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1 DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..; E n le cui robabilità sono: ; ;..; n tali che Σ i = eventi incomatibili: il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi contemoraneo di qualsiasi altro evento comlementari: uno di essi deve necessariamente verificarsi VALORE MEDIO DI UNA VARIABILE CASUALE M + n n ( X) = = + + n n i Il valore medio (o seranza matematica*, o valore atteso, o valore serato) di una variabile casuale è dato dalla somma dei rodotti dei valori che la variabile uò assumere er le risettive robabilità e quindi è la media onderata dei ossibili valori di. E. Calcolare il valore medio ottenibile nel lancio di un dado. = ; = ; = ; 4 = 4; 5 = 5; = M ( X) = = =, 5 7 * Il termine seranza matematica è storicamente legato ai giochi d azzardo. Un gioco si dice equo se la seranza matematica di ogni giocatore è nulla. E. Giocando alla roulette, untiamo una certa somma S su un numero e saiamo che, se il numero esce ritiriamo 5 volte la somma che abbiamo imegnato, se il numero non esce erdiamo quello che abbiamo untato. Qual è il valore atteso di questo gioco? /

2 I numeri della roulette sono 7, quindi ognuno di essi ha robabilità /7 di uscire e /7 di non uscire. Se il numero esce vinciamo una somma ari a 5S e se non esce erdiamo S. Il valore atteso = del guadagno che abbiamo giocando alla roulette è M( X) 5S S = S Si ha dunque un guadagno medio negativo; non aare allora conveniente giocare alla roulette untando su un numero ieno. SCARTO LINEARE DI UNA VARIABILE CASUALE Detto M(X) = m si definisce scarto (o scostamento o deviazione) la nuova variabile Y = X - m tale che M(Y) = M(X-m)= M(X) M(m)= m - m = 0. E: Calcolare lo scarto riferito all esercizio recedente e verificare la media dello scarto. y 7 = = 5 ; 7 y = = ; 7 y = = ; 7 y 4 = 4 = ; 7 y 5 = 5 = ; 7 = = 5 y ; M ( Y) = = VARIANZA: SCARTO AL QUADRATO scarti. Per evitare che gli scarti negativi annullino gli scarti ositivi si considerano i quadrati degli Si dice variabile casuale scarto al quadrato ( X m) la variabile casuale che assume i valori ( ) m ; ( ) m,.., ( m) n Si dice varianza della variabile casuale X il valore medio dello scarto quadrato ( X m) var [ ] ( X) = M( X m) = M( X ) M( X) La varianza è uguale alla differenza fra il valore medio della variabile casuale quadrato e il quadrato del valore medio. /

3 SCARTO QUADRATICO MEDIO DI UNA VARIABILE CASUALE Lo scarto quadratico medio (o scostamento, o deviazione quadratica media) è dato dalla radice quadrata del valore medio dei quadrati degli scarti lineari. σ = M [( X m) ] la conoscenza di σ è molto utile er revedere l amiezza dei valori dello scarto X-m E. Calcolare la media aritmetica, lo scarto lineare, lo scarto quadratico medio e la varianza con i seguenti dati:, 7, e 0 con robabilità 0,0; 0,5; 0, e 0,4 k k k k k -M ( k -M ) k ( k -M ) k ( k -M ) σ 0,0 0,90 -,7 8,07 -,85,4 7 0,5,75 -,7 4,7-0,54,8 0,,7,8 8,0 0,88,48 0 0,4,80 0,8 7,9,5,4 Totali,00 9,7 0,00,50 5, M M var Σ 9,7 i i ( X) = = = 9, 7 Σ ( X m) =Σ ( M) = 0 i i ( X ) = M( X m) = M( X ) M( X) σ = M m [( X ) ] = 5, [ ] =, 50 VALORE MEDIO NELLE PROVE RIPETUTE Se un evento E ha la robabilità costante di verificarsi in ogni rova, e di conseguenza l evento contrario ha robabilità q =, effettuando n rove nelle medesime condizioni, il /

