Richiami teorici ed esercizi di Logica

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1 Facoltà di ingegneria Università della Calabria Corsi di Potenziamento Matematica e Logica A. A Richiami teorici ed esercizi di Logica Proposizioni logiche: Ogni espressione matematica alla quale si può attribuire, senza ambiguità, un valore di verità (VERO oppure FALSO) è una proposizione. ESEMPI - 7 è un numero primo V - Quattro moltiplicato per due fa otto V - I triangoli hanno quattro angoli F - Tutti gli italiani conoscono la logica E una proposizione; dopo aver intervistato tutti gli italiani sarà possibile attribuire ad essa un valore di verità o meno. - La matematica è utile agli studenti di ingegneria V - Dove stai andando? - Che giornata orribile! Non sono proposizioni

2 Le proposizioni logiche più semplici sono quelle del tipo: - Piove; - Giovanni mangia; - Claudio legge un libro. Sono le proposizioni più semplici perché coinvolgono un solo predicato; queste ultime vengono chiamate proposizioni semplici o atomiche perché, a causa della loro struttura, non possono essere scomposte in proposizioni ancora più semplici. In definitiva, le proposizioni semplici o atomiche sono affermazioni, non scomponibili in altre di più semplice struttura, per le quali si può stabilire con certezza se sono vere oppure false. Così come nel linguaggio comune, due o più proposizioni semplici o atomiche possono essere connesse fra loro utilizzando un apposita sintassi. Si ottengono così nuove proposizioni che, in quanto originate dalla connessione di affermazioni, possono esse stesse risultare vere o false. Queste nuove proposizioni vengono dette composte o molecolari (la molecola è composta da più atomi; una proposizione molecolare è composta da più proposizioni atomiche). La sintassi che si utilizza per collegare fra loro più proposizioni atomiche, è basata sull uso dei seguenti connettivi logici: - e: congiunzione, - o: disgiunzione, - non : negazione.

3 Nel linguaggio della logica, però, ai simboli precedenti, che sono propri della lingua italiana, sostituiremo altri simboli: - al simbolo e della congiunzione sostituiremo il simbolo and; - al simbolo o della disgiunzione sostituiremo il simbolo or, quando la disgiunzione ha significato inclusivo; - al simbolo o della disgiunzione sostituiremo il simbolo xor, quando la disgiunzione ha significato esclusivo; - al simbolo non della negazione sostituiremo il simbolo not. Per indicare i connettivi logici possono essere anche usati altri simboli A and B A et B A B A or B A vel B A B A xor B A aut B A B Not A A A Verità o falsità di una proposizione Una proposizione molecolare può risultare vera o falsa a seconda delle verità o falsità delle proposizioni atomiche dalle quali è composta. L accertamento della verità o falsità di una proposizione atomica è, in generale, immediato. Non è, invece, immediato l accertamento della verità o falsità di una proposizione molecolare.

4 Congiunzione ( A B ) La congiunzione è vera se sono vere entrambe le proposizioni. Tabella di verità A B A B V V V V F F F V F F F F Osservazione: l operazione di congiunzione viene anche detta intersezione logica (si pensi al riferimento all intersezione fra insiemi fatto a lezione). Esempio: Consideriamo le proposizioni p: Dante ha scritto La Divina Commedia q: Alessandro Manzoni ha scritto I Promessi Sposi La proposizione p q = Dante ha scritto La Divina Commedia e Alessandro Manzoni ha scritto I Promessi Sposi è vera perché sono vere le proposizioni p e q. Disgiunzione ( A B ) La disgiunzione inclusiva è vera se almeno una delle due proposizioni è vera (è vera A, oppure è vera B oppure sono vere entrambe A e B):

