ARGOMENTI MATEMATICA PER L INGEGNERIA VOLUME 4

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1 ARGOMENTI DI MATEMATICA PER L INGEGNERIA VOLUME 4

2 Indice LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA. Alcuni richiami sull integrazione Uniforme continuità Conseguenze del Teorema di Heine Calcolo della lunghezza di una curva Il parametro d arco su di una curva INTEGRALI CURVILINEI L integrale curvilineo ai differenziali d arco La misura dell area di una porzione di superficie cilindrica Area di una superficie tronco-conica Calcolo dell area di una superficie di rotazione Altri significati dell integrale curvilineo ai differenziali d arco Integrali curvilinei di forme differenziali Forme esatte e campi gradienti INTEGRALI DOPPI 3. Sottoinsiemi misurabili del piano L integrale doppio di una funzione continua di due variabili Il calcolo effettivo di un integrale doppio I teoremi di riduzione di Fubini Il teorema del valor medio integrale Uso dell integrale doppio in fisica matematica INTEGRALI TRIPLI Sottoinsiemi misurabili di R L integrale triplo di una funzione F(X,Y,Z) LE COORDINATE CURVILINEE Le coordinate polari elementari nel piano Le coordinate polari sferiche Le coordinate cilindriche ii

3 INDICE iii 6 INTEGRALI DI SUPERFICIE Area di una porzione di superficie L integrale superficiale di una funzione F(X,Y,Z) I TEOREMI DI GULDIN, GREEN, GAUSS E STOKES I teoremi di Guldin Il Teorema di Green nel piano La nozione di superficie orientata Alcune rilevanti nozioni associate a campi vettoriali Il Teorema della divergenza di Gauss Il teorema di Stokes INTEGRALI MULTIPLI GENERALIZZATI Il caso del dominio della funzione integranda che risulta illimitato Il caso della funzione integranda illimitata Alcuni esempi di integrali tripli generalizzati

4 Capitolo LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA. Alcuni richiami sull integrazione ) Se f() è una funzione definita e continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b], fissato un numero δ >, per ogni suddivisione di [a, b] σ : = a < <... < n(σ) = b con µ(σ) = ma { i i, i =, 2,..., n(σ)} < δ si può costruire la somma (.) n(σ) i f(ξ i )( i i ), con ξ i scelto ad arbitrio in [ i, i ], i =, 2,..., n(σ). La (.) può essere pensata come funzione plurivoca di δ e si ha che tale funzione risulta convergente per δ, avendosi detto lim δ n(σ) i f(ξ i )( i i ) = I = b a f()d integrale definito di f() esteso all intervallo [a, b]

5 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 2 2) Se f(), [a, b], il significato di I è la misura dell area trapezoidale, compresa tra l asse O e il grafico G(f) della funzione f(), detto, brevemente, trapezoide sottostante G(f). y a O b 3) Se è f(), [a, b], il significato di I è di essere, questa volta, l opposto della misura dell area trapezoidale, compresa tra il grafico G(f) della funzione f(), e l asse O, detto, brevemente, trapezoide soprastante G(f). y a O b 4) Nel caso generale ha il significato seguente: detta I = b a S f + f()d la somma delle misure delle aree comprese tra l asse O e i tratti del grafico di f() corrispondenti ai sottointervalli di positività di f() e detta S f

6 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 3 risulta la somma delle misure delle aree comprese tra i tratti del grafico di f() corrispondenti ai sottointervalli di negatività di f() e l asse O I = S f + S f y a O b 5) Date due funzioni f (), f 2 (), continue in [a, b], con f () f 2 (), [a, b] y a O b (la misura del)l area della regione trapezoidale compresa tra i grafici G(f ) e G(f 2 ) e le due rette laterali verticali { = a} e { = b} è data da b a [f 2 () f ()]d 6) Se f() è continua in [a, b] si ha il

7 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 4 teorema del valor medio integrale: b a f()d = (b a) f(c) ove c è un opportuno punto di [a, b] (non necessariamente unico) f(c) prende il nome di valor medio di f() in [a, b] y D A B T 2 C T A O C L area del trapezoide T sottostante al grafico di f() = 2 ristretta all intervallo [, 2] è d = 3 3 = 8 ( 3 ) = 3 3 Il valor medio di f() in [, 2] è 3 2 ( ) = 3 3 = = f( ) = f() L area del trapezoide T eguaglia quella del rettangolo AA C C: i due trilateri mistilinei T = AOBA e T 2 = BCDB hanno naturalmente la stessa area..2 Uniforme continuità Definizione.. Data una funzione f() definita in un insieme D, si dice che

