Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione

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1 Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Studio di funzione Esercizio 1. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti condizioni: Il dominio di f è l insieme A = (, ) (, + ); f() è positiva per (, 1) (, 3), negativa o nulla altrimenti; f() = +, f() = ; + =, + = +. Esercizio. (sol) Sia f una funzione continua che soddisfi tutte le condizioni dell esercizio precedente. Per ognuna delle seguenti asserzioni dire se è vera (motivando la risposta) oppure falsa (trovando, graficamente, un controesempio): (a) f è decrescente nell intervallo (, ); (b) f(1) = 0; (c) nell intervallo (3, + ) non ci sono minimi relativi; (d) l equazione f() = b ha sempre soluzione per ogni numero reale b. Quali delle asserzioni sono vere nel caso in cui la funzione f non sia continua? Esercizio 3. Sia f una funzione continua soddisfacente le seguenti condizioni: dominio = R \ 1, 1} f() = 1, f() = = +, 1 + = 1 = 1, 1 + = f() < 0 per (1, ), altrimenti f() 0 1

2 f() è crescente in (, 1) e in (1, 3) e decrescente altrimenti (a) Disegnare il grafico di f (b) E vero che si ha necessariamente f() = 0? (c) Per una funzione soddisfacente tali condizioni può essere f( ) = 1? Esercizio. (sol) Dimostrare che l equazione = 0 ha almeno una soluzione. Esercizio 5. (sol) Sia data la funzione f() = e Determinarne: (a) il dominio; (b) i iti agli estremi del dominio; (c) il segno; (d) la derivata prima; (e) i massimi e minimi relativi ed assoluti; (f) la derivata seconda. Esercizio 6. (sol) Sia f() = (a) dire dove è continua; (b) dire dove è derivabile; 1 per 0 per = (c) determinare la derivata (dove esiste); (d) disegnare il grafico. Esercizio 7. (sol) Data f() = (a) dire dove è nulla e studiarne il segno; per 0 cos() + 1 per > 0 (b) calcolare i iti agli estremi del dominio; (c) dire dove è continua; (d) dire dove è derivabile e determinare la derivata dove esiste; (e) individuare massimi e minimi assoluti e relativi; (f) disegnare il grafico. Esercizio 8. (sol) Sia f() = (a) dire dove è nulla; (b) dire dove è continua; sin( 1 ) per 0 0 per = 0

3 3 (c) dire dove è derivabile; (d) determinare la derivata dove esiste; (e) disegnare il grafico. Esercizio 9. Disegnare il grafico delle seguenti funzioni dopo aver determinato: dominio di f, iti agli estremi del dominio, intervalli di crescenza e decrescenza, minimi e massimi relativi e assoluti. (a) f() = 3 1 (b) f() = 1 (c) f() = (d) f() = 1+3 (1 ) (e) f() = ( ) e 1 1 (f) f() = ln( +3 ) (g) f() = ln( 5 + 6) (h) f() = e 1 Esercizio. Data la funzione f() = ln( 1 +1 ) (a) determinarne il dominio, il segno e i iti agli estremi; (b) dire dove f è continua e dove è derivabile e determinarne la derivata prima quando esiste; (c) determinare gli intervalli di crescenza, decrescenza e dire se vi sono punti di massimo o minimo relativo o assoluto; (d) determinare la derivata seconda e studiare la concavità e convessità, individuando anche eventuali punti di flesso (e) disegnare il grafico. Risposte f() Esercizio 1: (a) (b) sì; (c) sì

4 6 f() Esercizio 3: (a) (b) sì; (c) sì Esercizio 5: (a) R\ 3} ; (b) + f() = f() = e, 3 +f() = 0, + ; (c) positiva su tutto il dominio; (d) e 1 +3 (+3) ; (e) né massimi né minimi; (f) 8( + 1) e 1 +3 (+3). 3 f() = f() f() Esercizio 9: f() 1+3 (1 ) f() ln( 1 +1 ) f() ( ) 1 e 1

