Una semplice applicazione del metodo delle caratteristiche: la propagazione di un onda di marea all interno di un canale a sezione rettangolare.

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1 Una semplce applcazone del metodo delle caratterstche: la propagazone d un onda d marea all nterno d un canale a sezone rettangolare. In generale la propagazone d un onda monodmensonale n una corrente a pelo lbero è descrtta nel pano oraro (x,t) dal sstema dfferenzale alle dervate total dx c dt du ± dt = ± = U ± gb dh ± Ω dt gω b g Ω U bω x h + gj = [] vgente sulle lnee caratterstche (C + e C - ). Consderamo adesso l caso semplfcato che soddsfa alle potes:. Sezone rettangolare, larghezza costante b Ω Ω = by, = x h [2]. Fondo orzzontale, non erodble h = Y [3]. Dsspazon trascurabl j [4] v. Onde d pccola ampezza v. Numero d Froude << Y = Y ( + Y x, t), con Y << Y [5] U << gy [6] Sosttuendo le (2-5) nel sstema [] e trascurando termn proporzonal ad Y, l sstema d equazon dvene: c± c± = ± gy d ( U ± 2 gy ) = dt [7]

2 Esempo: propagazone d un onda d marea all nterno della Bocca d Chogga. e potes sopra elencate descrvono con buona approssmazone la propagazone della marea all nterno d canal a sezone rettangolare costante. Il sstema [7] può qund essere utlzzato per ottenere una stma degl andament d veloctà e profondtà all nterno d una delle bocche d porto della aguna d Veneza che mettono n comuncazone l mare con quest ultma. Fgura.: Immagne da satellte della aguna d Veneza. S not la Bocca d Chogga. Nel seguto c rferremo n partcolare alla Bocca d Chogga, evdenzata n Fgura..

3 DATI: B = 57m = 4m T = 2.4h Y = m a =.5m 8 S =.82 m 2 ω Condzon al contorno: x = Y = Y + acos( ω ) oscllazone del lvello mposta dalla marea. t x = dy Q = S oscllazone statca del lvello nel bacno lagunare. dt Condzon nzal: Y( x = ) = Y ( x = ) = Y + acos() =.5m U ( x = ) = U ( x = ) = lvello d alta marea n ogn sezone della bocca. a determnazone d veloctà e profondtà nelle sezon d estremtà della bocca rchede la soluzone del sstema [7] nel pano oraro (x,t). e lnee caratterstche sono rette d uguale pendenza (avendo potzzato che l onda sa d pccola ampezza), l che mplca che le nformazon mpeghno sempre lo stesso ntervallo d tempo t a propagars lungo la dstanza : t = = = 44s c gy ungo la caratterstca postva, che propaga nella sezone x = nformazon relatve alla sezone x =, va rsolto l sstema: c + [ U + 2 gy ] = [ U + 2 gy ] [ Q] = B[ YU ] t, x= t t, x = t, x = = S [ Y ] [ Y ] t, x= t, x = 2 t t 2 t, x =

4 ungo la caratterstca negatva, che propaga nella sezone x = nformazon relatve alla sezone x =, l sstema è nvece: c [ U 2 gy ] = [ U 2 gy ] [ Y ] t, x = = Y t t, x= + acos( ωt ) t, x = a determnazone delle varabl U,Y nella sezone x = (rvolta n laguna) rchede la soluzone d un equazone del tpo: la cu soluzone va cercata per tentatv. AY 3/ 2 + BY + C a sezone x = non pone alcuna dffcoltà poché la condzone sulla profondtà consente d determnare la soluzone esplctamente. D seguto vene rportata una tabella che contene valor d U, Y n cascuna delle due sezon nelle prme fas d propagazone della marea. = X t [s] U[m/s] Y[m],5 43,855,5 87,7 -,32, ,565 -,59, ,42 -,799, ,275 -,2846, ,3 -,5434, ,985 -,7588, ,84 -,873, ,695 -,5287,4845 S not come la veloctà sa negatva, ovvero dretta n senso opposto all asse x, supposto postvo movendos verso la sezone x = : questo non deve meravglare, poché s è mposta la condzone nzale d lvello massmo, a cu segue una dmnuzone della profondtà nella sezone n comuncazone con l mare secondo una legge cosnusodale che determna la fase d abbassamento della marea n cu l acqua esce dalla laguna, dretta verso l mare. a fase d bassa marea persste fno all stante n cu la profondtà mposta nella sezone n comuncazone con l mare rprende a crescere, momento n cu s ha un nversone del moto che precede la fase d alta marea n cu l acqua entra n laguna. I grafc rportat nel seguto descrvono gl andament d profondtà e veloctà nella sezone della bocca rvolta verso la laguna.

5 Bocca d Chogga: profondtà n uscta,8,6,4,2 Y/Y,98,96,94,92,25,5,75 t/t Fgura.2: Andamento del lvello nella sezone x = (rvolta n laguna) della Bocca d Chogga all nterno d un cclo d marea. Bocca d Chogga: veloctà n uscta,5,25,75,5,25 U [m/s],25,5,75 -,25 -,5 -,75 - -,25 -,5 t/t Fgura.3: Andamento della veloctà nella sezone x = (rvolta n laguna) della Bocca d Chogga all nterno d un cclo d marea.