4 numero delle volte l evento E si verifica costituisce una variabile casuale X, che uò assumere differenti valori ciascuno con una revista robabilità. M ( X) = n Quindi se un evento, su n rove effettuate nelle medesime condizioni, ha la robabilità costante in ogni rova, il valor medio del numero delle volte che l evento richiesto si verifica è dato dal rodotto del numero delle rove effettuate er la robabilità costante dell evento in ogni rova. E. Viene rietuto il lancio del dado er 00 volte, il numero delle volte che si resenterà il vale è M quindi su 00 rove effettuate il valore in media si resenterà 00 dado da ( ) = 00 = 00 volte. SCARTO NELLE PROVE RIPETUTE Se si rietono n rove, ciascuna di robabilità costante in ogni rova e l evento si resenta ν (frequenza) volte, si definisce scarto assoluto la differenza fra il numero ν delle volte che l evento si è resentato favorevole ed il numero medio M ( X) n = delle volte che l evento avrebbe teoricamente resentarsi. Indicando con s lo scarto assoluto si ha: s = ν - n Ricordiamo che il valore medio dello scarto assoluto è nullo cioè M(s) = 0. Il raorto fra lo scarto assoluto ed il numero delle rove effettuate si definisce scarto relativo ed è dato da: s n ν n = n ν = = n f ossia lo scarto relativo è dato dalla differenza fra la frequenza relativa con cui l evento si è resentato e la robabilità costante dell evento in ciascuna rova. Al crescere del numero n delle rove, f si avvicina ad un valore circa uguale a quello della s n robabilità a riori del verificarsi dell avvenimento. M = M( f ) = 0 4/

5 SCARTO QUADRATICO MEDIO NELLE PROVE RIPETUTE: σ = nq = n( ) VARIANZA NELLE PROVE RIPETUTE: var ( X ) = nq Continuando l esercizio recedente: Viene rietuto il lancio del dado er 00 volte, il numero delle volte che si resenterà il vale è dado da ( ) = 00 = 00 M quindi su 00 rove effettuate il valore in media si resenterà 00 volte, lo scarto quadratico medio sarà σ = n ( ) = 00 9, VARIABILI CASUALI CONTINUE Variabile casuale continua è qualsiasi variabile casuale che assume tutti i valori reali comresi in un dato intervallo limitato o illimitato. Diamo alcune definizioni: Funzione di riartizione: la funzione di riartizione F() della variabile casuale X esrime la robabilità che la variabile casuale assuma un valore non sueriore a. Cioè, si ha F( ) = Pr( X ) e valgono le medesime rorietà viste er le variabili casuali discrete, cioè: La funzione di riartizione è definita er qualsiasi valore (reale) di La funzione di riartizione assume valori comresi fra zero e essendo: F ( ) = 0 er a (valore minimo) F ( ) = er b (valore massimo) 5/

6 La funzione di riartizione è monotona non decrescente. F() 0 a b E. Consideriamo la variabile casuale X, continua, che assume tutti i valori reali aartenenti all intervallo [0; 0] e la cui funzione di densità è f() = 0,00. Con riferimento a questa variabile casuale calcoliamo la robabilità che essa assuma valore:. non sueriore a. sueriore a. non sueriore a 4. comreso fra 4 e 7 verifichiamo er rima cosa la condizione che la somma delle robabilità arziale è uguale alla 0 0 certezza: f ( ) d 0,00 d= 0,00 = 0,00 0 = Pr Pr Pr = 0 0 ( X ) = 0,00 d= 0 0 ( X > ) = 0,00 d= ( X ) = 0,00 d= 0 0,00 0,999 0, /

