Unità Didattica N 22 I triangoli. U.D. N 22 I triangoli

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1 10 Unità Didattica N 22 I triangoli U.D. N 22 I triangoli 01) Il triangolo ed i suoi elementi 02) Uguaglianza di due triangoli 03) Primo criterio di uguaglianza dei triangoli 04) Secondo criterio di uguaglianza dei triangoli 05) Terzo criterio di uguaglianza dei triangoli 06) Triangolo isoscele 07) lassificazione dei triangoli rispetto agli angoli 08) Teorema dell angolo esterno 09) Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo 10) Rette perpendicolari 11) Rette oblique 12) Distanza di un punto da una retta 13) Proiezione ortogonale di un punto su una retta 14) Proiezione ortogonale di un segmento su una retta 15) Asse di un segmento 16) Altezze, mediane e bisettrici di un triangolo 17) Un altro teorema sul triangolo isoscele Pagina 10 di 27

2 Unità Didattica N 22 I triangoli 11 Il triangolo ed i suoi elementi Definizione : Siano A, B, tre punti non allineati di uno stesso piano. ongiungendoli a due a due, il piano rimane diviso in due parti. La parte di piano limitata prende il nome di triangolo. I tre punti si dicono i vertici del triangolo, mentre i tre segmenti che a due a due li congiungono si chiamano lati del triangolo. La figura costituita dai lati prende il nome di contorno ( ed è una spezzata chiusa ) del triangolo. La somma dei lati del triangolo ( che è un segmento ) dicesi perimetro ( ed è un segmento ) del triangolo. Si chiamano angoli interni del triangolo i tre angoli convessi che hanno come vertici i tre vertici del triangolo e per lati le semirette contenenti i lati del triangolo. Nel caso del triangolo della figura gli angoli interni vengono indicati nella seguente maniera : AB ˆ, B ˆ A, A ˆ B. Gli angoli adiacenti agli angoli interni sono chiamati angoli esterni. Gli angoli esterni sono a due a due uguali. In ogni triangolo si diranno opposti un vertice ed il lato che non lo contiene. A Angolo interno Angolo esterno Sono opposti anche un lato e l angolo del triangolo B avente per vertice il vertice opposto a tale lato. Uguaglianza di due triangoli Pagina 11 di 27

3 12 Unità Didattica N 22 I triangoli Osservazione Per stabilire l uguaglianza di due triangoli non è necessario che siano uguali tutti i lati e tutti gli angoli. Primo criterio di uguaglianza dei triangoli Dimostrazione Pagina 12 di 27

4 Unità Didattica N 22 I triangoli 13 Osservazione Il messaggio geometrico del primo criterio è il seguente : << dall uguaglianza di due coppie di lati e dell angolo fra essi compreso possiamo stabilire l uguaglianza della terza coppia di lati e delle altre due coppie di angoli. >> Secondo criterio di uguaglianza dei triangoli Due triangoli sono uguali se hanno uguali un lato ed i due angoli ad esso adiacenti. Dimostrazione Riporto il triangolo A B sul triangolo AB in modo che B B e. Questo è possibile in quanto per Pagina 13 di 27

5 14 Unità Didattica N 22 I triangoli Osservazione Il messaggio geometrico del secondo criterio è il seguente : << dall uguaglianza di una coppia di lati e delle due coppie di angoli ad essi adiacenti possiamo dedurre l uguaglianza delle altre due coppie di lati e della coppia di angoli. Terzo criterio di uguaglianza dei triangoli Due triangoli sono uguali se hanno i tre lati uguali. Primo caso : caso dei triangoli acutangoli Pagina 14 di 27

6 Unità Didattica N 22 I triangoli 15 Secondo caso caso dei triangoli rettangoli Pagina 15 di 27

7 16 Unità Didattica N 22 I triangoli Terzo caso caso dei triangoli ottusangoli Pagina 16 di 27

8 Unità Didattica N 22 I triangoli 17 Osservazione Il messaggio geometrico del terzo criterio è il seguente : << dall uguaglianza delle tre coppie di lati deduciamo l uguaglianza delle tre coppie di angoli omologhi. >> Pagina 17 di 27

9 18 Unità Didattica N 22 I triangoli Quarto criterio di uguaglianza dei triangoli Due triangoli aventi uguali due lati e l angolo opposto al primo lato sono uguali se nei due triangoli l angolo opposto al secondo lato è della stessa specie ( cioè in entrambi i triangoli è acuto, oppure retto, oppure ottuso. A Bˆ " = AB ˆ ; A B = AB = A B Pagina 18 di 27