8 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 5 se, ε >, δ > : f() è uniformemente continua in D, 2 D 2 < δ = f( 2 ) f( ) < ε Proposizione.. Se f è uniformemente continua in D essa è anche continua in D, cioè, D, o è un punto isolato di D, oppure lim f() = f( ) DIM. Facile: è lasciata al lettore. Teorema. (Teorema di Heine). Se f() è definita e continua in un insieme chiuso e limitato D, allora f() è uniformemente continua in D In particolare, se f() è continua in un intervallo [a, b] f() è in [a, b] uniformemente continua. DIM. Fissiamo un arbitrario numero ε >, e supponiamo, per assurdo, che per ogni δ n = n si possa trovare Il sottoinsieme di [a, b] una coppia di numeri di [a, b] ( (n), 2 (n)) : 2 (n) (n) < n f ( 2 (n) ) f ( (n) ) ε S = { (n), n =, 2,...} { 2 (n), n =, 2,...} è infinito e contenuto nell intervallo chiuso e limitato [a, b]. Per il noto Teorema di Bolzano-Weierstrass, in [a, b] esiste

9 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 6 y y = f() ε y = f() + ε 2 y = f() ε 2 ε δ δ O a b un punto c d accumulazione per S Si potrà così trovare una sottosuccessione di S costituita, ad esempio, da punti del tipo (n), convergente a c: (n ), (n 2 ),..., (n r )... r + Ne segue, poichè f è continua in [a, b], e c [a, b], perché [a, b] è chiuso, che sarà lim f( (n r ) ) = f(c) r + c Ma 2 (n ), 2 (n 2 ),..., 2 (n r ),... converge anch essa a c, poichè 2 (n r ) (n r ) < n r

10 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 7 (n r ) < 2 (n r ) < (n r ) + n r n r r + r + c c sicché 2 (n r ) c per il teorema del confronto. Ne segue allora che Dunque lim f( 2 (n r ) ) = f(c) r + lim f( 2 (n r ) ) f ( (n r ) ) = f(c) f(c) = r + il che è impossibile, essendo, per ipotesi, f ( 2 (n r ) ) f ( (n r ) ) ε, r N : donde la conclusione. C.V.D. Se viene meno una delle ipotesi il teorema di Heine può non valere più. Esempio.. L insieme D in cui f è continua non è chiuso y O 4 f() =, definita e continua in ], 4]: l uniforme continuità non vale nei pressi dello zero. Esempio.2. L insieme D in cui f è continua non è limitato

11 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 8 y O f() = 2, definita e continua in ], + [: l uniforme continuità non vale molto lontano dallo zero. Esempio.3. La funzione f ha una discontinuità con salto in c D, del tipo in figura, y l 2 l a O c 2 b con lim c f() = l < lim c + f() = l 2 : con e 2 a cavallo di c e vicini quanto si vuole non si riesce ad avere f( 2 ) f( ) < l 2 l (> ) La definizione di uniforme continuità si estende facilmente alle funzioni di 2,3,... n variabili. Risulta anche per queste funzioni il Teorema.2 (Teorema di Heine). Se F(, 2,..., n ) è una funzione di n variabili allora definita e continua in un insieme D chiuso e limitato di R n

12 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 9 nel senso che, ε >, δ > : F(, 2,..., n ) risulta in D uniformememente continua P, P 2 D P P 2 < δ = F(P 2 ) F(P ) < ε La dimostrazione è del tutto analoga al caso di variabile e può essere facilmente adattata..3 Conseguenze del Teorema di Heine Sia ora F(, 2,..., p ) una funzione di p variabili reali, definita e continua nel suo dominio p dimensionale Siano poi D R p, supposto chiuso e limitato f, f 2,..., f p p funzioni reali di una variabile reale, definite e continue in un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Per ogni scelta di t, t 2,..., t p in [a, b] si abbia che ( f (t ), f 2 (t 2 ),..., f p (t p ) ) D Si ha allora, in particolare, per t = t 2 =... = t p = t [a, b], che ( f (t), f 2 (t),..., f p (t) ) D, t [a, b] e si può considerare quindi la funzione come è noto h(t) = F ( f (t), f 2 (t),..., f p (t) ) funzione composta, di prime componenti f, f 2,..., f p, e di seconda componente F; h risulta una funzione definita e continua in [a, b]

