Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità"

Transcript

1 Probabilità

2 Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e) di un evento E sarebbe uguale al rapporto tra il numeri f di casi favorevoli e il numero n dei casi possibili, ovvero p(e)=f/n Esempio: Si lancia due volte una moneta. Quale e la probabilità che escano due teste? 1) I casi possibili sono 4: TT, TC, CT, CC 2) I casi possibili sono 3: escono 2 teste, esce 1 testa, escono 0 teste

3 Probabilità Se, in una sequenza di n prove, un evento E si verifica s volte, si dice che il rapporto s/n è la frequenza relativa di E rispetto alla data sequenza di prove. Legge empirica del caso: Effettuando numerose prove, eseguite nelle stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento è assai prossima alla sua probabilità; l approssimazione è tanto maggiore quanto più numerose sono le prove effettuate Definizione frequentista della probabilità: La probabilità di un evento è il limite a cui tende la frequenza relativa, al tendere all infinito del numero di prove effettuate

4 Probabilità Definizione frequentista della probabilità: La probabilità di un evento è il limite a cui tende la frequenza relativa, al tendere all infinito del numero di prove effettuate Ma alcune volte gli Eventi sono irripetibili Definizione soggettiva della probabilità: dato un qualsiasi evento E, se mi è indifferente ricevere la somma s incondizionatamente, oppure la Somma S soltanto se E si verifica, si dice che la probabilità soggettiva p di quell evento è p=s/s

5 Variabile casuale (v.c.) E scomodo trattare direttamente gli eventi e può essere più semplice associare delle quantità numeriche agli eventi. Ciò si realizza attraverso la definizione di VARIABILE CASUALE: Una variabile casuale X è una variabile quantitativa i cui valori variano seguendo le regole della probabilità

6 Variabile casuale (v.c.) Una v.c. X può essere discreta o continua: X è discreta se assume un numero finito o numerabile di risultati. Esempio: il numero di teste in 10 lanci di una moneta, il numero di volte in cui si ha un numero superiore a 4 in 5 lanci di un dado X è continua se può assumere qualsiasi valore nell ambito di uno specifico intervallo. Per esempio: altezza degli studenti del corso di statistica, il peso della confezione di caramelle di una certa marca. Una v.c. è completamente specificata attraverso la sua distribuzione di probabilità

7 Distribuzione di probabilità La distribuzione di probabilità p(x) di una variabile casuale X indica la probabilità della variabile casuale per ciascuno dei suoi valori possibili Si ha dunque che per una variabile casuale f(x)=p(x=x) per tutti i possibili valori x che X può assumere. f(x) è detta funzione di densità di probabilità (probability density function (pdf)) La pdf di una variabile discreta è detta funzione di massa (indicata anche con p(x)) ed è rappresentabile attraverso un istogramma o sotto forma tabellare

8 Distribuzioni di probabilità discrete e continue Esempio di funzione di probabilità (caso discreto) Esempio di funzione di densità di probabilità (caso continuo)

9 Distribuzioni di probabilità discrete Esperimento: lancio di 2 monete S= {(T,T);(T,C);(C,T);(C,C)} Variabile casuale: X = numero di teste; v.c. discreta, i suoi possibili valori sono: 0 (se non si ottiene alcuna testa) 1 (se una delle due monete dà testa) 2 (se entrambe le monete danno testa) Quindi: P(X=0)=P(C,C)=1/4 P(X=1)=P((T,C) oppure (C,T))=2/4 P(X=2)=P(T,T)=1/4 x P(x)=P(X=x) 0 ¼ 1 ½ 2 ¼

10 Distribuzioni di probabilità discrete 0 p(x) 1 Le probabilità associate ai valori di una variabile casuale devono essere comprese tra 0 e 1 inclusi p(x)=1 La somma delle probabilità di tutti i valori x di una variabile casuale deve essere 1 La distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta può essere rappresentata in modo grafico attraverso un istogramma di distribuzione di probabilità Esempio precedente: x P(x)=P(X=x) 0 ¼ 1 ½ 2 ¼

11 Distribuzione di probabilità discrete Media o Valore Atteso µ = E ( x) = xp( x) x Se una funzione H dipende da p(x) il valore atteso di H puo essere calcolato come E ( H ( x)) = H ( x) p( x) x

