Gli angoli corrispondenti sono congruenti; I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto costante:

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2 ome sai, se vuoi riprodurre una figura, puoi disegnarla perfettamente uguale rispettandone la forma e le dimensioni e cambiandone quindi solo la posizione. In questo caso la riproduci isometricamente, cioè attraverso una isometria, che può essere una traslazione o una simmetria, e quindi otterrai figure congruenti. Puoi riprodurre una figura anche più grande o più piccola, senza deformarla, cioè rispettandone la forma. In questo caso la riproduci simile, attraverso una trasformazione non isometrica che prende il nome di similitudine.

3 Scopriamo le proprietà della similitudine attraverso una trasformazione geometrica; consideriamo due triangoli simili e misuriamone la lunghezza dei lati e l ampiezza degli angoli. 3,8 cm ˆ 55 5 cm ˆ 90 6, cm ' ' 1,9 cm ˆ ˆ ' ',5 cm ˆ' 90 ' ' 3,1 cm 35 ˆ'

4 Dalle misure possiamo dire che: Gli angoli corrispondenti sono congruenti; I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto costante: ' ' 1,9 3,8 1 ' ',5 5 3,1 6, sono in proporzione : ' ': ' ': ' ': Possiamo affermare che: 1 ' ' 1 Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti ordinatamente congruenti e i lati omologhi in proporzione. La trasformazione che si ottiene si chiama similitudine; essa lascia invariata l ampiezza degli angoli ma varia la lunghezza dei seguenti segmenti corrispondenti in rapporto costante. Tale rapporto costante si chiama rapporto di similitudine.

5 Due triangoli sono simili se hanno i tre angoli ordinatamente congruenti. ˆ ˆ ˆ ˆ' ˆ' ˆ' I due triangoli e hanno i tre angoli ordinatamente congruenti: Se misuriamo i lati corrispondenti ci accorgiamo che il rapporto fra lati omologhi è costante: : ' ' : ' ' : ' ' quindi i due triangoli sono simili.

6 Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180, dal I criterio di similitudine segue che: Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti; Due triangoli equilateri sono sempre simili; Due triangoli isosceli sono simili se hanno l angolo al vertice o gli angoli alla base congruenti; Due triangoli rettangoli sono simili sa hanno un angolo acuto congruente.

7 Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in rapporto costante e l angolo fra essi compreso congruente. onsideriamo i due triangoli e che hanno due coppie di lati omologhi in proporzione e l angolo compreso congruente: : ' ' : ' ' ˆ ˆ' Se misuriamo le ampiezze degli angoli e la lunghezza degli altri due lati ci accorgiamo che: : ' ' : ' ' : ' ' e ˆ ˆ' ˆ ˆ' quindi i due triangoli sono simili.

8 Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi in rapporto costante. onsideriamo i due triangoli e che hanno le tre coppie di lati omologhi in proporzione: : ' ' : ' ' : ' ' Se misuriamo le ampiezze dei tre angoli ci accorgiamo che: ˆ ˆ' ˆ ˆ' ˆ ˆ' quindi i due triangoli, per il I criterio, sono simili.

9 Un importante applicazione della similitudine fra triangoli si ha nei due teoremi di Euclide, validi solo ed esclusivamente per i triangoli rettangoli. H onsideriamo il triangolo rettangolo ; rettangolo in, e i triangoli H e H che si ottengono tracciando l altezza H relativa all ipotenusa. Osserviamo che: I triangoli e H hanno due angoli congruenti: perché entrambi retti; H ˆ ˆ perché in comune. Per il I criterio di similitudine i due triangoli e H sono quindi simili, per cui: : : H H ˆ ˆ,

10 I triangoli e H hanno due angoli congruenti: H ˆ ˆ, perché entrambi retti; ˆ H ˆ perché in comune. Per il I criterio di similitudine i due triangoli e H sono quindi simili, per cui: : : H H Le due proporzioni: : : H e : : H esprimono il I teorema di Euclide che possiamo enunciare: In un triangolo rettangolo qualsiasi, ogni cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la sua proiezione sull ipotenusa.

11 Le osservazioni che abbiamo fatto per arrivare a enunciare il I teorema di Euclide ci hanno portato a osservare che: il triangolo e simile al triangolo H, il triangolo è simile al triangolo H. H H H Per la proprietà transitiva di cui gode la relazione di similitudine,possiamo allora dire che: il triangolo H è simile al triangolo H. Possiamo quindi scrivere la proporzione: H : H H : H che esprime il II teorema di Euclide. In un triangolo rettangolo qualsiasi l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull ipotenusa.

12 Primo teorema di Euclide onsideriamo una delle due proporzioni che ci da il I teorema di Euclide: : : H proprietà fondamentale H H x H Possiamo considerare ² come la superficie del quadrato di lato e x H come la superficie di un rettangolo le cui dimensioni sono e H. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per base l ipotenusa e per altezza la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa.

13 Secondo teorema di Euclide onsideriamo una delle due proporzioni che ci da il II teorema di Euclide: H H : H H : H proprietà fondamentale H x H H H H H Possiamo considerare H² come la superficie di un quadrato di lato H, e H x H come la superficie di un rettangolo le cui dimensioni sono H e H. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull ipotenusa.

14 Proviamo ad ingrandire il triangolo, proiettiamo da un punto fisso O i vertici del triangolo e su ciascuna retta passante per i vertici prendiamo i punti a essi corrispondenti in modo che : ' ' ' O O, O O e O Unendo i punti, e otteniamo il triangolo corrispondente di. O. O

15 Se si vuole rimpicciolire il quadrilatero D della metà,proiettiamo da un punto fisso O i vertici del quadrilatero e su ciascuna retta passante per i vertici prendiamo i punti a essi corrispondenti in modo che: 1 ' ' 1 1 O O, O O O ' O e OD' Unendo i punti,, e D, otteniamo il quadrilatero corrispondente di D. 1 OD. D D O

16 La trasformazione che ci permette di ingrandire il triangolo o di rimpicciolire il quadrilatero D è una particolare similitudine detta omotetia e le coppie di poligoni e, D e D, tra loro simili,si dicono più esattamente omotetici. Diciamo che: Due figure sono omotetiche se i loro punti corrispondenti sono allineati su rette che si incontrano tutte in un punto, detto centro dell omotetia, e i loro lati corrispondenti sono in rapporto costante. Tale rapporto di proporzionalità, k, si chiama rapporto di omotetia o caratteristica dell omotetia. D D O

17 Un omotetia può essere diretta o inversa. Parliamo di omotetia diretta se i vertici corrispondenti si prendono, rispetto al centro dell omotetia, dalla stessa parte dei vertici della figura data. o F D F O H D Omotetia diretta di H caratteristica k Omotetia diretta di caratteris tica k 1 3

18 Parliamo di omotetia inversa se i vertici corrispondenti si prendono, rispetto al centro dell omotetia, dalla parte opposta dei vertici della figura data. D F o F H O D H Omotetia caratteris inversa tica k di Omotetia caratteris tica inversa k di 1 3

19 La caratteristica k dell omotetia determina il rimpicciolimento o l ingrandimento della figura. In particolare: Se k > 1 si ha un ingrandimento della figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in quella inversa; Se k < 1 si ha un rimpicciolimento della figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in quella inversa; Per k 1 la figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame è coincidente se l omotetia è diretta, si dice quindi che è un identità. Nell omotetia inversa si ha una simmetria centrale.

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