Confronto fra valore del misurando e valore di riferimento (1 di 2)

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1 Confronto fra valore del isurando e valore di riferiento (1 di 2) Talvolta si deve espriere un parere sulla accettabilità o eno di una caratteristica fisica del isurando ediante il confronto fra il valore del isurando (che quantifica la caratteristica fisica) ed un valore di riferiento stabilito da nora o accordo fra acquirente e venditore. Si tratta di stabilire se il valore del isurando è inferiore (o superiore) ad un valore liite aissibile, oppure se il valore del isurando è copatibile con (cioè non troppo scostato da) un valore vero convenzionale. Si deve conoscere (o assuere a-priori) la distribuzione di probabilità del isurando. Sia x la stia del isurando e s la sua incertezza (1 scarto tipo). ( ) / e la probabilità { } Supponiao che il criterio di accettazione richieda che il valore del isurando sia inferiore ad un certo valore liite. Si valuta lo scarto relativo tr xr x s Prob t < tr. Se tale probabilità risulta sufficienteente alta (valore inio di probabilità stabilito da nora o da contratto, ad esepio 99 %), allora la caratteristica fisica è accettabile, altrienti non lo è. Esepio: Da una isura di capo elettroagnetico risulta che il capo elettrico eesso non intenzionalente da un apparecchio bioedicale è 26 db(µv/) ± 3 db (1 scarto tipo). La norativa di riferiento stabilisce: a) il liite di eissione: 30 db(µv/), b) il criterio di conforità al liite: probabilità di superare il liite inferiore al 5 %. Si assue che il capo elettrico segua la distribuzione norale. La probabilità che l eissione di capo elettrico indesiderato sia inferiore al liite di e- issione è Prob { t < (30 26) / 3} 90.8 %. La probabilità di superare il liite è circa 9 %. Si conclude che l apparecchio non è confore al liite di nora. x r Pag. 42

2 Confronto fra valore del isurando e valore di riferiento (2 di 2) e la probabilità { r} r r Supponiao che si debba stabilire se il valore del isurando è copatibile con un valore di riferiento x r (privo di incertezza o di incertezza trascurabile rispetto a quella associata al valore del isurando). Si valuta lo scarto relativo t x x / s Prob t > t. Se tale probabilità risulta inferiore ad un certo valore inio (convenzionalente stabilito, ad esepio 1 %) allora il valore del isurando ed il valore di riferiento sono fra loro incopatibili. Altrienti la copatibilità è dubbia o sono copatibili. Esepio: Si deve stabilire se il ateriale dielettrico utilizzato per isolare i conduttori interno e esterno di un cavo coassiale di caratteristiche elettriche ignote è Teflon o Polietilene. Da una tabella che riporta le costanti dielettriche relative di vari ateriali isolanti, redatta da un ente autorevole, risulta che la costante dielettrica relativa del Teflon è 2.10, quella del Polietilene Traite una isura indiretta di costante dielettrica si ricava, per l eseplare di cavo coassiale in questione, il valore 2.22 ± 0.04 (1 scarto tipo, distribuzione norale). Si assue in pria battuta che l isolante sia Polietilene e quindi che il valore vero della costante dielettrica sia La probabilità di ottenere dalla isura indiretta un valore tanto scartato dal valore vero quanto il valore osservato 2.22 è Prob t > / 0.04, cioè 32 %. Il valore isurato è quindi copatibile { } { } con il valore della costante dielettrica del Polietilene. Si assue poi che l isolante sia Teflon e quindi che il valore vero della costante dielettrica sia In questo caso la probabilità di ottenere un valore isurato tanto scartato dal valore vero quanto lo è 2.22 è inferiore a Prob t > / 0.04, cioè 0.3 %. Il valore isurato della costante dielettrica è perciò incopatibile con quello del Teflon. Si conclude che l isolante è Polietilene. Nota 1: più incerto è il valore del isurando più facile è che sia copatibile con il valore di riferiento Nota 2: in entrabi gli esepi le probabilità sono state ricavate dalle tabelle di probabilità della distribuzione norale. Questa è la prassi. Pag. 43

3 Copatibilità delle isure Si tratta di stabilire se due isure indipendenti dello stesso isurando sono fra loro copatibili. Sia x1 il valore del isurando #1 e x2 il valore del isurando #2. Siano poi s 1 e s 2 le rispettive incertezze. Si valuta la quantità x1 x2 tr 2 2 s + s Se risulta Prob{ t tr} 1 2 > inferiore ad un certo valore inio convenzionale (ad esepio 1 %) allora i due valori sono fra loro incopatibili. Esepio 1: Si isura la resistenza di terra R T di un ipianto elettrico con due etodi distinti: etodo #1 volt-aperoetrico, etodo #2 del confronto. Dal etodo #1 si ottiene R T1 ( 22 ± 2) Ω (1 scarto tipo, distribuzione norale), applicando il etodo #2 risulta R T 2 ( 18 ± 3) Ω (1 scarto tipo, distribuzione norale). Lo scarto di 4 Ω è del tutto plausibile: infatti la probabilità di uno scarto così apio o superiore è Prob t > / %, per cui le isure sono copatibili. { } Esepio 2: La stessa resistenza di valore noinale 50 Ω viene isurata con due ultietri di diversa arca. L unico contributo all incertezza di entrabe le isure è l accuratezza del ultietro (incertezza di tipo B). Dalla isura con un ultietro si ottiene (50.5 ± 1.2) Ω (intervallo con probabilità unifore), con l altro ultietro si trova (48.12 ± 0.80) Ω (intervallo con probabilità unifore). I due intervalli non sono sovrapposti, quindi le due isure sono incopatibili. Nota: aggiore è l incertezza di uno o di entrabi i valori del isurando più facile è che siano fra loro copatibili Pag. 44

