Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

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1 CONICHE in A ~ (C) Punti propri (x P,y P ) hanno coordinate omogenee [(x P,y P, )], Punti impropri hanno coordinate omogenee [(l,m, )]. L equazione di una conica in coordinate non omogenee (x,y) C: a, x +a, xy+ a, y +a, x+ a, y+ a, =. Equazione di una conica in coordinate omogenee (x,x,x ) C: a, x +a, x x + a, x +a, x x + a, x x + a, x =. La matrice che rappresenta la conica è simmetrica: a, a, a, A = a, a, a,. a, a, a, Se deta= conica degenere; se deta conica GENERALE. Classificazione affine delle coniche generali: attenzione deta*= - =a, a,.a, > iperbole =a, a,.a, = parabola =a, a,.a, < ellisse Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

2 Retta polare di un punto P di coordinate omogenee (x P, x P,x P ) Polari importanti: a, a, a, x ( x P xp xp ) a, a, a,x= a, a, a, x a) Se P è un punto della conica, la retta polare è la tangente a C; b) Se P è un punto improprio la retta si chiama diametro; c) Se P è uno dei due punti impropri dell iperbole la retta polare è un asintoto. Il centro è il punto d intersezione dei diametri. L iperbole e l ellisse hanno un centro proprio (coniche a centro) la parabola ha per centro un punto improprio. Gli assi sono diametri coniugati ortogonali. Per iperbole ed ellisse le direzioni degli assi si possono ricavare dall equazione il [(l,m)]: a l + (a - a )lm a m = e poi si calcolano le polari. Per la parabola l asse proprio si ricava: a (a x + a y + a ) + a (a x+ a y + a )= I vertici sono i punti d intersezione della conica con gli assi. Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

3 Esercizio In A ~ (C) si classifichi e studi la conica di equazione: C: x + xy + y - x y =. La matrice della conica è: A = Il determinante di A è nullo: conica degenere. Essa rappresenta due rette nel piano; per determinarle considero l equazione della conica di secondo grado rispetto a x e utilizzo la formula risolutiva: x + x(y-) + y y = dove a=, b=(y-) e c= y y b b / ± ac x = =( y) ± ( y) ( y y) =( y) ± a Dunque la conica di scompone in: C: (x+y)(x+y-)= Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

4 Esercizio In E ~ (R) si classifichi la conica: C: x + xy + y - 4x 4y + 4 =. a) Si determini il centro della conica; b) Si determinino le equazioni degli assi della conica; c) Si determini la retta tangente nel punto A=(,) appartenente alla conica. La matrice della conica è: A= 4 Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-4 deta=-: conica generale. =(/) < indica che la conica è un ellisse. a) Il centro è il punto d intersezione dei diametri: dalla matrice si ricava che due diametri sono: d : x + ½ y-= ed d : ½ x + y - =. Risolvendo il sistema d d si ottiene che il centro è,

5 C=(4/;4/) b) Per determinare gli assi, ricerchiamo le loro direzioni (l,m) risolvendo l equazione: a l + (a - a )lm a m = l m = da cui si ottiene l=+m, ovvero [(,+)]. Un asse ha parametri direttori [(,)] e passa per (4/;4/): x y =; l altro ha parametri direttori [(,-)] e passa per (4/;4/): x+y-8=. ( ) In alternativa calcolo la polare dei punti impropri (,,) e (,-,) ottenendo, per esempio, con il primo punto / x + / y -4= (eq. cart. equivalente a ( )); analogamente per l altra. c) Per determinare la retta tangente calcolo la polare del punto (in coordinate omogenee) appartenente alla conica: Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-5

6 x ( ) y= 4 y =. Esercizio In E ~ (R) si classifichi la conica: C: x + 6xy + 9y - 4x 6y - =. a) Si determini il centro della conica; b) Si determinino l equazione dell asse della conica; c) Si determini il vertice e l equazione della retta tangente in tale punto. d) Si determini la retta tangente del punto A=(,) e la retta passante per B=(,4) ortogonale a tale tangente. La matrice della conica è: Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6

7 A= 9 Il deta=-9 diverso da : conica generale, mentre =() 9= : la conica è una parabola. a) Il centro è il punto d intersezione dei diametri. Dalla matrice si ricava che due diametri sono: d : x + y-= ed d : x + 9y - =. Poiché le rette sono parallele, se ne deduce che il centro è il punto improprio che hanno in comune. Ricordando che: la parabola ha tutti diametri paralleli; se la retta ha equazione ax+by+c= i parametri direttori sono (-b, a) e il punto improprio è proprio [(-b, a, )]. Il centro di questa parabola può essere scritto solo usando coordinate omogenee [(-;,)] Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7