12 Calcolo delle probabilità usando i dati Dalle vendite di TV osservate in passato (below left), si ricava una rappresentazione tabulare della distribuzione di probabilità delle vendite Numero Unità vendute di giorni x f (x )

13 Rappresentazione grafica Rappresentazione grafica delle vendite giornaliere di TV.50 Probability Values of Random Variable x (TV sales)

14 Esempio Valore Atteso di variabili casuali discrete x f (x ) xf (x ) = E (x ) Il valore atteso delle vendite giornaliere di TV è 1.2 Calcoliamo la deviazione standard

15 Esempio Varianza e Deviazione Standard di una variabile casuale discreta x x - µ (x - µ ) 2 f (x ) (x - µ ) 2 f (x ) = σ 2 La varianza delle vendite giornaliere è 1.66 TV (al quadrato) La deviazione standard delle vendite è di 1.29 TV

16 Funzione di distribuzione cumulativa (cdf) F( x) = P( X x) P( a < X b) = F( b) F( a) x f (x ) F(x)

17 La distribuzione di probabilità binomiale La variabile casuale Binomiale è una distribuzione di probabilità discreta caratterizzata dalle seguenti proprietà: Le osservazioni di una distribuzione binomiale sono determinate da un esperimento fatto da un numero n di prove reiterate L esito di ogni prova dell esperimento (ovvero ciascuna osservazione) può essere classificato in due categorie incompatibili ed esaustive, dette per convenzione successo e insuccesso La probabilità p di ottenere un successo è costante per ogni osservazione, così come la probabilità (1-p) che si verifichi un insuccesso Le prove dell esperimento sono indipendenti, ovvero il risultato di una osservazione, successo o insuccesso, è indipendente dal risultato di qualsiasi altra La variabile casuale binomiale rappresenta il numero di successi ottenuti in un campione di n prove indipendenti

18 La distribuzione di probabilità binomiale - esempio - In un urna ci sono 100 palline, di cui 30 sono rosse e le rimanenti sono blu. Supponendo di estrarre 10 palline con reinserimento, ovvero la pallina estratta viene rimessa nell urna, qual è la probabilità di estrarre esattamente una pallina di colore rosso? L esperimento consiste nell estrarre una pallina da un urna, con reinserimento della pallina estratta, per n=10 volte si hanno n=10 osservazioni L esito di ogni prova dell esperimento è pallina rossa o pallina blu due categorie incompatibili ed esaustive, e pallina rossa è l esito successo La probabilità di ottenere successo ovvero pallina rossa è pari a p=30/100 ed è costante per ogni prova Le prove dell esperimento, ovvero le estrazioni, sono indipendenti Il numero di successi è un numero compreso tra 0 e 10 Si vuole calcolare la probabilità che ci sia esattamente un successo in n=10 prove Definiamo X = numero di successi in n prove X ~ Binomiale (n, p) p( x) n x n! x!( n x n x x n x = p (1 p) = p (1 p) x)!

19 La distribuzione di probabilità binomiale - dimostrazione - Vogliamo calcolare la probabilità di avere x successi e (n-x) insuccessi. Dal momento che gli eventi sono indipendenti, le probabilità andranno moltiplicate Dobbiamo avere x successi quando ciascun successo ha probabilità p e n-x insuccessi quando ciascun insuccesso ha probabilità 1-p La probabilità di avere una combinazione sarà uguale alla moltiplicazione tra questi valori: p x (1 p) Ci sono però differenti combinazioni alternative, quindi la probabilità di avere esattamente x successi in n tentativi è data da: n x p( x) n x n! x!( n x n x x n x = p (1 p) = p (1 p) x)! Funzione di distribuzione di probabilità della distribuzione binomiale

20 La distribuzione di probabilità binomiale - esempio - Nell esempio precedente X~Binomiale(n,p) con n=10 e p=0.25: p(1) = (1 0.25) 10 1 = 10! !(10 1)! 1 (1 0.25) 10 1 = Per esempio la distribuzione di probabilità binomiale con una probabilità di successo pari a 0.25 può essere rappresentata dal seguente istogramma dove: asse orizzontale: possibili valori della variabile asse verticale: probabilità

21 Ruolo del parametro p: Nelle 3 distribuzioni Binomiali n = 5, mentre p varia assumendo i valori 0.3, 0.5 e 0.8. Dai grafici possiamo dedurre che: Se p = 0.5, la distribuzione è simmetrica, in caso contrario è asimmetrica, positivamente se p < 0.5, negativamente se p > 0.5. Per ogni fissato n, la massima dispersione dei valori si ha quando p = 0.5; se p tende a 0 o a 1, la distribuzione tende a concentrarsi sui valori più prossimi a 0 o a n, rispettivamente. p definisce la posizione della distribuzione sull'asse reale, nel senso che np identifica un punto vicino alla moda della distribuzione.

