne il disegno utilizzando quanto visto nell Esempio Passiamo ora al primo quesito. Supponiamo che il semiasse positivo delle formi un angolo ϕ (misurato in senso antiorario) con il semiasse positivo delle e che le coordinate di O rispetto al sistema di riferimento O siano (u, v). Per passare dal O ad O si può procedere in due modi. Possiamo ruotare in senso antiorario il sistema di riferimento O di un angolo ϕ ottenendo un sistema di riferimento ausiliario O ŷ e poi traslare quest ultimo in modo da portare la sua origine in O. Oppure possiamo prima traslare O portando la sua origine a coincidere con O ed ottenendo un sistema di riferimento ausiliario O ŷ e poi ruotare quest ultimo di un angolo ϕ in senso antiorario. In entrambi i casi abbiamo decomposto la nostra trasformazione in due trasformazioni più elementari, una rotazione ed una traslazione: per questo motivo parleremo di rototraslazione quando ci riferiremo a tarsformazioni di coordinate nel piano. Iniziamo a ricordare cosa accade nel caso in cui non ci sia traslazione, cioè O O. Siano ı, j e ı, j i versori degli assi coordinati naturalmente associati ad i due sistemi di riferimento O ed O rispettivamente. Se P è un punto di coordinate (, ) rispetto a O e (, ) rispetto a O risulta (27.2.2) OP ı + j ı + j.

8 ROTOTRASLAZIONI NEL PIANO Poiché ( ı, j ) è una base ortonormale di V 2 (O) segue che ı ı, ı ı + ı, j j, j j, ı ı + j, j j. Ma, poiché ı j ı j 1, segue che dunque ı, ı cos ϕ, ı, j cos(π/2 ϕ) sin ϕ, j, ı cos(π/2 + ϕ) sin ϕ, j, j cos ϕ, (27.2.3) ı cos ϕ ı + sin ϕ j, j sin ϕ ı + cos ϕ j. Sostituendo le Relazioni (27.2.3) nelle Relazioni (27.2.2) si ottiene allora OP ı + j cos ϕ ı + sin ϕ j sin ϕ ı + cos ϕ j. Abbiamo perciò scritto lo stesso vettore geometrico come combinazione lineare degli elementi della base ( ı, j ) in due modi diversi, quindi i coefficienti di ı e j nelle due espressioni devono coincidere: eguagliandoli otteniamo, come già visto ripetutamente in precedenza, le relazioni { cos ϕ sin ϕ o, in forma matriciale, (27.2.4) sin ϕ + cos ϕ, ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ Passiamo a descrivere il caso in cui non ci sia rotazione, cioè ϕ 0. Siano poi ı, j e ı, j i versori degli assi coordinati naturalmente associati ad i due sistemi di riferimento O ed O rispettivamente. Se P è un punto di coordinate (, ) rispetto a O e (, ) rispetto a O risulta ancora (27.2.5) OP ı + j ). OO + (P O ). Se (u, v) sono le coordinate di O rispetto a O, poiché O P ı + j, si ha OO u ı + v j, P O ı + j, quindi la Relazione (27.2.5) diviene OP ı + j ı + j + u ı + v j. Abbiamo perciò scritto lo stesso vettore geometrico come combinazione lineare degli elementi della base ( ı, j ) in due modi diversi, quindi i coefficienti di ı e j nelle due espressioni devono coincidere: eguagliandoli otteniamo { + u o, in forma matriciale, (27.2.6) + v, u. v Concludiamo il paragrafo con la seguente risposta al quesito (Q1).

9 LEZIONE 27 9 Proposizione Nel piano siano fissati due sistemi di riferimento O e O. Si assuma che il semiasse positivo delle formi un angolo ϕ (misurato in senso antiorario) con il semiasse positivo delle e che le coordinate di O rispetto al sistema di riferimento O siano (u, v). Le coordinate (, ) e (, ) di uno stesso punto P in O e O rispettivamente sono legate dalle seguenti relazioni: cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ + u. v Dimostrazione. Si decomponga la rototraslazione nella traslazione che porta il vecchio sistema di riferimento O in quello ausiliario O ŷ seguita dalla rotazione in senso antiorario dell angolo ϕ che porta il sistema di riferimento ausiliario O ŷ in quello nuovo O. Allora le Formule (27.2.4) e (27.2.6) diventano rispettiivamente ( ) + ŷ u, v ŷ ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ). Eliminando e ŷ tra le due equazioni matriciali otteniamo la tesi.