1 COORDINATE CARTESIANE

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1 1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4) Q(5,3) B Punto medio fr due punti A, B : P ( A + B ; A + B ) Simmetrico di A rispetto d P : B( P - A ; P - A ) Distnz fr due punti A B : ( B - A ) + ( B - A ) A P Bricentro di un tringolo di vertici A,B,C: G A + B + C ; A + B + C 3 3 Are del tringolo di vertici A, B, C (metodo del determinnte) + A A 1 A A Are = ½ B B 1 B B C C 1 C C - Equzione di un rett: equzione di 1 grdo in incognite (,): esistono infinite coppie di vlori che l soddisfno, m ognun di queste costituisce le coordinte di un punto dell rett. Esistono due forme per rppresentrl: 1) Form cnonic : ) Form esplicit : + b + c =0 = m + q Not l form 1), pssre ll ) : m = - / b q = - c / b Prticolri significti geometrici di lcune equzioni di rett : Y = 0 sse X X = 0 sse Y X = Y bisettrice 1 e 3 qudrnte Y = - X bisettrice e 4 qudrnte Y = k rett orizzontle e di ordint k X = h rett verticle e di sciss h Significto geometrico dei coefficienti nell form esplicit: m = coefficiente ngolre = / q = ordint ll origine A(3 ;6) B (1;1) = Y B - Y A = 6 q = 4 = X B - X A = 9 m = / = 6/9 =/3 = /3 + 4

2 Equzione dell rett pssnte per due punti A( A, A ) e B( B, B ) ( - A ) ( - A ) = ( B - A ) ( B - A ) Equzione dell rett pssnte per un punto A( A, A ) e di dto coeff. ngolre m : - A = m ( - A ) Condizioni di prllelismo o perpendicolrità fr rette: r) + b + c = 0 = m + n s) + b + c = 0 = m + n b ---- = ---- (b = b) prllelismo m = m b b = ( = -bb ) perpendicolrità m = b m Scrivere l equzione di un rett pssnte per un punto P ( 0 ; 0 ) e prllel d un rett dt : se in form implicit se in form esplicit r ) + b + c = 0 s) = m + n r // r) ( - 0 ) + b ( - 0 ) = 0 s // s) - 0 = m ( - 0 ) Scrivere l equzione di un rett pssnte per un punto P ( 0, 0 ) e perpendicolre d un rett dt : r ) + b + c = 0 s) = m + n r r) b ( - 0 ) - ( - 0 ) = 0 s s) - 0 = - 1 ( - 0 ) m Distnz di un punto P ( 0, 0 ) d un rett r) : + b + c = 0 d = 0 + b 0 + c + b

3 3 1) Proprio : Tutte le rette che pssno per un punto C (centro) Fscio di rette : s t ) Improprio : Tutte le rette prllele d un dt rett r ) r v C r L equzione di un fscio si esprime come quell di un rett, m contiene un prmetro, l vrire del qule il fscio si riduce d un delle rette che lo costituisce. Un fscio improprio è prmetrico solo nel termine noto. Un fscio proprio è prmetrico lmeno in uno d ei coefficienti di e/o di Scrivere l equzione del fscio proprio per C (, ): - = m ( - ). Esempio: fscio proprio per C (3,): - = m ( - 3 ) Scrivere l equzione del fscio proprio dte due rette : r) + b + c = 0 ; s) + b + c = 0 + b + c + t ( + b + c ) = 0 Esempio : fscio proprio dte le rette : r) = 0 ; s) = t ( ) = 0 Scrivere l equzione del fscio improprio F, prllelo r) r) : + b + c =0 r) : = m + n F) : + b + k =0 F) : = m + k Esempio : r ) : =0 r) : = F) : k =0 F) : = -5 + k Trovre il centro del fscio dt l equzione : 1. Porre l equzione in form linere : + b + c = 0 (con,b,c prmetrici). Trovre il vlore del prmetro che nnull e risolvere 3. Trovre il vlore del prmetro che nnull b e risolvere Esempio: (3t+1) - (t-1) -5t-3 = 0 t 1 = -1/3 ; t = 1 con t 1 : 4-4 = 0 = 1 con t : 4-8 = 0 = C (,1 )