13 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA Per ogni suddivisione σ di [a, b], costituita da certi n(σ) + valori t = a < t <... < t n(σ) = b sia µ(σ) = ma {t i t i, i =, 2,..., n(σ)} Per ogni numero fissato δ >, si possono considerare tutte le suddivisioni σ di [a, b] con µ(σ) < δ (esse sono ovviamente infinite); per ciascuna di tali suddivisioni, si possono ora scegliere, in ognuno dei subintervalli [t i, t i ] p valori ad arbitrio scelti (anche qui si presentano infinite scelte possibili) e formare quindi la sommatoria ξ i,, ξ i,2,..., ξ i,p (.2) n(σ) i F ( f (ξ i, ), f 2 (ξ i,2 ),..., f p (ξ i,p ) ) (t i t i ) la quale è pensabile come funzione, ovviamente plurivoca, di δ. Ora, se, per ogni i, si ha (.3) ξ i, = ξ i,2 =... = ξ i,p = ξ i la (.2) diventa n(σ) i F ( f (ξ i ), f 2 (ξ i ),..., f p (ξ i ) ) (t i t i ) = n(σ) i h(ξ i )(t i t i ) quindi una delle somme parziali relative all integrale I = b h(t)dt = b a a F ( f (t), f 2 (t),..., f p (t) ) dt ferma l ipotesi (.3), la sommatoria (.2) tende, al tendere di δ a, esattamente a questo integrale.

14 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA Ebbene, come conseguenza del teorema di Heine, si ha che la (.2), anche con la scelta arbitraria dei valori ξ i,, ξ i,2,..., ξ i,p in ogni [t i, t i ] tende, al tendere di δ a, sempre allo stesso integrale Stabiliamolo in I = b h(t)dt = b a a F ( f (t), f 2 (t),..., f p (t) ) dt Proposizione.2. Con le notazioni sopra introdotte la somma (.2), pensata come funzione (plurivoca) di δ tende, al tendere di δ a, al limite I = b a h(t)dt = b a F ( f (t), f 2 (t),..., f p (t) ) dt DIM. Per semplicità ci limitiamo a considerare il caso p = 2: nel caso generale (p = 3, 4,..., n,...) la dimostrazione è proceduralmente identica, basta semplicemente adattare la nomenclatura e l apparato simbolico. Dunque la funzione (si usa,y al posto di, 2 ) è, per ipotesi, F(,y) definita e continua nell insieme D ( R 2 ) chiuso e limitato e quindi, per il teorema di Heine, essa è in D uniformemente continua Inoltre si hanno le funzioni f e g (si usa f, g al posto di f, f 2 ), le quali sono definite e continue nell intervallo chiuso [a, b] con la proprietà ( f(t), g(t) ) D, t [a, b] sicchè si può considerare la funzione composta la quale, come è noto, risulta h(t) = F ( f(t), g(t) )

15 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 2 esiste quindi Come ricordato nel, si ha definita e continua nell intervallo chiuso [a, b] : δ e ciò significa, ricordiamolo, che i I = b n(σ) I = lim h(ξ i )(t i t i ) = a h(t)dt n(σ) i F ( f(ξ i ), g(ξ i ) ) (t i t i ) fissato un arbitrario ε >, si può trovare in corrispondenza un δ > tale che, per ogni suddivisione σ : t = a < t <... < t n(σ) = b dell intervallo [a, b] con µ(σ) < δ, e per ogni scelta del valore ξ i [t i, t i ], i =, 2,..., n(σ), si ha che (indicando per brevità la sommatoria di sopra con ( * ) ( ) I < ε o, equivalentemente che I ε < ( ) < I + ε Ora si tratta di provare che è anche I = lim δ ( ) = n(σ) i F ( f(η i ), g(ζ i ) ) (t i t i ) (anche qui si usa ( ) al posto della sommatoria, per brevità), con un significato analogo a quello sopra ricordato, e l unica variante essendo che sono due, η i, ζ i, i valori fissati ad arbitrio in [t i, t i ]. Dall ipotesi che, t, t 2 [a, b] si ha ( f(t ), g(t 2 ) ) D discende che la funzione di 2 variabili H(,y) = F ( f(), g(y) ) risulta, in particolare, definita nell intervallo bidimensionale I 2, rappresentato in figura, insieme chiuso e limitato :

16 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 3 y (a, b) (, b) (b, b) (a, ) O I 2 (b, a) (a, a) (, a) (b, a) essendo funzione composta di funzioni continue, H(,y) è continua in I 2 e, per Heine, è uniformemente continua in I 2 Si osservi che risulta h(t) = H(t, t), t [a, b]: insomma la h(t) si ottiene subordinando H(,y) sulla diagonale (a, a) (b, b) di I 2. Tutti i fatti sopra stabiliti vanno posti in atto, ora, per provare, appunto, che è anche I = b a h(t)dt = lim δ ( ) = n(σ) il che consiste in quanto segue : i F ( f(η i ), g(ζ i ) ) (t i t i ) fissato un arbitrario ε >, bisogna trovare in corrispondenza un δ > tale che, per ogni suddivisione di [a, b] con µ(σ) < δ, e per ogni scelta dei numeri σ : t = a < t <... < t n(σ) = b η i, ζ i in [t i, t i ], i =, 2,..., n(σ), deve aversi ( ) I < ε