5 5 Soluzioni di alcuni esercizi Esercizio : Soluzione (a) f è decrescente nell intervallo (, )? falso (b) f(1) = 0? vero: (teorema degli zeri) f è continua, f() > 0 per < 1 e f() < 0 per (1, ), quindi f() deve essere 0. (c) nell intervallo (3, + ) non ci sono minimi relativi? falso (d) l equazione f() = b ha sempre soluzione per ogni numero reale b? vero: f è continua, f() = + e f() = quindi per ogni b esiste almeno un (, ) tale che f() = b. f() f() (a) (c) Esercizio : Soluzione Metodo algebrico: f() è definita da un polinomio di grado 97 e tutti i polinomi di grado dispari hanno almeno una soluzione reale (perché il coniugio di ogni radice è a sua volta radice, e quindi tutte le radici complesse non reali sono appaiate). Metodo analitico: f() è una funzione polinomiale e quindi è definita e continua su tutto R ; ha iti f() = e f() = + e quindi il suo grafico incontra in almeno un punto l asse delle. Esercizio 5: f() = e Soluzione + (a) il dominio: e y è definita per ogni y R ; 1 +3 f() è definita su R \ 3} è definita per 3.

6 6 (b) i iti agli estremi del dominio: gli estremi sono +,, = +3 quindi e 1 +3 = e + Analogamente quindi f() = e f() = +3 +e 1 e 1 (1 1 ) + (1+ 3 ) = 1 1 = 1, = e = = e + = + f() = e; +f() = 0; 3 (c) il segno: e y > 0 per ogni y R, quindi e 1 e 1 +3 è positiva per negativa o nulla f() 3 f() = > 0 su tutto il dominio: R \ 3} nessuna Verifica: Il segno è compatibile con i iti calcolati al punto precedente. (d) la derivata prima: e y è derivabile per ogni y R, quindi e 1 +3 è derivabile su tutto il dominio. f() = e g() con g() = Allora f () = e g() g () = e (+3) 1 ( 1) = e 1 (+3) +3. (+3) f() è derivabile su tutto il dominio e f () = e 1 +3 (+3) (e) i massimi e minimi relativi ed assoluti; Osservo che f () > 0 su tutto il dominio, quindi f() è strettamente crescente in tutti gli intervalli che formano il dominio. Intervallo (, 3) : il ite in 3 potrebbe essere un massimo, ma f() tende a + e quindi è ilitata; Intervallo ( 3, + ): il ite in 3 + potrebbe essere un minimo, ma f() tende a 1 con valori strettamente maggiori e quindi è itata da 1, ma f() 1 per ogni. f() non ha né massimi né minimi relativi o assoluti Verifica: Le osservazioni fatte sono compatibili con i iti e con il segno. (f) la derivata seconda: f () = e 1 +3 è derivabile su tutto il dominio. (+3) f () = f() h() con h() =. (+3)

7 7 Allora f () = f ()h() + f()h () = e e 1 (+3) (+3) +3 ( ) = (+3) 3 = e 1 +3 ( 16 + ( ) ) = e 1 (+3) (+3) (16 8( + 3)) = e 1 (+3) +3 1 ( 8 8) = (+3) e = 8( + 1) 1 +3 (+3) nulla per = 1 Osservo che f () è positiva per (, 1) \ 3} negativa per ( 1, + ) pertanto f() ha un flesso in 1. Esercizio 6: Soluzione 1 per f() = 0 per = (a) dire dove è continua: la funzione y è continua su R, quindi f è continua almeno su R \ }. È continua anche in? Dobbiamo vedere se i iti destro e sinistro esistono, sono uguali tra loro e a f() : f() = 1 = 3 Allora non è continua in. Quindi f è continua solo su R \ }. +f() = + 1 = 3 f() = 0 (b) dire dove è derivabile: f non è derivabile in perché non è continua. La funzione modulo è derivabile su R\0}, quindi f in (, ) (, ) è derivabile quando 1 0, cioè 1. f è derivabile su R \ 1, }, (c) determinare la derivata (dove esiste): In (, 1) f() = 1 = + 1, quindi f () = 1. In (1, ) f() = 1 = 1, quindi f () = 1. In (, ) f() = 1 = 1, quindi f () = 1. 1 per < 1 f () = 1 per 1 < < 1 per > (d) disegnare il grafico: f() 5 1 5

