DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE

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1 DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE variabile casuale (rv): regola che associa un numero ad ogni evento di uno spazio E. variabile casuale di Bernoulli: rv che può assumere solo due valori (e.g., 0 e 1). insieme discreto: un insieme che contiene un numero finito oppure numera-bilmente infinito di elementi. variabile casuale discreta: variabile casuale i cui possibili valori costituiscono un insieme discreto. La funzione di distribuzione di probabilità (pmf o pdf) di una rv discreta è data x da p(x) = P (X = x) = P ( s S : X(s) = x) con: p(x) 0, p(x) = 1

2 Esempio P somma Il grafico mostra la distribuzone delle probabilità che nel lancio di due dadi (non truccati) la somma delle facce superiori assuma uno dei valori possibili, cioè un intero nell intervallo [2,12].

3 Variabili di Bernoulli La pmf di una qualunque rv di Bernoulli può essere messa nella forma p(1) = α e p(0) = 1 α, con 0 < α < 1. Per indicare ciò, scriviamo p(x; α). Questo costituisce un esempio particolare del caso generale: Se p(x) dipende da una quantità che può assumere più valori, ciascuno dei quali determina una diversa distribuzione di probabilità, si dice che la pmf dipende da un parametro, e la collezione di tutte le pmf per i diversi valori del parametro si dice una famiglia di distribuzioni di probabilità. p(x; α) = 1 α se x = 0 α se x = 1 0 altrimenti definisce la famiglia di distribuzioni di Bernoulli

4 Funzione di distribuzione cumulativa pmf cdf Funzione di distribuzione cumulativa (cdf ) di una rv discreta X con pmf p(x): F (x) = P (X x) = p(y) y:y x Per ogni x, F (x) è la probabilità che il valore osservato di X sia al più x cdf pmf Per ogni coppia di numeri a e b con a b, P (a X b) = F (b) F (a ) dove a è il massimo valore di X strettamente minore di a. Se i valori di X, a e b sono interi, P (a X b) = F (b) F (a 1) In particolare: P (X = a) = F (a) F (a 1)

5 Funzione di distribuzione cumulativa/2 Si osservino a partire da un certo istante le nascite in un ospedale. Sia p = P (M) la probabilità che nasca un maschio (M), e X la rv del numero di nascite osservate perchè nasca il primo maschio. Allora, p(1) = P (X = 1) = P (M) = p p(2) = P (X = 2) = P (F M) = P (F ) P (M) = (1 p)p In generale, p(3) = P (X = 3) = P (F F M) p(x; p) = = P (F ) P (F ) P (M) = (1 p) 2 p { (1 p) x 1 p se x = 1, 2, 3,... 0 altrimenti che appartiene alla famiglia delle distribuzioni di Bernoulli ed ha parametro p, dal quale dipendono i valori di p(x).

6 Funzione di distribuzione cumulativa/3 La cdf di questa pmf è: F (x) = x (1 p) y 1 p = p y=1 x 1 y=0 (1 p) y Poiché k a y = (1 a) y=o k y=o ay 1 a = 1 + a ak a a 2... a k+1 1 a = 1 ak+1 1 a ponendo a = 1 p e k = x 1 si ottiene F (x) = 1 (1 p) x. Siccome F = cost tra interi positivi { 0 se x < 1 F (x) = 1 (1 p) [x] se x 1 dove [x] è il più grande intero x (es., [2.8] = 2. F (x) indica la probabilità di dover attendere al più x nascite per vedere il primo maschio.

7 Valore di aspettazione Sia X una rv discreta che può assumere l insieme D di valori ed ha pmf p(x). Si dice valore di aspettazione o valor medio di X, denotato con E(X) o µ x, E(X) µ x = xp(x) x D E(X): media (dei valori x) pesata (con i pesi p(x)). In generale E(X) (µ x ) non assume uno dei valori di X Se X è una rv di Bernoulli, E(X) = 0 p(0) + 1 p(1) = 0(1 p) + 1p = p Se X è quella dell esempio, E(X) = 1/p. La definizione si estende ad una funzione h(x): E(h(X)) = x D h(x)p(x)

8 Dalla definizione, Valore di aspettazione/2 E(aX + b) = a E(X) + b E(aX) = ae(x): cambiamento di scala E(X + b) = E(X) + b: offset dello zero V (X) σ 2 X = x D Varianza (x µ) 2 p(x) = E [ (X µ) 2] Dalla definizione: Deviazione standard σ X = σx 2 V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2, σ 2 ax = a 2 σ 2 X, V (ax + b) σ 2 ax+b = a2 σ 2 X σ 2 X+b = σ2 X