17 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 4 o, equivalentemente, I ε < ( ) < I + ε Dunque fissiamo un qualunque ε >. Poichè si sa che I = b a h(t)dt = lim δ n(σ) ( ) = F ( f(ξ i ), g(ξ i ) ) (t i t i ) i ed è ε/2 >, certo esiste in corrispondenza a questo numero positivo, un δ > tale che, per ogni suddivisione di [a, b] con µ(σ) < δ, e per ogni scelta di si ha o, equivalentemente, σ : t = a < t <... < t n(σ) = b ξ i in [t i, t i ], i =, 2,..., n(σ), ( ) I < ε 2 2 I ε 2 < ( ) < I + ε 2 Considerato ora il numero ε = ε 2(b a) >, e tenuto conto (vedi punto sopra) dell uniforme continuità di H(,y) = F ( f(),g(y) ) in I 2 esiste, in corrispondenza a ε >, un δ > tale che, per due punti (, y ), ( 2, y 2 ) di I 2 valga l implicazione Posto allora d ( (, y ), ( 2, y 2 ) ) = ( 2 ) 2 + (y 2 y ) 2 < δ = H(, y ) H( 2, y 2 ) < ε

18 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 5 per ogni suddivisione dell intervallo [a, b] { δ = min δ, } δ 2 σ : t = a < t <... < t i < t i <... < t n(σ) = b per la quale risulti µ(σ) = ma{t i t i, i =, 2,..., n(σ)} < δ, a proposito della sommatoria ( ) = n(σ) i F ( f(η i ), g(ζ i ) ) (t i t i ) con η i, ζ i [t i, t i ], i =, 2,..., n(σ), I) η i, ζ i, ξ i [t i, t i ], perciò varranno le si potrà affermare quanto segue: η i ξ i < δ δ 2 e ζ i ξ i < δ δ 2, i =, 2,..., n(σ) ; le quali danno a loro volta le [f(ηi ) f(ξ i ) ]2 [ g(ζ i ) g(ξ i ) ]2 < δ δ 2 i =, 2,..., n(σ) 2 < δ ; II) atteso il significato di δ (vedi sopra), ne discenderanno le n(σ) disuguaglianze H ( ) ( ) η i, ζ i H ξi, ξ i = F ( f(η i ), g(ζ i ) ) F ( f(ξ i ), g(ξ i ) ) < ε = ε 2(b a) o, equivalentemente, le n(σ) disuguaglianze F ( f(ξ i ), g(ξ i ) ) ε 2(b a) < F( f(η i ), g(ζ i ) ) < F ( f(ξ i ), g(ξ i ) ) ε + 2(b a) con i =, 2,..., n(σ) ;

19 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 6 III) moltiplicando le ultime disuguaglianze ciascuna per t i t i (> ) e sommando membro a membro si ottiene ( ( ) e ( ) stanno per le relative sommatorie come detto sopra ) ( ) n(σ) i ε 2(b a) (t i t i ) < ( ) < ( ) + n(σ) i ε 2(b a) (t i t i ) ossia, essendo n(σ) i ε 2(b a) (t i t i ) = ε 2(b a) n(σ) (t i t i ) = i ε 2(b a) (b a) = ε 2, si trova la 3 ( ) ε 2 < ( ) < ( ) + ε 2 Riassumendo la saranno assicurate contemporaneamente 2 I ε 2 < ( ) < I + ε 2 e la 3 ( ) ε 2 < ( ) < ( ) + ε 2 e queste, ripetiamolo, per ogni valore assunto da ( ) e ( ) in corrispondenza a qualunque suddivisione di [a, b] σ : t = a < t <... < t i < t i <... < t n(σ) = b con µ(σ) = ma{t i t i, i =, 2,..., n(σ)} < δ

