Modelli di Crescita con Struttura di Età

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1 Mdelli di Crescita c Struttura di Età La pplazie è più rappresetata da ua sigla variabile, ma è suddivisa per classi di età X t [... ] T,t Mdellare la diamica della pplazie csiste el rappresetare i due prcessi dametali:,t Spravviveza dalla classe i-esima al temp t alla classe i+-esima al temp t+ Fertilità della classe i-esima al temp t spravviveza,t i,t i i+,t +,t + i + ertilità E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag.

2 Mdell di pplazie per classi di età La prima equazie rappreseta la diamica dei eati i uvi ati che spravviv i al passaggi ella secda classe Le altre equazii rappreseta la spravviveza i alla classe superire Si ha tate equazii quate s le classi,t + i,t + i,t i,t +,t + 3 3,t +...,t i Spravviveza dei eati i alla secda classe Fertilità della classe i - esima E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag.

3 Determiazie dei ceicieti Geeralmete veg ricavati da tabelle cesuarie (Tabelle di vita) che gli eclgi racclg rmalmete quad sserva ua pplazie Nel rilevare la tabella si deve supprre che la pplazie sia staziaria Classe di età 3 4 Idividui spravvissuti () () () (3) (4) Fertilità () () () (3) (4) Nella tabella ciascu (i) rappreseta il umer di idividui spravvissuti i a raggiugere l età della classe i-esima I ceicieti di spravviveza si ricava cme rapprt ra i ( i + ) ( i ) E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 3

4 Calcl della Matrice di Leslie Dalle tabelle di vita si può calclare direttamete la matrice di Leslie ricrdad che I ceicieti di spravviveza s dati dal rapprt i degli idividui spravvissuti i due adiaceti classi di età I ceicieti di ertilità s dati direttamete dalla tabella di vita M 3 3 Nta: se l ultim elemet è divers da zer, ciò sigiica che l ultima classe ctiee tutti gli idividui di età pari superire a quella dell ultima classe. Ciò sigiica che si csidera ache la spravviveza della classe -esima su sé stessa. I quest cas l ultima classe è da itedersi cme cteete idividui di ai più.,t +,t i + + i,t E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 4

5 Rappresetazie matriciale X t+ M X t,t +,t + 3,t +,t +,t,t 3,t,t Nei mdelli c struttura d età due prblemi di stabilità s imprtati: L evluzie glbale della pplazie (stabilità glbale) La ripartizie ra le classi di età: esist distribuzii ivariati el temp? (stabilità delle classi) Per determiare la stabilità del sistema si ricerca gli autvalri della matrice di Leslie (M) det( M I ) 3 E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 5

6 pag. 6 E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età Determiazie degli autvalri di M ( ) 3 det det I M... Gli autvalri s uzii dei ceicieti di spravviveza e ertilità ped i i... p p... p p p i i i

7 Prprietà della Matrice di Leslie La matrice di Leslie sddisa al Terema di Perr-Frbeius: Se M > e M N > per u qualche N allra: M ha u autvalre reale e psitiv L autvettre crrispdete ν ha tutte le cmpeti psitive Ogi altr autvalre è i mdul ierire a Da queste prprietà deriva che asitticamete l evluzie della pplazie dipede slamete dall autvalre dmiate e dal crrispdete autvettre ν lim t X t M t X t c v c dipede dalle cdizii iiziali Asitticamete l evluzie el temp e la distribuzie di età si separa X t+ La pplazie cresce c u rate dat da i, t+ Xt lim t i, t La distribuzie asittica di età è data dall autvettre assciat a lim t i,t i+,t ν i ν i+ i E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 7

8 La Balettera Azzurra (Balaeptera musculus) Usher (97) prpse u mdell basat su 6 classi di età basat su dati di ces rilevati egli ai 3 L itervall temprale è di a La sesta classe raccglie gli idividui da 6 ai i pi.87 M E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 8

9 Diamica della Balettera Azzurra M Autvalri:.38, ± j.5 4,5.787 ± j Dat che l autvalre dmiate è maggire di la pplazie cresce el temp c diamica t+ M per t t t+ t E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 9

10 Evluzie della pplazie di Balettera azzurra Ινδιϖιδυι ιν ογνι χαε χαι δι ετ τεμπο (αννι) χαι δι ετ E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. Περχεντυαε δι ινδιϖιδυι ιν ογνι χαε

11 Esempi di calcl Si è suppst che slamete le tre classi cetrali sia ecde e che E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età 5 4 Φε ρτιιτ Διτριβυζιονε ταζιοναρια Χαι δ ι ε τ Χαι δ ι ε τ pag.

12 Adamet della pplazie M Autvalri: i i Idividuals i each grup Temp 5 Classi di età E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag.

13 Mdell c struttura di età per la Ciciallegra La Ciciallegra (Parus majr) è u passerirme staziale ( migra) Depe u gra umer di uva, per cmpesare l alta mrtalità iatile Si iptizza che la riprduzie avvega ua vlta all a, sempre ell stess perid (primavera) La vita media del vlatile sia tale da giustiicare u mdell c 7 classi di età I dati di base del mdell si pss ricavare da tabella di spravviveza - ertilità che gli zlgi racclg rmalmete, del tip qui riprtat Classe di età Idividui spravvissuti Fertilità E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 3

14 Matrice di Leslie calclata dai dati M Autvalri:.6446,3.7 ±j , ±j Dat che l autvalre dmiate è mire di la pplazie tede a zer si estigue E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 4

15 Evluzie della pplazie di Ciciallegre 9 8 Idividui i gi classe classi di età tem p (ai) 5 5 E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 5

16 Matrice di Leslie per la pplazie di Ciciallegre Se si iptizza ua maggire ertilità (umer medi di uva depste) pari a.46 si ttiee ua matrice stabile c autvalre dmiate pari ad M Autvalri.,3 4, ± j ± j E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 6

17 Mdell di Leslie per la ciciallegra 9 4 Ινδιϖιδυι ιν ογνι χαε Ινδιϖιδυι ιν ογνι χαε χαι δι ετ 5 τεμπο (αννι) χαι δι ετ E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 7

18 Bibligraia Beg M. ad Mrtimer M., Ppulati Eclgy, a uiied study aimals ad plats, Blackwell Scietiic Publ., 986. Gatt M., Itrduzie all Eclgia delle Pplazii, CLUP, 985. Gizburg, L.R. e Gleberg, E.M., Lectures i Theretical Ppulati Bilgy, Pretice-Hall, 985. Hallam T.G. Ppulati dyamics i a hmgeus evirmet, i Hallam T.G. e Levi S.A. (ed.), Mathematical Eclgy, Spriger Verlag, Bimathematics Series. 7, 986. Casagradi R., De Le G., Gatt M., Prblemi di Eclgia, McGraw-Hill,. E.Giusti: Pplazii c Struttura d Età pag. 8