22 Ruolo del parametro n: p=0.5 (istogrammi simmetrici) mentre n varia assumendo i valori 5, 10, 20. Per una corretta interpretazione della figura osserviamo che le altezze dei bastoni sono comparabili perché la scala verticale è la stessa, mentre la scala sull'asse orizzontale è diversa. In sintesi: Al crescere di n l'intervallo di variazione del numero dei successi si estende (nell'esempio passa da 0-5 a 0-10 a 0-20) il che comporta, a parità di p, un aumento della dispersione dei valori osservabili. Al crescere di n aumenta il numero delle determinazioni osservabili e quindi si riduce il valore delle singole probabilità (l'istogramma si allarga e si abbassa sensibilmente). Tuttavia il picco della distribuzione continua a segnalare con chiarezza il parametro p dell'urna (in termini relativi, 0.5).

23 La distribuzione di probabilità binomiale caratteristiche principali- Se X e una variabile casuale che segue una distribuzione binomiale con paramentri n (numero di tentativi) e p (probabilità di successo), X avrà: Media pari a : E(X) = n*p Varianza pari a: Var(X) = n*p (1-p)

24 Esempio 1 Determinare la probabilità che su 12 lanci di una moneta buona si ottengano esattamente 8 teste. p=q=1/2 n=12 x=8 p(x) = n p x (1 p) n x = x n! x!(n x)! px (1 p) n x p 12 (8) = 12 0, =

25 Esempio 2 Determinare la probabilità che estraendo (con rimpiazzo) per 5 volte una carta da un mazzo da 40 si ottengano: 1) Esattamente 3 figure 2) Almeno 3 figure 3) Almeno una figura p=12/40=0.3

26 p=12/40=0.3 1) Esattamente 3 figure Esempio 2 p 5 (3) = 5 0, = 10 0, ) Almeno 3 figure p 5 (3) + p 5 (4) + p 5 (5) = ) Almeno una figura p 5 (1) + p 5 (2) + p 5 (3) + p 5 (4) + p 5 (5) = 1 p 5 (0) = = =

27 Esempio 3 Un tiratore colpisce un bersaglio con probabilità 0.2. Quale è la probabilità che su 8 tiri si colpisca 2 volte il bersaglio? E che si colpisca almeno due volte? Soluzione: p 8 (2) p 8 (0) p 8 (1)

28 Distribuzioni di probabilità continue Per i dati continui la variabile casuale può assumere qualsiasi valore in un intervallo di infiniti numeri reali La pdf f(x) di una variabile casuale X ha le seguenti proprietà: 1. f(x) è definita su tutti i numeri reali 2. f (x) 0 per tutti i valori di x. 3. L area sottesa dalla curva f è uguale a 1: f ( x) = 1 x 4. b ( ) ( ) P a X b = f x dx a y = f ( x) y = f ( x) a b

29 Distribuzioni di probabilità continue Se X è una v.c. continua, allora: - per ogni numero c, P(x = c) = 0 - per ogni due numeri a e b con a < b, P( a X b) = P( a < X b) = P( a X < b) = P( a < X < b)

30 Funzioni di probabilità cumulative La funzione di probabilità cumulativa, F(x) per una v.c. continua X è definita per ogni x da ( ) F( x) = P X x = f ( y) dy Per ogni x, F(x) è l area della curva a sinistra di x. x

31 F(x) per il calcolo delle probabilità Sia X una v.c. continua con pdf f(x) e cdf F(x). Allora per ogni numero a, P( X > a) = 1 F( a) E per ogni numero a and b con a < b, P( a X b) = F( b) F( a)