5 Tabella di verità A B A B V V V V F V F V V F F F Osservazione: l operazione di disgiunzione viene anche detta unione logica (si pensi al riferimento all unione fra insiemi fatto a lezione). Esempio: Consideriamo le proposizioni p: 2 è un numero pari (Vera) q: 12 è un multiplo di 7 (Falsa) La proposizione è vera poiché p è vera e q è falsa. p q = 2 è un numero pari oppure 12 è un multiplo di 7 La disgiunzione esclusiva è vera quando soltanto una proposizione è vera: Tabella di verità A B A B V V F V F V F V V F F F

6 Esempio: Consideriamo le proposizioni p: Mangio q: Dormo la proposizione p q = O mangio o dormo è vera se mangio e non dormo oppure se dormo ma non mangio, le due azioni si escludono a vicenda. Negazione ( A ) La negazione di A è vera se la proposizione A è falsa; è falsa se la proposizione A è vera: Tabella di verità A V F A F V Osservazione: l operazione di negazione viene anche detta complementazione logica (si pensi al riferimento al complementare di un insieme fatto a lezione). Esempio: Consideriamo la proposizione p= 5 è maggiore di 3 La proposizione p = 5 non è maggiore di 3 è falsa perché p è vera.

7 Altri connettivi -L implicazione ( A B) L implicazione è falsa solo nel caso in cui B è falsa e A è vera. Tabella di verità A B A B V V V V F F F V V F F V Osservazione 1: Le proposizioni A B equivalenti, cioè hanno lo stesso valore di verità. Osservazione 2: La proposizione A B e A B sono logicamente è da leggersi se A allora B. Esempio: Consideriamo le proposizioni p= le aquile sono uccelli q= Dante ha scritto I Promessi Sposi La proposizione p q = Se le aquile sono uccelli allora Dante ha scritto I Promessi Sposi è falsa poiché p è vera e q è falsa. -La doppia implicazione ( A B ) La doppia implicazione è falsa nel caso in cui una della due proposizioni A o B è falsa:

8 Tabella di verità A B A B V V V V F F F V F F F V Osservazione 1: Le proposizioni equivalenti. Osservazione 2: La proposizione A B e ( A B) ( B A) sono logicamente A B è da leggersi A se e solo se B. Esempio: Consideriamo le proposizioni p= piove q= parto La proposizione p q = parto se e solo se piove è vera se sta piovendo e sto partendo oppure se non sta piovendo ed io non sto partendo. Quantificatori Il simbolo si legge per ogni, oppure per qualunque, omettendo quando è il caso la preposizione per; il simbolo si legge esiste almeno un oppure qualche, qualcuno. Tali simboli vengono detti quantificatori; in particolare, il primo viene detto quantificatore universale e il secondo quantificatore esistenziale.

9 Esempi - Tutti i multipli di due sono pari. Per formalizzare questa frase possiamo utilizzare il quantificatore universale, scrivendo semplicemente ( x Ν, se x è multiplo di 2 allora x è pari) - Qualche numero è primo. Per formalizzare questa frase possiamo utilizzare il quantificatore esistenziale, scrivendo semplicemente ( x Ν : x è primo). Come negare i quantificatori? La negazione di La negazione di ( x, p( x)) è ( x, p( x)) e cioè ( x, p( x)). ( x, p( x)) è ( x, p( x)) e cioè ( x, p( x)). Esercizi: 1) Scrivere la negazione della frase Tutti gli uomini presenti a questa festa indossano la cravatta. Soluzione: Non tutti gli uomini presenti a questa festa indossano la cravatta = Qualcuno fra tutti gli uomini presenti a questa festa non indossa la cravatta = Esiste almeno un uomo presente a questa festa che non indossa la cravatta.

10 2) Scrivere la negazione della frase Tutti i numeri perfetti sono pari Soluzione: Esiste almeno un numero perfetto che non è pari = Esiste almeno un numero perfetto dispari. La condizione necessaria, la condizione sufficiente ed i teoremi Per esprimere che l implicazione p q è sempre vera si dice che la premessa p è condizione sufficiente per la conseguenza q, o anche, che la conseguenza q è condizione necessaria per la premessa p. Esempio: Consideriamo la proposizione p q = se x è multiplo di 4, allora x è pari formata dalle proposizioni atomiche p= x è multiplo di 4 e q= x è pari (con x numero naturale). Possiamo dire che essere multiplo di 4 è sufficiente per essere pari, o anche, che essere pari è necessario per essere multiplo di 4. In altre situazioni, si verifica non solo che l implicazione sempre vera, ma anche che l implicazione contraria è sempre vera la doppia implicazione p q q p p q è lo è, cioè che. (Sappiamo che questo capita quando tutte e due le proposizioni p e q assumono lo stesso valore di verità).

11 Per esprimere che la doppia implicazione p q è sempre vera si dice che la premessa p è condizione necessaria e sufficiente per la conseguenza q. Le espressioni condizione necessaria, condizione sufficiente, condizione necessaria e sufficiente ricorrono spesso in matematica quando si devono enunciare dei teoremi. Esempio di teorema: Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli uguali In un teorema le premesse si chiamano ipotesi, la conseguenza si dice tesi. Relativamente al nostro esempio, l ipotesi è di avere un triangolo isoscele, la tesi è che il triangolo ha due angoli uguali. Una volta mostrata la validità della tesi (attraverso un ragionamento che si chiama dimostrazione) il teorema si può esprimere in termini di condizioni necessarie e/o sufficienti. Ritornando all esempio precedente, il teorema può essere così enunciato: Essere un triangolo isoscele è una condizione sufficiente per avere due angoli uguali; oppure, avere due angoli uguali è una condizione necessaria per essere un triangolo isoscele.

12 Esercizi: 1) In Burgulandia sono ammessi ai concorsi statali solo le persone che sono laureate, e che o hanno meno di 30 anni oppure hanno figli. Asdrubale non è laureato, ha 26 anni ed ha un figlio; Brigida è laureata, ha 40 anni e ha due figli; Calogero, ha 32 anni e non ha figli. Chi può partecipare ai concorsi statali in Burgulandia? A. Sia Asdrubale, sia Brigida B. La sola Brigida C. Il solo Calogero D. Sia Brigida, sia Calogero E. Sia Asdrubale, sia Calogero 2) Napoli e Capua sono entrambi comuni della Campania. Se Asdrubale è nato a Napoli, allora è campano. Ma abbiamo scoperto che Asdrubale non è nato a Napoli. Avendo a disposizione questi soli dati, quali delle seguenti affermazioni si possono dedurre? A. Non possiamo dire che Asdrubale sia campano né che non sia campano. B. Asdrubale non è campano C. Asdrubale è italiano D. Asdrubale è nato a Capua E. Asdrubale è campano

13 3) Tutti i matematici ammirano tutte le persone oneste. Sappiamo che Asdrubale è un matematico e che alcune persone oneste ammirano Asdrubale, per cui è certo che: A. tutte le persone oneste ammirano e sono ammirate da Asdrubale B. qualcuno ammira ma tutti sono ammirati da Asdrubale C. tutti ammirano e sono ammirati da Asdrubale D. tutti ammirano ma solo alcuni sono ammirati da Asdrubale E. qualcuno ammira ed è ammirato da Asdrubale 4) Anna, Bruno, Claudia, Davide ed Eva sono 5 amici. Le affermazioni di ciascuno di essi sono o vere o false. Ecco 5 loro affermazioni: Anna: Io ho gli occhi verdi Bruno: Il quadrato di un numero intero dispari è dispari Claudia: Solo una delle affermazioni dei miei quattro amici è vera Davide: = 31 Eva: Ciò che Anna afferma è falso Quante tra queste affermazioni sono vere? A. Sono vere quattro affermazioni B. Sono vere cinque affermazioni C. E vera una sola affermazione D. Sono vere tre affermazioni E. Sono vere due affermazioni