dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

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1 1 Le ffinità omologiche

2 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici di Desrgues: Se due tringoli, C e C, sono omologici llor i punti di intersezione H, K e L dei lti corrispondenti, e, C e C, C e C pprtengono d un stess rett s, e vicevers (si ved l figur in bsso). S C K L s H C Csi prticolri: Nel riferimento fr i tringoli C e C, il centro S e l sse s (l uno o l ltro o nche entrmbi) possono risultre impropri. llor, corrispondentemente i vri csi, il principio enuncito ssume forme diverse (prticolrizzzioni ffini). Qundo l sse s è distnz infinit si h il principio dei tringoli omotetici: Se nei tringoli C e C i lti omologhi sono prlleli: //, C // C, C // C, le rette:,, CC Pssno per un medesimo punto, S.

3 3 Vicevers: se le rette,,, CC escono d un medesimo punto, S, e due coppie di lti omologhi risultno costituite d rette prllele, lo stesso ccde dell terz. Qulor poi nche S si improprio, l situzione si f più prticolre: bbimo un trslzione con conseguente principio dei tringoli in trslzione: Se i tringoli C e C possono essere riferiti in modo che si: // // CC e: //, C // C, risult pure: C // C. E vicevers. Infine, nell ipotesi che S si improprio e l s propri, nsce il principio dei tringoli in ffinità omologic: Se nei tringoli C e C vlgono le: // // CC, i lti opposti si incontrno sopr un rett, s. Inversmente: dll llinemento dei punti comuni i lti corrispondenti e d: // segue CC // //. L proiezione prllel Dte due rette, e, e preso e, se P, l prllel condott d P ll incontr l nel punto P, che è ppunto l proiezione (o immgine) di P sull, nell proiezione prllel dell sopr l secondo l direzione (o punto improprio) dell rett (si ved l figur). P P

4 4 L proiezione prllel conserv l ordine di successione di punti, cioè, se sopr l è: < C <, lo stesso ccde, sull, per le immgini: < < C. L proiezione centrle fr rette prllele Considerimo il fscio delle rette uscenti d un punto (proprio), S (centro del fscio), e tglimolo con due rette prllele, r ed r. Nsce fr queste un riferimento (biunivoco) che prende il nome di proiettività (con il centro in S). Si dice nche che quell corrispondenz è ottenut per proiezione (centrle), dl centro (proprio) S, dell un rett sull ltr. Indicti e due punti dell r e con e le loro proiezioni sull r, si fermi l ttenzione sopr i tringoli S e S (figur). S 0 Se conducimo per S l prllel d, si h (per il teorem di Tlete): S S = S' S' nlogmente, trccindo per e le prllele ll, risult: S ' 0 = =. S' ' ' ' ' Cioè, nei tringoli S e S, i rpporti fr i lti corrispondenti sono uguli.

5 5 Quest premess consente di ffermre che l proiezione centrle fr rette prllele conserv i rpporti. L ffinità omologic L definizione Si fissi nel pino un rett,, ed un qulsisi coppi di punti,. Chimimo ffinità omologic, o omologi ffine, l ppliczione biiettiv (o corrispondenz biunivoc) dl pino in sé nell qule l punto X (non pprtenente ll rett ) si dà come omologo il punto X, situto sull rett condott per X prllelmente ll e tle che le rette X e X s incontrno in un punto dell rett ssegnt (si ved l figur). X X cioè: le rette che uniscono due punti corrispondenti sono prllele ll (l qule fornisce l direzione o centro improprio dell corrispondenz introdott); l rett che congiunge un punto, X, con e quell individut d e dl corrispondente X di X si tglino in un punto che pprtiene ll rett, dett sse dell ffinità omologic. Ogni punto dell si dice unito,e lo stesso vle per ogni rett prllel ll. Dll costruzione indict rimngono esclusi i punti dell rett. Slvo quest lcun nsce un corrispondenz biunivoc fr i punti del pino, determint in modo unico dll sse e dll coppi,. Indichimo l ffinità omologic con 0, e, qundo si opportuno mettere in evidenz gli elementi che l individuno, useremo il simbolo: 0 (;, ). Se i punti e si corrispondono nell 0, quest è individut, oltre che dll sse, nche dll stess coppi, : 0 (;, ) = 0 (;, ).

6 6 Si trtt di mostrre che, preso un qulunque punto, X, esso h un medesimo corrispondente nell 0 (;, ) e nell 0 (;, ). Si X l omologo di X nell 0 (;, ). X X Risult: // // XX, llor di tringoli: X, X Si riconosce, per il principio dei tringoli in ffinità omologic, che i punti:, X X, X X pprtengono d un medesim rett, che è l. Ciò bst provre che X è l omologo di X nche nell 0 (;, ). Così l lcun rimst per l costruzione dell nostr corrispondenz, reltivmente i punti dell rett, non sussiste più: è sufficiente ricorrere un ltr qulsisi coppi di punti omologhi,,. Le rette omologhe Nell ffinità omologic, 0, un rett corrisponde un rett. Se r è l rett dt, prendimo sopr di ess un punto,, del qule indichimo, l solito, con il corrispondente nell 0.