8 8 Esercizio 7: Soluzione f() = + se 0 cos() + 1 altrimenti Siano g() = + (per (, 0] ) e h() = cos() + 1 (per (0, + )) (a) dire dove è nulla e studiarne il segno: g() = 0 per, 0}, ed è negativa in (, 0); h() = 0 quando cos() = 1, quindi per = kπ, k Z, altrimenti è > 0. < 0 in (, 0) f() = = 0 in } kπ k N} > 0 altrimenti (b) calcolare i iti agli estremi del dominio: f() = + = ( 1 + 1) = ; f() = cos() + 1 non esiste. (c) dire dove è continua: g e h sono continue su tutto R perché somme di funzioni continue; quindi f è continua almeno su R \ 0}. È continua anche in 0 : infatti i iti destro e sinistro esistono, sono uguali tra loro e a f(0) = 0 : 0 f() = 0 g() = g(0) = 0 Quindi f è continua su tutto R. 0 +f() = +h() = h(0) = 0. (d) dire dove è derivabile e determinare la derivata dove esiste: g e h sono derivabili (e con derivata continua) su tutto R perché somme di funzioni derivabili; quindi f è derivabile almeno in R \ 0} e la derivata è g () = + 1 in (, 0) e h () = sin() in (0, ). Osserviamo che 0 f () = () = 1 0 g 0 +f () = () = h I iti destro e sinistro esistono, ma sono diversi, quindi f non è derivabile in 0. f + 1 per < 0 () = sin() per > 0 (e) determinare massimi e minimi assoluti e relativi. La derivata si annulla per 1} kπ k N \ 0}} e si ha: = 1 : a sinistra f < 0, a destra f > 0 minimo relativo = kπ con k N \ 0} : a sinistra f < 0, a destra f > 0 minimi relativi = π + kπ con k N : a sinistra f > 0, a destra f < 0 massimi relativi 0

9 9 Siccome f non è derivabile in 0 devo controllare il segno della derivata intorno a 0: = 0 : f è continua in 0 e f () > 0 sia a sinistra che a destra di 0, quindi 0 non è né massimo né minimo relativo. Minimi relativi: f( 1) = 1, f(kπ) = 0 (k N \ 0}) Massimi relativi: f(π + kπ) = = (k N ). Dato che f() = + non c è massimo assoluto. Il più piccolo dei minimi relativi, cioè 1, è il minimo assoluto. f ha minimi relativi in 1} kπ k N} e massimi relativi in π + kπ k N} è minimo assoluto e non c è massimo assoluto. 1 (f) disegnare il grafico: Esercizio 8: Soluzione 8 6 f() f() + cos() f() = sin( 1 ) per 0 0 per = 0 (a) dire dove è nulla: f è nulla in 0 e quando sin( 1) = 0 con 0, quindi quando sin( 1 ) = 0, cioè = kπ con k Z. 1 f è nulla in 0 e per = 1 kπ con k Z. (b) dire dove è continua: è continua su tutto R e sin( 1 ) è continua dove è definita, cioè su R \ 0}. f è continua anche in 0 perché i iti destro e sinistro esistono e sono entrambi uguali a f(0) = 0: infatti osserviamo che sin( 1), e che ( ) = = 0, 0 0 quindi per il teorema dei carabinieri f() = ( sin( 1 )) = f() è continua su tutto R. (c) dire dove è derivabile: in (, 0) (0, ), essendo prodotto di funzioni derivabili, f() è derivabile. Osserviamo che 0 +f () non esiste perché per k N le due successioni tendenti a 0 danno due iti diversi f ( 1 kπ ) = 1 kπ sin(kπ) cos(kπ) = 1 f ( 1 kπ ) k + 1 f 1 ( kπ + π ) = kπ + π sin(kπ + π) cos(kπ + π) = 1 f 1 ( kπ + π ) k + 1

10 Allora dobbiamo studiare il ite del rapporto incrementale di f in 0 (che è la vera definizione di f (0) ): f(0 + δ) f(0) δ 0 δ = δ 0 f(δ) δ f è derivabile su tutto R = δ 0 δ sin( 1 δ ) δ = δ 0 (δ sin( 1 δ )) = 0 (d) determinare la derivata dove esiste: Per determinare la derivata in (, 0) (0, ) osserviamo: sia g() = sin( 1 ), allora f () = g() + g (), dove g () = cos( 1 ) ( 1 ). Quindi per 0 la derivata è f () = sin( 1 ) + cos( 1 ) ( 1 ) = sin( 1 ) cos( 1 ) Per = 0 abbiamo calcolato che la derivata esiste e vale 0. f sin( 1 () = ) cos( 1) per 0 0 per = 0 (e) disegnare il grafico: 3 f() f() ; ingrandimento presso f()

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