20 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 7 e per qualsiasi scelta, per ogni tale suddivisione, dei numeri ξ i, η i, ζ i [t i, t i ], i =, 2,..., n(σ) ( gli ξi servono per costruire ( ); gli η i, ζ i servono per costruire ( ) ) Rappresentiamo la situazione graficamente sull asse reale: I ε 2 I + ε 2 I ε ( ) I I + ε ( ) ( ) ε 2 ( ) ( ) + ε 2 per la 2, ( ) deve cadere tra I ε/2 e I + ε/2 ; per la 3, ( ) deve cadere tra ( ) ε/2 e ( ) + ε/2 : è perfettamente chiaro che, dovunque si collochi ( ) in ]( ) ε/2, ( ) + ε/2[, sarà costretto a cadere a destra di I ε e a sinistra di I + ε Ma vediamo anche formalmente la cosa: dalla 2 seguono, in particolare 2 I ε/2 < ( ) e 2 ( ) < I + ε/2 ; si ottiene così 4 I ε = I ε/2 ε/2 < ( ) ε/2 < ( ) = I ε < ( ) dalla 2 per la 3 sinistra e ancora

21 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 8 4 ( ) < ( ) + ε/2 < I + ε/2 + ε/2 = I + ε = ( ) < I + ε per la 3 destra dalla 2 Dalla 4 e 4 si ottiene finalmente la I ε < ( ) < I + ε come volevasi dimostrare..4 Calcolo della lunghezza di una curva Vedremo ora l applicazione delle considerazioni introduttive al problema della misura della lunghezza di una curva Supporremo di considerare una curva quasi-regolare cioè unione di un certo numero, di solito finito, di archi di curva regolari privi di tratti comuni A B Per ottenere la (misura della) lunghezza della curva basterà ovviamente calcolare le lunghezze di tutti gli archi che la compongono e quindi calcolarne la somma.

22 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 9 A sua volta un arco di curva regolare C è un insieme con le seguenti caratteristiche: ) è rappresentabile parametricamente nella forma C : = f(t) y = g(t) z = h(t), t [a, b] con f, g, h funzioni di classe C () in [a, b] ( cioè continue e derivabili con derivate continue in [a, b] ) ; 2) tra i valori del parametro t [a, b] e i punti P(t) ( f(t), g(t), h(t) ) dell arco vi è corrispondenza biunivoca salvo al più la possibilità che risulti P(a) = P(b) cioè che C sia un arco di curva chiuso come un circolo, un ellisse, ecc... P 4 = P 8 P 7 P 9 C A = P = P P P = P 2 P 3 = P 6 P 5 B = P 6 = P 2 P P 5 = P P 3 P 2 = P 4

23 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 2 Dato ora un arco regolare C, sopra definito, per ogni suddivisione di [a, b] σ : t = a < t <... < t i < t i <... < t n(σ) = b posto P i = P(t i ) = P ( f(t i ), g(t i ), h(t i ) ) C, i =, 2,..., n(σ), la poligonale, o spezzata, di lati successivi si dice e può brevemente essere indicata con il simbolo P P, P P 2,..., P i P i,..., P n(σ) P n(σ) la poligonale inscritta in C associata a σ P(σ) La lunghezza di P(σ) è la somma delle lunghezze dei suoi lati: l ( P(σ) ) = l ( P P ) l ( Pi P i ) l ( Pn(σ) P n(σ) ) Se ora σ è un infittimento di σ (cioè σ ha per valori suddividenti [a, b] quelli di σ più altri, intercalati fra i primi) (vedi figura), è ovvio che risulta l ( P(σ ) ) l ( P(σ) ) Inoltre si ha l ( P(σ) ) = = = n(σ) n(σ) i n(σ) i (f(ti ) f(t )2 i ) + ( g(t i ) g(t )2 i ) + ( h(t i ) h(t )2 i ) = per Lagrange i [f (ξ i )(t i t i ) ]2 + [ g (η i )(t i t i ) ]2 + [ h (ζ i )(t i t i ) ]2 = f 2 (ξ i ) + g 2 (η i ) + h 2 (ζ i ) ( t i t i ) con ξ i, η i, ζ i punti di Lagrange relativi alle funzioni f, g, h, in [t i, t i ], i =, 2,..., n(σ). Fissato ora un numero δ >, si considerino tutte le suddivisioni σ di [a, b] con µ(σ) = ma {t i t i, i =, 2,..., n(σ)} < δ e, per ogni suddivisione, si valuti la lunghezza l ( P(σ) ) della relativa poligonale inscritta in C, ottenendo la sommatoria sopra calcolata: applicando il Cor..2, si può affermare che