4 Equzione dell Circonferenz dti il centro C (, ) e il rggio r : 4 (- ) + (- ) = r (equz. crtesin) Sviluppndo si riduce un equzione del tipo : b + c = 0 (equzione normle) Trovre, b, c dti il centro C (, ) e il rggio r : = - b = - c = + - r Trovre il centro C (, ) e il rggio r dt l equzione : = - = - b r = + - c b = 0 (C=0) : pss per l origine CIRCONFERENZE PARTICOLARI b + c = c = 0 (=0) : h centro sull sse (b=0) : h centro sull sse + + c = 0 (=b=0) : h centro nell origine degli ssi = b = 0 (b=c=0) : è tng. sse (=c=0) : è tng. sse ed h centro sull sse ed h centro sull sse

5 5 Scrivere l equzione dell circonferenz che... Per scrivere l equzione di un circonferenz bisogn trovre i tre coefficienti, b, c Questi diventno in reltà le vere incognite del problem, che necessit perciò di tre equzioni d mettere in sistem. Ogni equzione deriv d un condizione fornit dl testo. Tutto si riduce l trsformre ogni condizione in un equzione, come nei seguenti esempi:...pssi per l origine : c = 0...pssi per il punto P(, ) : sostituire e l posto di e in b + c = 0 ( 1 )...si tngente ll sse :...si tngente ll sse : = r = 4c = r b = 4c... bbi centro sull rett di equzione...(dt) : sostituire (-/ ) e ( -b/ ) l posto di e nell equzione dell rett dt... si tngente ll rett di equzione...(dt) : prte, fre sistem tr l equz. ( 1 ) e quell dell rett ; dell equz.di grdo risultnte d tle sistem, imporre il = 0 ed utilizzre quest come espressione dell condizione Condizioni di tngenz tr un circonferenz ) b + c = 0 ed un rett r) + b + c = 0 : 1. Fre sistem tr ) e r) ; ricvrne un equzione di grdo e di quest clcolre il. L condizione si esprime imponendo = 0 ( 1 sol soluzione = 1 solo punto di tngenz). Imporre Rggio = distnz Centro-rett cioè ( Rggio) = ( distnz Centro-rett) + - c = ( + b + c ) + b C R = d 3. Solo nel cso in cui il punto di tngenz P( 0, 0 ) pprteng ll circonferenz, utilizzre l formul dello sdoppimento : nell ) b + c = 0, sostituire d così d ottenere : b c = 0

6 6 PARABOLA E il luogo dei punti del pino equidistnti d un Fuoco F e d un Direttrice D 1) Cso elementre: prbol d sse verticle con vertice nell origine Dett p = distnz tr Fuoco e direttrice F (0,p/) Y =, con = 1 p >0 <0 d) D) Y = -p/ ) Prbol d sse orizzontle con vertice nell origine : Si scmbiernno le coordinte : =, con = 1 p F(p/,0) D) = -p/ >0 <0 F(p/,0) d) = -p/

7 7 ) Cso generle : prbol d sse : Verticle Orizzontle Y = + b +c X = + b +c Coordinte degli elementi dell prbol: sse Verticle sse Orizzontle F Fuoco : -b, , -b 4 4 V Vertice : -b, - -, -b 4 4 d Direttrice: = - -1 = ELLISSE Centrt nell origine, con ssi prlleli quelli coordinti b V 1 F 1 c F V P( ; ) Equzione cnonic : 1 b Asse focle orizzontle PF 1 + PF = = b + c V 1 b F 1 c b Asse focle verticle PF 1 + PF = b b = + c P F V

8 8 IPERBOLE Centrt nell origine, con ssi prlleli quelli coordinti c = + b ( in ogni cso) P( ; ) b F 1 V 1 V F Asse focle orizzontle PF 1 - PF = c Equzione cnonic : 1 b. F c V b c V 1 F 1 P( ; ) Asse focle verticle PF 1 - PF = b Equzione cnonic : 1 b Y FUNZIONE OMOGRAFICA ( Iperbole ruott di 45 e trslt in e ) Equzione esplicit : b c d Esiste per ogni X In un trslzione d ssi d ( ;0;) in (X;0 ;Y) ponendo: si ottiene: costnte (equzione di iperbole equilter = k) Equzioni sintoti: