A tal fine consideriamo un esempio come punto di partenza per le nostre considerazioni.

Transcript

1 Moto Parabolico Sino ad ora abbiamo ito due tipi di moto: moto rettilineo uniforme moto uniformemente accelerato lo tudio che è tato condotto fino a queto punto ha preo in coniderazione un moto alla olta, enza eaminare la poibilità di erificare quale ia il riultato dell azione combinata di due moti u un corpo. A tal fine conideriamo un eempio come punto di partenza per le notre coniderazioni. Supponiamo di dare un calcio ad una palla. Quale traiettoria decrierà nel uo moto? Richiamiamo il inificato di traiettoria. Definizione: i definice traiettoria di u punto la cura eometrica decritta dal corpo durante il ul moto. Torniamo al pallone che iene calciato, aumendo inoltre l ipotei che non i ia attrito, dal momento in cui iene calciato all intante in cui tocca il uolo, eo decrierà una parabola, come chematizzato dal dieno euente. Conideriamo ora le forze preenti in queto tipo di moto.

2 Vi è una forza iniziale, un impulo che imprime al elocità iniziale, ea però dura oltanto per l itante iniziale, poi la ua azione termina e il pallone proeue il moto razie all azione ubita al momento del lancio. Analizziamo allora le forze preenti nell azione decritta. Se non conideriamo la pinta iniziale, caua del moto, per li itanti t > (cioè ucceii al lancio che corriponde all itante t =, unico momento in cui aice al forza iniziale) poiamo comporre il moto luno li ai: ae : non aice alcuna forza, pertanto il moto arà rettilineo uniforme e il alore della elocità luno l ae orizzontale dipende unicamente dalle condizioni iniziali; ae : luno l ae erticale aice la forza di raità che, con la ua azione ero il bao, i oppone alla pinta erticale iniziale la quale dipende a ua olta dalle condizioni iniziali del moto, pertanto, ita la preenza della forza di raità (e quindi dell accelerazione di raità) il moto luno l ae arà rettilineo uniformemente accelerato. Nelle coniderazioni precedenti è tato fatto riferimento più olte alle condizioni iniziali, ediamo di chiarire che inificato abbiano. Con condizioni iniziali ci riferiamo preciamente: alla elocità iniziale di lancio; all anolo che la elocità iniziale forma con la direzione poitia dell ae delle. Infatti e manteniamo cotante la elocità di lancio iniziale e facciamo ariare l anolo che il ettore elocità iniziale forma con la direzione poitia dell ae delle, i può oerare che: Situazione 1

3 Situazione Situazione 3 Si può oerare che e rimane cotante, la ditanza tra il punto di lancio e il punto di impatto aria al ariare dell anolo di lancio, quindi eo è reponabile della ditanza percora dal corpo, in quanto l unica forza che aice nella ituazione eaminata è la forza di raità che riulta cotante per tutte le ituazioni illutrate. Nelle poibilità ite, infatti l unica randezza che aria è proprio l anolo, quindi eo è la caua della ariazione di ditanza percora dal corpo lanciato. Analoamente, e manteniamo fio l anolo di lancio e facciamo ariare la elocità iniziale, i ha: Situazione 1

4 Situazione Situazione 3 Si può oerare che e rimane cotante, la ditanza tra il punto di lancio e il punto di impatto aria al ariare del alore iniziale della elocità di lancio ora, quindi, è tale alore il reponabile della ariazione di ditanza percora dal corpo, in quanto, come oerato in precedenza, l unica forza che aice nella ituazione eaminata è la forza di raità che riulta cotante per tutte le ituazioni illutrate. Nei 3 precedenti cai iti, infatti l unica randezza che aria è proprio la elocità iniziale, quindi ea è la caua della ariazione di ditanza percora dal corpo lanciato. Allora, poiché la elocità è una randezza ettoriale, ha eno parlare delle ue componenti, in particolare della componente orizzontale e della componente erticale, che i ottenono componendo il ettore.

5 Come è poibile determinare le componenti coì rappreentate a partire dalla elocità iniziale e dall anolo di lancio? A queto problema iene ripoto con l utilizzo delle funzioni oniometriche, pertanto per ora, utilizzando la calcolatrice, prenderemo per alide le euenti formule, enza entrare nel merito della loro dimotrazione. = co( ) = in( ) Oerazione Se aeimo inece e è poibile calcolare utilizzando il teorema di Pitaora, infatti: = + Analizziamo ora le componenti della elocità Componente orizzontale Nel cao di, nell ipotei che non i i attrito per il moto coniderato, una olta imprea la pinta iniziale, non i è alcuna forza che interaica con che modifichi il alore iniziale della componente orizzontale della elocità quindi pertanto non è preente alcuna azione luno l ae il moto è rettilineo uniforme e dipende ecluiamente dal alore iniziale della elocità e dall anolo di lancio, cioè =. Componente erticale Nel cao di, empre nell ipotei che non i i attrito per il moto coniderato, una olta imprea la pinta iniziale, i è la forza di raità che interaice con la componente erticale di pertanto i queto cao è preente un azione che modifica il alore iniziale della componente erticale della elocità, inoltre poiché la pinta iniziale è diretta ero l alto, mentre la forza di raità è diretta ero il bao, ee aranno eno oppoto