7 Pr 7 ( 4< X 7) = 0,00 d= 4 0,079 PARTICOLARI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA La distribuzione uniforme Si dice che la variabile aleatoria X ha distribuzione di robabilità uniforme se assume i valori,,,., n con robabilità,,., n tutte uguali fra loro. La distribuzione binomiale Si dice rova di Bernuilli un eserimento aleatorio che uò avere solo due esiti ossibili, convenzionalmente chiamati successo e insuccesso aventi robabilità di successo e q=- di insuccesso. Si dice rocesso di Bernouilli una sequenza di rove di Bernouilli tutte di uguale arametro e tra loro indiendenti. La robabilità k P( X = k) = che in un rocesso bernouilliano si verifichino k successi è data da k k n k = 0 q con k = 0,,,.., n E. Una moneta viene lanciata 0 volte e viene registrato il numero delle volte che esce testa. Tale numero è una variabile aleatoria discreta che uò assumere tutti i valori comresi tra 0 e 0; infatti su 0 lanci, l evento testa uò verificarsi 0 volte, volta,., 0 volte. La distribuzione di robabilità di questa variabile aleatoria si determina calcolando la robabilità che su 0 lanci esca testa 0 volte, volta,., 0 volte; se indichiamo con la robabilità che esca volte si ha 0 = 0 con 0 = 0!! ( 0 )! ,00 0,00 0,044 0,7 0,05 0,4 0,05 0,7 0,044 0,00 0,00 7/

8 con = grafico La funzione distribuzione di robabilità della variabile aleatoria X uò quindi essere descritta in forma analitica nel seguente modo: f n 0... altrove n ( ) = ( X = ) = q... er. = 0,,..., n e. La robabilità che su 0 estrazioni di una carta da un mazzo di 40 esca er tre volte un asso è: 0 4 = ,057 E. La robabilità che un tiratore non colisca il bersaglio è 0,08. Calcolare la robabilità che, su 0 tiri, ne fallisca 0,,,.., 0. La variabile aleatoria X è, in questo caso, il numero di tiri non andati a segno sui 0 fatti. = 0,08; q = 0, ( 0) = ( 0,08) ( 0,9) = 0, ( ) = ( 0,08)( 0,9) = 0, ( 5) = ( 0,08) ( 0,9) = 0, ( 0) = ( 0,08) ( 0,9) =,07 0 Il valore atteso è M(X) = 0 0,08 = 0,8 8/

9 La varianza è V(X) = 0 0,08 0,9 = 0,7 questo significa che mediamente ci si asetta che il tiratore sbagli al massimo un tiro su 0 fatti, con uno scarto da questo valore iuttosto basso. LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Vedendo gli esemi recedenti se n è grande, la valutazione della robabilità binomiale richiede calcoli di una certa entità. In questi casi se è molto iccolo e se n tende ad infinito si uò ricorrere ad un altra distribuzione che rende il nome di distribuzione di Poisson. In tale distribuzione, la variabile X assume i valori 0,,,. La funzione distribuzione di robabilità di X assume la forma f( ) m m e... er. = 0,,,... =! 0... altrove Dove m è una costante ositiva che raresenta il arametro della distribuzione. Nel caso in cui questa distribuzione venga usata come arossimazione di quella binomiale, quindi er n molto grande e molto iccolo, il arametro m è dato dal valore atteso cioè dal rodotto n. Oltre che come arossimazione della distribuzione binomiale er n grande e iccolo, la distribuzione di Poisson regola molti fenomeni naturali a atto che questi risettino le seguenti condizioni: la robabilità che un evento si verifichi in un fissato intervallo di temo cresca con l amiezza dell intervallo. La robabilità che un evento si verifichi due volte nello stesso intervallo sia trascurabile risetto alla robabilità che si verifichi una sola volta. Il numero di eventi in intervalli disgiunti siano indiendenti. E. Vogliamo calcolare la robabilità che, lanciando due dadi insieme er volte, l evento esce un doio si verifichi 0,,,. volte. 9/

