Equazione implicita della circonferenza. b= 2 c= 2 2 r 2

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1 FORMULARIO DI GEOMETRIA ANALITICA Punto medio tra due punti. Distanza fra due punti. Baricentro di un triangolo. M = 1, y M = y 1 y d= 1 y y 1 0 = 1 3 3, y 0 = y 1 y y 3 3 Retta per due punti. Retta per un punto. Equazione esplicita della retta. 1 1 = y y 1 y y 1 y y 0 =m 0 m=tan y=m q Equazione segmentaria della retta Equazione implicita della retta. Rette perpendicolari. p y q =1 a b y c=0 m= a b q= c b m'= 1 m Posizione reciproca di due rette { a by c=0 a ' b ' y c'=0} Sistema: indeterminato rette coincidenti impossibile rette paralele e distinte determinato rette incidenti Distanza punto-retta. d= a 0 b 0 c a b Asse di un segmento. A y y A = B y y B

2 Equazione cartesiana della circonferenza. Equazione implicita della circonferenza. y a by c=0 a= b= c= r Circonferenza e retta. { a by c=0 a' b' y c'=0} Con centro sull'asse y =r Con centro sull'asse y Passante per l' origine Δ<0 esterna Δ=0 tangente Δ>0 secante Centro sull'origine Centro asse e passante origine Centro asse y e passante origine y a c=0 y by c=0 y a by=0 y c=0 y a=0 y b=0 Retta tangente. Regola dello sdoppiamento: Circonferenze secanti. r= m y 1 m 1 1 m Proprietà asse radicale 0 y y 0 a 0 b y y 0 c=0 Punti intersezione. { y a by c=0 a a' b b ' y c c ' =0} Asse radicale: a a' b b' y c c ' =0 Regola dello sdoppiamento PT = PT'

3 Proprietà asse radicale: Fasci di circonferenze: E' ortogonale alla retta per i centri ( asse centrale) ² y² a by c k ² y² a' b ' y c ' =0 ² y² a ka ' k 1 b kb' k 1 Asse radicale: Punti base. Risolvere il sistema formato da una generatrice e dall'asse radicale. { y a by c=0 a a' b b ' y c c ' =0} Se a=a' e b= b' fascio concentrico Se: Δ<0 esterne Δ=0 tangenti Δ>0 secanti y c kc ' k 1 =0 a a' b b' y c c ' =0 Fasci di circonferenze tangenti in un punto ( 0,y 0): 0 ² y y 0 ² k a by c =0 a b y c=0 è l'equazione dell'asse radicale Equazione cartesiana della parabola. AF = AD ² y ²= y d ² y=a² b c asse simmetria // asse y =ay² by c asse simmetria // asse Altra equazione della parabola Caratteristiche di y=a²+b+c =b² 4ac Fuoco e vertice: F b a, 1 4a V b a, 4a Direttrice e asse di simmetria: y d = 1 4a S = b a Coefficienti da parametri geometrici: a= 1 d b= d c= d d Caratteristiche di =ay²+by+c Fuoco e vertice: F 1 4a, b a Coefficienti da parametri geometrici: a= 1 d =b² 4ac b= d V 4a, b a Direttrice e asse di simmetria: d = 1 y 4a S = b a c= d d Particolari parabole ( b = 0 e c= 0) Particolari parabole (b= 0) h ²=4p y h Particolari parabole (c= 0) Parabole con a < 0: Parabole con a > 0