32 Esempio Funzione di probabilità (pdf) (1 x ) 1 x f ( x) = ( ) 0.75(1 ) 0 otherwise f v dv = v dv 1 Funzione di distribuzione cumulativa x 2 F( x) = f ( v) dv = 0.75(1 v ) dv 1 0 F( x) = x 0.25x 1 Probabilità di eventi x = x 0.25x 3 x 1 1 < x 1 x > 1 3 = 1 2 P( 0.5 x 0.5) = F(0.5) F( 0.5) = 0.75(1 v ) dv = 68.75% P( X x) = F( x) = 0.95 = x 0.25x x =

33 Valore Atteso Il valore atteso o valor medio di una v.c. continua X con f (x) è: ( ) ( ) µ X = E X = x f x dx

34 Valore atteso di h(x) se X è una v.c. continua con pdf f(x) e h(x) è una funzione di X, allora [ ] h( X ) E h( x) = µ = h( x) f ( x) dx

35 Varianza e Deviazione Standard La varianza di una v.c. continua X con µ pdf f(x) e media è: 2 2 σ X = V ( x) = ( x µ ) f ( x) dx = E[ X µ ] ( ) 2 La deviazione standard is ( 2) [ ] 2 V ( X ) = E X E( X ) σ = X V ( x).

36 Esempio [ ] [ ] + + = = = = = = = = = (0.75) (0.75) ) 0.75(1 0) ( ) ] ([ 0 (0.75) (0.75) ) ( ) ( otherwise ) 0.75(1 ) ( x x dx x x X E x x dx x x X E x x x f µ σ µ

37 Distribuzione Uniforme Una variabile continua X segue una distribuzione uniforme sull intervallo [A, B] se: 1 f ( x; A, B) = B A A x B 0 otherwise

38 Esempio Distribuzione Uniforme 1. In certi esperimenti l errore commesso nella determinazione della solubilità di una sostanza è una variabile aleatoria X avente distribuzione uniforme con A= e B= Trovare la probabilità che l errore: a) Sia compreso tra e 0.015; P(0.010 X 0.015) = = 0.1 b) Sia compreso tra e

39 Esempio Distribuzione Uniforme 2. Si consideri una variabile aleatoria X con distribuzione uniforme. Essendo noto che E(X)=6 e V(X)=2 trovare: a) Pr(X>=5.5) b) la mediana di X. E(X)= A + B 2 V (X)= (B A)2 12

40 Esercizio Marcello sa che il suo amico Carlo arriverà al bar Sport in un istante compreso tra le nove e le dieci di una data mattina. Egli decide di recarsi al bar alle 9:30 e di attendere 10 minuti. Quale è la probabilità che Marcello incontri Carlo?

41 Esercizio Un tiratore lancia una freccetta su un bersaglio circolare del raggio di 25 cm il quale ha una zona centrale di raggio 10 cm. Se il tiratore colpisce il bersaglio e tutti u punti di esso hanno la stessa probabilità di essere colpiti, quale è la probabilità che sia colpito un punto della zona centrale?

42 Distribuzione Normale Una v.c. X è detta avere una distribuzione normale con parametri < µ < σ > 0 se la pdf di X è µ eσ 1 ( ) 2 /(2 2 f ( x) = e x µ σ ) < x < σ 2π

43

44

45 Distribuzione Normale Standard La distribuzione normale con parametri µ = 0 and σ = 1 è chiamata distribuzione normale standard. La v.c. è denotata con Z. La pdf è f ( z;0,1) = σ La cdf è 1 2π e z 2 / 2 < Φ ( z) = P( Z z) = f ( y;0,1) dy z z <

46 Distribuzione Normale Standard Standard normal curve Shaded area = Φ( z) 0 z

47 Distribuzione Normale Standard Sia Z la variabile normale standard. Trovare (dalla tabella) a. P( Z 0.85) Area a sinistra di 0.85 = b. P(Z > 1.32) 1 P( Z 1.32) =

48 Distribuzione Normale Standard c. P( 2.1 Z 1.78) Trovare l area a sinistra di 1.78 e sottrarre l area a sinistra di 2.1. = P( Z 1.78) P( Z 2.1) = =

49 Esempi Calcolare, servendosi della Tavola, le aree sottese dalla curva normale standard relative ai seguenti intervalli: a) [0;2] b) [0;1.24] c) [-1.4;1.4] d) [1.5;2.75] e) [-0.75;1.37] f) [-2.1;-0.5]

50 Distribuzione Standard non standard se X ha una distribuzione normale con parametri µ e σ allora Z = X σ µ ha una distribuzione standard.