10 Sia X la variabile aleatoria che registra il numero di doia uscita del. La robabilità che in un lancio dei due dadi si verifichi un doio due è /, la robabilità che non si verifichi è 5/ ed inoltre n =. Se calcoliamo i valori di robabilità con la discussione binomiale (funzione di robabilità f ( ) = 5 ottiene er = n= = ) e con la distribuzione di Poisson (funzione di robabilità che si!! m, cioè f ( ) = e ) otteniamo Distrib. binomiale Distrib. Di Poisson 0 0, 0,8 0,7 0,8 0,87 0,84 0,00 0,0 4 0,04 0,05 5 0,00 0,00 0,000 0,00 Come si uò vedere la differenza fra la robabilità calcolata con la distribuzione binomiale e quella di Poisson diventa trascurabile al crescere dei valori assunti da X. E. In un ufficio ostale transitano, er un certo sortello mediamente 90 ersone ogni ora. Se l oeratore si deve allontanare 5 minuti, qual è la robabilità che non arrivino ersone in quei 5 minuti? Qual è la robabilità che arrivino ersone? Se allo sortello si resentano 90 ersone ogni ora, in 5 minuti si resentano mediamente = 7,5 ersone. 0/

11 Il numero di ersone che si resentano effettivamente in quei 5 minuti è una variabile aleatoria discreta che uò assumere i valori 0,,,. Tale variabile segue una distribuzione di Poisson in cui il arametro m vale 7,5; quindi la robabilità che non si resentino ersone allo sortello è ( 0) 0 ( 7,5) 7,5 4 f = ( X = 0) = e = 5,5 0 (robabilità molto bassa) 0! f ( ) = ( X = ) = ( 7,5)! e 7,5 = 0,04 VARIABILE CASUALE CON DISTRIBUZIONE GAUSSIANA Si tratta della variabile casuale continua che assume qualsiasi valore reale (da la cui funzione di densità, che indichiamo con il simbolo (), è definita come segue: ( ) = σ ( m) σ e π Dove m è il valore medio; σ è la varianza e σ è lo scarto quadratico medio. Essa diende dai due valori m e σ. a + ) e Dallo studio della funzione di densità ( ) della variabile casuale gaussiana si deduce che essa ha le seguenti caratteristiche: è simmetrica risetto alla retta =m assume il massimo valore uguale a in corrisondenza della media m ; σ π resenta due unti di flesso in corrisondenza di m σ ed m + σ ; è asintotica risetto all asse delle ascisse; l area sottesa dalla curva e delimitata dall asse ha valore ; il valore atteso e la deviazione standard sono rorio i arametri m e σ /

12 () andamento della funzione di densità () 0 m-σ m m+σ La sua tiica forma a camana è iù o meno concentrata risetto all asse = m, cioè er σ iccoli cresce il valore massimo e quindi la curva è iù alta e iù addensata all asse = m mentre er alti valori di σ la curva è iù bassa e distribuita. La robabilità che la variabile aleatoria assuma un valore che è comreso tra due articolari valori a e b è data dall area della regione di iano racchiusa dalla curva, dall asse delle ascisse e dalle rette =a e =b. Esemio: consideriamo la variabile aleatoria che raresenta il diametro delle sfere di acciaio rodotte da una macchina utensile e suoniamo di saere che le caratteristiche della macchina facciano ottenere sfere con un diametro di valor medio 0,5 cm e deviazione standard 0,0 cm; la curva teorica di robabilità ha in questo caso equazione f ( ) = 0,0 e π ( 0,5) ( 0,0) er valutare la robabilità che una sfera resa a caso dalla distribuzione abbia diametro comreso fra 0,475 cm 0,55cm, dobbiamo calcolare l area della arte di iano racchiusa dalla curva, dall asse delle ascisse e dalle rette di equazioni =0,475 e =0,55. Variabile casuale gaussiana standardizzata: con m = 0 e σ = la formula della distribuzione diventa Questa funzione π ( ) = e 0,9894 e assume il valore massimo in corrisondenza di = m = 0 e vale ; π resenta i due unti di flesso in corrisondenza di - e + () 0 /

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