4 Intersezione con l'asse (radici) 0=a² b c Risolvere: Tangente per un punto appartenente Parabola e retta Risolvere: a² b m c q=0 Δ<0 esterna Δ=0 tangente Δ>0 secante Parabole secanti. Risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due parabole. Rette tangenti a parabola da un punto non appartenente: Generare il sistema: { y y 0 =m 0 y=a² b c } Dal sistema risolvere Δ(m)=0 Fasci di parabole. y a² b c k y a ' ² b ' c ' =0 y= a a' k 1 k b b' k ² c c ' k 1 k 1 k m=a 0 b y y 0 =a 0 b 0 c m=1/ ay 0 b 0 =ay 0 y b y y 0 c Dati i punti base A( A,y A) e B( B,y B) trovare il fascio di parabole. Fasci di parabole tangenti. Punti base: risolvere il sistema di secondo grado delle due generatrici Δ<0 senza punti base Δ=0 un punto base Δ>0 due punti base Teorema di Archimede Trovare a retta: A B A = y y A y B y A e poi: y=m q k A B è l'equazione del fascio Equazione canonica dell'ellisse. Se a² b²=c² 0 fuochi su asse Asse radicale : y - y T = m( T) Fascio: y= y T+m(- T) + k (- T)² Equazione canonica dell'ellisse. Se b² a²=c² 0 fuochi su asse y Area del segmento parabolico = (Area del rettangolo circoscritto) /3 Ellisse e retta. Δ<0 retta esterna Δ=0 retta tangente Δ>0 retta secante { y=m q } a y b =1 ² Equazione: a² y² b² =1 Fuochi: F 1 c,0 F c,0 ² Equazione: a² y² b² =1 Eccentricità: e= c/a < 1 Fuochi: F 1 0,c F 0, c Eccentricità: e= c/b < 1 Formula di sdoppiamento: 0 a yy 0 b =1 AREA DELL'ELLIS S = πa b Area di un triangolo: S= 1 y A B C y C A B y B C A 3 1 q q ' Allineamento di tre punti: = y 3 y 1 Distanza tra due rette parallele: d= 1 y y 1 1 m²

5 Equazione canonica dell'iperbole. Condizione: a b (fuochi su asse ) Fuochi: c=± a b² Eccentricità: e= c/a > 1 Asintoti: y=± b a Equazione canonica dell'iperbole Condizione: a b (fuochi su asse y) Fuochi: c=± a b² Eccentricità: e= c/a > 1 Asintoti: y=± a b Iperbole e retta. Δ<0 retta esterna Δ=0 retta tangente Δ>0 retta secante Formula di sdoppiamento: 0 a yy 0 b =1 oppure yy 0 a 0 b =1 { y=m q } a y b =1 CONICHE: DALLA FORMA GENERALE ALLA FORMA CANONICA Se si assume come direttrice la retta p+qy+s= 0 e come fuoco il punto F(α,β) una conica ha equazione: Sviluppando con l'algebra: ² y ²=e p qy s p² q² p² q² e²p² ² p² q² e²q² y² e²pq y [ p² q² e²ps] [ p² q² e²qs] y p² q² ² ² e²s² =0 a=p² q² e²p² d= [ p² q² e²ps] e= [ p² q² e²qs] f = p² q² ² ² e²s²=0 Si può scrivere: che è l'equazione generale di una conica. Consideriamo l'espressione =b² 4 a.c=4 e² 1 p² q² ² Se la conica è una parabola e = 1 Δ = 0 Se la conica è una iperbole e > 1 Δ > 0 Se la conica è una ellisse e < 1 Δ < 0 Se b= 0 allora p=0 oppure q= 0. La direttrice è parallela all'asse delle ordinate o parallela all'asse delle ascisse. In ambedue i casi non compare il termine in y. Per ridurre la conica b= e²pq a ² b y c y² d e y f =0 a ² b y c y² d e y f =0 a forma canonica: 1. Riconoscere la conica (calcola il Δ). Trova il centro di simmetria C(h,k) della conica che è dato dall'intersezione delle rette: (se C(h,k) appartiene alla conica allora questa esprime due rette incidenti) 3. Traslare la conica di un vettore (-h,-k) in modo da far coincidere il centro di simmetria con l'origine degli assi: 4. Effettuare una rotazione tale che tan = b a c Nel caso della parabola non esiste un centro di simmetria e le rette: c=p² q² e²q² (serve per eliminare il termine misto y) { a by d=0 cy b e=0} { a by d=0 cy b e=0} =X h { y=y k} sono parallele si dimostra che : a) esistono α e β tali che a² + by + cy² = (α + βy)², cioè il complesso dei termini di secondo grado è un quadrato perfetto; b) l inclinazione dell asse di simmetria sull asse delle è data da tg θ = α/β.

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