4 Cobinazione di isure indipendenti (edia pesata) Si conoscono due valutazioni indipendenti e copatibili, x1 e x2, di uno stesso isurando e le relative incertezze, s 1 e s 2. E possibile ottenere, a partire da queste due valutazioni, una terza valutazione x w più attendibile di ciascuna delle due e la relativa incertezza s w. E chiaro che la valutazione eno incerta deve avere aggior peso nella edia. x w wx w + wx + w edia pesata s w 1 w + w 1 2 incertezza della edia pesata Si è posto wi 2 1/ si, con i 1, 2 Esepio: si isura la velocità di propagazione v di un onda in una linea di trasissione a icrostriscia ediante una tecnica riflettoetrica (doinio del tepo) basata sull uso di oscilloscopio e generatore di ipulsi e si ottiene v 8 1 ( 2.35 ± 0.05) 10 /s (1 scarto tipo, distribuzione norale). Si deterina poi indirettaente la stessa grandezza ediante un altra tecnica di isura basata sull uso di analizzatore di spettro e generatore a inseguiento (doinio della frequenza) e si ottiene 8 v 2 ( 2.29 ± 0.08) 10 /s (1 scarto tipo, distribuzione norale). Le due isure sono evidenteente copatibili. La igliore stia della velocità di propagazione a partire dalle due disponibili è v 2.33 ± /s (1 scarto tipo, distribuzione norale). ( ) 8 Nota bene: è evidente che una terza stia ottenuta da due incopatibili è inattendibile Pag. 45

5 Reiezione delle osservazioni sperientali: criterio di Chauvenet Iaginiao di ripetere una isura ottenendo una serie di N valori osservati x1, x2,... x N. Sia x la edia degli N valori e s lo scarto tipo del capione. Supponiao che uno degli N valori sia particolarente scostato dalla edia e quindi sia sospetto (lo scostaento sia originato da una causa accidentale: un errore dell operatore, un disturbo ipulsivo). Sia x il valor sospetto. La probabilità di ottenere un valore tanto scostato dalla edia quanto lo è x è data da dove { } Prob t > t p t x x s La probabilità p si ricava dalle tabelle di probabilità della distribuzione norale. Su N valori isurati c è da attendersi che Np siano scostati da x quanto x. E evidente che se Np 1 non è lecito scartare il dato sospetto. Il criterio di Chauvenet stabilisce che se Np < 1/2 allora il dato x va scartato, altrienti no. Esepio: Da una isura si ottengono i seguenti 10 valori di tensione (espressi in illivolt): Si decide di applicare il criterio di Chauvenet per stabilire se il valore 93.7 V è da scartare o eno. La edia dei valori osservati è 88.2 V, lo scarto tipo del capione 2.3 V (calcolati includendo il valore sospetto). Dalle tabelle della distribuzione norale si ricava p 1.6 %, quindi Np 0.16 < 0.5. Quindi il dato 93.7 V è da scartare. La edia delle 9 osservazioni rianenti è 87.6 V, lo scarto tipo 1.3 V. Pag. 46

6 Distribuzione t di Student (1 di 3) Quando si effettuano poche isure ( N relativaente piccolo) l incertezza della stia x, cioè lo scarto tipo della edia s, è poco attendibile. Di conseguenza poco attendibile risulterà anche la stia dell intervallo di fiducia. Assuiao che il isurando segua la distribuzione norale. Il fattore di copertura che si ricava dalle tabelle di probabilità della distribuzione norale non dipende da N. Tuttavia è intuitivo che, fissato il livello di fiducia, per piccoli valori di N il fattore di copertura deve essere aggiore (più prudenziale) che per grandi valori di N. La distribuzione t di Student tiene in conto della incertezza su s. Al liite per N tendente all infinito il fattore di copertura deve tendere a quello ricavabile dalle tabelle di probabilità della distribuzione norale. Se x è una grandezza che segue la distribuzione norale allora la grandezza t x x s µ segue la distribuzione t di Student ( x µ è il valore atteso per x ). La distribuzione t di Student è sietrica, a valor edio nullo e per N tendente all infinito tende alla norale con valore edio nullo e varianza pari a 1 Al nuero N 1 ci si riferisce spesso con l espressione gradi di libertà e si usa il sibolo ν, cioè ν N 1 Pag. 47

7 Distribuzione t di Student (2 di 3) Tabella probabilità P entro ts Grafico e tabella estratti da: Distribuzione di Student (t di Student): utili espressioni per la valutazione delle incertezze nelle isure EMC, M. Cati Dipartiento di Elettronica e Telecounicazioni, Università degli Studi di Firenze, 29 Luglio Pag. 48

8 Distribuzione t di Student (3 di 3) Esepio: si effettuano 4 isure del periodo di oscillazione di un pendolo seplice per ricavare, indirettaente, il valore della accelerazione di gravità g. La stia di g ottenuta sperientalente è (9.73 ± 0.03) /s 2. (1 scarto tipo, distribuzione norale). Ci chiediao se il valore isurato è copatibile con quello convenzionale di 9.81 / s 2 (arrotondato a due deciali) Accettiao il rischio del 5 % di asserire il falso. I gradi di libertà sono 3, quindi il valore di t, dedotto dalla tabella di probabilità della distribuzione t di Student, corrispondente alla probabilità del 95 % è Dato che < 3.18 si conclude che il risultato della isura è copatibile con il valore di riferiento. Nota: se si fosse usata la tabella di probabilità della distribuzione norale, anziché della distribuzione t di Student, avreo erroneaente afferato l incopatibilità. Pag. 49

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