8 b) Per determinare l asse della parabola usiamo la combinazione lineare dei diametri data dalla formula: a (a x + a y + a ) + a (a x+ a y + a )= (x + y-)+( x + 9y - )=. x + y - = Attenzione: la retta polare di (-,,) è la retta impropria x =. L asse è la polare di (,,). c) per determinare il vertice risolvo il sistema conica-asse: x + 6xy + 9y - 4x 6y - = x + y - = Sostituendo nella conica x=-y+/ si ottengono le coordinate del vertice Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8

9 V=(-99/;69/6) Per determinare la retta tangente calcolo la retta polare: x ( ) 9 y= 6 ricavo l equazione: 8 Oppure, in alternativa: x 6 y + 4 = la retta tangente alla parabola nel vertice deve essere perpendicolare all asse; le rette perpendicolari all asse appartengono al fascio improprio di equazione: x y + k =. Imponendo il passaggio per il vertice si ottiene la medesima retta di equazione x y + 4/6 =. Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-9

10 d) La retta tangente nel punto A=(,) si ottiene come: x ( ) 9 y= dunque ha equazione: t: x + 6y - 6 = le rette ortogonali appartengono al fascio di equazione 6x y + k= imponendo il passaggio per il punto (,4) si ottiene k= - 8 6x y -8= Esercizio 4 In ~ E (C) si classifichi la conica: C: x - 7xy + y + 5x y + =. Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

11 a) nel caso sia riducibile si individuino le sue rette componenti; b) Il punto (-8/5,-/5) cosa rappresenta per la conica? La matrice della conica è: 7 A= 5 5 Il deta=: conica riducibile. 5 Per trovare le rette componenti si può cercare di scomporre il polinomio C: x + x(5-7y) + y - y + =. Ricordando la formula risolutiva di un equazione di II grado e considerando (5-7y) come coefficiente di x e termine noto y - y + si ottiene: (5 7y) ± x= (5 7y) ± x= ( 5 7y) 5y 4 Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico y + Da cui si ottengono le due rette 5 4 (y y + )

12 x=y- e x=(y-)/. La conica si decompone in: C: (x-y+)(x-y+) = Il punto P=(-8/5,-/5) è il punto d intersezione delle rette componenti la conica; P è coniugato di tutti i punti del piano (calcolando la polare di P si ottiene =). Esercizio 5 In E ~ (R) si classifichi la conica: C: x - 4xy + y - 4x 6y - =. a) Si determini il centro della conica; b) Si determinino le equazioni degli assi della conica; c) Si determinino le equazioni degli asintoti; d) Si determinino il luogo dei punti che distano dagli asintoti. Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

13 La matrice della conica è: A= Il deta=-4: conica generale, =(-) > indica che la conica è un iperbole. a) Il centro è il punto d intersezione dei diametri: dalla matrice si ricavano: d : x - y-= ed d : - x + y - =. Se ne deduce che il centro è il punto d intersezione: (-,-7). b) Per determinare gli assi, ricerchiamo le loro direzioni (l,m) risolvendo l equazione: a l + (a - a )lm a m = - l + (-)lm +m = l - lm -m = m l= ± m + 4m Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

14 ± 5 l= m Dunque gli assi sono di equazione: ± 5 x y+ k = Imponendo il passaggio per il centro si trovano le due equazioni: ± x 5 y 7m = In alternativa si potevano sostituire i parametri direttori nella solita formula... c) Per determinare gli asintoti ricavo i punti impropri della conica C: x -4x x +x -4x x 6x x -x = retta impropria x = Si ottengono i punti impropri soluzione di x - 4x x + x = (x - x ) ( x - x ) = Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-4

15 Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-5 x = x punto improprio (x,x,) rappresentato da [(,,)] e x = x il punto improprio (x,x,) rappresentato da [(,,)]. Calcolando la tangente in tali punti si ottengono gli asintoti ( ) ( ) = = y x y x x - y - 9= e - x + y - 5=

16 d) I punti P=(x;y) che distano dagli asintoti appartengono alle quattro rette di equazioni: x y 9 = x y 9 ± = x + y 5 = x - y + 5± = Esercizi da svolgere in E ~ (C) ) Riconoscere le coniche e nel caso degeneri decomporle: C:x +6xy+y -6x 4y+= iperbole ; C:x +y = (x+iy)(x-iy)=; C:x +xy+y -4x 4y+4= ellisse ; C: x +4xy+4y +x+4y-= (x+y-)(x+y+); C: x +4xy+4y -x+y 5= (parabola) ; C: x +xy-y -x-y= (x+y)(x-y-)= ) Si determinino le coordinate omogenee del centro della conica di equazione C: x +6xy+y -6x 4y+=. [(,7,8)] ) Si determinino il centro della conica di equazione C: x - 4xy + y + x 6y -9 = [(-5/,-)] 4) Si determinino le equazioni degli assi della conica C: x + 6xy + y -6x 4y +=. [4x+4y 5=,x y+= ] C: x -4xy+y +4x+=. [x-y+6=, x-y-=] Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6