7 7 Per costruire l 0 ci possimo vlere dell coppi,, e llor ppre subito che, mentre il punto P percorre l r, il suo omologo P descrive l rett P 0, essendo P 0 il punto d intersezione dell r con l sse. P r r P P 0 Se il punto dovesse trovrsi sull rett r, significherebbe che r risulterebbe omolog se stess, cioè risulterebbe unit. Mettimo in evidenz il ftto che due rette omologhe s incontrno sull sse, d ccordo con l circostnz già rilevt che l è luogo di punti uniti nell 0 (;, ). Si noti pure che ogni rett prllel ll è unit, cioè coincide con l su corrispondente; le omologhe di due rette prllele sono prllele fr loro: r // s r // s. Per quest ultim osservzione, si: r, s P 0 M 0 r r s s cosicché: r P 0, s M 0

8 8 posto: llor, essendo: P 0 = r, M 0 = s. //, P 0 // M 0 di tringoli omotetici, P 0 e M 0, deducimo: P 0 // M 0. Ne segue che nell ffinità omologic: un prllelogrmm si mut in un prllelogrmm; segmenti equipollenti si cmbino in segmenti equipollenti fr loro (m non i primi); segmenti uguli per trslzione hnno per omologhi segmenti uguli per trslzione (fr loro, m non i primi). L crtterizzzione L ffinità omologic può essere definit come un ppliczione biiettiv del pino in sé, l qule mut rette in rette e in cui le congiungenti punti omologhi risultno tutte prllele (cioè esiste in ess un fscio di rette unite con centro improprio). Per il modo stesso in cui bbimo presentto l ffinità omologic, si deve evidentemente provre che, in un corrispondenz come quell or introdott, i punti d incontro delle rette omologhe pprtengono d un medesim rett: l sse. Sino r, r ed s, s due coppie di rette corrispondenti. Ponimo: H = r r, K = s s. I punti: = r s, = r s risultno omologhi. Si dic llor x un terz rett, che incontri l r e l s nei punti e C rispettivmente: = r x, C = s x. I punti e C, che d essi corrispondono, sono determinti dlle condizioni: //, r ; CC //, C s. E l x h per omolog l x che unisce con C. Si determin così l solit situzione (si ved l prossim figur). Nei tringoli C e C è: // // CC, e quindi il punto in cui si tglino l x e l x st sull rett HK. Il discorso rimne vlido nche qulor fosse: r // r, s // s,

9 9 ipotesi che conduce ll trslzione, l qule pertnto rientr, come cso prticolre, nche tr le ffinità omologiche. s r r s C C x x H K Un definizione si riconduce subito ll precedente. E quell per cui l ffinità omologic viene presentt come un corrispondenz biunivoc che trsform rette in rette, rette prllele in rette prllele, e nell qule i punti ottenuti come intersezioni di rette omologhe si trovno tutti sopr un medesim rett,. M H K Sino, e, due coppie di punti corrispondenti (si ved figur precedente). Le rette omologhe e s incontrno in: M. Per e per si conducno due rette prllele, H e K, con: H, K. ll H e ll K corrispondono rispettivmente H e K, quindi: H // K,

10 10 essendo: H // K. llor i tringoli omotetici (rispetto l centro M) H e K ssicurno che: //. cioè nell nostr corrispondenz le congiungenti punti omologhi hnno un direzione fiss, e quindi simo ricondotti l cso considerto in precedenz. Tre coppie di punti omologhi, ;, e C, C, con: // // CC, vlgono individure l ffinità omologic. In ftti il suo sse è dto dll congiungente i punti comuni lle rette corrispondenti e, C e C (si ved l figur). C C L invrinte Se X e X si corrispondono nell ffinità omologic 0 (;, ), detti 0 e X 0 i punti nei quli le rette e XX incontrno l sse, risultno uguli i rpporti semplici: 0 X 0 X = = k 0 ' X 0 X ' X X H 0 X 0

11 11 Poiché le rette omologhe X e X s incontrno in un punto, H, dell sse (come nell figur precedente), le terne,, 0 e X, X, X 0 si ottengono l un dll ltr medinte proiezione centrle d H sulle rette prllele e XX. Il vlore di k è quindi crtteristico di ciscun ffinità omologic: per questo se ne dice ppunto crtteristic. Prende nche il nome di invrinte dell ffinità omologic, e vle d individurl insieme ll sse e ll direzione dell rett (che ne dà il centro improprio). Qundo l rett è prllel ll sse, il punto 0 si port distnz infinit e k ssume il vlore, k = 1, che ppunto compete un rpporto semplice con il terzo punto improprio. Si trtt del cso delle ffinità omologic specile, poiché quest qulific si deve d un omologi ffine il cui sse pssi per il centro (improprio). E di grnde interesse il cso dell simmetri ssile, per cui è: k = -1. Se ed sono simmetrici rispetto ll, l ffinità omologic 0 (;, ) prende il nome di simmetri ssile, di sse e secondo l direzione dell rett. Essendo k = -1 segue che ogni coppi di punti, X, X, corrispondenti nell simmetri ssile è costituit d punti d punti simmetrici rispetto ll, nell direzione.

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