10 Unità Didattica N 22 I triangoli 19 Poiché il triangolo A B B è isoscele sulla base B B, l angolo A Bˆ " = ABˆ non può essere della stessa specie dell angolo A Bˆ '. Perveniamo alle stesse conclusioni assurde supponendo A> ˆ Aˆ' ; quindi deve essere A= ˆ A ˆ '. Triangolo isoscele Osservazione Teorema Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali Pagina 19 di 27

11 20 Unità Didattica N 22 I triangoli Inoltre : Teorema inverso Se un triangolo ha due angoli uguali esso è isoscele. lassificazione dei triangoli rispetto agli angoli Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto ( gli altri due sono acuti ). Il lato che si oppone all angolo retto si dice ipotenusa, gli altri due lati si dicono cateti. Pagina 20 di 27

12 Unità Didattica N 22 I triangoli 21 Teorema dell angolo esterno Ogni angolo esterno di un qualsiasi triangolo è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti. B A M L D N Hp { AD ˆ = angolo esterno del triangolo AB Th { AD ˆ > BA ˆ ; AD ˆ > ABˆ Pagina 21 di 27

13 22 Unità Didattica N 22 I triangoli ongiungiamo il vertice B con il punto medio M del lato opposto A e prolunghiamo BM di un segmento ML = BM e congiungiamo L con. I triangoli AMB ed LM sono uguali per avere : 1) AM = M per costruzione 2) BM = ML per costruzione 3) AMB ˆ = LMˆ perché angoli opposti al vertice. Δ Δ AMB = LM BA ˆ = Mˆ L ; AD ˆ > ML ˆ BA ˆ = ML ˆ AD ˆ > BAˆ Prolungando il lato A dalla parte di, si dimostra in modo analogo che : AD ˆ = BN ˆ > ABˆ orollario : Un triangolo non può avere più di un angolo retto ( ottuso ) Disuguaglianze fra gli elementi di un triangolo Teorema : Se un triangolo ha due lati disuguali, allora al lato maggiore si Oppone l angolo maggiore. A B D Hp { AB > A Th { BA ˆ > ABˆ Sul lato AB riporto il segmento risulta : AD ˆ = ADˆ. ma : AB ˆ > AD ˆ = ADˆ. AD = A. Il triangolo AD è isoscele sulla base D. Quindi Per il teorema dell angolo esterno applicato al triangolo BD risulta : { AB ˆ AD ˆ ; AD ˆ > AB ˆ } AD ˆ > DBˆ > AB ˆ > ABˆ ( proprietà transitiva delle disuguaglianze ) Pagina 22 di 27

14 Unità Didattica N 22 I triangoli 23 Teorema : Se un triangolo ha due angoli disuguali, allora all angolo maggiore si oppone il lato maggiore. A B D Hp { BA ˆ > ABˆ Th { AB > A Dimostrazione per assurdo 1) Supponiamo per assurdo che sia AB = A. In questo caso, essendo il triangolo AB isoscele sulla base B, dovremmo avere : BA ˆ = ABˆ che è contro l ipotesi. 2) Supponiamo per assurdo che sia : AB < A Per il teorema precedentemente dimostrato dovremmo avere : BA ˆ < ABˆ che è contro l ipotesi. AB, non potendo essere né minore né uguale ad A, sarà maggiore, cioè : AB > A Teorema : In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due. Teorema : In ogni triangolo ciascun lato è maggiore della differenza degli altri due. Osservazione : I due ultimi teoremi mettono in evidenza che tre generici segmenti non possono essere sempre lati di un triangolo. Perché ciò si verifichi occorre che ciascuno di essi deve essere maggiore ( minore ) della differenza ( somma ) degli altri due. Teorema Se due triangoli hanno due lati ordinatamente uguali e gli angoli fra loro compresi disuguali, allora dei rimanenti lati è maggiore quello che si oppone all angolo maggiore. Teorema Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali ed i rimanenti lati disuguali, allora gli angoli a questi opposti sono pure diseguali ed è maggiore quello che si oppone al lato maggiore. Pagina 23 di 27