6 quindi luno l ae il moto è rettilineo uniformemente accelerato e dipende dal alore iniziale della elocità, dall anolo di lancio e dalla forza di raità, cioè = t. Dalle formule delle elocità e dalla natura dei moti, poiamo ottenere le formule per lo pazio percoro, cioè l equazione oraria del moto per al direzione erticale e per al direzione orizzontale: = t = 1 t t Oerazione Poiché il moto compleio è un moto parabolico, che aiene in un determinato interallo di tempo t, anche le componenti del moto doranno anch ee oleri nello teo interallo di tempo. Ecco quindi che nelle formule = t e 1 t = t, il tempo rappreenta empre lo teo alore, cioè per determinare al poizione del corpo in un itante i dorà otituire lo teo alore di t in entrambe le formule. Analoamente il tempo totale di olo dell oetto è lo teo per entrambe le formule. Quindi il tempo è la ariabile che mi permette di paare da un moto all altro, eli è l elemento che mette in comunicazione le due componenti in cui i compone il moto parabolico. Altezza maima di un moto parabolico Se proiettiamo il moto del punto che i muoe di moto parabolico ull ae delle abbiamo moto rettilineo uniforme, mentre e proiettiamo ull ae delle abbiamo moto uniformemente accelerato. In quet ultimo cao, però, il moto che i ottiene ull ae erticale è un moto in cui il corpo ale ino a che non raiune il punto di altezza maima, che coincide con il ertice della parabola, ucceiamente il corpo cende e la ua proiezione ull ae delle cende anch ea fino a zero alore che coincide con l impatto del corpo al uolo.

7 Se analizziamo il comportamento della proiezione erticale del moto, oeriamo che eo i comporta come un oetto che iene lanciato ero l alto, ottopoto al azione della forza di raità, cioè è in pratica la caduta di un rae. Per tale moto allora, ricordando quanti ito in precedenza, è poibile calcolare il tempo neceario per raiunere l altezza maima, poiché per queta ituazione è poibile oerare che per un itante la elocità erticale del corpo è nulla, cioè accade: = t da cui i ottiene t = Che rappreenta il tempo neceario al corpo per raiunere l altezza maima. Sotituendo tale alore per il tempo nell equazione raiunta dal moto del corpo: 1 t = t, troiamo l altezza maima h ma = 1 = 1 = 1 Per determinare la poizione del corpo in tale itante i dee otituire il medeimo alore del tempo nella formula = t. Oerazione Dal momento che la parabola è una cura immetrica, il tempo neceario per andare dal punto di lancio al punto di altezza maima è lo teo che ere per andare dal punto di altezza maima al punto di impatto. Ricordiamo ora che la ditanza percora da un corpo in moto è la ditanza tra il punto finale e il punti iniziale, indipendentemente dalla traiettoria, pertanto i dee tare attenti a non confondere tra loro ditanza percora e traiettoria del corpo. Definizione: i definice ittata di un corpo la ditanza tra un il punto di lancio e il punto di impatto.

8 La ittata allora non è altro che lo pazio percoro dal corpo nel uo moto di tralazione orizzontale. Quindi e i conoce il tempo neceario al corpo per iunere all altezza maima t h, i ha che il tempo totale di olo è il doppio di queto alore tralazione orizzontale del corpo, cioè la ittata L è data dalla formula: t = t, tale alore è anche il tempo totale di tot h L = t tot La ittata inoltre i può anche calcolare con la formula Oerazione L = Poiché la ittata i può calcolare in due modi, uualiando tra loro le due epreioni è poibile ottenere il tempo totale di olo oppure, infatti t tot = t tot = che i può eprimere anche = t tot Oerazione Se in un problema i conoce l altezza maima il tempo di caduta i calcola coniderando la proiezione erticale del punto, che coincide con la caduta di un rae, quindi t = h ma Tale alore del tempo, moltiplicato per due retituice il tempo totale di olo. Oerazione: cao particolare di un moto parabolico lanciato orizzontalmente Conideriamo ora il cao di lancio orizzontale per un corpo.

9 h In queto cao i ha = = Quindi i può intetizzare che tale moto corriponde ad un moto parabolico, nel cao enerale, che cade dal punto di altezza maima. Allora il tempo di olo coincide con il tempo di caduta di un rae che cade da un altezza h. Come ito in precedenza: [tempo olo]= [tempo tralazione]= [tempo caduta] Tempo di caduta h t =. Spazio percoro durante la caduta 1 t h =. Spotamento luno l ae orizzontale = t (è la ittata).