24 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 2 la lunghezza di P(σ), l ( P(σ) ), pensata come funzione, ovviamente plurivoca, di δ ha per limite, al tendere di δ a, il numero I = b a f 2 (t) + g 2 (t) + h 2 (t) dt Osservazione.. Si noti che, al tendere di δ a, nel contempo tende a zero anche la massima fra le lunghezze dei lati della poligonale P(σ), mentre il numero dei suoi lati tende ovviamente a + : con ciò Dimostreremo ora la la poligonale inscritta P(σ) approssima sempre più, al tendere a di δ, l arco di curva C. Proposizione.3. Il numero I = b a f 2 (t) + g 2 (t) + h 2 (t) dt è l estremo superiore dell insieme delle lunghezze delle poligonali P(σ) inscritte in C, ove σ varia nella famiglia di tutte le possibili suddivisioni dell intervallo [a, b] DIM. Si è visto sopra che I = b a f 2 (t) + g 2 (t) + h 2 (t) dt = lim δ l ( P(σ) ) e per provare quindi l enunciato è sufficiente riconoscere che nessuna poligonale P(σ) può avere la sua lunghezza l ( P(σ) ) che superi il numero I e ciò per il fatto che, per la stessa definizione di limite, ne conseguirà senz altro che in ogni intorno sinistro ]I ε, I] di I cade almeno un valore della funzione (plurivoca) l ( P(σ) ) di δ :

25 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 22 I si trova così a verificare donde la conclusione. le due proprietà caratteristiche dell estremo superiore dell insieme delle lunghezze delle poligonali inscritte in C Dimostriamo dunque, per assurdo, che per ogni σ risulta l ( P(σ) ) I. Aiutiamo l intuizione con un grafico l ( P(σ) ) l ( P(σ ) ) l ( P(σ ) ) I Supponiamo che possa darsi la situazione in figura: allora, infittendo σ, si otterrà una P(σ ) di lunghezza non inferiore a quella di P(σ), cioè con ecc., ecc.... : ma allora l ( P(σ) ) l ( P(σ ) ) ; se si infittiscono indefinitamente le suddivisioni, facendo tendere a zero la massima lunghezza dei loro sottointervalli, come può l ( P(σ (n) ) ) tendere, come sopra si è visto che avviene, a I, se l ( P(σ (n) ) ) continua ad allontanarsi verso destra da I stesso? L assurdo prova la tesi enunciata, cioè che risulta l ( P(σ) I, σ. È del tutto naturale quindi, visto il comportamento di P(σ) per δ, che è quello di approssimare sempre meglio l arco di curva C, e il significato del numero I = descritto in Prop..3, porre la seguente b a f 2 (t) + g 2 (t) + h 2 (t) dt Definizione.2. Il numero I = b a f 2 (t) + g 2 (t) + h 2 (t) dt si assume come

26 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 23 (misura del) la lunghezza dell arco di curva C denotandolo con l(c) Osservazione.2. Per il significato geometrico intrinseco rivestito dal numero b a f 2 (t) + g 2 (t) + h 2 (t) dt è chiaro, e si può dimostrare facilmente, che esso non dipende dalla particolare parametrizzazione dell arco C Passiamo ad illustrare un congruo numero di esempi. Esempio.4. La lunghezza di un segmento, calcolata con la formula sopra assegnata, coincide ovviamente con quella fornita dalla nota formula ortonormale: infatti, dati P (, y, z ), P 2 ( 2, y 2, z 2 ) si ha P P 2 : = + ( 2 )t y = y + (y 2 y )t z = z + (z 2 z )t, t [, ] Risulta infatti lunghezza di P P 2 = = = = ( 2 ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 dt = ( 2 ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 ( ( 2 ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 ( ( 2 ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 ) dt t) = =

27 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 24 Esempio.5. Lunghezza di una circonferenza C di raggio R. Rappresentiamo la curva così (è posta per semplicità nel piano O y ) C : = R cos t y = R sin t z =, t [, 2π] l(c) = 2π ( R sin t) 2 + (R cos t) 2 + () dt = R 2π dt = 2πR la nota formula, questa volta finalmente dimostrata. Esempio.6. Se nell esempio precedente si limita il parametro all intervallo [, π] si ottiene la semicirconferenza superiore di C, di lunghezza πr. Questa stessa semicirconferenza C si può rappresentare nel modo seguente C : = f(t) = t y = g(t) = R 2 t 2 (z = ), t [ R, R] Questo esempio vuol dimostrare Infatti la funzione g(t) = e che le ipotesi di regolarità della parametrizzazione dell arco possono essere attenuate. R 2 t 2 o, per essere più precisi, essa ha (vedi figura) è continua in [ R, R], ma in R e in R non è derivabile derivata destra + in R derivata sinistra in R