15 24 Unità Didattica N 22 I triangoli Rette perpendicolari Due rette si dicono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli uguali ( e quindi retti ). Teorema Per un punto assegnato passa una ed una sola retta perpendicolare ad una data retta. Rette oblique Due rette che si incontrano senza essere perpendicolari si dicono rette oblique. Distanza di un punto da una retta La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta Proiezione ortogonale di un punto e di un segmento su una retta Definizione : Dicesi proiezione ortogonale di un punto su una retta il piede della perpendicolare condotta dal punto alla retta. Definizione : Dicesi proiezione ortogonale di un segmento su di una retta il segmento che ha come estremi le proiezioni ortogonali degli estremi del segmento dato sulla retta. Teorema : La distanza di un punto da una retta è minore di qualsiasi segmento obliquo condotto dal punto alla retta. Teorema : Due segmenti obliqui, condotti da un punto ad una retta, ed aventi proiezioni ortogonali uguali, sono uguali Teorema : Se due segmenti obliqui hanno proiezioni ortogonali disuguali, allora essi sono disuguali ed è maggiore quello che ha proiezione maggiore. Asse di un segmento Definizione : L asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio. Teorema Si può dimostrare che l asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento. Pagina 24 di 27

16 Unità Didattica N 22 I triangoli 25 Altezze, mediane e bisettrici di un triangolo Definizione Si dice altezza di un triangolo relativa ad un suo lato ( che rappresenta la base del triangolo ) il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto alla retta contenente il lato considerato. Un triangolo possiede tre altezze e quindi anche tre basi. Definizione Si dice mediana di un triangolo, relativa ad un suo lato, il segmento che congiunge il punto medio di questo lato col vertice opposto. Un triangolo possiede tre mediane. Definizione Si dice bisettrice di un triangolo, relativa ad un suo angolo interno, il segmento di bisettrice di quell angolo compreso fra il vertice ed il lato opposto. Un triangolo ha tre bisettrici. Definizione Si dice asse di un triangolo relativo ad un suo lato la retta perpendicolare al lato e passante per il suo punto medio. Un triangolo ha tre assi. Osservazione Le mediane e le bisettrici di un triangolo sono sempre interne al triangolo. Le altezze possono essere interne, esterne o coincidere con un lato del triangolo. In particolare l altezza relativa ad un lato è : 01) interna, se entrambi gli angoli adiacenti a questo lato sono acuti 02) esterna, se uno di questi angoli è ottuso 03) coincidente con un lato, se uno di questi angoli è retto. Pagina 25 di 27

17 26 Unità Didattica N 22 I triangoli In seguito dimostreremo che : 01) Le tre mediane di uno stesso triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro del triangolo. 02) Le tre altezze di uno stesso triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro del triangolo. 03) Le tre bisettrici di uno stesso triangolo passano per uno stesso punto detto incentro del triangolo. 04) Gli assi dei tre lati di uno stesso triangolo passano per lo stesso punto detto circocentro del triangolo. Il baricentro, l ortocentro, l incentro ed il circocentro sono detti punti notevoli o punti caratteristici del triangolo. Nel triangolo equilatero tali punti coincidono. Un altro teorema sul triangolo isoscele Teorema Nel triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice Sia AM la mediana relativa alla base B del triangolo isoscele AB. Vogliamo dimostrare che AM è anche altezza relativa alla base B e A bisettrice dell angolo al vertice BA ˆ. I triangoli AMB ed AM sono uguali per il terzo criterio di uguaglianza per avere : 1) AM in comune 2) AB = A perché lati obliqui di uno stesso triangolo isoscele 3) BM = M per ipotesi. B M Ne consegue che : a) BAM ˆ = MAˆ e quindi B è bisettrice dell angolo al vertice BM ˆ b) A MB ˆ = AMˆ = 90 e quindi AM è l altezza relativa alla base B. Pagina 26 di 27

18 Unità Didattica N 22 I triangoli 27 Teorema Nel triangolo isoscele la bisettrice dell angolo al vertice è anche mediana ed altezza relative alla base. Sia AM la bisettrice relativa alla base B del triangolo isoscele AB. Vogliamo dimostrare che AM è anche mediana ed altezza relative alla base B. I triangoli AMB ed AM sono uguali per il secondo criterio di uguaglianza per avere : 1) AM in comune 2) di uno stesso triangolo isoscele 3) BAM ˆ = MAˆ per ipotesi. Ne consegue che : AB = A perché lati obliqui a) A MB ˆ = AMˆ = 90 e quindi AM è l altezza relativa alla base B. b) BM = M e quindi AM è la mediana relativa alla base B. Pagina 27 di 27

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