51 Approssimazione Normale della Binomiale Sia X una v.c. binomiale basata su n prove, con probabilità di successo p. Per n abbastanza grande (empiricamente se npq>10), X può essere approssimata con una distribuzione normale con µ = np and σ = npq.

52 Esempio In un piccolo college il tasso di superamento dell esame di Algebra è 72%. Su 500 studenti determinare la probabilità che superino l esame al più 375 studenti. µ = np = 500(.72) = 360 σ = npq = 500(.72)(.28) P( X 375) Φ = Φ(1.55) 10 =

53 Curva Normale Valore approssimato della percentuale dell area compresa tra valori di deviazione standard (regola empirica). 99.7% 95% 68%

54 Curva Normale

55 Sia X una variabile normale con Trovare Find P( X 65). Esempio e µ = 80 and σ = 20. ( 65) P X = P Z (.75) = P Z =

56 Una particolare influenza si sviluppa in una scuola. Si osserva che la durata dell influenza è distribuita come una normale con µ = 6 days and σ = 1.5 days. giorni e Esempio giorni Calcolare la probabilità che a uno studente selezionato a caso, l influenza duri tra 3.75 e 9 giorni.

57 Esempio ( ) P X = P Z ( 1.5 Z 2) = P = =

58 Percentili di una distribuzione normale (100p)th percentile for normal ( µ, σ ) (100 p)th for = µ + σ standard normal

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 7 marzo 20 Indice Indici di curtosi e simmetria Indici di curtosi e simmetria 2 3 Distribuzione Bernulliana

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE variabile casuale (rv): regola che associa un numero ad ogni evento di uno spazio E. variabile casuale di Bernoulli: rv che può assumere solo due valori (e.g.,

Dettagli

Esercizio 1. Svolgimento

Esercizio 1. Svolgimento Esercizio 1 Vengono lanciate contemporaneamente 6 monete. Si calcoli: a) la probabilità che si presentino esattamente 2 testa ; b) la probabilità di ottenere almeno 4 testa ; c) la probabilità che l evento

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛ Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori con determinate probabilità; Ad una variabile casuale è associata

Dettagli

Statistica inferenziale

Statistica inferenziale Statistica inferenziale Popolazione e campione Molto spesso siamo interessati a trarre delle conclusioni su persone che hanno determinate caratteristiche (pazienti, atleti, bambini, gestanti, ) Osserveremo

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Probabilità II Variabili casuali discrete

Probabilità II Variabili casuali discrete Probabilità II Variabili casuali discrete Definizioni principali. Valore atteso e Varianza. Teorema di Bienaymé - Čebičev. V.C. Notevoli: Bernoulli e Binomiale. Concetto di variabile casuale Cos'è una

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a) Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO Variabili aleatorie Variabili discrete e continue Coppie e vettori di variabili aleatorie Valore atteso Proprietà del valore atteso Varianza Covarianza e varianza della

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

COMPITO DI SCIENZE NATURALI 23 gennaio 2012. Modulo di probabilità e statistica

COMPITO DI SCIENZE NATURALI 23 gennaio 2012. Modulo di probabilità e statistica COMPITO DI SCIENZE NATURALI 23 gennaio 2012 Modulo di probabilità e statistica 1. In Svizzera, al primo gennaio di ogni anno, tutti i cittadini vengono sottoposti a vaccinazione contro l influenza annuale.

Dettagli

Appunti: elementi di Probabilità

Appunti: elementi di Probabilità Università di Udine, Facoltà di Scienze della Formazione Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Multimediali Corso di Matematica e Statistica (Giorgio T. Bagni) Appunti: elementi di Probabilità. LA PROBABILITÀ..

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

Corso di Probabilità e Statistica

Corso di Probabilità e Statistica Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di Probabilità e Statistica (Prof.ssa L.Morato) Esercizi a cura di: S.Poffe sara.poffe@stat.unipd.it A.A.