9 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Condizioni dell esperimento binomiale: 1. n (prefissato) prove 2. prove identiche, a due uscite (S o F ) 3. prove indipendenti 4. P (S) p costante Spesso il campionamento senza rimpiazzamento su una popolazione N rende l esperimento non binomiale (punto 3), ma l errore è trascurabile se n/n 5% (regola pratica). Dato un esperimento binomiale con n prove, la variabile binomiale casuale X associata all esperimento è definita come: X = numero di successi S nelle n prove La pmf di X dipende da 2 parametri: b(x; n, p)

10 DISTRIBUZIONE BINOMIALE/2 La forma esplicita della distribuzione binomiale è: ( ) n p b(x; n, p) = x x (1 p) n x x = 1, 2, 3,..., n 0 altrimenti Per n = 1 la distribuzine binomiale diventa la distribuzione di Bernoulli. Valore di aspettazione E(X) = np Varianza V (X) = np(1 p) npq Deviazione standard σ X = npq

11 DISTRIBUZIONE BINOMIALE /3 dbinom(x, 20, 0.5) dbinom(x, 20, 0.25) successi successi Distribuzione di probabilità che esca testa (o croce) in 20 lanci di una moneta (non truccata). Distribuzione di probabilità di pescare carta di cuori in 20 tentativi (rimettettendo ogni volta nel mazzo la carta estratta).

12 DISTRIBUZIONE BINOMIALE /4 Skewness γ 1 = 1 2p np(1 p) Kurtosis Funzione Caratteristica γ 2 = 1 6p(1 p) np(1 p) [ pe it + (1 p) ] n Se f(x, y) = b(x; n x, p)b(y; n y, p) = PROPRIETÀ RIPRODUTTIVA ( nx x ) p x (1 p) n x x ( ny y ) p y (1 p) n y x allora g(x + y) = b(x + y; n x + n y, p)

13 DISTRIBUZIONE MULTINOMIALE È la generalizzazione della pdf binomiale al caso di m uscite possibili ciascuna con probabilità p i : M(k 1, k 2,..., k m ; p 1, p 2,..., p m, n) = con le condizioni m p i = 1 i=1 n! k 1!k 2!... k m! pk 1 1 pk pkm m m k i = n i=1 Valore di aspettazione E[k i ] = µ i = np 1 Varianza V [k i ] = np(1 p) np i (1 p i ) Funzione Caratteristica ( φ(t 2, t 3,..., t m ) = p 1 + p it p it p it m m ) n

14 DISTRIBUZIONE MULTINOMIALE /2 Come esempio di applicazione di questa pdf si consideri un istogramma costituito da m classi e sia p i la probabilità che un evento venga a cadere nella i ma classe. Allora, per n eventi la probabilità che la frequenza degli eventi nelle classi si verifichi con i valori dati dalle k i è data dalla pdf multinomiale. Si dimostra che cov(k i, k j ) = np i p j i j e cioè che le k i non sono indipendenti, come era intuibile dalle condizioni imposte nella definizione della pdf.

15 DISTRIBUZIONE DI POISSON Se n e p 0 in modo tale che np = λ = cost > 0, allora b(x; n, p) p(x; λ) = e λ λ x x! La pdf di Poisson dà la probabilità che si verifichino x eventi se il valore atteso (valor medio) vale λ. Valore di aspettazione E[X] = λ Varianza V [X] = λ Funzione Caratteristica φ(t) = exp[µ(e it 1)] Proprietà Riproduttiva g(x + y) = (λ x + λ y ) x+y e (λ x+λ y ) (x + y)!

16 DISTRIBUZIONE DI POISSON /2 Esempio di applicazione della pdf di Poisson. Decadimento radioattivo: n = numero di atomi (molto grande), p t probabilità che nell intervallo di tempo t decada un atomo (molto piccola), np λ = αt. Ipotesi: il numero di decadimenti nell intervallo t è indipendente dal numero di decadimenti negli intervalli precedenti, e la velocità media dei decadimenti α = λ/ t è costante. La trascrizione della pdf di Poisson con queste variabili ànche nota come Statistica di conteggio di un contatore Geiger: P k (t) = e αt (αt) k k! Si osservi che le ipotesi non sono rispettate, e quindi la distribuzione dei decadimenti non è poissoniana, se si considera il decadimento in un intervallo di tempo significativo rispetto alla vita media della sorgente, o se si considera il decadimento di una quantità molto piccola di materiale radioattivo.

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