28 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 25 y O -R R ovviamente in connessione agli attacchi di C (che è una curva grafico) in R e R rispettivamente. Con tutto ciò il calcolo della lunghezza di C giunge a buon fine anche con l attuale rappresentazione, poichè il carattere intrinsecamente convergente del processo di approssimazione per poligonali inscritte fa si che l integrale sia di tipo generalizzato, ma convergente: l(c ) = R R = lim ε R ( 2 + R ε R+ε ) 2 t R dt = R R2 t 2 R arcsin ( t ) R = R [arcsin arcsin( )] = R R2 t 2 dt = [ ( R ε = R lim arcsin ε R [ π ( 2 π )] 2 = πr ) ( )] R + ε arcsin R = risultato che coincide con quello ottenuto partendo dall altra rappresentazione di C. Esempio.7. Si abbia una curva piana C, che sia il grafico di una funzione g, continua nell intervallo [a, b] assieme alla sua derivata prima g. C si può pensare come curva dello spazio, appartenente al piano O y, rappresentabile nel modo seguente = f(t) = t C : y = g(t), t [a, b] z = h(t) = In tal caso la formula per la lunghezza di C risulta direttamente, senza bisogno di applicare il Cor..2.

29 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 26 y B = P(b a = t O t t 2 t 3 t 4 = b A = P(a) Costruiamo infatti la sommatoria che porge la lunghezza della poligonale inscritta in C associata alla suddivisione l ( P(σ) ) = = n(σ) i n(σ) e quest ultima espressione è subito una i σ : t = a < t <... < t n(σ) = b : [t i t i ] 2 + [ g(t i ) g(t i ) ]2 + [ ] 2 = (per Lagrange) = [t i t i ] 2 + g 2 (ξ i ) [t i t i ] 2 = n(σ) i + g 2 (ξ i ) (t i t i ) b a somma parziale relativa all integrale + g 2 (t) dt ( b = f 2 (t) + g 2 (t) + h 2 (t) dt ) a e, al tendere di δ a, tende precisamente a questo integrale sicchè si giunge alla formula, per l arco di curva C grafico (di a specie) della funzione g l(c) = b a + g 2 (t) dt A una formula perfettamente analoga si giunge per un arco di curva C grafico (di seconda specie) della funzione f = f(t) C : y = g(t) = t, t [a, b] z = h(t) =

30 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 27 l(c) = b a f 2 (t) + dt Esempio.8. Calcolare la lunghezza dell arco OA della parabola C : y = 2, con A(a, a 2 ) (a > ) OA : = t y = t 2 (z = ), t [, a] y A(a, a 2 ) B(, ) O Si ottiene l( OA) = a = 2 = a a 2 + (2t) 2 dt = t t 2 + /4 2 a + 8 log ( t + a 2 + /4 + 4 log ( a + + 4t 2 dt = (vedi prontuario) = t 2 + /4 ) = a 2 + /4 ) 4 log 2 = = a a 2 + /4 + [ ( log a + a 2 + /4 ) + log 2 ] = 4 = a a 2 + /4 + 4 log ( 2a + 2 a 2 + /4 ). In particolare, se a =, si ottiene = a a 2 + /4 + 4 log ( 2a + 4a 2 + ). l( OA) = log(2 + 5).478 (<.5)

31 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 28 y B(, ) O.5 Esempio.9. Calcolare la lunghezza di un arco di C : cicloide ordinaria = Rϕ R sin ϕ y = R R cos ϕ, ϕ [, 2π] y (πr, 2R) (, R) O (πr, ) (2πR, ) Si ottiene l(c) = 2π 2π (R R cos t) 2 + (R sin t) 2 dt = R 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t dt 2π 2π cos t = R 2 2 cos t dt = 2R 2 = 4R 2π sin t 2 2 dt = 4R 2π dt = 2R 2π sin t 2 dt = cos t 2 = 4R [ cos π ( cos ) ] = 8R

32 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 29 Esempio.. Calcolare la lunghezza dell asteroide di costante a: = a cos 3 t C : y = a sin 3, t [, 2π] t y (, a) O (a, ) L asteroide è l unione dei 4 sotto-archi AB, BC, ø CD, DA, ed è una curva chiusa. I 4 sotto-archi risultano a due a due congruenti (o sovrapponibili): questo è dovuto alle simmetrie di C. È infatti facile verificare che C è il luogo rappresentato dall equazione 2/3 + y 2/3 = a 2/3 a sua volta equivalente all equazione algebrica del 6 ordine y y 4 + y 6 3a a 2 2 y 2 3a 2 y 4 + 3a a 4 y 2 a 6 = C è dunque simmetrica, di simmetria ortogonale, rispetto a entrambi gli assi cartesiani e ad entrambe le bisettrici degli assi; è naturalmente anche simmetrica rispetto all origine O. Ne segue, poichè l arco AB, 4 a parte dell asteroide C, si ottiene per t [, π/2], che si avrà π/2 l(c) = 4 l( AB) = 4 = 4 = 2a π/2 π/2 [3a cos 2 t( sin t) ] 2 + [ 3a sin 2 t cos t ] 2 dt = 3a cos 2 t sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) dt = 2a cos t sin t dt = 2a nell intervallo [, π/2] è cos t sin t π/2 π/2 sin t cos t dt = 2a cos t sin t dt = π/2 sin 2 t 2 = 6a