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

Variabili Casuali Continue e Distribuzione Normale

Variabili Casuali Continue e Distribuzione Normale Variabili Casuali Continue e Distribuzione Normale Nel Capitolo 5 si è definita variabile casuale continua una variabile casuale che può assumere tutti valori compresi fra gli estremi di un intervallo

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

La distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale La distribuzione binomiale 1. Che cos'è un numero casuale Stiamo per lanciare un dado. Fermiamo la situazione un attimo prima che il dado cada e mostri la faccia superiore. Finché è in aria esso costituisce

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione di una v.c. discreta Il tasso di cambio

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità Luca Mari, versione 2.3.15 Contenuti La generazione combinatoria di campioni...1 L algebra dei campioni...4 Il calcolo delle frequenze relative dei campioni...5 Indipendenza

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI IL CONCETTO DI VARIABILE CASUALE Associare una misura di probabilità al verificarsi di un certo evento (come esito di un esperimento) non sempre è sufficiente a risolvere gran parte dei problemi reali

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente COMPITO n. 1 a) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una scala di re (ovvero 9, 10, J, Q, K anche

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Modelli di Variabili Aleatorie Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Sulla base della passata esperienza il responsabile della produzione di un azienda

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica

21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica 21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I Ogni esercizio vale 5 punti. 1. Si gioca a nascondino in una casa di quattro stanze: cucina, salotto, bagno e camera da letto. Otto bambini

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità: indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi (linguaggio comune), ad es. P di superare o

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2009-10 Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain 1 LE PRINCIPALI DISTRIBUZIONI

Dettagli

SCHEDA DIDATTICA N 1

SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

Esercizi di probabilità discreta

Esercizi di probabilità discreta Di seguito, potete trovare i testi (con risposta) degli esercizi svolti (o proposti) nel corso di esercitazioni dell insegnamento di Matematica applicata. 1 Esercizi di probabilità discreta Algebra degli

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Tabella 7. Dado truccato

Tabella 7. Dado truccato 0 ALBERTO SARACCO 4. Compiti a casa 7novembre 200 4.. Ordini di grandezza e calcolo approssimato. Esercizio 4.. Una valigia misura 5cm di larghezza, 70cm di lunghezza e 45cm di altezza. Quante palline

Dettagli

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale)

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale) Esercizio 1. Un azienda produce palline da tennis che hanno probabilità 0,02 di essere difettose, indipendentemente l una dall altra. La confezione di vendita contiene 8 palline prese a caso dalla produzione

Dettagli

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre

Dettagli

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel

Dettagli

Tutorato di Probabilità e Statistica

Tutorato di Probabilità e Statistica Università Ca Foscari di Venezia Dipartimento di informatica 20 aprile 2006 Variabili aleatorie... Example Giochiamo alla roulette per tre volte 1 milione sull uscita del numero 29. Qual è la probabilità

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE Premessa importante: si ipotizza che il comportamento della popolazione rispetto ad una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica di probabilità p

Dettagli

1 Valore atteso o media

1 Valore atteso o media 1 Valore atteso o media Definizione 1.1. Sia X una v.a., si chiama valore atteso (o media o speranza matematica) il numero, che indicheremo con E[X] o con µ X, definito come E[X] = i x i f(x i ) se X è

Dettagli

Corso di Automazione Industriale 1. Capitolo 4

Corso di Automazione Industriale 1. Capitolo 4 Simona Sacone - DIST Corso di Automazione Corso Industriale di 1 Automazione Industriale 1 Capitolo 4 Analisi delle prestazioni tramite l approccio simulativo Aspetti statistici della simulazione: generazione

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 3 A. Sia una variabile casuale che si distribuisce secondo

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi)

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) QUANTILE Data una variabile casuale X, si definisce Quantile superiore x p : X P (X x p ) = p Quantile inferiore x p : X P (X x p ) = p p p=0.05 x p x p Graficamente,

Dettagli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli 1. Richiami di Statistica Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Stefano Di Colli Dati: Fonti e Tipi I dati sperimentali sono provenienti da un contesto delimitato, definito per rispettare le caratteristiche

Dettagli

SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 6 Variabili casuali binomiale e normale

SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 6 Variabili casuali binomiale e normale SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 6 Variabili casuali binomiale e normale ESERCIZIO nr. 1 I Presidi delle scuole medie superiori di una certa cittá italiana hanno indetto tra gli studenti dell ultimo anno una