33 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 3 Osservazione.3. L arco AB ha altre parametrizzazioni: ad esempio la seguente AB : = u 3/2 y = [a 2/3 u] 3/2, u [, a 2/3 ] secondo la quale B è l origine e A l estremo dell arco (con la parametrizzazione precedente A era l origine e B l estremo). Si noti che, con l attuale parametrizzazione, si ottengono anche i vettori tangenti ad AB nei suoi estremi: risulta infatti P (u) = 3 2 u/2 i 3 2 [a2/3 u] /2 j e P () = 3 2 a/3 j P (a 2/3 ) = 3 2 a/3 i è il vettore tangente all arco in B è il vettore tangente all arco in A Con la parametrizzazione precedente si verificava l inconveniente che per t = e t = π/2 si aveva P () = e P (π/2) = sfuggiva quindi l individuazione dei vettori tangenti ad AB nei suoi estremi. Naturalmente, anche con l attuale parametrizzazione, si può calcolare la lunghezza dell arco AB: risulta a 2/3 [3 ] 2 [ l( AB) = + 3 ] 2 2 (a2/3 u) /2 du = = a 2/3 2 u/2 9 4 u a2/3 9 4 u du = 3 2 a/3 a 2/3 du = 3 a 2/3 2 a/3 u = = 3 2 a/3 (a 2/3 ) = 3 2 a = 4 (6a) = l(c), come deve essere. 4 Osservazione.4. Un arco di curva C ha infinite rappresentazioni parametriche; può accadere che alcune di queste presentino delle irregolarità: tuttavia l esistenza di una rappresentazione regolare basta per dichiarare l arco C regolare

34 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 3 Ad esempio l arco C : = t y = t /3, t [, ], è fornito qui in rappresentazione non regolare: infatti la funzione g(t) = t /3 non è derivabile in Ma si ha anche C : = τ 3 y = τ, τ [, ], e la rappresentazione è, questa volta, perfettamente regolare Esempio.. Calcolare la lunghezza dell arco di curva C : = 2 6 sin 2 t 2 3 sin t cos t y = 2 6 sin 2 t sin t cos t z = 2 6 sin 2 t sin t cos t, t [, 34 ] π Risulta l(c) = 3π/4 [ 4 6 sin t cos t 2 3 cos2 t sin 2 t ] [ 4 6 sin t cos t+4 3 cos 2 t 4 3 sin 2 t ] 2 [ sin t cos t+2 3 cos2 t 2 3 sin 2 t ] 2 dt = 3π/4 = 72 ( cos 2 t + sin 2 t ) 2 3π/4 dt = t = (3 π ) 4 = 9π 2 Il lettore riconosca che C è un arco della circonferenza di centro il punto C ( 6, 6, 6 ), di raggio 3 2, giacente nel piano α: + z =. Determini quindi l ampiezza dell angolo al centro corrispondente all arco C. Esempio.2. Calcolare la lunghezza di una spira C della curva detta

35 CAPITOLO. LA LUNGHEZZA DI UNA CURVA 32 elica cilindrica di raggio R e passo 2πh (h > ) C : = R cos ϕ y = R sin ϕ z = hϕ, ϕ [, 2π] z B(R,, 2πh) P (ϕ) C A(R,, ) y Osservazione.5. L elica cilindrica, e qualunque suo sottoarco, è, come si riconosce agevolmente una curva sghemba, cioè non piana Risulta l(c) = = 2π [ R sin t] 2 + [R cos t] 2 + h 2 dt = R 2 + h 2 2π t = 2π R 2 + h 2 questo numero dà la lunghezza dell arco AB che costituisce appunto Il lettore verifichi che una spira dell elica in ogni punto P(ϕ) dell elica la tangente in P(ϕ) a questa curva forma un angolo costante con la direzione dell asse O z, asse di rotazione del cilindro Γ: 2 + y 2 = R 2 cui l elica appartiene, ovvero (ed è la stessa cosa) con la generatrice del cilindro passante per P(ϕ). Per questa proprietà si dice che

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