Dettagli

Matlab per applicazioni statistiche

Matlab per applicazioni statistiche Matlab per applicazioni statistiche Marco J. Lombardi 19 aprile 2005 1 Introduzione Il sistema Matlab è ormai uno standard per quanto riguarda le applicazioni ingegneristiche e scientifiche, ma non ha

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

Distribuzioni discrete

Distribuzioni discrete Distribuzioni discrete Esercitazione 4 novembre 003 Distribuzione binomiale Si fa un esperimento (o prova): può manifestarsi un certo evento A con probabilità p oppure no (con probabilità q = p). La distribuzione

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Calcolo delle probabilità Il Sig. Rossi abita nella città X e lavora nella città Y, poco distante.

Dettagli

Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano Università degli Studi di Milano Laurea in Scienza della Produzione e Trasformazione del Latte Note di Calcolo delle Probabilità e Statistica STEFANO FERRARI Analisi Statistica dei Dati Note di Calcolo

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 ELEMETI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Introduzione Una variabile si dice casuale quando assume valori che dipendono

Dettagli

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Esercizi di Probabilità e statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Proprietà fondamentali Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Nel gico del

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

R - Esercitazione 5. Lorenzo Di Biagio dibiagio@mat.uniroma3.it. Lunedì 2 Dicembre 2013. Università Roma Tre

R - Esercitazione 5. Lorenzo Di Biagio dibiagio@mat.uniroma3.it. Lunedì 2 Dicembre 2013. Università Roma Tre R - Esercitazione 5 Lorenzo Di Biagio dibiagio@mat.uniroma3.it Università Roma Tre Lunedì 2 Dicembre 2013 Intervalli di confidenza (1) Sia X 1,..., X n un campione casuale estratto da un densità f (x,

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Test statistici di verifica di ipotesi

Test statistici di verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e quanto, una determinata ipotesi (di carattere biologico, medico, economico,...) è supportata dall

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo 3 febbraio 2015. Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua

STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo 3 febbraio 2015. Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo febbraio 2015 Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua Esercizio 1 Anna ha una gift card da 50 euro. Non si sa se sia mai stata utilizzata

Dettagli

1 Probabilità condizionata

1 Probabilità condizionata 1 Probabilità condizionata Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni parziali sull esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento

Dettagli

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

Università degli studi di Sassari Facoltà di Agraria Sede di Oristano CORSO DI LAUREA IN TECNOLOGIE ALIMENTARI

Università degli studi di Sassari Facoltà di Agraria Sede di Oristano CORSO DI LAUREA IN TECNOLOGIE ALIMENTARI Università degli studi di Sassari Facoltà di Agraria Sede di Oristano CORSO DI LAUREA IN TECNOLOGIE ALIMENTARI CORSO DI LAUREA IN VITICOLTURA ED ENOLOGIA DISPENSE DEL CORSO DI STATISTICA Docente NICOLO

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

COEFFICIENTI BINOMIALI

COEFFICIENTI BINOMIALI COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente

Dettagli

p k q n k = p n (k) = n 12 = 1 = 12 1 12 11 10 9 1 0,1208. q = 1 2 e si ha: p 12 (8) = 12 8 4

p k q n k = p n (k) = n 12 = 1 = 12 1 12 11 10 9 1 0,1208. q = 1 2 e si ha: p 12 (8) = 12 8 4 CAPITOLO QUARTO DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI) Molti degli esempi che abbiamo presentato nei capitoli precedenti possono essere pensati come casi particolari di uno schema generale di prove ripetute,

Dettagli

Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco

Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco Alfonso Iodice D Enza April 26, 2007 1...prima di cominciare Contare, operazione solitamente semplice, può diventare complicata se lo scopo

Dettagli

PARTE PRIMA PROBABILITA

PARTE PRIMA PROBABILITA i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione........................................................... pag. 1 1.2 Definizione assiomatica di probabilità.......................................

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6

Dettagli

Dati statistici e scale di misura

Dati statistici e scale di misura Capitolo aggiuntivo 12 Dati statistici e scale di misura La statistica è un insieme di metodi e tecniche per: raccogliere informazioni su un fenomeno (ad esempio i risultati di un esperimento di laboratorio)

Dettagli